विचलन: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
{{About|वेक्टर कैल्कुलस में विचलन|अनंत श्रृंखला का विचलन|भिन्न श्रृंखला|आँकड़ों में विचलन|विचलन (सांख्यिकी)|अन्य उपयोग}} | {{About|वेक्टर कैल्कुलस में विचलन|अनंत श्रृंखला का विचलन|भिन्न श्रृंखला|आँकड़ों में विचलन|विचलन (सांख्यिकी)|अन्य उपयोग}} | ||
{{Calculus|Vector}} | {{Calculus|Vector}} | ||
[[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- | [[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: | ||
<math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, विचलन वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | <math>\nabla\!\cdot(\mathbf{V}(x,y))=\frac{\partial\ {V_x(x,y)}}{\partial{x}}+\frac{\partial\ {V_y(x,y)}}{\partial{y}}</math>]]सदिश कलन में, विचलन वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले [[अदिश क्षेत्र]] का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
| Line 10: | Line 11: | ||
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा | सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में एक बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का एक निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में एक बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का एक निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का विचलन बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है | [[Image:Definition of divergence.svg|thumb|एक बिंदु पर विचलन {{math|'''x'''}} प्रवाह के अनुपात की सीमा है <math>\Phi</math> सतह के माध्यम से {{math|''S''<sub>''i''</sub>}} (लाल तीर) मात्रा के लिए <math>|V_i|</math> बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए {{math|''V''<sub>1</sub>, ''V''<sub>2</sub>, ''V''<sub>3</sub>, …}} संलग्नित {{math|'''x'''}} जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:<br/> <math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \lim_{|V_i| \to 0} \frac{\Phi(S_i)}{|V_i|}</math>]]किसी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} का विचलन बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''F'''('''x''')}} की [[सतह अभिन्न]] के अनुपात की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन {{math|''V''}} की बंद सतह से बाहर {{math|''V''}} संलग्नित {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} की मात्रा के लिए, जैसा {{math|''V''}} शून्य हो जाता है | ||
:{{oiint | :{{oiint | ||
| preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | | preintegral = <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}{|V|}</math> | ||
| Line 21: | Line 22: | ||
| integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | | integrand = <math>\mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS</math> | ||
}} | }} | ||
जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और | जहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा {{math|''V''}} है , और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का एक अदिश कार्य {{math|'''x'''}} है। | ||
चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र एक समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र एक समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | ||
| Line 49: | Line 50: | ||
=== [[गोलाकार निर्देशांक]] === | === [[गोलाकार निर्देशांक]] === | ||
गोलाकार निर्देशांक में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा | गोलाकार निर्देशांक में, {{mvar|θ}} के साथ कोण {{mvar|z}} अक्ष और {{mvar|φ}} के चारों ओर घुमाव {{mvar|z}} अक्ष, और {{math|'''F'''}} फिर से स्थानीय इकाई निर्देशांक में लिखा गया विचलन कुछ इस प्रकार है{{refn|[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html Spherical coordinates] at Wolfram Mathworld}} | ||
:<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | :<math>\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> | ||
=== टेन्सर क्षेत्र === | === टेन्सर क्षेत्र === | ||
| Line 123: | Line 124: | ||
जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में#सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | जहां <math>\rho</math> आयतन तत्व का स्थानीय गुणांक है और {{math|''F<sup>i</sup>''}} के घटक हैं {{nowrap|<math>\mathbf{F}=F^i\mathbf{e}_i</math>}} स्थानीय असामान्यीकृत वक्रीय निर्देशांकों के संबंध में#सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती आधार (कभी-कभी इस रूप में लिखे जाते हैं {{nowrap|<math>\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i</math>)}}. आइंस्टीन नोटेशन का तात्पर्य योग से अधिक है {{mvar|i}}, क्योंकि यह ऊपरी और निचले सूचकांक दोनों के रूप में दिखाई देता है। | ||
मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का एक कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास | मात्रा गुणांक {{mvar|ρ}} स्थिति का एक कार्य है जो समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। कार्तीय, बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में, पहले की तरह ही सम्मेलनों का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्रमशः है {{math|1=''ρ'' = 1}}, {{math|1=''ρ'' = ''r''}} और {{math|1=''ρ'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ''}}, इसकी मात्रा <math display="inline">\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}</math> के रूप में भी इसे व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''g<sub>ab</sub>''}} [[मीट्रिक टेंसर]] है। निर्धारक प्रकट होता है क्योंकि यह वैक्टर के एक सेट को देखते हुए मात्रा