लाई समूह: Difference between revisions
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लाई समूह [[निरंतर समरूपता]] की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है ([[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष आयतीय समूह]] द्वारा दिया गया) <math>\text{SO}(3)</math>) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | लाई समूह [[निरंतर समरूपता]] की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है ([[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष आयतीय समूह]] द्वारा दिया गया) <math>\text{SO}(3)</math>) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
लाई समूह सबसे पहले [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] उपसमूहों <math>G</math>, <math>\text{GL}_n(\mathbb{R})</math> या <math>\text{GL}_{n}(\mathbb{C})</math> में निहित है।का अध्ययन करके पाए गए थे, <math>n\times n</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>. इन्हें अब [[शास्त्रीय समूह|चिरसम्मत समूह]] कहा जाता है, अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। लाई समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] 1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर [[परिवर्तन समूह|परिवर्तन समूहों]] के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को | लाई समूह सबसे पहले [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] उपसमूहों <math>G</math>, <math>\text{GL}_n(\mathbb{R})</math> या <math>\text{GL}_{n}(\mathbb{C})</math> में निहित है।का अध्ययन करके पाए गए थे, <math>n\times n</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>. इन्हें अब [[शास्त्रीय समूह|चिरसम्मत समूह]] कहा जाता है, अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। लाई समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] 1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर [[परिवर्तन समूह|परिवर्तन समूहों]] के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को प्रारंभ करने के लिए लाई की मूल प्रेरणा अंतर समीकरणों की निरंतर समरूपता को प्रतिरूप करना था, ठीक उसी तरह जिस तरह से परिमित समूहों का उपयोग [[बीजगणितीय समीकरण]] के असतत समरूपता को प्रतिरूप करने के लिए [[गाल्वा सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास (हॉकिन्स, पृष्ठ 1) पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार, सोफस लाई ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह "1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान लाई की विलक्षण शोध गतिविधि थी" जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के | लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास (हॉकिन्स, पृष्ठ 1) पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार, सोफस लाई ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह "1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान लाई की विलक्षण शोध गतिविधि थी" जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के प्रारंभिक विचारों में से कुछ [[फेलिक्स क्लेन]] के निकट सहयोग से विकसित किए गए थे। अक्टूबर 1869 से 1872 तक हर दिन लाई क्लेन से मिले: बर्लिन में अक्टूबर 1869 के अंत से फरवरी 1870 के अंत तक, और बाद के दो वर्षों में पेरिस, गौटिंगेन और एर्लांगेन में (वही, पृष्ठ 2)। लाई ने कहा कि सभी प्रमुख परिणाम 1884 तक प्राप्त किए गए थे। लेकिन 1870 के दशक के दौरान उनके सभी पत्र (पहले नोट को छोड़कर) नॉर्वेजियन पत्रिकाओं में प्रकाशित हुए थे, जिसने पूरे यूरोप में काम की मान्यता को बाधित किया था (वही, पृष्ठ 76) )। 1884 में युवा जर्मन गणितज्ञ, [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]], लाई के साथ निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत को उजागर करने के लिए व्यवस्थित ग्रंथ पर काम करने आए। इस प्रयास से 1888, 1890 और 1893 में प्रकाशित तीन-खंड थ्योरी डेर परिवर्तनसमूह का परिणाम निकला। शब्द समूह डी लाइ पहली बार फ्रेंच में 1893 में लाई के छात्र आर्थर ट्रेस की अभिधारणा में दिखाई दिया।<ref>{{cite journal|author=Arthur Tresse|year=1893|title=परिवर्तनों के निरंतर समूहों के विभेदक आक्रमणकारियों पर|url=https://zenodo.org/record/2273334|journal=Acta Mathematica|volume=18|pages=1–88|doi=10.1007/bf02418270|doi-access=free}}</ref> | ||
