विशेषण फलन

"Onto" redirects here. For other uses, see wiktionary:onto.

गणित में, एक विशेषण फलन (जिसे अनुमान या फलन के रूप में भी जाना जाता है) एक फलन (गणित) है f वह हर तत्व y तत्व से मैप किया जा सकता है x ताकि f(x) = y. दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन के कोडोमेन का प्रत्येक तत्व की छवि (गणित) है at least एक समारोह के अपने डोमेन का एक तत्व। यह आवश्यक नहीं है x अद्वितीय बनें (गणित); कार्यक्रम f के एक या अधिक तत्वों को मैप कर सकता है X के एक ही तत्व के लिए Y.

विशेषण शब्द और संबंधित शब्द अंतःक्षेपी फलन और विशेषण फलन निकोलस बॉरबाकी द्वारा पेश किए गए थे, मुख्य रूप से 20वीं सदी के फ्रांस के गणितज्ञों का एक समूह, जिन्होंने इस छद्म नाम के तहत, 1935 से शुरू होकर, आधुनिक उन्नत गणित की व्याख्या प्रस्तुत करने वाली पुस्तकों की एक श्रृंखला लिखी। कि किसी विशेषण फलन के प्रांत की छवि (गणित) फलन के कोडोमेन को पूरी तरह से ढक लेती है।

कोई भी फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के कोडोमेन को उसके डोमेन की छवि पर प्रतिबंधित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। प्रत्येक विशेषण फलन का एक व्युत्क्रम फलन होता है#चयन का अभिगृहीत मानते हुए बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम, और दाएँ व्युत्क्रम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक अनुमान है। विशेषण कार्यों की कार्य संरचना हमेशा विशेषण होती है। किसी भी कार्य को प्रक्षेपण और इंजेक्शन में विघटित किया जा सकता है।

परिभाषा

Further information on notation: Function (mathematics) § Notation

एक विशेषण फलन एक फलन (गणित) है जिसकी छवि (गणित) इसके कोडोमेन के बराबर है। समान रूप से, एक समारोह $f$ एक समारोह के डोमेन के साथ $X$ और कोडोमेन $Y$ विशेषण है यदि प्रत्येक के लिए $y$ में $Y$ कम से कम एक मौजूद है $x$ में $X$ साथ $f(x)=y$.अनुमानों को कभी-कभी दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है (U+21A0 ↠ RIGHTWARDS TWO HEADED ARROW), जैसे की $f\colon X\twoheadrightarrow Y$.

प्रतीकात्मक रूप से,

यदि $f\colon X\rightarrow Y$, तब $f$ यदि और केवल यदि विशेषण कहा जाता है

$\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y$.

उदाहरण

फ़ंक्शन 'X के डोमेन से कोडोमेन 'Y के लिए एक गैर-आक्षेपिक फ़ंक्शन। Y के अंदर छोटा पीला अंडाकार f की छवि (गणित) (जिसे फ़ंक्शन की श्रेणी भी कहा जाता है) है। यह कार्य विशेषण नहीं है, क्योंकि छवि पूरे कोडोमेन को नहीं भरती है। दूसरे शब्दों में, Y दो-चरणीय प्रक्रिया में रंगीन है: सबसे पहले, X में प्रत्येक x के लिए, बिंदु f(x) रंगीन है पीला; दूसरा, Y के बाकी सभी बिंदु, जो पीले नहीं हैं, नीले रंग से रंगे गए हैं। फलन f केवल तभी विशेषण होगा जब कोई नीला बिंदु न हो।

For more examples, see § Gallery.

