स्मूथनेस: Difference between revisions

Revision as of 17:55, 25 November 2022

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कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ टक्कर समारोह एक स्मूद फंक्शन है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) की सुगमता एक गुण है जिसे निरंतर फ़ंक्शन डेरिवेटिव (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है।^[1] बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)।^[2] दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पत्ति के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या) के रूप में संदर्भित किया जाता है। $C^{\infty }$ समारोह)।^[3]

भिन्नता वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके यौगिक के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह डेरिवेटिव के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फ़ंक्शन के लिए निरंतर है।

एक खुले सेट पर विचार करें $U$ वास्तविक रेखा और एक समारोह पर $f$ पर परिभाषित $U$ वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। कार्यक्रम $f$ विभेदीयता वर्ग का कहा जाता है $C^{k}$ अगर डेरिवेटिव $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं $U$ . यदि $f$ है $k$ -विभेद्य पर $U$ , तो यह कम से कम कक्षा में है $C^{k-1}$ जबसे $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ लगातार चालू हैं $U$ . कार्यक्रम $f$ कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है $C^{\infty }$ , अगर इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं $U$ . (इसलिए ये सभी डेरिवेटिव निरंतर कार्य हैं $U$ .)^[4] कार्यक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C^{\omega }$ , या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि $f$ चिकना है (यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$ ) और इसके डोमेन में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में कार्य में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$ . बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन अंदर नहीं $C^{\omega }$ .

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अलग-अलग कार्यों के होते हैं जिनका व्युत्पन्न निरंतर है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए $C^{1}$ कार्य वास्तव में एक कार्य है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा का है $C^{0}$ . सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके प्रत्यावर्तन परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों का सेट होना और घोषणा करना $C^{k}$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अलग-अलग कार्यों का सेट होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है $C^{k-1}$ . विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$ , और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है ( $C^{k}\subsetneq C^{k-1}$ ). कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण

File:C0 function.svg

सी⁰ समारोह

f

(

x

) =

x

के लिये

x

≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल:X^2sin(x^-1).svg|thumb|कार्यक्रम $g$ ( $x$ ) = $x$ ² sin(1/ $x$ ) के लिये $x$ > 0.

फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं होता है।

File:Mollifier Illustration.svg

एक सहज कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

कार्यक्रम

f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}

निरंतर है, लेकिन अलग-अलग नहीं है

x

= 0, तो यह कक्षा सी का है⁰, लेकिन कक्षा C का नहीं^{1</उप>।}

कार्यक्रम

g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ

g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}

इसलिये

\cos(1/x)

के रूप में हिलता है

x

→ 0,

g'(x)

शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए,

g(x)

अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है^{1</उप>। इसके अलावा अगर कोई लेता है $g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)$ ( $x$ ≠ 0) इस उदाहरण में, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉम्पैक्ट सेट पर असीमित किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हो सकता है।}

कार्य

f(x)=|x|^{k+1}

कहाँ पे

k

सम है, निरंतर हैं और

k

बार अलग-अलग

x

. लेकिन पर

x

= 0 वो नहीं हैं (

k

+ 1) समय अवकलनीय है, इसलिए वे कक्षा C के हैं^$k$, लेकिन कक्षा C का नहीं^$j$ कहाँ

j

>

k

.

घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है, और इसलिए कक्षा सी में आता है^ω. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है।

टक्कर समारोह

f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}

चिकनी है, इसलिए कक्षा सी की है^∞, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है

x

= ±1, और इसलिए कक्षा सी का नहीं है^ω. कार्यक्रम

f

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि^[5] वर्ग का होना $C^{k}$ पर $U$ , एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ , यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव

 ${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$

मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक, जैसे कि $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$ , और हर $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$ . समान रूप से, $f$ वर्ग का है $C^{k}$ पर $U$ अगर $k$ -वें क्रम के फ्रेचेट का व्युत्पन्न $f$ मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है $U$ . कार्यक्रम $f$ वर्ग का बताया गया है $C$ या $C^{0}$ अगर यह लगातार चालू है $U$ . वर्ग के कार्य $C^{1}$ निरंतर अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ वर्ग का बताया जाता है $C^{k}$ पर $U$ , एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ , यदि इसके सभी घटक

f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m

वर्ग के हैं

C^{k}

, कहाँ पे

\pi _{i}

प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित)

\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}

द्वारा परिभाषित

\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}

. क्लास का बताया जाता है

C

या

C^{0}

यदि यह निरंतर है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक

f_{i}

निरंतर हैं, चालू हैं

U

.

सी का स्थान^{के </सुप> कार्य}

होने देना $D$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट $C^{k}$ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों को परिभाषित किया गया है $D$ सेमिनोर्म्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है

p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|

कहाँ पे

K

सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है

D

, तथा

m=0,1,\dots ,k

.

के समुच्चय $C^{\infty }$ कार्य समाप्त $D$ एक फ्रेचेट स्पेस भी बनाता है। सिवाय इसके कि ऊपर के समान सेमिनोर्म का उपयोग किया जाता है $m$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों की सीमा की अनुमति है।

उपरोक्त रिक्त स्थान उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ ऑर्डर के डेरिवेटिव वाले फ़ंक्शन आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

निरंतरता

शर्तें पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) और ज्यामितीय निरंतरता (Gⁿ) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की चिकनाई को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।^[6]^[7]^[8]

पैरामीट्रिक निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ वर्ग सी का बताया जाता है^{कश्मीर}, अगर $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ मौजूद है और लगातार चालू है $[0,1]$ , जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव हैं $0,1\in [0,1]$ अर्ध-भिन्नता के लिए लिया जाता है (यानी, पर $0$ दाईं ओर से और पर $1$ बाएं से)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C होना चाहिए¹ निरंतरता और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है—ऑब्जेक्ट के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम

File:Parametric continuity C0.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है⁰ निरंतर

File:Parametric continuity vector.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं¹ निरंतर

पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:^[9]

$C^{0}$ : शून्य अवकलज सतत है (वक्र सतत हैं)
$C^{1}$ : शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
$C^{2}$ : शून्य, पहला और दूसरा डेरिवेटिव निरंतर हैं
$C^{n}$ : 0-वें के माध्यम से $n$ -वें डेरिवेटिव निरंतर हैं

ज्यामितीय निरंतरता

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जी के साथ घटता है¹-संपर्क (वृत्त, रेखा)

File:Kegelschnitt-Schar.svg

(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0

जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल²-संपर्क: पी फिक्स,

\varepsilon

चर
(

\varepsilon =0

: घेरा,

\varepsilon =0.8

: अंडाकार,

\varepsilon =1

: परवलय,

\varepsilon =1.2

: हाइपरबोला)

ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (जीⁿ) मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लीबनिज, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोंसेलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शांकव वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675>Taylor, Charles (1911). "Geometrical Continuity" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 11 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 674–675.</रेफरी>

ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य तक पहुँचती है, या एक परवलय के रूप में यह एक तक पहुँचती है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है; यह रेखा (ज्यामिति) को प्रतिच्छेद करने के लिए भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा $x=\infty$ सर्कल पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए $x=+\infty$ तथा $x=\neg \infty$ समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के निरंतर कार्य के विचार और के विचार को गढ़ने में उपयोगी थे $\infty$ (अधिक जानकारी के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675 />

ज्यामितीय निरंतरता का क्रम

एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है $G^{n}$ निरंतरता, साथ $n$ चिकनाई के बढ़ते उपाय होने के नाते। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें:

$G^{0}$ : वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
$G^{1}$ : वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
$G^{2}$ : वक्र जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र भी साझा करते हैं।

