घन फलन: Difference between revisions

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[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|किसी फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है—जहां {{math|''y'' {{=}} 0}}). दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं। यहाँ समारोह है {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 6''x'' − 8)/4}}.]]गणित में, घनीय फलन, रूप का फलन (गणित) होता है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|एक फ़ंक्शन के 3 [[ वास्तविक संख्या ]] रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां {{math|''y'' {{=}} 0}})।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 6''x'' − 8)/4}}।]]गणित में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन (गणित) है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
जहां गुणांक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, तथा {{mvar|d}} सम्मिश्र संख्या और चर हैं {{mvar|x}} वास्तविक मूल्य लेता है, और <math>a\neq 0</math>. दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है। विशेष रूप से, किसी फलन का प्रांत और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
जहां गुणांक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, तथा {{mvar|d}} [[ जटिल संख्या ]] हैं, और चर हैं {{mvar|x}} वास्तविक मूल्य लेता है, और <math>a\neq 0</math>।दूसरे शब्दों में, यह दोनों डिग्री तीन का एक बहुपद कार्य है, और एक [[ वास्तविक कार्य ]] है।विशेष रूप से, एक फ़ंक्शन और [[ संहितात्मक ]] का डोमेन वास्तविक संख्याओं का सेट है।


स्थापना {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} रूप का एक घन समीकरण बनाता है
स्थापना {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} रूप का एक [[ घन समीकरण ]] पैदा करता है
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
जिनके हल फलन के फलन का मूल कहलाते हैं।
जिनके समाधानों को फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन की जड़ कहा जाता है।


एक घनीय फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक घन समीकरण के या तो तीन वास्तविक मूल होते हैं... या एक वास्तविक मूल...}}</ref> सभी विषम-डिग्री वाले बहुपदों का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
एक क्यूबिक फ़ंक्शन में एक या तीन वास्तविक जड़ें होती हैं (जो अलग नहीं हो सकती हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...}} </ref> सभी विषम-डिग्री बहुपद में कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है।


क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित), एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम हो सकते हैं। अन्यथा, एक घन कार्य मोनोटोनिक है। एक घन फलन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक affine परिवर्तन तक, क्यूबिक फ़ंक्शंस के लिए केवल तीन संभावित ग्राफ़ हैं।
क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन के ग्राफ में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है।इसमें दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित), एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम हो सकता है।अन्यथा, एक क्यूबिक फ़ंक्शन [[ एकरस ]] है।एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है;यही है, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।एक affine परिवर्तन [[ तक ]], क्यूबिक कार्यों के लिए केवल तीन संभावित रेखांकन हैं।


क्यूबिक इंटरपोलेशन के लिए क्यूबिक फ़ंक्शन मूलभूत हैं।
क्यूबिक कार्य क्यूबिक प्रक्षेप के लिए मौलिक हैं।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
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== महत्वपूर्ण और विभक्ति बिंदु ==
== महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक ==
{{Cubic_graph_special_points.svg}}
{{Cubic_graph_special_points.svg}}
क्यूबिक फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) इसके स्थिर बिंदु हैं, यानी वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का ढलान शून्य है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=स्थिर बिंदु|url=https://mathworld.wolfram.com/StationaryPoint.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> इस प्रकार एक घन कार्य के महत्वपूर्ण बिंदु {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित
एक क्यूबिक फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) इसके [[ स्थिर बिंदु ]] हैं, यही वे बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का ढलान शून्य है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=स्थिर बिंदु|url=https://mathworld.wolfram.com/StationaryPoint.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> इस प्रकार एक क्यूबिक फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}},
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}},
के मान पर होता है {{math|''x''}} ऐसा है कि व्युत्पन्न
के मूल्यों पर होना {{math|''x''}} ऐसा कि व्युत्पन्न
:<math> 3ax^2 + 2bx + c = 0</math>
:<math> 3ax^2 + 2bx + c = 0</math>
घन फलन का शून्य है।
क्यूबिक फ़ंक्शन शून्य है।


