अवकल ज्यामिति

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एक सैडल-आकृति वाले विमान (एक अतिपरवलयिक परवलयिक) में विसर्जित एक त्रिभुज, साथ ही साथ दो अपसारी अतिपरवलयिक ज्यामिति#गैर प्रतिच्छेदन/समानांतर रेखाएं।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक गणित अनुशासन है जो चिकनी आकृतियों और चिकनी जगहों की ज्यामिति का अध्ययन करता है, अन्यथा चिकनी मैनिफोल्ड्स के रूप में जाना जाता है। इसमें अवकलन कलन, समाकलन कलन, रेखीय बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित की तकनीकों का उपयोग किया जाता है। शास्त्रीय पुरातनता के रूप में क्षेत्र की उत्पत्ति गोलाकार ज्यामिति के अध्ययन में हुई है। यह खगोल विज्ञान, पृथ्वी के भूगणित और बाद में लोबचेव्स्की द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अध्ययन से भी संबंधित है। चिकने स्थानों के सबसे सरल उदाहरण वक्रों की विभेदक ज्यामिति और त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतहों की विभेदक ज्यामिति हैं, और इन आकृतियों के अध्ययन ने 18वीं और 19वीं शताब्दियों के दौरान आधुनिक विभेदक ज्यामिति के विकास का आधार बनाया।

19वीं सदी के उत्तरार्ध के बाद से, डिफरेंशियल ज्योमेट्री अलग-अलग मैनिफोल्ड्स पर ज्यामितीय संरचनाओं के साथ अधिक सामान्यतः संबंधित क्षेत्र में विकसित हो गई है। एक ज्यामितीय संरचना वह है जो आकार, दूरी, आकार, आयतन या अन्य कठोर संरचना की कुछ धारणा को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए, रीमानियन ज्यामिति में दूरी और कोण निर्दिष्ट किए गए हैं, सहानुभूति ज्यामिति में मात्रा की गणना की जा सकती है, अनुरूप ज्यामिति में केवल कोण निर्दिष्ट किए जाते हैं, और गेज सिद्धांत (गणित) में कुछ टेंसर फ़ील्ड अंतरिक्ष पर दिए जाते हैं। विभेदक ज्यामिति बारीकी से संबंधित है, और कभी-कभी अंतर टोपोलॉजी को शामिल करने के लिए लिया जाता है, जो अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के गुणों से संबंधित होता है जो किसी भी अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना पर भरोसा नहीं करते हैं (दो विषयों के बीच अंतर पर अधिक चर्चा के लिए लेख देखें)। विभेदक ज्यामिति भी अंतर समीकरण ों के सिद्धांत के ज्यामितीय पहलुओं से संबंधित है, अन्यथा ज्यामितीय विश्लेषण के रूप में जाना जाता है।

डिफरेंशियल ज्योमेट्री गणित और प्राकृतिक विज्ञान ों में अनुप्रयोगों को खोजती है। सबसे प्रमुख रूप से विभेदक ज्यामिति की भाषा का उपयोग अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपने सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में और बाद में भौतिकविदों द्वारा क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कण भौतिकी के मानक मॉडल के विकास में किया था। भौतिकी के बाहर, डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उपयोग रसायन विज्ञान , धरती शास्त्र, अभियांत्रिकी , नियंत्रण सिद्धांत , कंप्यूटर ग्राफिक्स और कंप्यूटर दृष्टी और हाल ही में मशीन लर्निंग में किया गया है।

इतिहास और विकास

एक विषय के रूप में विभेदक ज्यामिति का इतिहास और विकास कम से कम शास्त्रीय पुरातनता के रूप में शुरू होता है। यह अंतरिक्ष और आकार की धारणा, और टोपोलॉजी, विशेष रूप से विविध के अध्ययन से अधिक आम तौर पर ज्यामिति के विकास से जुड़ा हुआ है। इस खंड में हम मुख्य रूप से ज्यामिति के लिए अतिसूक्ष्म तरीकों के अनुप्रयोग के इतिहास पर और बाद में स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के विचारों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और अंततः टेंसर और टेंसर क्षेत्रों के संदर्भ में विषय की आधुनिक औपचारिकता के विकास पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

पुनर्जागरण तक शास्त्रीय पुरातनता (300 ई.पू – 1600 ई.)

