विस्तृत कार्डिनल

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय क्षेत्र में, एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति एक निश्चित प्रकार की संपत्ति है जो पारलौकिक संख्या बुनियादी संख्या है। इस तरह के गुणों वाले कार्डिनल, जैसा कि नाम से पता चलता है, आम तौर पर बहुत बड़ा होता है (उदाहरण के लिए, कम से कम α से बड़ा होता है जैसे कि α=ω_α). प्रस्ताव है कि इस तरह के कार्डिनल मौजूद हैं, सेट सिद्धांत के सबसे सामान्य स्वयंसिद्ध में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, अर्थात् ZFC, और इस तरह के प्रस्तावों को मापने के तरीकों के रूप में देखा जा सकता है, ZFC से परे, किसी को कुछ वांछित परिणाम साबित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, उन्हें दाना स्कॉट के वाक्यांश में देखा जा सकता है, इस तथ्य को मापने के रूप में कि यदि आप और अधिक चाहते हैं तो आपको और अधिक मान लेना होगा। एक मोटा सम्मेलन है कि केवल ZFC से सिद्ध होने वाले परिणाम परिकल्पना के बिना बताए जा सकते हैं, लेकिन अगर सबूत के लिए अन्य मान्यताओं (जैसे बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व) की आवश्यकता होती है, तो इन्हें कहा जाना चाहिए। क्या यह केवल एक भाषाई सम्मेलन है, या कुछ और, विभिन्न दार्शनिक विद्यालयों के बीच एक विवादास्पद बिंदु है (नीचे #प्रेरणा और महामारी की स्थिति देखें)।

एlarge cardinal axiom एक स्वयंसिद्ध है जिसमें कहा गया है कि कुछ निर्दिष्ट बड़ी कार्डिनल संपत्ति के साथ एक कार्डिनल (या शायद उनमें से कई) मौजूद हैं।

अधिकांश कामकाजी सेट सिद्धांतकारों का मानना ​​है कि वर्तमान में जिन बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों पर विचार किया जा रहा है, वे ZFC के अनुरूप हैं। ये स्वयंसिद्ध ZFC की निरंतरता को दर्शाने के लिए पर्याप्त मजबूत हैं। इसका परिणाम है (गोडेल के अपूर्णता प्रमेय के माध्यम से | गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय) कि ZFC के साथ उनकी निरंतरता ZFC में सिद्ध नहीं की जा सकती (यह मानते हुए कि ZFC संगत है)।

बड़ी कार्डिनल संपत्ति क्या है, इसकी कोई आम तौर पर सहमत सटीक परिभाषा नहीं है, हालांकि अनिवार्य रूप से सभी सहमत हैं कि बड़े कार्डिनल गुणों की सूची में बड़े कार्डिनल गुण हैं।

आंशिक परिभाषा

कार्डिनल नंबरों की संपत्ति के लिए एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति होने के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि ऐसे कार्डिनल का अस्तित्व ZFC के साथ असंगत नहीं है और ऐसा कार्डिनल Κ एक बेशुमार प्रारंभिक क्रमिक होगा जिसके लिए रचनात्मक ब्रह्मांड | एल_Κ ZFC का एक मॉडल है। यदि ZFC संगत है, तो ZFC का अर्थ यह नहीं है कि इस तरह के बड़े कार्डिनल मौजूद हैं।

स्थिरता शक्ति का पदानुक्रम

बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के बारे में एक उल्लेखनीय अवलोकन यह है कि वे स्थिरता शक्ति द्वारा सख्त रैखिक क्रम में प्रकट होते हैं। अर्थात्, निम्नलिखित के लिए कोई अपवाद ज्ञात नहीं है: दो बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध ए दिए गए हैं₁ और ए₂, वास्तव में तीन चीजों में से एक होता है:

1. जब तक ZFC असंगत न हो, ZFC+A₁ संगत है अगर और केवल अगर ZFC+A₂ संगत है;
2. ZFC+ए₁ साबित करता है कि ZFC+A₂ संगत है; या
3. ZFC+ए₂ साबित करता है कि ZFC+A₁ संगत है।

ये परस्पर अनन्य हैं, जब तक कि विचाराधीन सिद्धांतों में से एक वास्तव में असंगत न हो।

स्थिति 1 में, हम कहते हैं कि A₁ और ए₂ समानता हैं। स्थिति 2 में, हम कहते हैं कि A₁ संगति-वार ए से अधिक मजबूत है₂ (केस 3 के विपरीत)। यदि एक₂ ए से ज्यादा मजबूत है₁, फिर ZFC+A₁ ZFC+A साबित नहीं कर सकता₂ ZFC + A की अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी संगत है₁ अपने आप में संगत है (बशर्ते कि यह वास्तव में है)। यह गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से आता है।

