भाजक: Difference between revisions

Revision as of 13:33, 19 November 2022

10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10

गणित में, एक पूर्णांक का भाजक $n$ , जिसे कारक भी कहा जाता है $n$ , एक पूर्णांक है $m$ जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है $n$ . ऐसे में एक का यह भी कहना है $n$ का गुणज है $m.$ पूर्णांक $n$ किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है $m$ यदि $m$ का भाजक है $n$ ; इसका अर्थ है विभाजित करना $n$ द्वारा $m$ शेष नहीं रहता।

परिभाषा

पूर्णांक $n$ एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है $m$ यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है $k$ ऐसा है कि $n=km$ . यह इस प्रकार लिखा गया है

m\mid n.

उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं $m$ विभाजित $n$ , $m$ का भाजक है $n$ , $m$ का कारक है $n$ , तथा $n$ का गुणज है $m$ . यदि $m$ विभाजित नहीं करता $n$ , तो अंकन है $m\not \mid n$ .^[1]^[2] सामान्यतः, $m$ अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन $n$ शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, $m\mid 0$ प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए $m$ .^[1]^[2]कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं $m$ शून्य न हो।^[3]

सामान्य

विभाजक ऋणात्मक संख्या के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

1, −1, n और −n को n का 'छोटा विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो छोटा भाजक नहीं है, उसे 'गैर-छोटा भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।^[4]). कम से कम एक गैर-छोटा भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समस्त संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और अभाज्य संख्याओं कोई गैर-छोटा भाजक नहीं होता है।

विभाज्यता नियम हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की स्वीकृति देते हैं।

उदाहरण

1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक सम्मिश्र संख्याएँ मोटे में होती हैं।

*7 42 का भाजक है क्योंकि $7\times 6=42$ , तो हम कह सकते हैं $7\mid 42$ . यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।

6 के गैर-छोटा भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ , आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, यह आरेख है:

आगे की धारणाएं और तथ्य

कुछ प्राथमिक नियम हैं:

यदि $a\mid b$ तथा $b\mid c$ , फिर $a\mid c$ , अर्थात विभाज्यता एक सकारात्मक संबंध है।
यदि $a\mid b$ तथा $b\mid a$ , फिर $a=b$ या $a=-b$ .
यदि $a\mid b$ तथा $a\mid c$ , फिर $a\mid (b+c)$ धारण करता है, के रूप में करता है $a\mid (b-c)$ .^[5] यद्यपि, यदि $a\mid b$ तथा $c\mid b$ , फिर $(a+c)\mid b$ हमेशा धारण नहीं करता (उदा। $2\mid 6$ तथा $3\mid 6$ लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

यदि $a\mid bc$ , तथा $\gcd(a,b)=1$ , फिर $a\mid c$ .^{[note 1]} इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।

यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p\mid ab$ फिर $p\mid a$ या $p\mid b$ .

का धनात्मक भाजक $n$ जो इससे अलग है $n$ ए कहा जाता है उचित विभाजन या एक aliquot part का $n$ . एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती $n$ लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है aliquant part का $n$ .

पूर्णांक $n>1$ जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।

का कोई सकारात्मक विभाजक $n$ के प्रमुख कारक का उत्पाद है $n$ कुछ शक्ति के लिए उठाया। यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।

एक संख्या $n$ पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, दोषपूर्ण संख्या यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है $n$ , और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो $n$ .

के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या $n$ एक गुणक कार्य है $d(n)$ , जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर $m$ तथा $n$ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो $d(mn)=d(m)\times d(n)$ . उदाहरण के लिए, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$ ; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। $m$ तथा $n$ एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है $d(mn)=d(m)\times d(n)$ . के सकारात्मक भाजक का योग $n$ एक अन्य गुणक कार्य है $\sigma (n)$ (उदा $\sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42$ ). ये दोनों फलन भाजक फलन के उदाहरण हैं।

यदि . का अभाज्य गुणनखंडन $n$ द्वारा दिया गया है

n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}

फिर के धनात्मक विभाजकों की संख्या $n$ है

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),

और प्रत्येक भाजक का रूप है

p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}

यहाँ पर $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ प्रत्येक के लिए $1\leq i\leq k.$ प्रत्येक प्राकृतिक के लिए $n$ , $d(n)<2{\sqrt {n}}$ .

भी,^[6]

d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).

