कोणीय त्वरण

Angular acceleration
Si   इकाई	rad/s2
SI आधार इकाइयाँ में	s−2
Behaviour under समन्वय परिवर्तन	pseudovector
आयाम

Radians per second squared
इकाई प्रणाली	SI derived unit
की इकाई	Angular acceleration
चिन्ह, प्रतीक	rad/s2

भौतिकी में, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर को संदर्भित करता है। चूंकि दो प्रकार के कोणीय वेग होते हैं, अर्थात् स्पिन कोणीय वेग और कक्षीय कोणीय वेग, स्वाभाविक रूप से भी दो प्रकार के कोणीय त्वरण होते हैं, जिन्हें क्रमशः स्पिन कोणीय त्वरण और कक्षीय कोणीय त्वरण कहा जाता है। स्पिन कोणीय त्वरण एक कठोर शरीर के घूर्णन के केंद्र के बारे में कोणीय त्वरण को संदर्भित करता है, और कक्षीय कोणीय त्वरण एक निश्चित मूल के बारे में एक बिंदु कण के कोणीय त्वरण को संदर्भित करता है।

कोणीय त्वरण को प्रति इकाई समय वर्ग कोण की इकाइयों में मापा जाता है (जो SI इकाइयों में रेडियन प्रति सेकंड वर्ग है), और आमतौर पर प्रतीक अल्फा (α) द्वारा दर्शाया जाता है। दो आयामों में, कोणीय त्वरण एक स्यूडोस्केलर होता है जिसका संकेत धनात्मक लिया जाता है यदि कोणीय गति वामावर्त बढ़ती है या दक्षिणावर्त घटती है, और यदि कोणीय गति दक्षिणावर्त बढ़ती है या वामावर्त घटती है तो इसे ऋणात्मक माना जाता है। तीन आयामों में, कोणीय त्वरण एक स्यूडोवेक्टर है। कठोर पिंडों के लिए, कोणीय त्वरण एक शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण के कारण होना चाहिए। हालांकि, यह गैर-कठोर निकायों के लिए ऐसा नहीं है: उदाहरण के लिए, एक फिगर स्केटर अपने रोटेशन को तेज कर सकता है (जिससे कोणीय त्वरण प्राप्त कर सकता है) बस अपने हाथों और पैरों को अंदर की ओर अनुबंधित करके, जिसमें कोई बाहरी टोक़ शामिल नहीं है।

एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय त्वरण

दो आयामों में कण

दो आयामों में, कक्षीय कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर मूल के बारे में कण के द्वि-आयामी कक्षीय कोणीय वेग में परिवर्तन होता है। किसी भी समय पर तात्कालिक कोणीय वेग ω द्वारा दिया जाता है

$\omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},$

कहाँ पे $r$ उत्पत्ति से दूरी है और $v_{\perp }$ तात्क्षणिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक है (अर्थात स्थिति सदिश के लम्बवत् घटक), जो परिपाटी के अनुसार वामावर्त गति के लिए धनात्मक है और दक्षिणावर्त गति के लिए ऋणात्मक है।

इसलिए, कण का तात्कालिक कोणीय त्वरण α द्वारा दिया जाता है

$\alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).$

अवकलन कलन से उत्पाद नियम का उपयोग करके दाएँ हाथ की ओर विस्तार करना, यह बन जाता है

$\alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.$

विशेष मामले में जहां कण मूल के बारे में परिपत्र गति से गुजरता है, ${\frac {dv_{\perp }}{dt}}$ केवल स्पर्शरेखा त्वरण बन जाता है $a_{\perp }$, तथा ${\frac {dr}{dt}}$ गायब हो जाता है (चूंकि मूल से दूरी स्थिर रहती है), इसलिए उपरोक्त समीकरण को सरल करता है

$\alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.$

दो आयामों में, कोणीय त्वरण प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो ओरिएंटेशन को इंगित करता है, लेकिन दिशा में इंगित नहीं करता है। यदि कोणीय गति वामावर्त दिशा में बढ़ती है या दक्षिणावर्त दिशा में घटती है, तो संकेत को पारंपरिक रूप से सकारात्मक माना जाता है, और यदि कोणीय गति दक्षिणावर्त दिशा में बढ़ती है या वामावर्त दिशा में घटती है, तो संकेत को ऋणात्मक लिया जाता है। कोणीय त्वरण को तब एक स्यूडोस्केलर कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो समानता (भौतिकी) के तहत संकेत बदलती है, जैसे कि एक धुरी को बदलना या दो अक्षों को बदलना।

तीन आयामों में कण

तीन आयामों में, कक्षीय कोणीय त्वरण वह दर है जिस पर समय के साथ त्रि-आयामी कक्षीय कोणीय वेग वेक्टर बदलता है। तात्कालिक कोणीय वेग वेक्टर ${\boldsymbol {\omega }}$ किसी भी समय द्वारा दिया जाता है

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},$

कहाँ पे $\mathbf {r}$ कण की स्थिति वेक्टर है, $r$ उत्पत्ति से इसकी दूरी, और $\mathbf {v}$ इसका वेग वेक्टर। इसलिए, कक्षीय कोणीय त्वरण सदिश है ${\boldsymbol {\alpha }}$ द्वारा परिभाषित

$\mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$