लाइ के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की [[ज्यामिति]] में उनकी रुचि सबसे पहले [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक[[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के सिद्धांत और [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी के अधिकांश कार्य प्रकाशित हुए, जिससे फ्रांस और जर्मनी में अत्यधिक रुचि पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की[[समरूपता]] के सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह उपलब्धि करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। लाइ और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और [[ऑर्थोगोनल बहुपद|आयतीय बहुपद]]के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। लाई के | लाइ के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की [[ज्यामिति]] में उनकी रुचि सबसे पहले [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक[[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के सिद्धांत और [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी के अधिकांश कार्य प्रकाशित हुए, जिससे फ्रांस और जर्मनी में अत्यधिक रुचि पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की[[समरूपता]] के सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह उपलब्धि करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। लाइ और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और [[ऑर्थोगोनल बहुपद|आयतीय बहुपद]]के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। लाई के प्रारंभिक काम में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों [[मॉड्यूलर रूप]] के सिद्धांत में विकसित [[असतत समूह]] के सिद्धांत को पूरक करने के लिए निरंतर समूहों के सिद्धांत का निर्माण करने का विचार था। लाई के मन में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था वह अवकल समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोज़ सिद्धांत और [[बहुपद समीकरण]] के प्रतिरूप पर, परिचालन अवधारणा समरूपता के अध्ययन से सामान्य अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम सिद्धांत की थी। हालाँकि, आशा है कि लाई थ्योरी [[साधारण अंतर समीकरण]] के पूरे क्षेत्र को एकजुट करेगी, पूरी नहीं हुई। ओडीई के लिए सममिति पद्धतियों का अध्ययन जारी है, लेकिन विषय पर हावी नहीं हैं। [[विभेदक गैलोज़ सिद्धांत]] है, लेकिन इसे अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया था, जैसे कि पिकार्ड और वेसिओट, और यह चतुष्कोणों का एक सिद्धांत प्रदान करता है, समाधान व्यक्त करने के लिए आवश्यक अनिश्चित अभिन्न। | ||
निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर [[बर्नहार्ड रीमैन]] के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को लाई द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया: समरूपता का विचार, जैसा कि गैलोज़ द्वारा समूह की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से उदाहरण दिया गया है, ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, प्वासों और जैकोबी द्वारा काम किया गया, और ज्यामिति की नई समझ जो प्लकर, मोबियस, [[ग्रासमैन]] और अन्य के कार्यों में उभरी, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई। | निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर [[बर्नहार्ड रीमैन]] के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को लाई द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया: समरूपता का विचार, जैसा कि गैलोज़ द्वारा समूह की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से उदाहरण दिया गया है, ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, प्वासों और जैकोबी द्वारा काम किया गया, और ज्यामिति की नई समझ जो प्लकर, मोबियस, [[ग्रासमैन]] और अन्य के कार्यों में उभरी, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई। | ||
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1900 में [[डेविड हिल्बर्ट]] ने पेरिस में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी। | 1900 में [[डेविड हिल्बर्ट]] ने पेरिस में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी। | ||
वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल अर्ध-सरल लाई समूहों के अलघुकरणीय निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाई के अपरिमेय समूहों (अर्थात् लाई बीजगणित) और उचित लाई समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाई G की सांस्थिति की जांच | वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल अर्ध-सरल लाई समूहों के अलघुकरणीय निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाई के अपरिमेय समूहों (अर्थात् लाई बीजगणित) और उचित लाई समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाई G की सांस्थिति की जांच प्रारंभ की{{sfnp|Borel|2001}} [[क्लाउड चेवेली]] द्वारा लघु प्रबंध में आधुनिक गणितीय भाषा में लाई समूहों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से फिर से काम किया गया था। | ||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
[[File:Circle as Lie group.svg|right|thumb|पूर्ण मान 1 के साथ सभी [[जटिल संख्या]]ओं का समुच्चय ([[जटिल विमान]] में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 के चक्र पर बिंदुओं के अनुरूप) जटिल गुणन के तहत एक लाई समूह है: [[घेरा]] समूह।]]लाई समूहमू सहजता विभेदीय बहुविध हैं और जैसे कि अधिक सामान्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] के मामले के विपरीत [[अंतर कलन]] का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। लाई समूहों के सिद्धांत में प्रमुख विचारों में से वैश्विक वस्तु, समूह को अपने स्थानीय या रेखीयकृत संस्करण के साथ बदलना है, जिसे लाई ने खुद को "अति सूक्ष्म समूह" कहा था और जो तब से इसके [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है। | [[File:Circle as Lie group.svg|right|thumb|पूर्ण मान 1 के साथ सभी [[जटिल संख्या]]ओं का समुच्चय ([[जटिल विमान]] में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 के चक्र पर बिंदुओं के अनुरूप) जटिल गुणन के तहत एक लाई समूह है: [[घेरा]] समूह।]]लाई समूहमू सहजता विभेदीय बहुविध हैं और जैसे कि अधिक सामान्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] के मामले के विपरीत [[अंतर कलन]] का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। लाई समूहों के सिद्धांत में प्रमुख विचारों में से वैश्विक वस्तु, समूह को अपने स्थानीय या रेखीयकृत संस्करण के साथ बदलना है, जिसे लाई ने खुद को "अति सूक्ष्म समूह" कहा था और जो तब से इसके [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है। | ||
