भाजक: Difference between revisions

Revision as of 12:21, 19 November 2022

10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10

गणित में, एक पूर्णांक का भाजक $n$ , जिसे कारक भी कहा जाता है $n$ , एक पूर्णांक है $m$ जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है $n$ . ऐसे में एक का यह भी कहना है $n$ का गुणज है $m.$ पूर्णांक $n$ किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है $m$ यदि $m$ का भाजक है $n$ ; इसका अर्थ है विभाजित करना $n$ द्वारा $m$ शेष नहीं रहता।

परिभाषा

पूर्णांक $n$ एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है $m$ यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है $k$ ऐसा है कि $n=km$ . यह इस प्रकार लिखा गया है

m\mid n.

उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं $m$ विभाजित $n$ , $m$ का भाजक है $n$ , $m$ का कारक है $n$ , तथा $n$ का गुणज है $m$ . यदि $m$ विभाजित नहीं करता $n$ , तो अंकन है $m\not \mid n$ .^[1]^[2] सामान्यतः, $m$ अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन $n$ शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, $m\mid 0$ प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए $m$ .^[1]^[2]कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं $m$ शून्य न हो।^[3]

सामान्य

विभाजक ऋणात्मक संख्या के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं, हालांकि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्या एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

1, −1, n और −n को n का 'तुच्छ विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो तुच्छ भाजक नहीं है, उसे 'गैर-तुच्छ भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।^[4]). कम से कम एक गैर-तुच्छ भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समग्र संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और अभाज्य संख्या ओं में कोई गैर-तुच्छ भाजक नहीं होता है।

विभाज्यता नियम हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण

File:Highly composite numbers.svg

1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक संमिश्र संख्याएँ बोल्ड में होती हैं।

*7 42 का भाजक है क्योंकि $7\times 6=42$ , तो हम कह सकते हैं $7\mid 42$ . यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।

6 के गैर-तुच्छ भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ , आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, हस आरेख है:

File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg

आगे की धारणाएं और तथ्य

कुछ प्राथमिक नियम हैं:

यदि $a\mid b$ तथा $b\mid c$ , फिर $a\mid c$ , अर्थात विभाज्यता एक सकर्मक संबंध है।
यदि $a\mid b$ तथा $b\mid a$ , फिर $a=b$ या $a=-b$ .
यदि $a\mid b$ तथा $a\mid c$ , फिर $a\mid (b+c)$ धारण करता है, के रूप में करता है $a\mid (b-c)$ .^[5] हालांकि, यदि $a\mid b$ तथा $c\mid b$ , फिर $(a+c)\mid b$ हमेशा धारण नहीं करता (उदा। $2\mid 6$ तथा $3\mid 6$ लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

यदि $a\mid bc$ , तथा $\gcd(a,b)=1$ , फिर $a\mid c$ .^{[note 1]} इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।

यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p\mid ab$ फिर $p\mid a$ या $p\mid b$ .

का धनात्मक भाजक $n$ जो इससे अलग है $n$ ए कहा जाता हैproper divisorया एकaliquot partका $n$ . एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती $n$ लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता हैaliquant partका $n$ .

पूर्णांक $n greater than 1$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

@@ Line 3: / Line 3: @@
 {{about|an integer that is a factor of another integer|a number used to divide another number in a division operation|Division (mathematics)|other uses|}}
 {{redirect|Divisible|divisibility of groups|Divisible group}}
-[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे का कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।
+[[File:Cuisenaire ten.JPG|thumb|10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10]]गणित में, एक पूर्णांक का भाजक <math>n</math>, जिसे कारक भी कहा जाता है <math>n</math>, एक [[ पूर्णांक ]] है <math>m</math> जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है <math>n</math>. ऐसे में एक का यह भी कहना है <math>n</math> का गुणज है <math>m.</math> पूर्णांक <math>n</math> किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है <math>m</math> यदि <math>m</math> का भाजक है <math>n</math>; इसका अर्थ है विभाजित करना <math>n</math> द्वारा <math>m</math> शेष नहीं रहता।
 == परिभाषा ==
-पूर्णांक {{mvar|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar|m}} यदि कोई पूर्णांक मौजूद है {{mvar|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है
+पूर्णांक {{mvar|n}} एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है {{mvar|m}} यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है {{mvar|k}} ऐसा है कि <math>n=km</math>. यह इस प्रकार लिखा गया है
 :<math>m\mid n.</math>
 उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं {{mvar|m}} विभाजित {{mvar|n}}, {{mvar|m}} का भाजक है {{mvar|n}}, {{mvar|m}} का कारक है {{mvar|n}}, तथा {{mvar|n}} का गुणज है {{mvar|m}}. यदि {{mvar|m}} विभाजित नहीं करता {{mvar|n}}, तो अंकन है <math> m\not\mid n</math>.<ref name="hardy-wright-p1">{{harnvb |Hardy|Wright|1960| p=1}}</ref><ref name="niven-p4">{{harnvb |Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=4}}</ref>
-आमतौर पर, {{mvar|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar|n}} शून्य होने की अनुमति है। इस सम्मेलन के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb |Durbin|2009| p=57|loc=Chapter III Section 10}}</ref>
+सामान्यतः, {{mvar|m}} अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन {{mvar|n}} शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, <math>m \mid 0</math> प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar|m}}.<ref name="hardy-wright-p1" /><ref name="niven-p4" />कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं <math>m</math> शून्य न हो।<ref>{{harvnb |Durbin|2009| p=57|loc=Chapter III Section 10}}</ref>

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