सामान्य रूप में, $G^{n}$ निरंतरता मौजूद है अगर वक्रों को फिर से परिभाषित किया जा सकता है $C^{n}$ (पैरामीट्रिक) निरंतरता।^[10]^[11] वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समतुल्य रूप से, दो वेक्टर फ़ंक्शन $f(t)$ तथा $g(t)$ पास होना $G^{n}$ निरंतरता अगर $f^{(n)}(t)\neq 0$ तथा $f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$ , एक अदिश के लिए $k>0$ (अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि वक्र की आवश्यकता होगी $G^{1}$ चिकनी दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में ऐसा न हो $G^{2}$ निरंतरता।

ए rounded rectangle (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) है $G^{1}$ निरंतरता, लेकिन नहीं है $G^{2}$ निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है rounded cube, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि एक संपादन योग्य वक्र के साथ $G^{2}$ निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर घन splines आमतौर पर चुने जाते हैं; ये वक्र अक्सर औद्योगिक डिजाइन में उपयोग किए जाते हैं।

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर हैं) उस सेट पर जिस पर वे विश्लेषणात्मक हैं, बम्प फ़ंक्शंस (ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं कि बातचीत वास्तविक कार्यों के लिए सही नहीं है: वहाँ चिकनी वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं # एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; फैबियस समारोह एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक अल्प सेट सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सहज कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं^{[citation needed]}.

वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सहज कार्यों के सेट दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक कार्यों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है: पारलौकिक संख्या और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं है (उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक कार्यों के विपरीत है। यदि एक जटिल कार्य एक खुले सेट पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस सेट पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है^{[citation needed]}.

एकता के चिकने विभाजन

दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ चिकने कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली); ये चिकना कई गुना के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रिमेंनियन मीट्रिक को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सहज फ़ंक्शन f है, जो एक अंतराल [a,b] के बाहर मान 0 लेता है और ऐसा

f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,

लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतरालों पर बम्प फ़ंक्शंस का निर्माण किया जा सकता है

(-\infty ,c]

तथा

[d,+\infty )

पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, चिकने कार्यों के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।

कई गुना के बीच और बीच में सुचारू कार्य करता है

एक अलग करने योग्य कई गुना दिया गया $M$ , आयाम का $m,$ और एक एटलस (टोपोलॉजी) ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },$ फिर एक नक्शा $f:M\to \mathbb {R}$ चिकना है $M$ अगर सभी के लिए $p\in M$ एक चार्ट मौजूद है $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ ऐसा है कि $p\in U,$ तथा $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है $\phi (p)$ में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रति $\mathbb {R}$ (दिए गए क्रम तक सभी आंशिक डेरिवेटिव निरंतर हैं)। स्मूदनेस को एटलस के किसी भी चार्ट (टोपोलॉजी) के संबंध में चेक किया जा सकता है $p,$ चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर चिकनाई की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि $f$ के पास चिकना है $p$ एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा $p$ किसी अन्य चार्ट में।

यदि $F:M\to N$ का नक्शा है $M$ यदि $n$ -आयामी कई गुना $N$ , फिर $F$ चिकना है अगर, हर के लिए $p\in M,$ एक चार्ट है $(U,\phi )$ युक्त $p,$ और एक चार्ट $(V,\psi )$ युक्त $F(p)$ ऐसा है कि $F(U)\subset V,$ तथा $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ से एक सुचारू कार्य है $\mathbb {R} ^{n}.$ मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: के लिए $F:M\to N$ , प्रत्येक बिंदु पर Pushforward (अंतर) (या अवकलन) स्पर्शरेखा सदिशों को मानचित्रित करता है $p$ स्पर्शरेखा वैक्टर पर $F(p)$ : $F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,$ और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश बंडल समरूपता है: $F_{*}:TM\to TN.$ पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टरों को खींचती है $N$ कोवेक्टर्स पर वापस $M,$ तथा $k$ -रूप में $k$ -रूप: $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).$ इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शीफ (गणित) को परिवहन कर सकते हैं, जैसे वेक्टर क्षेत्र और विभेदक रूप, एक मैनिफोल्ड से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन स्पेस तक, जहाँ मैनिफोल्ड्स पर इंटीग्रेशन जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।

सहज कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज (अर्थात, यदि प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) कई गुना हैं; यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना होते हैं।^[12]

कई गुना के सबसेट के बीच सुचारू कार्य

मैनिफोल्ड्स के मनमाना सबसेट के लिए चिकने नक्शे की एक समान धारणा है। यदि $f:X\to Y$ एक फलन (गणित) है जिसका फलन का क्षेत्र और फलन का दायरा बहुगुणों का उपसमुच्चय है $X\subseteq M$ तथा $Y\subseteq N$ क्रमश। $f$ कहा जाता है कि अगर सभी के लिए चिकना हो $x\in X$ एक खुला सेट है $U\subseteq M$ साथ $x\in U$ और एक चिकना कार्य $F:U\to N$ ऐसा है कि $F(p)=f(p)$ सभी के लिए $p\in U\cap X.$

यह भी देखें

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

रेलेक्स त्रिकोण
अंक शास्त्र
वक्रों का मरोड़
अवरोधन (बहुविकल्पी)
शंकुवृक्ष (गणित)
एक समारोह की जड़
बल
क्वार्टिक के स्पर्शरेखाएँ
अनंतस्पर्शी
राग (ज्यामिति)
सिसॉइड
एकांकी उपाय
पीछा करने का वक्र
ओस्गुड वक्र
अवतल समारोह
पोछाम्मेर कंटूर
निरंतर कार्य
समारोह (गणित)
व्युत्पन्न (गणित)
व्युत्पत्ति का क्रम
किसी फ़ंक्शन का डोमेन
खुला सेट
अलग करने योग्य समारोह
घातांक प्रकार्य
त्रिकोणमितीय समारोह
आंशिक अवकलज
प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)
आंशिक विभेदक समीकरण
सोबोलेव स्पेस
रफ़्तार
शंकु खंड
अंडाकार
अतिशयोक्ति
RADIUS
घेरा
सौंदर्यशास्र
फोरियर श्रेणी
शेफ़ (गणित)
पुशफॉरवर्ड (अंतर)
वेक्टर बंडल समरूपता
पुलबैक (अंतर ज्यामिति)
कई गुना पर एकीकरण
एक समारोह की सीमा

संदर्भ

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↑ "स्मूथ फंक्शन - गणित का विश्वकोश". www.encyclopediaofmath.org. Archived from the original on 2019-12-13. Retrieved 2019-12-13.
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↑ van de Panne, Michiel (1996). "पैरामीट्रिक वक्र". Fall 1996 Online Notes. University of Toronto, Canada. Archived from the original on 2020-11-26. Retrieved 2019-09-01.
↑ Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). "पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य लक्षण". IEEE Computer Graphics and Applications. 9 (6): 60–68. doi:10.1109/38.41470. S2CID 17893586.
↑ Hartmann, Erich (2003). "कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम" (PDF). Technische Universität Darmstadt. p. 55. Archived (PDF) from the original on 2020-10-23. Retrieved 2019-08-31.
↑ Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). विभेदक टोपोलॉजी. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.

[1] Weisstein, Eric W. "चिकना समारोह". mathworld.wolfram.com (in English). Archived from the original on 2019-12-16. Retrieved 2019-12-13.

[2] "चिकना (गणित)". TheFreeDictionary.com. Archived from the original on 2019-09-03. Retrieved 2019-12-13.

[3] "स्मूथ फंक्शन - गणित का विश्वकोश". www.encyclopediaofmath.org. Archived from the original on 2019-12-13. Retrieved 2019-12-13.

[def_diff-4] Warner, Frank W. (1983). डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव. Springer. p. 5 [Definition 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Archived from the original on 2015-10-01. Retrieved 2014-11-28.