इस समीकरण के समाधान हैं {{mvar|x}}महत्वपूर्ण बिंदुओं के -मान और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं <!-- Do not change 3ac into 4ac: here the of the cubic equation coefficients of the quadratic polynomial are not the same as the coefficients generally used for expressing the quadratic formula -->
इस समीकरण के समाधान हैं {{mvar|x}}क्रिटिकल पॉइंट्स के -values और दिए गए हैं, [[ द्विघात सूत्र ]] का उपयोग करते हुए, <!-- Do not change 3ac into 4ac: here the of the cubic equation coefficients of the quadratic polynomial are not the same as the coefficients generally used for expressing the quadratic formula -->
:<math>x_\text{critical}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}.</math>
:<math>x_\text{critical}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}.</math>
वर्गमूल के अंदर व्यंजक का चिह्न महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, तो केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक है। मामले के उदाहरण के लिए चित्र देखें {{math|Δ<sub>0</sub> > 0}}.
वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है।यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम है, और दूसरा एक स्थानीय न्यूनतम है।यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है।यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, फिर कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।दो बाद के मामलों में, अर्थात्, अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन कड़ाई से मोनोटोनिक है।मामले के एक उदाहरण के लिए आंकड़ा देखें {{math|Δ<sub>0</sub> > 0}}।


किसी फ़ंक्शन का नति परिवर्तन बिंदु वह होता है, जहां वह फ़ंक्शन दूसरा डेरिवेटिव#Concavity बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=एप्लाइड कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन f का ग्राफ़ उत्तलता को बदलता है, उसे f का एक नति बिंदु कहा जाता है}}</ref> एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा अवकलज अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है
एक फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु वह जगह है जहां वह फ़ंक्शन दूसरे व्युत्पन्न#concavity को बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=लागू कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F}} </Ref> का विभक्ति बिंदु कहा जाता है एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न नॉनज़ेरो है।इस प्रकार एक क्यूबिक फ़ंक्शन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो होता है
:<math>x_\text{inflection} = -\frac{b}{3a}.</math>
:<math>x_\text{inflection} = -\frac{b}{3a}.</math>




== वर्गीकरण ==
== वर्गीकरण ==
[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|प्रपत्र के घन कार्य <math>y=x^3+cx.</math><br/>किसी भी घन फलन का ग्राफ ऐसे वक्र के समान (ज्यामिति) होता है।]]क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक क्यूबिक वक्र है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र फ़ंक्शंस के ग्राफ़ नहीं हैं।
[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|रूप के घन कार्य <math>y=x^3+cx.</math><br/> किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए [[ समानता (ज्यामिति) ]] है।]]क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक [[ क्यूबिक वक्र ]] है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र कार्यों के ग्राफ़ नहीं हैं।


हालांकि क्यूबिक फ़ंक्शन चार पैरामीटर पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ़ में बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक क्यूबिक फंक्शन का ग्राफ फॉर्म के फंक्शन के ग्राफ के साथ हमेशा समानता (ज्यामिति) होता है
यद्यपि क्यूबिक फ़ंक्शन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं।वास्तव में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा फॉर्म के फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए समानता (ज्यामिति) होता है
:<math>y=x^3+px.</math> इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (समान स्केलिंग), और, संभवतः, एक प्रतिबिंब (गणित) (दर्पण छवि) के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस। एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ़ को तीन घन कार्यों में से एक के ग्राफ़ में बदल सकती है
:<math>y=x^3+px.</math> इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर [[ अनुवाद ]]ों की संरचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक [[ एक प्रकार का ]] (एक [[ समान स्केलिंग ]]), और, संभवतः, एक [[ प्रतिबिंब (गणित) ]] (मिरर छवि) के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ को तीन क्यूबिक कार्यों में से एक के ग्राफ में बदल सकता है
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
y&=x^3+x\\
y&=x^3+x\\
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\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
इसका मतलब यह है कि एक परिशोधन परिवर्तन तक घन कार्यों के केवल तीन ग्राफ़ हैं।
इसका मतलब यह है कि क्यूबिक कार्यों के केवल तीन रेखांकन एक एफाइन परिवर्तन तक हैं।


सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है
उपरोक्त [[ ज्यामितीय परिवर्तन ]]ों को निम्नलिखित तरीके से बनाया जा सकता है, जब एक सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होता है
  <math>y=ax^3+bx^2+cx+d.</math>
  <math>y=ax^3+bx^2+cx+d.</math>
सबसे पहले, अगर {{math|''a'' < 0}}, चर का परिवर्तन {{math|''x'' → –''x''}} मानने की अनुमति देता है {{math|''a'' > 0}}. चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले वाले की दर्पण छवि है, के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।
सबसे पहले, अगर {{math|''a'' < 0}}, [[ चर का परिवर्तन ]] {{math|''x'' → –''x''}} दमन करने की अनुमति देता है {{math|''a'' > 0}}।चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले एक की दर्पण छवि है, के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।