• किसी भी सेट एक्स के लिए, पहचान फ़ंक्शन आईडी_X एक्स पर विशेषण है।
• कार्यक्रम f : Z → {0, 1} f(n) = n 'मॉड्यूलर अंकगणितीय' 2 द्वारा परिभाषित (अर्थात, सम संख्या पूर्णांकों को 0 और विषम संख्या पूर्णांकों को 1 पर मैप किया जाता है) विशेषण है।
• कार्यक्रम f : R → R f(x) = 2x + 1 द्वारा परिभाषित विशेषण (और यहां तक ​​कि विशेषण फलन भी) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए, हमारे पास एक x ऐसा है कि f(x) = y: ऐसा उपयुक्त x है (y - 1)/ 2.
• कार्यक्रम f : R → R एफ (एक्स) = एक्स द्वारा परिभाषित³ − 3x आच्छादक है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या y की पूर्व-छवि क्यूबिक बहुपद समीकरण x का हल सेट है³ − 3x − y = 0, और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक घन बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, यह फलन अंतःक्षेपी फलन नहीं है (और इसलिए विशेषण फलन नहीं है), क्योंकि, उदाहरण के लिए, y = 2 की पूर्व-छवि {x = −1, x = 2} है। (वास्तव में, प्रत्येक y, −2 ≤ y ≤ 2 के लिए इस फ़ंक्शन की पूर्व-छवि में एक से अधिक तत्व हैं।)
• कार्यक्रम g : R → R द्वारा परिभाषित जी (एक्स) = एक्स^2</उप> आच्छादी नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या x नहीं है x² = -1. हालाँकि, समारोह g : R → R_≥0 द्वारा परिभाषित g(x) = x² (प्रतिबंधित कोडोमेन के साथ) विशेषण है, क्योंकि गैर-नकारात्मक वास्तविक कोडोमेन Y में प्रत्येक y के लिए, वास्तविक डोमेन X में कम से कम एक x ऐसा है कि x² = और.
• प्राकृतिक लघुगणक समारोह ln : (0, +∞) → R एक विशेषण और विशेषण भी है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट से सभी वास्तविक संख्याओं के सेट तक मैपिंग)। इसका व्युत्क्रम, घातीय फलन, यदि डोमेन के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ परिभाषित किया जाता है, तो यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि इसकी सीमा धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)।
• मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल विशेषण नहीं है जब इसे सभी n×n मैट्रिक्स (गणित) के स्थान से मानचित्र के रूप में देखा जाता है। हालाँकि, इसे आमतौर पर सभी n × n मैट्रिक्स के स्थान से डिग्री n के सामान्य रैखिक समूह (अर्थात, सभी n × n व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का समूह (गणित)) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिभाषा के तहत, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल जटिल मैट्रिसेस के लिए विशेषण है, हालांकि वास्तविक मैट्रिक्स के लिए अभी भी विशेषण नहीं है।
• प्रक्षेपण (सेट सिद्धांत) एक कार्तीय उत्पाद से A × B इसके कारकों में से एक विशेषण है, जब तक कि अन्य कारक खाली न हो।
• एक 3डी वीडियो गेम में, सदिशों को एक विशेषण कार्य के माध्यम से 2डी फ्लैट स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जाता है।

गुण

एक फलन विशेषण फलन है यदि और केवल यदि यह आच्छादक और अंतःक्षेपी दोनों फलन है।

यदि (जैसा कि अक्सर किया जाता है) किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ फ़ंक्शन की पहचान की जाती है, तो विशेषण फ़ंक्शन की संपत्ति नहीं है, बल्कि मानचित्र (गणित) की संपत्ति है। यह, इसके कोडोमेन के साथ कार्य है। इंजेक्शन के विपरीत, प्रक्षेप्यता को अकेले फ़ंक्शन के ग्राफ़ से नहीं पढ़ा जा सकता है।

सही व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में अनुमान

कार्यक्रम g : Y → X एक व्युत्क्रम फलन# फलन के बाएँ और दाएँ प्रतिलोम कहा जाता है f : X → Y यदि एफ (जी (वाई)) = वाई Y में प्रत्येक y के लिए (g को f द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन संरचना होने पर g f का सही व्युत्क्रम है f o g g और f का क्रम इसी क्रम में g के प्रांत Y पर तत्समक फलन है। फलन g को f का पूर्ण व्युत्क्रम फलन होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि रचना दूसरे क्रम में है, g o f, f के प्रांत X पर तत्समक फलन नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, f, g को पूर्ववत या उल्टा कर सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके द्वारा उलटा किया जा सके।

सही प्रतिलोम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक अनुमान है। प्रस्ताव है कि प्रत्येक विशेषण समारोह में एक सही व्युत्क्रम होता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर होता है।

यदि f : X → Y आच्छादक है और B, Y का उपसमुच्चय है, तब एफ (एफ⁻¹(बी)) = बी. इस प्रकार, B को इसके पूर्व चित्र से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है f ⁻¹(B).

उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए पहले दृष्टांत में, कुछ फ़ंक्शन g ऐसा है कि g(C) = 4. कुछ फ़ंक्शन f भी है जैसे कि f(4) = C. इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि g(C) भी हो सकता है बराबर 3; यह केवल मायने रखता है कि f, g को उलट देता है।

एपिमोर्फिज्म के रूप में अनुमान

एक समारोह f : X → Y विशेषण है अगर और केवल अगर यह सही-निरस्तीकरण है: कोई कार्य दिया g,h : Y → Z, जब भी जी <छोटा>ओ</छोटा> एफ = एच <छोटा>ओ</छोटा> च, तब जी = एच. यह गुण कार्यों और उनकी कार्य संरचना के संदर्भ में तैयार किया गया है और एक श्रेणी (गणित) और उनकी संरचना के morphisms की अधिक सामान्य धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। राइट-कैंसलेटिव मॉर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है। विशेष रूप से, विशेषण कार्य निश्चित रूप से सेट की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म हैं। उपसर्ग एपि ग्रीक पूर्वसर्ग ἐπί से लिया गया है जिसका अर्थ है ऊपर, ऊपर, पर।

सही व्युत्क्रम के साथ कोई भी रूपवाद एक एपिमोर्फिज्म है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। आकृतिवाद f के एक सही व्युत्क्रम g को f का एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है। दाएं व्युत्क्रम के साथ एक आकृतिवाद को विभाजित एपिमोर्फिज्म कहा जाता है।

द्विआधारी संबंधों के रूप में अनुमान

डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई के साथ कोई भी फ़ंक्शन बाएं-कुल संबंध के रूप में देखा जा सकता है | बाएं-कुल और दाएं-अद्वितीय संबंध | एक्स और वाई के बीच दाएं-अद्वितीय बाइनरी संबंध को इसके फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ पहचान कर। डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई के साथ एक विशेषण कार्य तब एक्स और वाई के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो दायां-अद्वितीय है और बाएं-कुल और दाएं-कुल संबंध दोनों हैं। सही-कुल।

एक अनुमान के डोमेन की कार्डिनैलिटी

किसी विशेषण फलन के डोमेन की कार्डिनैलिटी उसके कोडोमेन की कार्डिनैलिटी से अधिक या उसके बराबर है: यदि f : X → Y एक आच्छादन फलन है, तो कार्डिनल संख्या के अर्थ में X में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने कि Y। (सबूत एक समारोह दिखाने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की अपील करता है g : Y → X Y में सभी y के लिए संतोषजनक f(g(y)) = y मौजूद है। g को आसानी से अंतःक्षेपी के रूप में देखा जाता है, इस प्रकार कार्डिनल संख्या#|Y| की औपचारिक परिभाषा ≤ |एक्स| संतुष्ट है।)

विशेष रूप से, यदि एक्स और वाई दोनों तत्वों की समान संख्या के साथ परिमित सेट हैं, तो f : X → Y आच्छादक है यदि और केवल यदि f अंतःक्षेपी है।

दो सेट X और Y, संकेतन दिए गए हैं X ≤^* Y यह कहने के लिए प्रयोग किया जाता है कि या तो एक्स खाली है या कि वाई से एक्स पर एक विशेषण है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि X ≤^* Y और Y ≤^* X एक साथ इसका मतलब है |और| = |एक्स|, श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय का एक प्रकार।

रचना और अपघटन

विशेषण फलनों का फलन संघटन हमेशा विशेषणात्मक होता है: यदि f और g दोनों आच्छादी हैं, और g का कोडोमेन f के प्रांत के बराबर है, तो f o g विशेषण है। इसके विपरीत यदि f o g आच्छादन है, तो च आच्छादक है (लेकिन जी, पहले लागू किया गया फ़ंक्शन, होना आवश्यक नहीं है)। ये गुण किसी भी श्रेणी (गणित) में सेट की श्रेणी में अनुमानों से लेकर किसी भी एपिमोर्फिज्म तक सामान्यीकृत होते हैं।