विभेदक ज्यामिति का अध्ययन, या कम से कम चिकनी आकृतियों की ज्यामिति का अध्ययन, कम से कम शास्त्रीय पुरातनता का पता लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों के समय में, पृथ्वी की ज्यामिति, एक गोलाकार ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ जाना जाता था। प्रसिद्ध रूप से, एराटोस्थनीज ने 200 ईसा पूर्व के आसपास पृथ्वी की परिधि की गणना की, और लगभग 150 ईस्वी टॉलेमी ने अपने भूगोल_ (टॉलेमी) में पृथ्वी के आकार के मानचित्रण के उद्देश्यों के लिए स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण की शुरुआत की। स्पष्ट रूप से इस पूरे समय के सिद्धांत जो विभेदक ज्यामिति और कैलकुलस की नींव बनाते हैं, का उपयोग भूगणित में किया जाता था, हालांकि बहुत सरल रूप में। अर्थात्, यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों के रूप में यह समझा गया था कि एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी प्रदान करने की अपनी संपत्ति से परिभाषित किया जा सकता है, और इसी सिद्धांत को पृथ्वी की सतह पर लागू करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि बड़े वृत्त, जो केवल स्थानीय रूप से एक समतल तल में सीधी रेखाओं के समान होते हैं, पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता प्रदान करते हैं। वास्तव में एराटोस्थनीज और अन्य लोगों द्वारा इस तरह के geodesic पथों के साथ दूरी के मापन को वक्रों की चाप की लम्बाई का प्राथमिक माप माना जा सकता है, एक ऐसी अवधारणा जिसे 1600 के दशक तक कैलकुलस के संदर्भ में एक कठोर परिभाषा नहीं दिखाई देती थी।

इस समय के आसपास ज्यामिति के अध्ययन के लिए इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत के केवल न्यूनतम प्रत्यक्ष अनुप्रयोग थे, जो विषय के आधुनिक कैलकुलस-आधारित अध्ययन का अग्रदूत था। यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में एक वृत्त के लिए एक रेखा की स्पर्शरेखा की धारणा पर चर्चा की जाती है, और आर्किमिडीज ़ ने वृत्त जैसे चिकने आकार के क्षेत्रों की गणना करने के लिए थकावट की विधि लागू की, और गोले जैसे चिकने त्रि-आयामी ठोस के आयतन, शंकु, और सिलेंडर।

पुरातनता और पुनर्जागरण की शुरुआत के बीच अंतर ज्यामिति के सिद्धांत में बहुत कम विकास हुआ था। आइजैक न्यूटन और लाइबनिट्स द्वारा कैलकुलस के विकास से पहले, अंतर ज्यामिति की समझ में सबसे महत्वपूर्ण विकास जेरार्ड मर्केटर के मर्केटर प्रोजेक्शन के विकास से पृथ्वी के मानचित्रण के तरीके के रूप में हुआ। मर्केटर को अपने नक्शा डिजाइन के फायदे और नुकसान की समझ थी, और विशेष रूप से उनके प्रक्षेपण के अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण प्रकृति के साथ-साथ प्राग के बीच अंतर, पृथ्वी पर सबसे छोटी दूरी की रेखाएं, और दिशा के बारे में पता था, उसके नक्शे पर सीधी रेखा पथ। मर्केटर ने उल्लेख किया कि इस प्रक्षेपण में प्राग तिरछी वक्रता थी।यह तथ्य एक समतल तल पर पृथ्वी की सतह के एक आइसोमेट्री | मीट्रिक-संरक्षण मानचित्र की कमी को दर्शाता है, जो गॉस के बाद के प्रमेय एग्रेगियम का परिणाम है।

पथरी के बाद (1600-1800)