[5] Henri Cartan (1977). डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स. Paris: Hermann.

[Barsky1981-6] Barsky, Brian A. (1981). बीटा-स्पलाइन: शेप पैरामीटर्स और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व (Ph.D.). University of Utah, Salt Lake City, Utah.

[Barsky1988-7] Brian A. Barsky (1988). कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग बीटा-स्पलाइन का उपयोग करना. Springer-Verlag, Heidelberg. ISBN 978-3-642-72294-3.

[BartelsBeattyBarsky1987-8] Richard H. Bartels; John C. Beatty; Brian A. Barsky (1987). कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और जियोमेट्रिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लाइन्स का परिचय. Morgan Kaufmann. Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity. ISBN 978-1-55860-400-1.

[9] van de Panne, Michiel (1996). "पैरामीट्रिक वक्र". Fall 1996 Online Notes. University of Toronto, Canada. Archived from the original on 2020-11-26. Retrieved 2019-09-01.

[10] Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). "पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य लक्षण". IEEE Computer Graphics and Applications. 9 (6): 60–68. doi:10.1109/38.41470. S2CID 17893586.

[11] Hartmann, Erich (2003). "कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम" (PDF). Technische Universität Darmstadt. p. 55. Archived (PDF) from the original on 2020-10-23. Retrieved 2019-08-31.

[12] Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). विभेदक टोपोलॉजी. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.