यहाँ पर $\gamma$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है के विभाजकों की संख्या $\ln n$ . यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।

आधुनिक बीजगणित में

वलय सिद्धांत

विभाजन जाली

जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है $\mathbb {N}$ आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक जाली (आदेश) । इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत चक्रीय समूह पूर्णांक के उपसमूहों की जाली के द्वैत (क्रम सिद्धांत) के समरूप है| $\mathbb {Z}$ .

यह भी देखें

अंकगणितीय कार्य
यूक्लिडियन एल्गोरिथम
अंश (गणित)
भाजक की तालिका - 1–1000 के लिए अभाज्य और अभाज्य भाजक की तालिका
प्रमुख कारकों की तालिका - 1–1000 के लिए प्रमुख कारकों की तालिका
एकात्मक भाजक

↑ ^1.0 ^1.1 Hardy & Wright 1960, p. 1
↑ ^2.0 ^2.1 Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, p. 4
↑ Durbin 2009, p. 57, Chapter III Section 10
↑ "राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti" (PDF).
↑ $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)$ . Similarly, $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)$
↑ Hardy & Wright 1960, p. 264, Theorem 320

संदर्भ

Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6th ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford University Press.
Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9.
Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9

[6] $\gcd$ refers to the greatest common divisor.

[hardy-wright-p1-1] 1.0 ^1.1 Hardy & Wright 1960, p. 1

[niven-p4-2] 2.0 ^2.1 Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, p. 4

[3] Durbin 2009, p. 57, Chapter III Section 10

[4] "राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti" (PDF).

[5] $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)$ . Similarly, $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)$

[7] Hardy & Wright 1960, p. 264, Theorem 320

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

[6]

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 == आगे की धारणाएं और तथ्य ==<!-- Perfect number links here. -->
 कुछ प्राथमिक नियम हैं:
-* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध ]] है।
+* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid c</math>, फिर <math>a \mid c</math>, अर्थात विभाज्यता एक [[ सकर्मक संबंध | सकारात्मक संबंध]]  है।
 * यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>b \mid a</math>, फिर <math>a = b</math> या <math>a = -b</math>.
-* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>a \mid c</math>, फिर <math> a \mid (b + c)</math> धारण करता है, के रूप में करता है <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref> हालांकि, यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>c \mid b</math>, फिर <math>(a + c) \mid b</math> हमेशा धारण नहीं करता (उदा। <math>2\mid6</math> तथा <math>3 \mid 6</math> लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।
+* यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>a \mid c</math>, फिर <math> a \mid (b + c)</math> धारण करता है, के रूप में करता है <math> a \mid (b - c)</math>.<ref><math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)</math>. Similarly, <math>a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)</math></ref> यद्यपि, यदि <math>a \mid b</math> तथा <math>c \mid b</math>, फिर <math>(a + c) \mid b</math> हमेशा धारण नहीं करता (उदा। <math>2\mid6</math> तथा <math>3 \mid 6</math> लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।
 यदि <math>a \mid bc</math>, तथा <math>\gcd(a, b) = 1</math>, फिर <math>a \mid c</math>.<ref group="note"><math>\gcd</math> refers to the [[greatest common divisor]].</ref> इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।
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 यदि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>p \mid ab</math> फिर <math>p \mid a</math> या <math>p \mid b</math>.
-का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है{{vanchor|proper divisor}}या एक{{vanchor|aliquot part}}का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है{{vanchor|aliquant part}}का <math>n</math>.
+का धनात्मक भाजक <math>n</math> जो इससे अलग है <math>n</math> ए कहा जाता है उचित विभाजन या एक {{vanchor|aliquot part}}  का <math>n</math>. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती <math>n</math> लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता है {{vanchor|aliquant part}} का <math>n</math>.
 पूर्णांक <math>n > 1</math> जिसका एकमात्र उचित भाजक 1 है, अभाज्य संख्या कहलाती है। समतुल्य रूप से, एक अभाज्य संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसके दो सकारात्मक कारक हैं: 1 और स्वयं।
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 का कोई सकारात्मक विभाजक <math>n</math> के प्रमुख कारक का उत्पाद है <math>n</math> कुछ शक्ति के लिए उठाया। यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय का परिणाम है।
-एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, [[ कमी संख्या ]] यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.
+एक संख्या <math>n</math> पूर्ण संख्या कहलाती है यदि यह अपने उचित भाजक के योग के बराबर है, दोषपूर्ण संख्या यदि इसके उचित भाजक का योग इससे कम है <math>n</math>, और प्रचुर मात्रा में संख्या यदि यह योग अधिक हो <math>n</math>.
-के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक साझा करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।
+के सकारात्मक विभाजकों की कुल संख्या <math>n</math> एक गुणक कार्य है <math>d(n)</math>, जिसका अर्थ है कि जब दो नंबर <math>m</math> तथा <math>n</math> अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, तो <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. उदाहरण के लिए, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; 42 के आठ विभाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 और 42 हैं। <math>m</math> तथा <math>n</math> एक सामान्य विभाजक भागीदारी करें, तो यह सच नहीं हो सकता है <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>. के सकारात्मक भाजक का योग <math>n</math> एक अन्य गुणक कार्य है <math>\sigma (n)</math> (उदा <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). ये दोनों फलन [[ भाजक फलन ]] के उदाहरण हैं।
 {{anchor|number_of_divisors_formula}}
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 :<math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>
-कहाँ पे <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>
+यहाँ पर <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> प्रत्येक के लिए <math>1 \le i \le k.</math>
 प्रत्येक प्राकृतिक के लिए <math>n</math>, <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
 भी,<ref>{{harvnb|Hardy|Wright|1960|p=264|loc=Theorem 320}}</ref>
 :<math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).</math>
-कहाँ पे <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
+यहाँ पर <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
 इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
-के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. हालांकि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
+के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. यद्यपि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
-== अमूर्त बीजगणित में ==
+== आधुनिक बीजगणित में ==
 === वलय सिद्धांत ===
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-=== डिवीजन जाली ===
+=== विभाजन जाली ===
 {{Main|Division lattice}}
 जिन परिभाषाओं में 0 शामिल है, विभाज्यता का संबंध सेट को बदल देता है <math>\mathbb{N}</math> आंशिक रूप से आदेशित सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का: एक [[ जाली (आदेश) ]]। इस जाली का सबसे बड़ा अवयव 0 है और सबसे छोटा 1 है। मिलन संक्रिया ∧ सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक द्वारा दी जाती है और जोड़ संक्रिया अल्पतम उभयनिष्ठ गुणज द्वारा दी जाती है। यह जाली अनंत [[ चक्रीय समूह ]] पूर्णांक के [[ उपसमूहों की जाली ]] के [[ द्वैत (क्रम सिद्धांत) ]] के समरूप है|<math>\mathbb{Z}</math>.