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एक ऑस्क्यूलेटिंग सर्कल

गणना से इनफिनिटिमल्स और धारणाओं के सिद्धांत का उपयोग करते हुए ज्यामिति का पहला व्यवस्थित या कठोर उपचार 1600 के दशक के आसपास शुरू हुआ जब कैलकुलस को पहली बार गॉटफ्रीड लीबनिज और आइजैक न्यूटन द्वारा विकसित किया गया था। इस समय, रेने डेसकार्टेस के हालिया काम ने ज्यामिति के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत की, जिससे बढ़ती जटिलता के ज्यामितीय आकृतियों को सख्ती से वर्णित किया जा सके। विशेष रूप से इस समय के आसपास पियरे डी फ़र्माटा , न्यूटन और लाइबनिज़ ने समतल वक्र ों का अध्ययन और अवधारणाओं की जांच शुरू की जैसे कि विभक्ति बिंदु और दोलन वृत्त के वृत्त, जो वक्रता के मापन में सहायता करते हैं। वास्तव में पहले से ही अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे के लिए एक नई विधि में कैलकुलस की नींव पर, लाइबनिज ने नोट किया कि असीम स्थिति $d^{2}y=0$ एक मोड़ बिंदु के अस्तित्व को इंगित करता है। इस समय के कुछ ही समय बाद बर्नौली परिवार, जैकब बर्नौली और जोहान बर्नौली ने ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए इनफिनिटिमल्स के उपयोग में महत्वपूर्ण प्रारंभिक योगदान दिया। उस समय जोहान बर्नौली के व्याख्यानों में, बाद में गुइलौमे डे ल'हॉपिटल | एल'हॉपिटल द्वारा एनालिसिस डेस इन्फिनिमेंट पेटिट्स पोर एल'इंटेलिजेंस डेस लिग्नेस कॉर्ब्स द्वारा संकलित, विभिन्न प्रकार के समतल वक्रों की स्पर्शरेखाओं की स्थिति का उपयोग करके गणना की जाती है। $dy=0$, और इसी तरह विभक्ति के बिंदुओं की गणना की जाती है।इसी समय एक समतल वक्र के दोलन वृत्तों और स्पर्शरेखा दिशाओं के बीच ओर्थोगोनालिटी का एहसास होता है, और एक ऑक्यूलेटिंग सर्कल की त्रिज्या के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, अनिवार्य रूप से वक्रता की धारणा के लिए पहला विश्लेषणात्मक सूत्र, नीचे लिखा गया है।

एनालिटिक ज्योमेट्री और प्लेन कर्व्स के विकास के मद्देनजर, एलेक्सिस क्लेयरौट ने सिर्फ 16 साल की उम्र में स्पेस कर्व्स का अध्ययन शुरू किया था।अपनी पुस्तक क्लेराट में अंतरिक्ष वक्रों के लिए स्पर्शरेखा और उपस्पर्श दिशाओं की धारणा को उन दिशाओं के संबंध में पेश किया जो उस सतह के साथ होती हैं जिस पर अंतरिक्ष वक्र स्थित होता है। इस प्रकार क्लेराट ने सतह के स्पर्शरेखा स्थान की एक अंतर्निहित समझ का प्रदर्शन किया और पहली बार कलन का उपयोग करके इस विचार का अध्ययन किया। महत्वपूर्ण रूप से क्लेराउट ने वक्रता और दोहरी वक्रता की शब्दावली पेश की, अनिवार्य रूप से मुख्य वक्रता की धारणा बाद में गॉस और अन्य लोगों द्वारा अध्ययन की गई।

इसी समय के आसपास, मूल रूप से जोहान बर्नौली के एक छात्र, लियोनहार्ड यूलर ने न केवल ज्यामिति के विकास के लिए, बल्कि गणित के लिए और अधिक व्यापक रूप से कई महत्वपूर्ण योगदान दिए। डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संबंध में, यूलर ने पहले विश्लेषणात्मक जियोडेसिक समीकरण को प्राप्त करने वाली सतह पर एक जियोडेसिक की धारणा का अध्ययन किया, और बाद में आंतरिक ज्यामिति के सिद्धांत की शुरुआत करते हुए एक सतह पर आंतरिक समन्वय प्रणाली का पहला सेट पेश किया, जिस पर आधुनिक ज्यामितीय विचार आधारित हैं। .लगभग इसी समय मैकेनिक में