कोणीय त्वरण

Angular acceleration
Si   इकाई	rad/s2
SI आधार इकाइयाँ में	s−2
Behaviour under समन्वय परिवर्तन	pseudovector
आयाम

रेडियंस प्रति सेकंड वर्ग
इकाई प्रणाली	SI व्युत्पन्न इकाई
की इकाई	कोणीय त्वरण
चिन्ह, प्रतीक	rad/s2

भौतिकी में, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर को संदर्भित करता है। जबकि दो प्रकार के कोणीय वेग होते हैं, अर्थात स्पिन कोणीय वेग और कक्षीय कोणीय वेग, स्वाभाविक रूप से भी दो प्रकार के कोणीय त्वरण होते हैं, जिन्हें क्रमशः स्पिन कोणीय त्वरण और कक्षीय कोणीय त्वरण कहा जाता है। स्पिन कोणीय त्वरण एक कठोर शरीर के घूर्णन के केंद्र के बारे में कोणीय त्वरण को संदर्भित करता है, और कक्षीय कोणीय त्वरण एक निश्चित मूल के बारे में एक बिंदु कण के कोणीय त्वरण को संदर्भित करता है।

कोणीय त्वरण को प्रति इकाई समय वर्ग कोण की इकाइयों में मापा जाता है (जो SI इकाइयों में रेडियन प्रति सेकंड वर्ग है), और सामान्यतः प्रतीक अल्फा (α) द्वारा दर्शाया जाता है। दो आयामों में, कोणीय त्वरण एक छद्म अदिश होता है जिसका संकेत धनात्मक लिया जाता है यदि कोणीय गति वामावर्त बढ़ती है या दक्षिणावर्त घटती है, और यदि कोणीय गति दक्षिणावर्त बढ़ती है या वामावर्त घटती है तो इसे ऋणात्मक माना जाता है। तीन आयामों में, कोणीय त्वरण एक स्यूडो छद्म  वेक्टर है। कठोर पिंडों के लिए, कोणीय त्वरण एक शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण का कारण होना चाहिए। जबकि, गैर-कठोर निकायों के लिए ऐसा नहीं है: उदाहरण के लिए, एक फिगर स्केटर अपने रोटेशन को तेज कर सकता है (जिससे कोणीय त्वरण प्राप्त कर सकता है) बस अपने हाथों और पैरों को अंदर की ओर अनुबंधित करके, जिसमें कोई बाहरी टार्क सम्मिलित नहीं है।

एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय त्वरण

दो आयामों में कण

दो आयामों में, कक्षीय कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर मूल के बारे में कण के द्वि-आयामी कक्षीय कोणीय वेग में परिवर्तन होता है। किसी भी समय पर तात्कालिक कोणीय वेग ω द्वारा दिया जाता है

$\omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},$

जहाँ $r$ मूल से दूरी है और $v_{\perp }$ तात्क्षणिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक है (अर्थात स्थिति सदिश के लम्बवत् घटक), जो सम्मेलन के अनुसार वामावर्त गति के लिए धनात्मक है और दक्षिणावर्त गति के लिए ऋणात्मक होता है।

इसलिए, कण का अस्थायी कोणीय त्वरण α द्वारा दिया जाता है

$\alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).$

अवकलन कलन से उत्पाद नियम का उपयोग करके दाएँ हाथ की ओर विस्तार करना, यह बन जाता है

$\alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.$

विशेष मामले में जहां कण मूल के बारे में परिपत्र गति से गुजरता है, ${\frac {dv_{\perp }}{dt}}$ केवल स्पर्शरेखीय त्वरण बन जाता है $a_{\perp }$, तथा ${\frac {dr}{dt}}$ गायब हो जाता है (चूंकि मूल से दूरी स्थिर रहती है), इसलिए उपरोक्त समीकरण सरल हो जाता है

$\alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.$

दो आयामों में, कोणीय त्वरण धनात्मक या ऋणात्मक प्रतीक के साथ एक संख्या है जो अभिविन्यास को संकेत करता है, लेकिन दिशा को संकेत नहीं करता है। यदि कोणीय गति वामावर्त दिशा में बढ़ती है या दक्षिणावर्त दिशा में घटती है, तो संकेत को पारंपरिक रूप से सकारात्मक माना जाता है, और यदि कोणीय गति दक्षिणावर्त दिशा में बढ़ती है या वामावर्त दिशा में घटती है, तो संकेत को ऋणात्मक माना जाता है। तब कोणीय त्वरण को एक छद्म अदिश कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो समानता (भौतिकी) के अंतर्गत संकेत बदलती है, जैसे कि एक अक्ष को परिवर्तित करना या दो अक्षों को बदलना।

तीन आयामों में कण

तीन आयामों में, कक्षीय कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर समय के साथ त्रि-आयामी कक्षीय कोणीय वेग वेक्टर बदलता है।अस्थायी कोणीय वेग वेक्टर ${\boldsymbol {\omega }}$ किसी भी समय पर दिया जाता है

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},$

जहाँ $\mathbf {r}$ कण की स्थिति वेक्टर है, $r$ मूल से इसकी दूरी, और $\mathbf {v}$ इसका वेग वेक्टर। इसलिए, कक्षीय कोणीय त्वरण सदिश ${\boldsymbol {\alpha }}$ द्वारा परिभाषित है

$\mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$