अवलोकन कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को स्थिरता शक्ति द्वारा रैखिक रूप से आदेश दिया जाता है, यह केवल एक अवलोकन है, प्रमेय नहीं है। (बड़ी कार्डिनल संपत्ति की स्वीकृत परिभाषा के बिना, यह सामान्य अर्थों में प्रमाण के अधीन नहीं है।) साथ ही, यह हर मामले में ज्ञात नहीं है कि तीन मामलों में से कौन सा है। सहारों शेलाह ने पूछा है, [i] क्या कोई प्रमेय इसे समझा रहा है, या क्या हमारी दृष्टि हमारे एहसास से कहीं अधिक समान है? डब्ल्यू ह्यूग वुडिन, हालांकि, इसे Ω-अनुमान से घटाते हैं, जो उनके Ω-तर्क की मुख्य अनसुलझी समस्या है। यह भी उल्लेखनीय है कि कई संयोजी बयान उनके बीच मध्यवर्ती होने के बजाय, कुछ बड़े कार्डिनल के साथ बिल्कुल समतुल्य हैं।

स्थिरता शक्ति का क्रम जरूरी नहीं कि एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध के सबसे छोटे गवाह के आकार के क्रम के समान हो। उदाहरण के लिए, एक सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल के अस्तित्व की तुलना में, एक विशाल कार्डिनल का अस्तित्व स्थिरता शक्ति के मामले में बहुत मजबूत है, लेकिन यह मानते हुए कि दोनों मौजूद हैं, पहला विशाल पहले सुपरकॉम्पैक्ट से छोटा है।

प्रेरणा और महामारी की स्थिति

बड़े कार्डिनल्स को वॉन न्यूमैन ब्रह्माण्ड V के संदर्भ में समझा जाता है, जो सत्ता स्थापित ऑपरेशन के ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा बनाया गया है, जो किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट को एक साथ इकट्ठा करता है। आमतौर पर, मॉडल सिद्धांत जिसमें बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध विफल होते हैं, कुछ प्राकृतिक तरीके से उन लोगों के सबमॉडल के रूप में देखे जा सकते हैं जिनमें स्वयंसिद्ध हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई दुर्गम कार्डिनल है, तो पहले ऐसे कार्डिनल की ऊंचाई पर ब्रह्मांड को काटने से एक ब्रह्मांड (गणित) उत्पन्न होता है जिसमें कोई दुर्गम कार्डिनल नहीं होता है। या यदि कोई औसत दर्जे का कार्डिनल है, तो पूर्ण के बजाय परिभाषित पावरसेट ऑपरेशन को दोहराते हुए गोडेल के रचनात्मक ब्रह्मांड, एल, जो इस कथन को संतुष्ट नहीं करता है कि एक औसत दर्जे का कार्डिनल है (भले ही इसमें औसत दर्जे का कार्डिनल एक क्रमसूचक के रूप में हो)।

इस प्रकार, कई सेट सिद्धांतकारों द्वारा आयोजित एक निश्चित दृष्टिकोण से (विशेष रूप से जो कबाल (सेट सिद्धांत) की परंपरा से प्रेरित हैं), बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध कहते हैं कि हम उन सभी सेटों पर विचार कर रहे हैं जिन पर हम विचार कर रहे हैं, जबकि उनके निषेध प्रतिबंधात्मक हैं और कहते हैं कि हम उनमें से केवल कुछ सेटों पर विचार कर रहे हैं। इसके अलावा बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के परिणाम प्राकृतिक पैटर्न में आते हैं (देखें मैडी, बिलीविंग द एक्सिओम्स, II)। इन कारणों से, इस तरह के सेट सिद्धांतकार ZFC के एक्सटेंशन के बीच एक पसंदीदा स्थिति के लिए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों पर विचार करते हैं, एक जो कम स्पष्ट प्रेरणा के स्वयंसिद्धों (जैसे कि मार्टिन के स्वयंसिद्ध) द्वारा साझा नहीं किया जाता है या अन्य जिन्हें वे सहज रूप से असंभाव्य मानते हैं (जैसे V= एल | वी = एल)। इस समूह में गणित का कट्टर दर्शन#गणितीय यथार्थवाद अधिक सरलता से कहेगा कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध सत्य हैं।

यह दृष्टिकोण किसी भी तरह से सेट सिद्धांतकारों के बीच सार्वभौमिक नहीं है। गणित के कुछ दर्शन # औपचारिकता का दावा है कि मानक सेट सिद्धांत ZFC के परिणामों के अध्ययन की परिभाषा के अनुसार है, और जब वे अन्य प्रणालियों के परिणामों का अध्ययन करने के लिए सिद्धांत रूप में विरोध नहीं कर सकते हैं, तो वे बड़े कार्डिनल को बाहर करने का कोई कारण नहीं देखते हैं। पसंदीदा। ऐसे यथार्थवादी भी हैं जो इस बात से इनकार करते हैं कि सत्तामूलक अधिकतावाद एक उचित प्रेरणा है, और यहाँ तक कि यह भी मानते हैं कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध झूठे हैं। और अंत में, कुछ ऐसे हैं जो इस बात से इनकार करते हैं कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों की उपेक्षा प्रतिबंधात्मक है, यह इंगित करते हुए कि (उदाहरण के लिए) L में एक सकर्मक सेट मॉडल हो सकता है जो मानता है कि एक औसत दर्जे का कार्डिनल मौजूद है, भले ही L स्वयं संतुष्ट न हो प्रस्ताव।

यह भी देखें

• बड़े कार्डिनल गुणों की सूची

संदर्भ

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• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), "The evolution of large cardinal axioms in set theory" (PDF), Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 669, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 99–275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1, retrieved September 25, 2022
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बाहरी संबंध

• "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy