सिलो प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से परिमित समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, सिलो प्रमेय प्रमेयों का संग्रह है जिसका नाम नॉर्वेजियन गणितज्ञ पीटर लुडविग मेजडेल साइलो के नाम पर रखा गया है। जो किसी दिए गए परिमित समूह में सम्मिलित समूह के निश्चित क्रम के उपसमूह की संख्या के बारे में विस्तृत जानकारी देता है। सिलो प्रमेय परिमित समूह सिद्धांत का मूलभूत भाग है और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में इसका अधिक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

अभाज्य संख्या के लिए $p$, समूह का सिलो 𝑝 -उपसमूह (कभी-कभी 𝑝 -सिलो उपसमूह) $G$ अधिकतम है $p$-उपसमूह $G$, अर्थात , का उपसमूह $G$ वह 𝑝 -समूह है 𝑝 -समूह (जिसका अर्थ है कि इसकी प्रमुखता पॉवर $p,$ (गणित) है) या समकक्ष, प्रत्येक समूह तत्व के समूह तत्व का क्रम पॉवर $p$ है ) यह किसी अन्य का उचित उपसमूह नहीं है $p$-उपसमूह $G$. सभी सिलो का समुच्चय $p$-किसी दिए गए प्राइम के लिए उपसमूह $p$ कभी-कभी ${\text{Syl}}_{p}(G)$ लिखा जाता है .

सिलो प्रमेय लैग्रेंज के प्रमेय (समूह सिद्धांत)|लैग्रेंज के प्रमेय के आंशिक विपरीत पर जोर देते हैं। लैग्रेंज के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी परिमित समूह के लिए $G$ के प्रत्येक उपसमूह $G$ का क्रम (तत्वों की संख्या)। $G$ के क्रम को विभाजित करता है . सिलो प्रमेय बताता है कि प्रत्येक अभाज्य कारक के लिए $p$ परिमित समूह के क्रम का $G$, वहाँ सिलो उपस्तिथ है $p$-उपसमूह $G$ क्रम की $p^{n}$, की सर्वोच्च पॉवर $p$ जो के क्रम $G$ को विभाजित करता है . इसके अतिरिक्त , क्रम का प्रत्येक उपसमूह $p^{n}$ सिलो है $p$-उपसमूह $G$, और सिलो $p$-किसी समूह के उपसमूह (किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए ) दूसरे से संयुग्मी वर्ग हैं। इसके अतिरिक्त , सिलो की संख्या $p$-किसी दिए गए अभाज्य के लिए समूह के उपसमूह $p$ 1 के सर्वांगसम (mod $p$). है

प्रमेय

प्रेरणा

साइलो प्रमेय सामान्य रूप से समूहों की संरचना के बारे में शक्तिशाली कथन हैं, किन्तु परिमित समूह सिद्धांत के अनुप्रयोगों में भी शक्तिशाली हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे परिमित समूह की कार्डिनैलिटी के प्राइम अपघटन का उपयोग करने के लिए विधि देते हैं $G$ अपने उपसमूहों की संरचना के बारे में कथन देने के लिए: अनिवार्य रूप से, यह किसी समूह के बारे में बुनियादी संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को उसके समूह संरचना तक पहुंचाने की तकनीक देता है। इस अवलोकन से, परिमित समूहों को वर्गीकृत करना यह पता लगाने का खेल बन जाता है कि समूह के निर्माण के लिए छोटे क्रम के समूहों के कौन से संयोजन/निर्माण को प्रयुक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इन प्रमेयों का विशिष्ट अनुप्रयोग कुछ निश्चित कार्डिनैलिटी के परिमित समूहों के वर्गीकरण में है, जैसे $|G|=60$ है .

कथन

इस प्रकार से उपसमूहों का संग्रह, जिनमें से प्रत्येक किसी न किसी अर्थ में अधिकतम है, समूह सिद्धांत में सामान्य है। यहां आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि के स्तिथि में $\operatorname {Syl} _{p}(G)$, सभी सदस्य वास्तव में दूसरे के लिए समूह समरूपता हैं और उनका सबसे बड़ा संभावित क्रम है: यदि $|G|=p^{n}m$ साथ $n>0$ जहाँ p विभाजित नहीं होता m, फिर हर सिलो p-उपसमूह P का क्रम $|P|=p^{n}$ है .अर्थात P एक p-समूह है और ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$. G की संरचना का और अधिक विश्लेषण करने के लिए इन गुणों का उपयोग किया जा सकता है .

निम्नलिखित प्रमेय पहली बार 1872 में लुडविग साइलो द्वारा प्रस्तावित और सिद्ध किए गए थे, और मैथेमेटिश एनालेन में प्रकाशित हुए थे।

Theorem (1) — प्रत्येक प्रमुख कारक p के लिए बहुलता n एक परिमित समूह के क्रम के G के साथ, वहां $p^{n}$ क्रम का, G का एक सिलो [[p-group|p-subgroup]] उपस्तिथ है।

प्रमेय 1 का निम्नलिखित कमजोर संस्करण पहली बार