v t e पूर्णांक के विभाजन-आधारित सेट
अवलोकन	पूर्णांक कारक भाजक एकात्मक भाजक भाजक समारोह मुख्य कारक है अंकगणित का मौलिक प्रमेय
फैक्टराइजेशन फार्म	प्राइम समग्र सेमीप्रीम प्रोनिक Sphenic स्क्वायर-फ्री शक्तिशाली सही शक्ति Achilles चिकनी नियमित किसी न किसी असामान्य
विवश विभाजित रकम	परफेक्ट लगभग सही quasiperfect गुणा करें परफेक्ट हेमिपरफेक्ट हाइपरपरफेक्ट SuperPerFect एकात्मक पूर्ण सेमीपेरफेक्ट व्यावहारिक erdős -nynolas
कई विभाजकों के साथ	प्रचुर मात्रा में आदिम प्रचुर मात्रा में अत्यधिक प्रचुर मात्रा में सुपरबंडेंट colossally प्रचुर मात्रा में अत्यधिक समग्र बेहतर उच्च समग्र अजीब
विभाज्य अनुक्रम-संबंधित	अछूत सौहार्दपूर्ण ( ट्रिपल) मिलनसार बेटरोथेड
आधार-आश्रित	इक्विडिजिटल असाधारण मितव्ययी हर्षद पॉलीडिविबल स्मिथ
अन्य सेट	अंकगणित कमी फ्रेंडली एकान्त उदात्त हार्मोनिक डिविसर डेसकार्टेस Refactorable SuperPerFect

v t e Fractions and ratios
	Division and ratio	Dividend ÷ Divisor = Quotient
	Fraction	Numerator/Denominator = Quotient
	Algebraic Aspect Binary Continued Decimal Dyadic Egyptian Golden Silver Integer Irreducible Reduction Just intonation LCD Musical interval Paper size Percentage Unit

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