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 {{redirect|C^n|<math>\mathbb{C}^n</math>|Complex coordinate space}}
 {{for|smoothness in number theory|smooth number}}
-[[Image:Bump2D illustration.png|thumb|upright=1.2|एक टक्कर समारोह कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य है।]]गणितीय विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) की चिकनाई एक संपत्ति है जिसे निरंतर कार्य व्युत्पन्न (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|title=चिकना कार्य|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20191216043114/http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|url-status=live}}</ref> बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)।<ref>{{Cite web|url=https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|title=चिकना (गणित)|website=TheFreeDictionary.com|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190903145033/https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|url-status=live}}</ref> दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पन्न के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी प्राप्त कर सकता है, इस मामले में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या <math>C^{\infty}</math> समारोह)।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|title=सुचारू कार्य - गणित का विश्वकोश|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213043534/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|url-status=live}}</ref>
+[[Image:Bump2D illustration.png|thumb|upright=1.2|[[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के साथ [[टक्कर समारोह]] एक स्मूद फंक्शन है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक फ़ंक्शन (गणित) की सुगमता एक गुण है जिसे निरंतर फ़ंक्शन डेरिवेटिव (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|title=चिकना समारोह|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20191216043114/http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|url-status=live}}</ref> बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)।<ref>{{Cite web|url=https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|title=चिकना (गणित)|website=TheFreeDictionary.com|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190903145033/https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|url-status=live}}</ref> दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पत्ति के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से अलग-अलग कहा जाता है और सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या) के रूप में संदर्भित किया जाता है। <math>C^{\infty}</math> समारोह)।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|title=स्मूथ फंक्शन - गणित का विश्वकोश|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213043534/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|url-status=live}}</ref>
-==भेदभाव वर्ग==
+== भिन्नता वर्ग ==
-विभेदकता वर्ग उनके डेरिवेटिव के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम का एक माप है जो किसी फ़ंक्शन के लिए मौजूद है और निरंतर है।
+अवकलनीयता वर्ग उनके [[यौगिक]] के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह डेरिवेटिव के उच्चतम क्रम का एक माप है जो मौजूद है और एक फ़ंक्शन के लिए निरंतर है।
-एक खुले सेट पर विचार करें <math>U</math> वास्तविक रेखा और एक फ़ंक्शन पर <math>f</math> पर परिभाषित <math>U</math> वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक ऋणात्मक पूर्णांक है। कार्यक्रम <math>f</math> अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है ''<math>C^k</math>'' अगर डेरिवेटिव <math>f',f'',\dots,f^{(k)}</math> मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं <math>U</math>. यदि <math>f</math> है <math>k</math>पर अलग-अलग <math>U</math>, तो यह कम से कम कक्षा में है <math>C^{k-1}</math> जबसे <math>f',f'',\dots,f^{(k-1)}</math> निरंतर हैं <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है <math>C^\infty</math>, अगर उसके पास सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं <math>U</math>. (इसलिए ये सभी व्युत्पन्न निरंतर कार्य हैं <math>U</math>.)<ref name="def diff">{{cite book| last=Warner| first=Frank W.| author-link=Frank Wilson Warner| year=1983| title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव| publisher=Springer| isbn=978-0-387-90894-6| page=5 [Definition 1.2]| url=https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22&pg=PA5| access-date=2014-11-28| archive-date=2015-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20151001012659/https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&pg=PA5&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22| url-status=live}}</ref> कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का कहा जाता है <math>C^\omega</math>, या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि <math>f</math> चिकना है (यानी, <math>f</math> कक्षा में है <math>C^\infty</math>) और इसके क्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। <math>C^\omega</math> इस प्रकार सख्ती से निहित है <math>C^\infty</math>. बंप फंक्शन फंक्शन के उदाहरण हैं <math>C^\infty</math> लेकिन में नहीं <math>C^\omega</math>.
+एक खुले सेट पर विचार करें <math>U</math> [[वास्तविक रेखा]] और एक समारोह पर <math>f</math> पर परिभाषित <math>U</math> वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] है। कार्यक्रम <math>f</math> विभेदीयता वर्ग का कहा जाता है ''<math>C^k</math>'' अगर डेरिवेटिव <math>f',f'',\dots,f^{(k)}</math> मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं <math>U</math>. यदि <math>f</math> है <math>k</math>-विभेद्य पर <math>U</math>, तो यह कम से कम कक्षा में है <math>C^{k-1}</math> जबसे <math>f',f'',\dots,f^{(k-1)}</math> लगातार चालू हैं <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है <math>C^\infty</math>, अगर इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं <math>U</math>. (इसलिए ये सभी डेरिवेटिव निरंतर कार्य हैं <math>U</math>.)<ref name="def diff">{{cite book| last=Warner| first=Frank W.| author-link=Frank Wilson Warner| year=1983| title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव| publisher=Springer| isbn=978-0-387-90894-6| page=5 [Definition 1.2]| url=https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22&pg=PA5| access-date=2014-11-28| archive-date=2015-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20151001012659/https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&pg=PA5&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22| url-status=live}}</ref> कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का बताया गया है <math>C^\omega</math>, या [[विश्लेषणात्मक कार्य]], यदि <math>f</math> चिकना है (यानी, <math>f</math> कक्षा में है <math>C^\infty</math>) और इसके डोमेन में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी [[टेलर श्रृंखला]] का विस्तार बिंदु के कुछ [[पड़ोस (गणित)]] में कार्य में परिवर्तित हो जाता है। <math>C^\omega</math> इस प्रकार सख्ती से निहित है <math>C^\infty</math>. बम्प फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं <math>C^\infty</math> लेकिन अंदर नहीं <math>C^\omega</math>.
-इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा <math>C^1</math> सभी अवकलनीय फलनों से मिलकर बना है जिनका अवकलज सतत है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए <math>C^1</math> फ़ंक्शन वास्तव में एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और वर्ग का है <math>C^0</math>. सामान्य तौर पर, कक्षाएं <math>C^k</math> घोषित करके रिकर्सन को परिभाषित किया जा सकता है <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों का सेट होना, और घोषित करना <math>C^k</math> किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math> उन सभी अवकलनीय फलनों का समुच्चय होना, जिनका अवकलज में है <math>C^{k-1}</math>. विशेष रूप से, <math>C^k</math> में निहित है <math>C^{k-1}</math> हरएक के लिए <math>k>0</math>, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह रोकथाम सख्त है (<math>C^k \subsetneq C^{k-1}</math>) कक्षा <math>C^\infty</math> असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है <math>C^k</math> जैसा <math>k</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।
+इसे अलग तरीके से रखने के लिए, class <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा <math>C^1</math> सभी अलग-अलग कार्यों के होते हैं जिनका व्युत्पन्न निरंतर है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए <math>C^1</math> कार्य वास्तव में एक कार्य है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और कक्षा का है <math>C^0</math>. सामान्य तौर पर, कक्षाएं <math>C^k</math> घोषित करके [[प्रत्यावर्तन]] परिभाषित किया जा सकता है <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों का सेट होना और घोषणा करना <math>C^k</math> किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math> उन सभी अलग-अलग कार्यों का सेट होने के लिए जिनका व्युत्पन्न है <math>C^{k-1}</math>. विशेष रूप से, <math>C^k</math> में निहित है <math>C^{k-1}</math> हरएक के लिए <math>k>0</math>, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त है (<math>C^k \subsetneq C^{k-1}</math>). कक्षा <math>C^\infty</math> असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है <math>C^k</math> जैसा <math>k</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।
 === उदाहरण ===
-[[Image:C0 function.svg|thumb|सी<sup>0</sup> समारोह {{nowrap|1={{mvar|f}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} ≥ 0}} और 0 अन्यथा।]]फ़ाइल:X^2sin(x^ .)-1).svg|thumb|कार्यक्रम {{nowrap|1={{mvar|g}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}<sup>2</sup> sin(1/{{mvar|x}})}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} &gt; 0}}.