की उपयुक्त अपरिवर्तनीय परिभाषा प्रदान करता है। चूंकि निर्धारक एक अदिश राशि है जो सूचकांकों पर निर्भर नहीं करता है, इन्हें लिखकर दबाया जा सकता है <math display="inline">\rho=\sqrt{\left|\det g\right|}</math>. सामान्य स्थिति को संभालने के लिए पूर्ण मूल्य लिया जाता है जहां निर्धारक ऋणात्मक हो सकता है, जैसे कि छद्म-रीमैनियन रिक्त स्थान। वर्ग-मूल का कारण थोड़ा सूक्ष्म है: यह प्रभावी रूप से दोहरी-गिनती से बचा जाता है क्योंकि घुमावदार होने के कारण इसे कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। आयतन (निर्धारक) को जैकोबियन मैट्रिक्स और कार्तीय से वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तन के निर्धारक के रूप में भी समझा जा सकता है, जिसके लिए {{math|1=''n'' = 3}} देता है {{nowrap|<math display="inline">\rho = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (x^1,x^2,x^3)}\right|</math>.}} | ||
कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | कुछ परंपराएं अपेक्षा करती हैं कि सभी स्थानीय आधार तत्वों को इकाई लंबाई तक सामान्यीकृत किया जाए, जैसा कि पिछले अनुभागों में किया गया था। अगर हम लिखते हैं <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> सामान्यीकृत आधार के लिए, और <math>\hat{F}^i</math> के घटकों के लिए {{math|'''F'''}} इसके संबंध में, हमारे पास वह है | ||
| Line 166: | Line 167: | ||
== अपघटन प्रमेय == | == अपघटन प्रमेय == | ||
{{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | {{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | ||
यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} | यह देखा जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} पर अवकलनीय है और अधिक तेजी से विलुप्त हो जाता है जहाँ {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} एक अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और एक स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अतिरिक्त, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | ||
इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | ||
| Line 203: | Line 204: | ||
== वक्रीय निर्देशांक में == | == वक्रीय निर्देशांक में == | ||
उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का एक रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) , उदा. एक [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के निर्माण का सामान्यीकरण , ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} | उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका आयतन {{mvar|μ}} का एक रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) , उदा. एक [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के लिए {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के निर्माण का सामान्यीकरण , ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} परिभाषित करता है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|1=''j'' = ''i''<sub>''X''</sub> ''μ''}} अनुबंध करके प्राप्त किया {{math|''X''}} साथ {{mvar|μ}}. विचलन तब द्वारा परिभाषित कार्य है | ||
:<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | :<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | ||
| Line 214: | Line 215: | ||
:<math>\operatorname{div} X = \nabla \cdot X = {X^a}_{;a} ,</math> | :<math>\operatorname{div} X = \nabla \cdot X = {X^a}_{;a} ,</math> | ||
जहां दूसरी अभिव्यक्ति सदिश क्षेत्र का संकुचन है जिसका मूल्य 1-रूप है {{math|∇''X''}} स्वयं के साथ और अंतिम अभिव्यक्ति [[घुंघराले पथरी]] से पारंपरिक समन्वय अभिव्यक्ति है। | जहां दूसरी अभिव्यक्ति सदिश क्षेत्र का संकुचन है जिसका मूल्य 1-रूप है {{math|∇''X''}} स्वयं के साथ और अंतिम अभिव्यक्ति [[घुंघराले पथरी|घुंघराले कैलकुलस]] से पारंपरिक समन्वय अभिव्यक्ति है। | ||
कनेक्शन का उपयोग किए बिना समकक्ष अभिव्यक्ति है | कनेक्शन का उपयोग किए बिना समकक्ष अभिव्यक्ति है | ||
:<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | :<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | ||
जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यह | जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस स्थिति में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यहाँ पर यह एक बार प्रकट होता है, जिससे कि <math>X^a</math> फ्लैट स्थान में परिवर्तित किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और एक बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी परिवर्तित हो जाता है, जिससे कि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत विधि से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। एक समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक विधि से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs|माईलेग्स (mylegs)]] कहा जाता है। इसे देखने की अलग विधि यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर|एक फंक्शन का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]] या हॉज स्टार, इसके निर्माण से, आयतन फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | ||
== [[टेन्सर]] का विचलन == | == [[टेन्सर]] का विचलन == | ||
| Line 241: | Line 242: | ||
==टिप्पणियाँ== | ==टिप्पणियाँ== | ||
{{Notelist}} | {{Notelist}} | ||
==उद्धरण== | ==उद्धरण== | ||
{{Reflist|30em}} | {{Reflist|30em}} | ||
| Line 265: | Line 264: | ||
{{Calculus topics}} | {{Calculus topics}} | ||
[[Category: Machine Translated Page]] | [[Category: Machine Translated Page]] | ||
[[Category:Created On 27/12/2022]] | [[Category:Created On 27/12/2022]] | ||
Revision as of 23:40, 9 January 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
| पथरी |
|---|