विभेदक

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गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

$b^{2}-4ac,$

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है। इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।

परिभाषा

मान लीजिए

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

घात n का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। A और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

$A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}$का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है, जो A और A′ सिल्वेस्टर आव्यूह का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ $a_{n}$ और $na_{n}$ हैं, और परिणामी इस प्रकार $a_{n}$ का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

द्वारा A और A' के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है।

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में इसके n मूल, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां बीजगणित का मौलिक प्रमेय लागू होता है।)

मूलों के संदर्भ में, विभेदक

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})$

के बराबर है।

इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा $a_{n}^{2n-2}$ का वर्ग है।

विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति A के मूल में एक सममित बहुपद है।

निम्न घात

एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है (रिक्त उत्पाद के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक रिक्त आव्यूह है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।

छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य बहुपद चतुर्थक फलन के विभेदक के 16 पद हैं, एक पंचक फलन के 59 पद हैं, और एक सेक्सटिक समीकरण के 246 पद हैं। यह ओईआईएस अनुक्रम A007878 है।

घात 2

See also: द्विघात समीकरण § विभेदक

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c\,$ में विभेदक

$b^{2}-4ac\,$

है।

विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

जहां विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विभेदक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं। विभेदक का उत्पाद है a² और मूलों के अंतर का वर्ग।

यदि a, b, c परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

घात 3

See also: घन समीकरण § विभेदक

File:Discriminant of cubic polynomials..png

घन के विभेदक का शून्य सेट x³ + bx² + cx + d, यानी संतोषजनक अंक b²c² – 4c³ – 4b³d – 27d² + 18bcd = 0।

घन बहुपद $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ में विभेदक

$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,$

है।

एक अवनत घन बहुपद $x^{3}+px+q$ के विशेष विषय में , विभेदक

$-4p^{3}-27q^{2}\,$

को सरल करता है।

विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।

विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह मात्रा−3 गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में 1/18 का वर्ग।

यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी संख्या क्षेत्र से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का चक्रीय समूह (समूह सिद्धांत) तीन है।

घात 4

File:Quartic Discriminant.png

चतुर्थक बहुपद का विभेदक x⁴ + cx² + dx + e। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है (c, d, e) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।

चतुर्थक बहुपद $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$में विभेदक

$\begin{array}{rl}& 256a^3\end{array}$