+[[Image:C0 function.svg|thumb|सी<sup>0</sup> समारोह {{nowrap|1={{mvar|f}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} ≥ 0}} और 0 अन्यथा।]]फ़ाइल:X^2sin(x^-1).svg|thumb|कार्यक्रम {{nowrap|1={{mvar|g}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}<sup>2</sup> sin(1/{{mvar|x}})}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} &gt; 0}}.
-फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम <math>f:\R\to\R</math> साथ <math>f(x)=x^2\sin\left(\tfrac 1x\right)</math> के लिये <math>x\neq 0</math> तथा <math>f(0)=0</math> अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं है।
+फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम <math>f:\R\to\R</math> साथ <math>f(x)=x^2\sin\left(\tfrac 1x\right)</math> के लिये <math>x\neq 0</math> तथा <math>f(0)=0</math> अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं होता है।
-[[File:Mollifier Illustration.svg|thumb|upright=1.2|एक सुचारू कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।]]कार्यक्रम
+[[File:Mollifier Illustration.svg|thumb|upright=1.2|एक सहज कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।]]कार्यक्रम
 <math display="block">f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{if } x \geq 0, \\ 0 &\text{if } x < 0\end{cases}</math>
-निरंतर है, लेकिन अवकलनीय नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}}, तो यह कक्षा C . का है<sup>0</sup>, लेकिन कक्षा C . का नहीं<sup>1</सुप>.
+निरंतर है, लेकिन अलग-अलग नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}}, तो यह कक्षा सी का है<sup>0</sup>, लेकिन कक्षा C का नहीं<sup>1</उप>।
 कार्यक्रम
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 अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ
 <math display="block">g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0.\end{cases}</math>
-इसलिये <math>\cos(1/x)</math> के रूप में दोलन करता है {{mvar|x}} → 0, <math>g'(x)</math> शून्य पर निरंतर नहीं है। इसलिए, <math>g(x)</math> अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है<sup>1</सुप>. <!-- The following sentence is unrelated to the explanation of this example and should be removed or moved elsewhere. --> इसके अलावा, अगर कोई लेता है <math>g(x) = x^{4/3}\sin(1/x)</math> {{nowrap begin}}({{mvar|x}} ≠ 0){{nowrap end}} इस उदाहरण में, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉम्पैक्ट सेट पर अनबाउंड किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हो सकता है।
+इसलिये <math>\cos(1/x)</math> के रूप में हिलता है {{mvar|x}} → 0, <math>g'(x)</math> शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए, <math>g(x)</math> अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है<sup>1</उप>। <!-- The following sentence is unrelated to the explanation of this example and should be removed or moved elsewhere. --> इसके अलावा अगर कोई लेता है <math>g(x) = x^{4/3}\sin(1/x)</math> {{nowrap begin}}({{mvar|x}} ≠ 0){{nowrap end}} इस उदाहरण में, यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को [[कॉम्पैक्ट सेट]] पर असीमित किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से [[लिप्सचिट्ज़ निरंतर]] नहीं हो सकता है।
 कार्य
 <math display="block">f(x)=|x|^{k+1}</math>
-कहाँ पे {{mvar|k}} सम है, निरंतर हैं और {{mvar|k}} समय अलग-अलग {{mvar|x}}. लेकिन पर {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} वो नहीं हैं {{nowrap|({{mvar|k}} + 1)}} समय भिन्न है, इसलिए वे वर्ग C . के हैं<sup>{{mvar|k}}</sup>, लेकिन कक्षा C . का नहीं<sup>{{mvar|j}}</sup> जहां {{nowrap|{{mvar|j}} > {{mvar|k}}}}.
+कहाँ पे {{mvar|k}} सम है, निरंतर हैं और {{mvar|k}} बार अलग-अलग {{mvar|x}}. लेकिन पर {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} वो नहीं हैं {{nowrap|({{mvar|k}} + 1)}} समय अवकलनीय है, इसलिए वे कक्षा C के हैं<sup>{{mvar|k}}</sup>, लेकिन कक्षा C का नहीं<sup>{{mvar|j}}</sup> कहाँ {{nowrap|{{mvar|j}} > {{mvar|k}}}}.
-घातांकीय फलन विश्लेषणात्मक है, और इसलिए C . वर्ग में आता है<sup></sup>. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहां कहीं भी उन्हें परिभाषित किया जाता है।
+घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है, और इसलिए कक्षा सी में आता है<sup>ω</sup>. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है।
 टक्कर समारोह
 <math display="block">f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ if } |x| < 1, \\ 0 &\text{ otherwise }\end{cases}</math>
-चिकना है, इसलिए कक्षा C . का है<sup>∞</sup>, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = ±1}}, और इसलिए कक्षा C . का नहीं है<sup></sup>. कार्यक्रम {{mvar|f}} कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।
+चिकनी है, इसलिए कक्षा सी की है<sup>∞</sup>, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = ±1}}, और इसलिए कक्षा सी का नहीं है<sup>ω</sup>. कार्यक्रम {{mvar|f}} कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।
-=== बहुभिन्नरूपी भिन्नता वर्ग ===
+=== बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग ===
-एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math> कहा जाता है कि<ref>{{cite book|author=Henri Cartan|title=डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स|year=1977|publisher=Paris: Hermann|author-link=Henri Cartan}}</ref> कक्षा का होना <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न
+एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math> कहा जाता है कि<ref>{{cite book|author=Henri Cartan|title=डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स|year=1977|publisher=Paris: Hermann|author-link=Henri Cartan}}</ref> वर्ग का होना <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव
   <math display="block">\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)</math>
-मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे कि <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k</math>, और हर <math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U</math>. समान रूप से, <math>f</math> कक्षा का है <math>C^k</math> पर <math>U</math> अगर <math>k</math>-वें क्रम के फ्रेचेट व्युत्पन्न <math>f</math> मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का कहा जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> अगर यह लगातार चालू है <math>U</math>. कक्षा के कार्य <math>C^1</math> लगातार भिन्न होने के लिए भी कहा जाता है।
+मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n</math> गैर-नकारात्मक पूर्णांक, जैसे कि <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k</math>, और हर <math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U</math>. समान रूप से, <math>f</math> वर्ग का है <math>C^k</math> पर <math>U</math> अगर <math>k</math>-वें क्रम के फ्रेचेट का व्युत्पन्न <math>f</math> मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का बताया गया है <math>C</math> या <math>C^0</math> अगर यह लगातार चालू है <math>U</math>. वर्ग के कार्य <math>C^1</math> निरंतर अवकलनीय भी कहा जाता है।
-एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math>, वर्ग का कहा जाता है <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि इसके सभी घटक
+एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math>वर्ग का बताया जाता है <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि इसके सभी घटक
 <math display="block">f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(\pi_i\circ f)(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\pi_i(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)) \text{ for } i=1,2,3,\ldots,m</math>
-वर्ग के हैं <math>C^k</math>, कहाँ पे <math>\pi_i</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) <math>\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i</math>. यह वर्ग का कहा जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> यदि यह निरंतर है, या समान रूप से, यदि सभी घटक <math>f_i</math> निरंतर हैं, पर <math>U</math>.
+वर्ग के हैं <math>C^k</math>, कहाँ पे <math>\pi_i</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) <math>\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i</math>. क्लास का बताया जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> यदि यह निरंतर है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक <math>f_i</math> निरंतर हैं, चालू हैं <math>U</math>.
-=== C . का स्थान<sup>k</sup> फंक्शन ===
+=== सी का स्थान<sup>के </सुप> कार्य ===
-होने देना <math>D</math> वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट <math>C^k</math> पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>D</math> एक फ़्रेचेट स्पेस है|फ़्रेचेट वेक्टर स्पेस, सेमीनॉर्म्स के गणनीय परिवार के साथ
+होने देना <math>D</math> वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट <math>C^k</math> वास्तविक-मूल्यवान कार्यों को परिभाषित किया गया है <math>D</math> [[सेमिनोर्म]]्स के गणनीय परिवार के साथ एक फ्रेचेट स्पेस|फ्रेचेट वेक्टर स्पेस है
 <math display="block">p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|</math>
-कहाँ पे <math>K</math> कॉम्पैक्ट सेटों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है <math>D</math>, तथा <math>m=0,1,\dots,k</math>.
+कहाँ पे <math>K</math> सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका [[संघ (सेट सिद्धांत)]] है <math>D</math>, तथा <math>m=0,1,\dots,k</math>.
-के समुच्चय <math>C^\infty</math> कार्य खत्म <math>D</math> एक फ्रेचेट स्थान भी बनाता है। ऊपर के समान ही सेमीनॉर्म्स का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि <math>m</math> सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मानों को श्रेणीबद्ध करने की अनुमति है।
+के समुच्चय <math>C^\infty</math> कार्य समाप्त <math>D</math> एक फ्रेचेट स्पेस भी बनाता है। सिवाय इसके कि ऊपर के समान सेमिनोर्म का उपयोग किया जाता है <math>m</math> सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों की सीमा की अनुमति है।
