स्पिन समूह

गणित में स्पिन समूह स्पिन(n) विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) = SO(n, R) का दोहरा आवरण स्थान है, जैसे कि लाई समूह का एक संक्षिप्त निर्धारित क्रम अवस्थित है (जब n ≠ 2)

$1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.$

लाई समूह के रूप में, स्पिन (n) इसलिए अपने आयाम, एन (एन - 1)/2, और विशेष ओर्थोगोनल समूह के साथ अपने लाई बीजगणित को स्थानांतरित करता है।

n > 2 के लिए, स्पिन (n) मुख्य रूप से संयोजित होता है इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) के सार्वभौमिक आवरण के साथ समानता रखता है।

कर्नेल (समूह सिद्धांत) के गैर-तुच्छ तत्व को -1 के रूप में दर्शाया गया है, जिसे उत्पत्ति के माध्यम से प्रतिबिंब के ऑर्थोगोनल परिवर्तन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसे सामान्यतः -I द्वारा निरूपित किया जाता है .

क्लिफर्ड बीजगणित Cl (n) में उल्टे तत्वों के उपसमूह के रूप में स्पिन (n) का निर्माण किया जा सकता है। एक अलग लेख स्पिन अभ्यावेदन पर चर्चा करता है।

प्रेरणा और संरचनात्मक व्याख्या

स्पिन समूह का उपयोग भौतिकी में (विद्युत रूप से तटस्थ, अपरिवर्तित) फर्मों की समरूपता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसकी जटिलता और स्पिन का उपयोग विद्युत रूप से आवेशित फर्मियन, विशेष रूप से इलेक्ट्रॉन का वर्णन करने के लिए किया जाता है। सार्वभौमिक कथित रूप से, स्पिन समूह शून्य-आयामी अंतरिक्ष में एक फ़र्मियन का वर्णन करता है; लेकिन निश्चित रूप से, अंतरिक्ष शून्य-आयामी नहीं है, और इसलिए स्पिन समूह का उपयोग (आभासी) रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर स्पिन संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, स्पिन समूह एक स्पिनर बंडल का संरचना समूह है। स्पिनर बंडल पर अफ्फीन (affine) कनेक्शन स्पिन कनेक्शन है; स्पिन कनेक्शन उपयोगी है क्योंकि यह सामान्य सापेक्षता में कई जटिल गणनाओं को सरल बना सकता है और सुगमता ला सकता है। परिणामतः स्पिन कनेक्शन डायराक समीकरण को वक्राकार स्पेसटाइम (प्रभावी रूप से टेट्राड (सामान्य सापेक्षता) निर्देशांक में) में लिखने में सक्षम बनाता है, जो बदले में क्वांटम गुरुत्वाकर्षण बल के लिए एक आधार प्रदान करता है, साथ ही हॉकिंग विकिरण (जहां एक विखंडित हुए, आभासी फ़र्मियन की जोड़ी घटना क्षितिज से आगे निकल जाती है, और दूसरा नहीं)। संक्षेप में, स्पिन समूह एक महत्वपूर्ण आधारशिला है, जो आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी में उन्नत अवधारणाओं को समझने के लिए केंद्रीय रूप से महत्वपूर्ण है। गणित में, स्पिन समूह अपने आप में दिलचस्प है: न केवल इन कारणों से, बल्कि और भी कई कारणों से प्रमुख है।

निर्माण

स्पिन समूह का निर्माण प्रायः एक निश्चित द्विघात रूप q के साथ एक वास्तविक सदिश स्थान V पर क्लिफर्ड बीजगणित के निर्माण के साथ प्रारम्भ होता है। क्लिफर्ड बीजगणित द्वि-स्तरीय आदर्श द्वारा V के टेंसर बीजगणित टीवी का भागफल है। टेंसर बीजगणित (वास्तविक से अधिक) को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots$

क्लिफर्ड बीजगणित Cl (V) तब भागफल साहचर्य बीजगणित है

$\operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),$

जहाँ $q(v)$ सदिश पर लागू होने वाला द्विघात रूप है $v\in V$. परिणामी स्थान परिमित आयामी, स्वाभाविक रूप से वर्गीकृत (गणित) (एक वेक्टर स्थान के रूप में) है, और इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$\operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}$

जहाँ $V$,$n$ का आयाम है , $\operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R}$ और $\operatorname {Cl} ^{1}=V$. स्पिन बीजगणित ${\mathfrak {spin}}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Cl} ^{n}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),$

जहां अंतिम V वास्तविक आयाम n का वास्तविक सदिश स्थान होने के लिए एक शार्ट-हैंड है। यह एक लाई बीजगणित है, यह V पर एक प्राकृतिक क्रिया है, और इस तरह $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(n$