फिर, चर का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है
फिर, चर का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} फॉर्म का एक कार्य प्रदान करता है
:<math>y=ax_1^3+px_1+q.</math>
:<math>y=ax_1^3+px_1+q.</math>
यह के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है {{mvar|x}}-एक्सिस।
यह एक अनुवाद के समानांतर से मेल खाता है {{mvar|x}}-एक्सिस।


चर का परिवर्तन {{math|1=''y'' = ''y''{{sub|1}} + ''q''}} के संबंध में एक अनुवाद के अनुरूप है {{mvar|y}}-एक्सिस, और फॉर्म का एक फंक्शन देता है
चर का परिवर्तन {{math|1=''y'' = ''y''{{sub|1}} + ''q''}} के संबंध में एक अनुवाद से मेल खाती है {{mvar|y}}-एक्सिस, और फॉर्म का एक कार्य देता है
:<math>y_1=ax_1^3+px_1.</math>
:<math>y_1=ax_1^3+px_1.</math>
चर का परिवर्तन <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> एक समान स्केलिंग से मेल खाता है, और द्वारा गुणा करने के बाद देता है <math>\sqrt a,</math> फॉर्म का एक कार्य
चर का परिवर्तन <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> एक समान स्केलिंग से मेल खाती है, और द्वारा गुणन के बाद देता है <math>\sqrt a,</math> प्रपत्र का एक कार्य
:<math>y_2=x_2^3+px_2,</math>
:<math>y_2=x_2^3+px_2,</math>
जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
जो सबसे सरल रूप है जिसे एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।


तो अगर {{math|''p'' ≠ 0}}, गैर-समान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> द्वारा विभाजन के बाद देता है <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math>
तो अगर {{math|''p'' ≠ 0}}, गैर-समान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> द्वारा विभाजन के बाद देता है <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math>
:<math>y_3 =x_3^3 + x_3\sgn(p),</math>
:<math>y_3 =x_3^3 + x_3\sgn(p),</math>
कहाँ पे <math>\sgn(p)</math> के चिह्न के आधार पर मान 1 या -1 है {{mvar|p}}. अगर कोई परिभाषित करता है <math>\sgn(0)=0,</math> फ़ंक्शन का बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है (के साथ <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>).
कहाँ पे <math>\sgn(p)</math> के संकेत के आधार पर मूल्य 1 या -1 है {{mvar|p}}।यदि कोई परिभाषित करता है <math>\sgn(0)=0,</math> फ़ंक्शन का उत्तरार्द्ध का रूप सभी मामलों पर लागू होता है) <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।


== समरूपता ==
== समरूपता ==
फॉर्म के क्यूबिक फंक्शन के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फ़ंक्शन एक विषम फ़ंक्शन है, इसका ग्राफ़ इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के संबंध में सममित है, और इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के चारों ओर आधे मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, निम्नलिखित सभी घन कार्यों के लिए सत्य है।
प्रपत्र के एक घन समारोह के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है।जैसा कि एक फ़ंक्शन एक विषम कार्य है, इसका ग्राफ विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सभी क्यूबिक कार्यों के लिए निम्नलिखित सही है।


एक घन फलन का ग्राफ अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।


== संरेखता ==
== collinearities ==
[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदु {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''P''<sub>3</sub>}} (नीले रंग में) समरेख हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}. बिंदु {{math|''T''<sub>1</sub>}}, {{math|''T''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''T''<sub>3</sub>}} (लाल रंग में) ग्राफ़ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ़ की (बिंदीदार) स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेदन हैं। वे संरेखी भी हैं।]]तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।
[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदु {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''P''<sub>3</sub>}} (नीले रंग में) कोलेनियर हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}।बिंदु {{math|''T''<sub>1</sub>}}, {{math|''T''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''T''<sub>3</sub>}} (लाल रंग में) ग्राफ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ के लिए (बिंदीदार) स्पर्शरेखा लाइनों के चौराहे हैं।वे कोलेनियर भी हैं।]]तीन कोलिनियर बिंदुओं पर एक क्यूबिक फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा रेखाएं क्यूबिक को फिर से कोलीनियर बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।


जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है
चूंकि यह संपत्ति एक [[ कठोर गति ]] के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है
:<math>f(x)=x^3+px.</math>
:<math>f(x)=x^3+px.</math>
यदि {{mvar|α}} एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ की स्पर्शरेखा है {{mvar|f}} बिंदु पर {{math|(''α'', ''f''(''α''))}} रेखा है
यदि {{mvar|α}} एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा {{mvar|f}} बिंदु पर {{math|(''α'', ''f''(''α''))}} लाइन है
:{{math|{(''x'', ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')) : ''x'' ∈ '''R'''}}}.
:{{math|{(''x'', ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')) : ''x'' ∈ '''R'''}}}।
तो, इस रेखा और के ग्राफ के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु {{mvar|f}} समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
तो, इस लाइन और ग्राफ के बीच का चौराहा बिंदु {{mvar|f}} समीकरण को हल करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
:<math>x^3+px=\alpha^3+p\alpha+ (x-\alpha)(3\alpha^2+p),</math>
:<math>x^3+px=\alpha^3+p\alpha+ (x-\alpha)(3\alpha^2+p),</math>
जिसे फिर से लिखा जा सकता है
जिसे फिर से लिखा जा सकता है
:<math>x^3 - 3\alpha^2 x +2\alpha^3=0,</math>
:<math>x^3 - 3\alpha^2 x +2\alpha^3=0,</math>
और के रूप में गुणनखंडित
और के रूप में कारक
:<math>(x-\alpha)^2(x+2\alpha)=0.</math>
:<math>(x-\alpha)^2(x+2\alpha)=0.</math>
तो, स्पर्शरेखा क्यूबिक को इंटरसेप्ट करती है
तो, स्पर्शरेखा पर क्यूबिक को रोकता है
:<math>(-2\alpha, -8\alpha^3-2p\alpha)=(-2\alpha, -8f(\alpha)+6p\alpha).</math>
:<math>(-2\alpha, -8\alpha^3-2p\alpha)=(-2\alpha, -8f(\alpha)+6p\alpha).</math>
तो, वह फ़ंक्शन जो एक बिंदु को मैप करता है {{math|(''x'', ''y'')}} ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को इंटरसेप्ट करती है
तो, वह कार्य जो एक बिंदु को मैप करता है {{math|(''x'', ''y'')}} ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को रोकती है
:<math>(x,y)\mapsto (-2x, -8y+6px).</math>
:<math>(x,y)\mapsto (-2x, -8y+6px).</math>
यह एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन है जो कोलीनियर पॉइंट्स को कोलीनियर पॉइंट्स में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।
यह एक affine परिवर्तन है जो कोलिनियर पॉइंट्स को Collinear बिंदुओं में बदल देता है।यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।


== क्यूबिक इंटरपोलेशन ==
== क्यूबिक प्रक्षेप ==
{{main|Spline interpolation}}
{{main|Spline interpolation}}
किसी फ़ंक्शन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।
एक फ़ंक्शन के मूल्यों और दो बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन है जिसमें समान चार मान हैं, जिसे [[ क्यूबिक हरमाइट स्पलाइन ]] कहा जाता है।


इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप से, एक फ़ंक्शन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फ़ंक्शन के साथ फ़ंक्शन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक फ़ंक्शन है।
इस तथ्य का उपयोग करने के लिए दो मानक तरीके हैं।सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फ़ंक्शन के मूल्यों और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, कोई भी फ़ंक्शन को निरंतर रूप से भिन्न कार्य के साथ प्रक्षेपित कर सकता है, जो एक टुकड़ाज क्यूबिक फ़ंक्शन है।


यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में निरंतर भिन्न होने वाले फ़ंक्शन द्वारा फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक होता है। विशिष्ट रूप से परिभाषित इंटरपोलेशन होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे अंत बिंदु पर डेरिवेटिव के मान, या अंत बिंदु पर शून्य वक्रता।
यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में फ़ंक्शन को लगातार अलग -अलग फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जाता है, जो कि टुकड़ा क्यूबिक है।एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि एंडपॉइंट पर डेरिवेटिव के मान, या एंडपॉइंट पर एक शून्य [[ वक्रता ]]।


== संदर्भ ==
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