-उपरोक्त रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से उन अनुप्रयोगों में होते हैं जहां कुछ आदेशों के डेरिवेटिव वाले कार्य आवश्यक होते हैं; हालांकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के साथ काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।
+उपरोक्त रिक्त स्थान उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ ऑर्डर के डेरिवेटिव वाले फ़ंक्शन आवश्यक होते हैं; हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।
-==निरंतरता==
+== निरंतरता ==
-पैरामीट्रिक निरंतरता की शर्तें (सी<sup>k</sup>) और ज्यामितीय निरंतरता (G .)<sup>n</sup>) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि वक्र की चिकनाई को गति पर प्रतिबंधों को हटाकर मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।<ref name="Barsky1981">{{cite thesis |type=Ph.D. |last=Barsky |first=Brian A. |date=1981 |title=बीटा-स्पलाइन: आकार पैरामीटर और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व|publisher=University of Utah, Salt Lake City, Utah|url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=910231 }}</ref><ref name="Barsky1988">{{cite book|author=Brian A. Barsky|title=बीटा-स्प्लिंस का उपयोग करके कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग|year=1988|publisher=Springer-Verlag, Heidelberg|isbn=978-3-642-72294-3}}</ref><ref name="BartelsBeattyBarsky1987">{{cite book|author1=Richard H. Bartels|author2=John C. Beatty|author3=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लिन का परिचय|year=1987|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-400-1|at=Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity}}</ref>
+शर्तें पैरामीट्रिक निरंतरता (सी<sup>k</sup>) और ज्यामितीय निरंतरता (G<sup>n</sup>) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की चिकनाई को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।<ref name="Barsky1981">{{cite thesis |type=Ph.D. |last=Barsky |first=Brian A. |date=1981 |title=बीटा-स्पलाइन: शेप पैरामीटर्स और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व|publisher=University of Utah, Salt Lake City, Utah|url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=910231 }}</ref><ref name="Barsky1988">{{cite book|author=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग बीटा-स्पलाइन का उपयोग करना|year=1988|publisher=Springer-Verlag, Heidelberg|isbn=978-3-642-72294-3}}</ref><ref name="BartelsBeattyBarsky1987">{{cite book|author1=Richard H. Bartels|author2=John C. Beatty|author3=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और जियोमेट्रिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लाइन्स का परिचय|year=1987|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-400-1|at=Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity}}</ref>
-===पैरामीट्रिक निरंतरता ===
+=== पैरामीट्रिक निरंतरता ===
-पैरामीट्रिक निरंतरता (''सी''<sup>''k''</sup>) एक अवधारणा है जो पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू होती है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र <math>s:[0,1]\to\mathbb{R}^n</math> कक्षा सी . का कहा जाता है<sup>कश्मीर</sup>, अगर <math>\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}</math> मौजूद है और निरंतर है <math>[0,1]</math>, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव <math>0,1\in[0,1]</math> अर्ध-भिन्नता के रूप में लिया जाता है (अर्थात, at <math>0</math> दाईं ओर से, और पर <math>1</math> बाएं से)।
+पैरामीट्रिक निरंतरता (''सी''<sup>''k''</sup>) [[पैरामीट्रिक वक्र]]ों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र <math>s:[0,1]\to\mathbb{R}^n</math> वर्ग सी का बताया जाता है<sup>कश्मीर</sup>, अगर <math>\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}</math> मौजूद है और लगातार चालू है <math>[0,1]</math>, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव हैं <math>0,1\in[0,1]</math> [[अर्ध-भिन्नता]] के लिए लिया जाता है (यानी, पर <math>0</math> दाईं ओर से और पर <math>1</math> बाएं से)।
-इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C . होना चाहिए<sup>1</sup> निरंतरता और उसका पहला अवकलज अवकलनीय है—वस्तु के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे कि फिल्म बनाते समय कैमरे का पथ, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।
+इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C होना चाहिए<sup>1</sup> निरंतरता और इसका पहला व्युत्पन्न अवकलनीय है—ऑब्जेक्ट के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।
 ==== पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम ====
-[[File:Parametric continuity C0.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो केवल C . है<sup>0</sup> निरंतर]]
+[[File:Parametric continuity C0.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है<sup>0</sup> निरंतर]]
-[[File:Parametric continuity vector.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे C . हैं<sup>1</sup> निरंतर]]पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |first=Michiel |last=van de Panne |url=https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |title=पैरामीट्रिक वक्र|work=Fall 1996 Online Notes |date=1996 |publisher=University of Toronto, Canada |access-date=2019-09-01 |archive-date=2020-11-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201126212511/https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |url-status=live }}</ref>
+[[File:Parametric continuity vector.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं<sup>1</sup> निरंतर]]पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |first=Michiel |last=van de Panne |url=https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |title=पैरामीट्रिक वक्र|work=Fall 1996 Online Notes |date=1996 |publisher=University of Toronto, Canada |access-date=2019-09-01 |archive-date=2020-11-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201126212511/https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |url-status=live }}</ref>
-* <math>C^0</math>: ज़ीरोथ व्युत्पन्न निरंतर है (वक्र निरंतर हैं)
+* <math>C^0</math>: शून्य अवकलज सतत है (वक्र सतत हैं)
-* <math>C^1</math>: शून्य और प्रथम अवकलज सतत हैं
+* <math>C^1</math>: शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
-* <math>C^2</math>: शून्य, प्रथम और द्वितीय अवकलज सतत हैं
+* <math>C^2</math>: शून्य, पहला और दूसरा डेरिवेटिव निरंतर हैं
-* <math>C^n</math>: 0-वें से <math>n</math>-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं
+* <math>C^n</math>: 0-वें के माध्यम से <math>n</math>-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं
-===ज्यामितीय निरंतरता ===
+===ज्यामितीय निरंतरता===
-[[File:Curves g1 contact.svg|upright=1.2|thumb|G . के साथ वक्र<sup>1</sup>-संपर्क (मंडलियां, रेखा)]]
+[[File:Curves g1 contact.svg|upright=1.2|thumb|जी के साथ घटता है<sup>1</sup>-संपर्क (वृत्त, रेखा)]]
 [[File:Kegelschnitt-Schar.svg|upright=1.2|thumb|<math>(1-\varepsilon^2) x^2 -2px+y^2=0 , \ p>0 \ , \varepsilon\ge 0</math><br />
-G . के साथ शंकु वर्गों की पेंसिल<sup>2</sup>-संपर्क करें: p ठीक करें, <math>\varepsilon</math> चर <br />
+जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल<sup>2</sup>-संपर्क: पी फिक्स, <math>\varepsilon</math> चर <br />
-(<math>\varepsilon=0</math>: घेरा,<math>\varepsilon=0.8</math>: अंडाकार, <math>\varepsilon=1</math>: परवलय, <math>\varepsilon=1.2</math>: अतिपरवलय)]]ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (''G<sup>n</sup>'') मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोन्सलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा, बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।<ref name= टेलर 1911, पीपी। 674–675 >{{cite EB1911|last=Taylor |first=Charles |wstitle=Geometrical Continuity |volume=11 |pages=674–675}}</ref>
+(<math>\varepsilon=0</math>: घेरा,<math>\varepsilon=0.8</math>: अंडाकार, <math>\varepsilon=1</math>: परवलय, <math>\varepsilon=1.2</math>: हाइपरबोला)]]ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (''जी<sup>n</sup>'') मुख्य रूप से [[गॉटफ्रीड लीबनिज]], [[जोहान्स केप्लर]] और [[जीन-विक्टर पोंसेलेट]] जैसे गणितज्ञों द्वारा शांकव वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675>{{cite EB1911|last=Taylor |first=Charles |wstitle=Geometrical Continuity |volume=11 |pages=674–675}}</रेफरी>
-ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु वर्ग वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य के करीब पहुंचती है, या एक परवलय की ओर जब यह एक के करीब पहुंचता है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि विलक्षणता एक की ओर गिरती है; यह प्रतिच्छेदन रेखा (ज्यामिति) को भी प्रवृत्त कर सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार के दो व्यंजक हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में माना जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा <math>x =\infty</math> वृत्त पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए <math>x =+\infty</math> तथा <math>x =\neg\infty</math> समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फ़ंक्शन के निरंतर कार्य के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे <math>\infty</math> (अधिक के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)।<ref name= टेलर 1911, पीपी. 674–675 /><!-- 1911 covers some of this but needs a modern reference-->
+ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि [[विलक्षणता (गणित)]] शून्य तक पहुँचती है, या एक [[परवलय]] के रूप में यह एक तक पहुँचती है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है; यह [[रेखा (ज्यामिति)]] को प्रतिच्छेद करने के लिए भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा <math>x =\infty</math> सर्कल पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए <math>x =+\infty</math> तथा <math>x =\neg\infty</math> समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के निरंतर कार्य के विचार और के विचार को गढ़ने में उपयोगी थे <math>\infty</math> (अधिक जानकारी के लिए [[अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा]] देखें)। <रेफरी नाम = टेलर 1911, पीपी। 674-675 /><!-- 1911 covers some of this but needs a modern reference-->