किसी भी कार्य को एक विशेषण और एक इंजेक्शन समारोह में विघटित किया जा सकता है: किसी भी कार्य के लिए h : X → Z एक अनुमान मौजूद है f : X → Y और एक इंजेक्शन g : Y → Z ऐसा है कि एच = जी <छोटा>ओ</छोटा> एफ. इसे देखने के लिए, Y को पूर्व-छवियों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें h⁻¹(z) जहाँ z है h(X). ये प्रीइमेज एक सेट एक्स के असंयुक्त सेट और विभाजन हैं। फिर एफ प्रत्येक एक्स को वाई के तत्व में ले जाता है जिसमें यह शामिल है, और जी वाई के प्रत्येक तत्व को जेड में उस बिंदु पर ले जाता है जहां एच अपने अंक भेजता है। तब f आच्छादक है क्योंकि यह एक प्रक्षेपण मानचित्र है, और g परिभाषा के अनुसार अंतःक्षेपी है।

प्रेरित अनुमान और प्रेरित पूर्वाग्रह

कोई भी कार्य अपने कोडोमेन को अपनी सीमा तक सीमित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। कोई भी विशेषण फलन अपने डोमेन के भागफल सेट पर परिभाषित आक्षेप को प्रेरित करता है, जो किसी निश्चित छवि के लिए सभी तर्कों की मैपिंग को ढहा देता है। अधिक सटीक, हर अनुमान f : A → B निम्नानुसार एक प्रक्षेपण के बाद प्रक्षेपण के रूप में तथ्य किया जा सकता है। मान लीजिए A/~ निम्नलिखित तुल्यता संबंध के अंतर्गत A का तुल्यता वर्ग है: x ~ y यदि और केवल यदि f(x) = f(y)। समतुल्य रूप से, ए / ~ एफ के तहत सभी पूर्व छवियों का सेट है। चलो P(~) : A → A/~ प्रक्षेपण मानचित्र बनें जो A में प्रत्येक x को उसके समतुल्य वर्ग [x] में भेजता है_~, और चलो च_P : A/~ → B, f द्वारा दिया गया सुपरिभाषित फलन है_P([एक्स]_~) = एफ (एक्स)। तब च = च_P ओ पी (~)।

अनुमानों का स्थान

तय दिया A और B, कोई अनुमानों का समूह बना सकता है A ↠ B. इस सेट की प्रमुखता रोटा के ट्वेल्वफोल्ड वे के बारह पहलुओं में से एक है, और इसके द्वारा दी गई है ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$, कहां ${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

गैलरी

• A non-injective surjective function (surjection, not a bijection)

• An injective surjective function (bijection)

• An injective non-surjective function (injection, not a bijection)

• A non-injective non-surjective function (neither a bijection)

• Surjective composition.svg

  Surjective composition: the first function need not be surjective.

• Non-surjective function2.svg

  Non-surjective functions in the Cartesian plane. Although some parts of the function are surjective, where elements y in Y do have a value x in X such that y = f(x), some parts are not. Left: There is y₀ in Y, but there is no x₀ in X such that y₀ = f(x₀). Right: There are y₁, y₂ and y₃ in Y, but there are no x₁, x₂, and x₃ in X such that y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂), and y₃ = f(x₃).

• Surjective function.svg

  Interpretation for surjective functions in the Cartesian plane, defined by the mapping f : X → Y, where y = f(x), X = domain of function, Y = range of function. Every element in the range is mapped onto from an element in the domain, by the rule f. There may be a number of domain elements which map to the same range element. That is, every y in Y is mapped from an element x in X, more than one x can map to the same y. Left: Only one domain is shown which makes f surjective. Right: two possible domains X₁ and X₂ are shown.

यह भी देखें

• आपत्ति, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
• कवर (बीजगणित)
• कवरिंग मैप
• गणना
• फाइबर बंडल
• सूचकांक सेट
• अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)

आगे की पढाई

• Bourbaki, N. (2004) [1968]. Theory of Sets. Elements of Mathematics. Vol. 1. Springer. doi:10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815.