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(उदाहरण के लिए, का बंद उपसमूह <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>, अर्थात्, आव्यूह लाई समूह उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है।) | (उदाहरण के लिए, का बंद उपसमूह <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>, अर्थात्, आव्यूह लाई समूह उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है।) | ||
फिर लाई समूह को सांस्थितिक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो (1) स्थानीय रूप से समरूपी पहचान के पास अत्यधिक रैखिक लाई समूह के पास होता है और (2) में सबसे अधिक संख्या में कई जुड़े हुए घटक होते हैं। सांस्थितिक परिभाषा दिखाना सामान्य के बराबर तकनीकी है (और | फिर लाई समूह को सांस्थितिक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो (1) स्थानीय रूप से समरूपी पहचान के पास अत्यधिक रैखिक लाई समूह के पास होता है और (2) में सबसे अधिक संख्या में कई जुड़े हुए घटक होते हैं। सांस्थितिक परिभाषा दिखाना सामान्य के बराबर तकनीकी है (और प्रारंभिक पाठकों को निम्नलिखित को छोड़ देना चाहिए) लेकिन मोटे तौर पर निम्नानुसार किया जाता है: | ||
# सामान्य कई गुना अर्थों में लाई समूह G को देखते हुए, लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार (या लाई के तीसरे प्रमेय का संस्करण) निमज्जित लाई उपसमूह बनाता है <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> ऐसा है कि <math>G, G'</math> समान लाई बीजगणित साझा करें, इस प्रकार, वे स्थानीय रूप से समरूपी हैं। इसलिए, G उपरोक्त सांस्थितिक परिभाषा को संतुष्ट करता है। | # सामान्य कई गुना अर्थों में लाई समूह G को देखते हुए, लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार (या लाई के तीसरे प्रमेय का संस्करण) निमज्जित लाई उपसमूह बनाता है <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> ऐसा है कि <math>G, G'</math> समान लाई बीजगणित साझा करें, इस प्रकार, वे स्थानीय रूप से समरूपी हैं। इसलिए, G उपरोक्त सांस्थितिक परिभाषा को संतुष्ट करता है। | ||
# इसके विपरीत, G को सांस्थितिक समूह होने दें, जो उपरोक्त सांस्थितिक अर्थों में एक लाई समूह है और बेहद रैखिक लाई समूह का चयन करें <math>G'</math> वह G के लिए स्थानीय रूप से समरूपी है। फिर, बंद उपसमूह प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, <math>G'</math> एक [[वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना]] है और फिर, स्थानीय समरूपता के माध्यम से, G पहचान तत्व के पास कई गुना संरचना प्राप्त करता है। एक तो दिखाता है कि G पर समूह विधि औपचारिक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जा सकता है,<ref>This is the statement that a Lie group is a [[formal Lie group]]. For the latter concept, for now, see F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Lectures on Lie Groups and Representations of Locally Compact Groups].</ref> इसलिए समूह संचालन वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं और G स्वयं एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है। | # इसके विपरीत, G को सांस्थितिक समूह होने दें, जो उपरोक्त सांस्थितिक अर्थों में एक लाई समूह है और बेहद रैखिक लाई समूह का चयन करें <math>G'</math> वह G के लिए स्थानीय रूप से समरूपी है। फिर, बंद उपसमूह प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, <math>G'</math> एक [[वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना]] है और फिर, स्थानीय समरूपता के माध्यम से, G पहचान तत्व के पास कई गुना संरचना प्राप्त करता है। एक तो दिखाता है कि G पर समूह विधि औपचारिक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जा सकता है,<ref>This is the statement that a Lie group is a [[formal Lie group]]. For the latter concept, for now, see F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Lectures on Lie Groups and Representations of Locally Compact Groups].</ref> इसलिए समूह संचालन वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं और G स्वयं एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है। | ||
Revision as of 13:02, 14 December 2022
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| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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गणित में, लाई समूह (उच्चारण