 ==== ज्यामितीय निरंतरता का क्रम ====
-एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>G^n</math> निरंतरता, साथ <math>n</math> चिकनाई की बढ़ती माप होने के नाते। वक्र पर किसी बिंदु के दोनों ओर के खंडों पर विचार करें:
+एक [[वक्र]] या [[सतह (टोपोलॉजी)]] को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>G^n</math> निरंतरता, साथ <math>n</math> चिकनाई के बढ़ते उपाय होने के नाते। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें:
 *<math>G^0</math>: वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
-*<math>G^1</math>: वक्र भी जोड़ बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
+*<math>G^1</math>: वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य [[स्पर्शरेखा]] दिशा साझा करते हैं।
-*<math>G^2</math>: वक्र भी जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।
+*<math>G^2</math>: वक्र जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र भी साझा करते हैं।
-सामान्य रूप में, <math>G^n</math> निरंतरता मौजूद है यदि वक्रों को पुन: निर्धारित किया जा सकता है <math>C^n</math> (पैरामीट्रिक) निरंतरता।<ref>{{cite journal |first1=Brian A. |last1=Barsky |first2=Tony D. |last2=DeRose |title=पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य अभिलक्षण|journal=IEEE Computer Graphics and Applications |volume=9 |issue=6 |year=1989 |pages=60–68 |doi=10.1109/38.41470 |s2cid=17893586 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |first=Erich |last=Hartmann |title=कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम|page=55 |date=2003 |publisher=[[Technische Universität Darmstadt]] |access-date=2019-08-31 |archive-date=2020-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201023054532/http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |url-status=live }}</ref> वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।
+सामान्य रूप में, <math>G^n</math> निरंतरता मौजूद है अगर वक्रों को फिर से परिभाषित किया जा सकता है <math>C^n</math> (पैरामीट्रिक) निरंतरता।<ref>{{cite journal |first1=Brian A. |last1=Barsky |first2=Tony D. |last2=DeRose |title=पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य लक्षण|journal=IEEE Computer Graphics and Applications |volume=9 |issue=6 |year=1989 |pages=60–68 |doi=10.1109/38.41470 |s2cid=17893586 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |first=Erich |last=Hartmann |title=कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम|page=55 |date=2003 |publisher=[[Technische Universität Darmstadt]] |access-date=2019-08-31 |archive-date=2020-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201023054532/http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |url-status=live }}</ref> वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।
-समान रूप से, दो सदिश फलन <math>f(t)</math> तथा <math>g(t)</math> पास होना <math>G^n</math> निरंतरता अगर <math>f^{(n)}(t)\neq0</math> तथा <math>f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)</math>, एक अदिश के लिए <math>k>0</math> (अर्थात, यदि दोनों सदिशों की दिशा, लेकिन परिमाण आवश्यक नहीं है, बराबर है)।
+समतुल्य रूप से, दो वेक्टर फ़ंक्शन <math>f(t)</math> तथा <math>g(t)</math> पास होना <math>G^n</math> निरंतरता अगर <math>f^{(n)}(t)\neq0</math> तथा <math>f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)</math>, एक अदिश के लिए <math>k>0</math> (अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।
-हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र की आवश्यकता होगी <math>G^1</math> सुचारू रूप से दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन के इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखाई देंगे जब तक कि बॉडी में <math>G^2</math> निरंतरता।
+हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि वक्र की आवश्यकता होगी <math>G^1</math> चिकनी दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि [[वास्तुकला]] और [[स्पोर्ट्स कार]] डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में ऐसा न हो <math>G^2</math> निरंतरता।
-ए {{em|[[rounded rectangle]]}} (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री वृत्ताकार चापों के साथ) है <math>G^1</math> निरंतरता, लेकिन नहीं है <math>G^2</math> निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है {{em|[[rounded cube]]}}, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि के साथ एक संपादन योग्य वक्र <math>G^2</math> निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर क्यूबिक स्प्लिंस को आम तौर पर चुना जाता है; इन वक्रों का उपयोग अक्सर औद्योगिक डिजाइन में किया जाता है।
+ए {{em|[[rounded rectangle]]}} (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) है <math>G^1</math> निरंतरता, लेकिन नहीं है <math>G^2</math> निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है {{em|[[rounded cube]]}}, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि एक संपादन योग्य वक्र के साथ <math>G^2</math> निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर [[घन splines]] आमतौर पर चुने जाते हैं; ये वक्र अक्सर [[औद्योगिक डिजाइन]] में उपयोग किए जाते हैं।
 == अन्य अवधारणाएं ==
 === विश्लेषणात्मकता से संबंध ===
-जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू होते हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर होते हैं) जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उदाहरण जैसे कि बम्प फ़ंक्शन (ऊपर उल्लिखित) दिखाते हैं कि कनवर्स वास्तविक पर कार्यों के लिए सही नहीं है: ऐसे सुचारू वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं#एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; एक अन्य उदाहरण फैबियस फ़ंक्शन है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि इस तरह के कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत पतले बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक अल्प सेट सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सुचारू कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं {{citation needed|date=December 2020}}.
+जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर हैं) उस सेट पर जिस पर वे विश्लेषणात्मक हैं, बम्प फ़ंक्शंस (ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं कि बातचीत वास्तविक कार्यों के लिए सही नहीं है: वहाँ चिकनी वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं # एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; [[फैबियस समारोह]] एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक [[अल्प सेट]] सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सहज कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं {{citation needed|date=December 2020}}.
-स्थिति की वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सुचारू कार्यों के सेट पर, हम जिन उदाहरणों के साथ पहली बार विचार करते हैं (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्याएं और विश्लेषणात्मक कार्य) अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार करते हैं: अनुवांशिक संख्याएं और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं होता है (उनके पूरक अल्प हैं)।
+वास्तविक रेखा पर [[पारलौकिक संख्या]]ओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सहज कार्यों के सेट दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक कार्यों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है: पारलौकिक संख्या और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं है (उनके पूरक अल्प हैं)।
-इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल अवकलनीय फलनों के विपरीत है। यदि कोई जटिल फलन खुले समुच्चय पर केवल एक बार अवकलनीय है, तो वह उस समुच्चय पर अपरिमित रूप से अवकलनीय और विश्लेषणात्मक दोनों है {{citation needed|date=December 2020}}.
+इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक कार्यों के विपरीत है। यदि एक जटिल कार्य एक खुले सेट पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस सेट पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है {{citation needed|date=December 2020}}.
-=== एकता के सहज विभाजन ===
+=== एकता के चिकने विभाजन ===
-दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ सुचारू कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें ''एकता का विभाजन'' और टोपोलॉजी शब्दावली); ये चिकनी मैनिफोल्ड्स के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रीमैनियन मेट्रिक्स को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करके विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सुचारू फ़ंक्शन ''f'' है जो एक अंतराल के बाहर मान 0 लेता है [''a'',''b''] और ऐसा है कि
+दिए गए बंद [[समर्थन (गणित)]] के साथ चिकने कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें ''[[एकता का विभाजन]]'' और [[टोपोलॉजी शब्दावली]]); ये [[चिकना कई गुना]] के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि [[रिमेंनियन मीट्रिक]] को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सहज फ़ंक्शन ''f'' है, जो एक अंतराल [''a'',''b''] के बाहर मान 0 लेता है और ऐसा
 <math display="block">f(x) > 0 \quad \text{ for } \quad a < x < b.\,</math>
-लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतराल पर बंप फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है <math>(-\infty, c]</math> तथा <math>[d, +\infty)</math> पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।
+लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतरालों पर बम्प फ़ंक्शंस का निर्माण किया जा सकता है <math>(-\infty, c]</math> तथा <math>[d, +\infty)</math> पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।
-जो अभी कहा गया है, उससे एकता के विभाजन होलोमोर्फिक कार्यों पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, सुचारू कार्यों के शीशों में अधिक टोपोलॉजिकल जानकारी नहीं होती है।
+जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, चिकने कार्यों के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।
-=== कई गुना पर और उसके बीच सुचारू कार्य ===
+=== कई गुना के बीच और बीच में सुचारू कार्य करता है ===
-एक अलग कई गुना दिया गया <math>M</math>, आयाम का <math>m,</math> और एक एटलस (टोपोलॉजी) <math>\mathfrak{U} = \{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha,</math> फिर एक नक्शा <math>f:M\to \R</math> चिकना है <math>M</math> अगर सभी के लिए <math>p \in M</math> एक चार्ट मौजूद है <math>(U, \phi) \in \mathfrak{U},</math> ऐसा है कि <math>p \in U,</math> तथा <math>f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \R</math> के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है <math>\phi(p)</math> में <math>\R^m</math> प्रति <math>\R</math> (किसी दिए गए क्रम तक सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। एटलस के किसी भी चार्ट (टोपोलॉजी) के संबंध में चिकनाई की जाँच की जा सकती है जिसमें <math>p,</math> चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर सुगमता की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि <math>f</math>पास चिकना है <math>p</math> एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा <math>p</math> किसी अन्य चार्ट में।
+एक [[अलग करने योग्य कई गुना]] दिया गया <math>M</math>, आयाम का <math>m,</math> और एक [[एटलस (टोपोलॉजी)]] <math>\mathfrak{U} = \{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha,</math> फिर एक नक्शा <math>f:M\to \R</math> चिकना है <math>M</math> अगर सभी के लिए <math>p \in M</math> एक चार्ट मौजूद है <math>(U, \phi) \in \mathfrak{U},</math> ऐसा है कि <math>p \in U,</math> तथा <math>f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \R</math> के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है <math>\phi(p)</math> में <math>\R^m</math> प्रति <math>\R</math> (दिए गए क्रम तक सभी आंशिक डेरिवेटिव निरंतर हैं)। स्मूदनेस को एटलस के किसी भी [[चार्ट (टोपोलॉजी)]] के संबंध में चेक किया जा सकता है <math>p,</math> चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर चिकनाई की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि <math>f</math>के पास चिकना है <math>p</math> एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा <math>p</math> किसी अन्य चार्ट में।
-यदि <math>F : M \to N</math> से एक नक्शा है <math>M</math> यदि <math>n</math>-आयामी कई गुना <math>N</math>, फिर <math>F</math> चिकना है अगर, हर के लिए <math>p \in M,</math> एक चार्ट है <math>(U,\phi)</math> युक्त <math>p,</math> और एक चार्ट <math>(V, \psi)</math> युक्त <math>F(p)</math> ऐसा है कि <math>F(U) \subset V,</math> तथा <math>\psi \circ F \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)</math> से एक सुचारू कार्य है <math>\R^n.</math>
+यदि <math>F : M \to N</math> का नक्शा है <math>M</math> यदि <math>n</math>-आयामी कई गुना <math>N</math>, फिर <math>F</math> चिकना है अगर, हर के लिए <math>p \in M,</math> एक चार्ट है <math>(U,\phi)</math> युक्त <math>p,</math> और एक चार्ट <math>(V, \psi)</math> युक्त <math>F(p)</math> ऐसा है कि <math>F(U) \subset V,</math> तथा <math>\psi \circ F \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)</math> से एक सुचारू कार्य है <math>\R^n.</math>
-मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: for <math>F : M \to N</math>, प्रत्येक बिंदु पर पुशफ़ोरवर्ड (अंतर) (या अंतर) स्पर्शरेखा वैक्टर को मैप करता है <math>p</math> स्पर्शरेखा सदिशों पर <math>F(p)</math>: <math>F_{*,p} : T_p M \to T_{F(p)}N,</math> और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक वेक्टर बंडल होमोमोर्फिज्म है: <math>F_* : TM \to TN.</math> पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टर को खींचती है <math>N</math> कोवेक्टर पर वापस <math>M,</math> तथा <math>k</math>-फॉर्म टू <math>k</math>-रूप: <math>F^* : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M).</math> इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शेफ (गणित), जैसे वेक्टर फ़ील्ड और डिफरेंशियल फॉर्म, को एक मैनिफोल्ड से दूसरे में या यूक्लिडियन स्पेस में ले जा सकते हैं, जहां कई गुना पर इंटीग्रेशन जैसी गणनाओं को अच्छी तरह से समझा जाता है।
+मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे [[स्पर्शरेखा स्थान]]ों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: के लिए <math>F : M \to N</math>, प्रत्येक बिंदु पर Pushforward (अंतर) (या अवकलन) स्पर्शरेखा सदिशों को मानचित्रित करता है <math>p</math> स्पर्शरेखा वैक्टर पर <math>F(p)</math>: <math>F_{*,p} : T_p M \to T_{F(p)}N,</math> और [[स्पर्शरेखा बंडल]] के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश बंडल समरूपता है: <math>F_* : TM \to TN.</math> पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टरों को खींचती है <math>N</math> कोवेक्टर्स पर वापस <math>M,</math> तथा <math>k</math>-रूप में <math>k</math>-रूप: <math>F^* : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M).</math> इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शीफ (गणित) को परिवहन कर सकते हैं, जैसे [[वेक्टर क्षेत्र]] और [[विभेदक रूप]], एक मैनिफोल्ड से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन स्पेस तक, जहाँ मैनिफोल्ड्स पर इंटीग्रेशन जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।
-सुचारू कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य तौर पर, अतिरिक्त मान्यताओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। रेगुलर पॉइंट्स के प्रीइमेज (यानी, अगर प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) मैनिफोल्ड्स हैं; यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना हैं।<ref>{{cite book |last1=Guillemin |first1=Victor |last2=Pollack |first2=Alan |title=विभेदक टोपोलॉजी|location=Englewood Cliffs |publisher=Prentice-Hall |year=1974 |isbn=0-13-212605-2 }}</ref>
+सहज कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज (अर्थात, यदि प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) कई गुना हैं; यह [[प्रीइमेज प्रमेय]] है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना होते हैं।<ref>{{cite book |last1=Guillemin |first1=Victor |last2=Pollack |first2=Alan |title=विभेदक टोपोलॉजी|location=Englewood Cliffs |publisher=Prentice-Hall |year=1974 |isbn=0-13-212605-2 }}</ref>
-=== कई गुना उपसमुच्चय के बीच सुचारू कार्य ===
+=== कई गुना के सबसेट के बीच सुचारू कार्य ===
-मैनिफोल्ड के मनमाने उपसमुच्चय के लिए सुगम मानचित्र की एक संगत धारणा है। यदि <math>f : X \to Y</math> एक फंक्शन (गणित) है जिसके एक फंक्शन का डोमेन और एक फंक्शन की रेंज मैनिफोल्ड्स के सबसेट हैं <math>X \subseteq M</math> तथा <math>Y \subseteq N</math> क्रमश। <math>f</math> चिकनी कहा जाता है अगर सभी के लिए <math>x \in X</math> एक खुला सेट है <math>U \subseteq M</math> साथ <math>x \in U</math> और एक सुचारू कार्य <math>F : U \to N</math> ऐसा है कि <math>F(p) = f(p)</math> सभी के लिए <math>p \in U \cap X.</math>
+मैनिफोल्ड्स के मनमाना सबसेट के लिए चिकने नक्शे की एक समान धारणा है। यदि <math>f : X \to Y</math> एक फलन (गणित) है जिसका फलन का क्षेत्र और फलन का दायरा बहुगुणों का उपसमुच्चय है <math>X \subseteq M</math> तथा <math>Y \subseteq N</math> क्रमश। <math>f</math> कहा जाता है कि अगर सभी के लिए चिकना हो <math>x \in X</math> एक खुला सेट है <math>U \subseteq M</math> साथ <math>x \in U</math> और एक चिकना कार्य <math>F : U \to N</math> ऐसा है कि <math>F(p) = f(p)</math> सभी के लिए <math>p \in U \cap X.</math>
-==यह भी देखें==
+== यह भी देखें ==
 * {{annotated link|Discontinuity (mathematics)|Discontinuity}}
 * {{annotated link|Hadamard's lemma}}
@@ Line 137: / Line 137: @@
 * {{annotated link|Smoothing}}
 * {{annotated link|Spline (mathematics)|Spline}}
-* सोबोलेव मैपिंग
+* [[सोबोलेव मैपिंग]]
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==
+==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
+*रेलेक्स त्रिकोण
+*अंक शास्त्र
+*वक्रों का मरोड़
+*अवरोधन (बहुविकल्पी)
+*शंकुवृक्ष (गणित)
+*एक समारोह की जड़
+*बल
+*क्वार्टिक के स्पर्शरेखाएँ
+*अनंतस्पर्शी
+*राग (ज्यामिति)
+*सिसॉइड
+*एकांकी उपाय
+*पीछा करने का वक्र
+*ओस्गुड वक्र
+*अवतल समारोह
+*पोछाम्मेर कंटूर
+*निरंतर कार्य
+*समारोह (गणित)
+*व्युत्पन्न (गणित)
+*व्युत्पत्ति का क्रम
+*किसी फ़ंक्शन का डोमेन
+*खुला सेट
+*अलग करने योग्य समारोह
+*घातांक प्रकार्य
+*त्रिकोणमितीय समारोह
+*आंशिक अवकलज
+*प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)
+*आंशिक विभेदक समीकरण
+*सोबोलेव स्पेस
+*रफ़्तार
+*शंकु खंड
+*अंडाकार
+*अतिशयोक्ति
+*RADIUS
+*घेरा
+*सौंदर्यशास्र
+*फोरियर श्रेणी
+*शेफ़ (गणित)
+*पुशफॉरवर्ड (अंतर)
+*वेक्टर बंडल समरूपता
+*पुलबैक (अंतर ज्यामिति)
+*कई गुना पर एकीकरण
+*एक समारोह की सीमा
 ==संदर्भ==
@@ Line 148: / Line 191: @@
 {{Manifolds}}
-[[Category: सुचारू कार्य]]
+[[Category:चिकनी कार्यप्रणाली]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Created On 25/11/2022]]

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भिन्नता वर्ग

उदाहरण

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

सी का स्थान^{के </सुप> कार्य}

निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम

ज्यामितीय निरंतरता

ज्यामितीय निरंतरता का क्रम

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

एकता के चिकने विभाजन

कई गुना के बीच और बीच में सुचारू कार्य करता है

कई गुना के सबसेट के बीच सुचारू कार्य

यह भी देखें

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उदाहरण

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

सी का स्थानके </सुप> कार्य

निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम

ज्यामितीय निरंतरता

ज्यामितीय निरंतरता का क्रम

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

एकता के चिकने विभाजन

कई गुना के बीच और बीच में सुचारू कार्य करता है

कई गुना के सबसेट के बीच सुचारू कार्य

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