सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति

वैन डेर पोल ऑसिलेटर का चरण चित्र, आयामी प्रणाली। चरण स्थान सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति में अध्ययन का मूल उद्देश्य था।

सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति डिफरेंशियल ज्यामिति और डिफरेंशियल टोपोलॉजी की शाखा है जो सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है; जो कि एक बंद, नॉनडिजेनरेट 2-फॉर्म से लैस डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स है। सिम्पलेक्टिक ज्यामिति की उत्पत्ति पारंपरिक यांत्रिकी के हैमिल्टनियन यांत्रिकी में हुई है जहाँ कुछ पारंपरिक प्रणालियों का चरण स्थान सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की संरचना पर ले जाता है।

वेइल द्वारा प्रस्तुत किया गया शब्द "सिम्प्लेक्टिक", "जटिल" का एक समूह है; पहले, "सिम्प्लेक्टिक समूह" को "रेखा जटिल समूह" कहा जाता था। "कॉम्प्लेक्स" लैटिन कॉम-प्लेक्सस से आता है, जिसका अर्थ है "एक साथ लट" (को- + प्लेक्सस), जबकि सिम्प्लेक्टिक संबंधित ग्रीक सिम्-प्लेक्टिकोस (συμπλεκτικός) से आता है; दोनों ही स्थितियों में स्टेम इंडो-यूरोपियन रूट * pleḱ से आता है। नाम जटिल और सिम्प्लेक्टिक संरचनाओं के बीच गहरे संबंधों को दर्शाता है।

डार्बौक्स के प्रमेय के अनुसार, सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड्स स्थानीय रूप से मानक सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्थान के लिए आइसोमोर्फिक हैं, इसलिए केवल वैश्विक (टोपोलॉजिकल) अपरिवर्तनीय हैं। सिम्प्लेक्टिक टोपोलॉजी, जो सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड्स के वैश्विक गुणों का अध्ययन करती है, अधिकांश सिम्पलेक्टिक ज्यामिति के साथ एक दूसरे के स्थान पर उपयोग की जाती है।

"जटिल समूह" नाम का पूर्व में मेरे द्वारा रेखा परिसरों के संकेत में समर्थन किया गया था, क्योंकि ये एंटीसिमेट्रिक बिलिनियर रूपों के लुप्त होने से परिभाषित होते हैं, जटिल संख्या के अर्थ में "जटिल" शब्द के साथ टकराव के माध्यम से अधिक से अधिक शर्मनाक हो गए हैं। इसलिए मैं इसे संबंधित ग्रीक विशेषण "सिम्पथेटिक" से बदलने का प्रस्ताव करता हूं। डिक्सन ने एबेल को श्रद्धांजलि में समूह को "एबेलियन रैखिक समूह" कहा, जिसने पहली बार इसका अध्ययन किया था।

Weyl (1939, p. 165)

परिचय

सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति को समतल समान-आयामी स्थान पर परिभाषित किया गया है जो अलग-अलग मैनिफोल्ड्स है। इस स्थान पर ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित किया गया है, सिम्पलेक्टिक 2-फॉर्म, जो अंतरिक्ष (गणित) में द्वि-आयामी वस्तुओं के आकार के माप की अनुमति देता है। सिम्पलेक्टिक ज्यामिति में सिम्पलेक्टिक फॉर्म रिमानियन ज्यामिति में मीट्रिक टेंसर के समान भूमिका निभाता है। जहां मीट्रिक टेन्सर लंबाई और कोणों को मापता है, वहीं सिम्पलेक्टिक फॉर्म उन्मुख क्षेत्रों को मापता है।

पारंपरिक यांत्रिकी के अध्ययन से सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति उत्पन्न हुई और सिम्प्लेक्टिक संरचना का उदाहरण एक आयाम में वस्तु की गति है। वस्तु के प्रक्षेपवक्र को निर्दिष्ट करने के लिए, स्थिति (ज्यामिति) q और संवेग p दोनों की आवश्यकता होती है, जो द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष ℝ² में बिंदु (p,q) बनाता है। इस स्थिति में, सिम्प्लेक्टिक रूप है

$\omega =dp\wedge dq$

और एक क्षेत्र रूप है जो एकीकरण के माध्यम से विमान में एक क्षेत्र S के क्षेत्र A को मापता है:

$A=\int _{S}\omega .$

क्षेत्र महत्वपूर्ण है क्योंकि रूढ़िवादी प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह क्षेत्र अपरिवर्तनीय है।

उच्च आयामी सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति को समान रूप से परिभाषित किया गया है। दिशाओं के जोड़े से 2n-आयामी सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति बनती है

$((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))$

2n-आयामी मैनिफोल्ड्स में सिम्प्लेक्टिक रूप के साथ

$\omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

यह सिम्प्लेक्टिक रूप अंतरिक्ष में 2n-आयामी क्षेत्र V के आकार का उत्पादन करता है, जो दिशाओं के जोड़े द्वारा गठित प्रत्येक विमान पर V के अनुमानों के क्षेत्रों के योग के रूप में होता है।

$A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

रीमानियन ज्यामिति के साथ तुलना

सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति में रीमैनियन ज्यामिति से कई समानताएं और अंतर हैं, जो नॉनडिजेनरेट, सिमिट्रिक 2-टेंसर (मीट्रिक टेंसर कहा जाता है) से लैस डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स का अध्ययन है। रीमैनियन स्थिति के विपरीत, सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड में वक्रता जैसे कोई स्थानीय आविष्कार नहीं होते हैं। यह डार्बौक्स के प्रमेय का एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि 2n-आयामी सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड के किसी भी बिंदु का निकट ℝ²ⁿ के खुले सेट पर मानक सिम्पलेक्टिक संरचना के लिए आइसोमॉर्फिक है। रीमैनियन ज्यामिति के साथ और अंतर यह है कि प्रत्येक अलग-अलग मैनिफोल्ड्स को सिम्प्लेक्टिक रूप स्वीकार करने की आवश्यकता नहीं है; कुछ सामयिक प्रतिबंध हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स सम-आयामी और उन्मुख है। इसके अतिरिक्त, यदि M बंद सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स है, तो दूसरा डॉ कोहोलॉजी समूह (गणित) H²(M) तुच्छ नहीं है; इसका तात्पर्य है, उदाहरण के लिए, केवल n-क्षेत्र जो एक सिम्प्लेक्टिक रूप को स्वीकार करता है वह 2- वृत्त है। एक समानांतर जिसे दो विषयों के बीच खींचा जा सकता है, वह है रीमानियन ज्यामिति में जियोडेसिक्स और सिम्पलेक्टिक ज्यामिति में स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्रों के बीच सादृश्य: जियोडेसिक्स सबसे कम लंबाई (स्थानीय रूप से) के वक्र हैं, जबकि स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र न्यूनतम क्षेत्र की सतह हैं। दोनों अवधारणाएं अपने-अपने विषयों में मौलिक भूमिका निभाती हैं।

उदाहरण और संरचनाएं

प्रत्येक काहलर मैनिफोल्ड्स भी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स है। 1970 के दशक में, सिम्प्लेक्टिक विशेषज्ञ अनिश्चित थे कि क्या कोई कॉम्पैक्ट गैर-कैहलर सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स उपस्थित है, किन्तु तब से कई उदाहरणों का निर्माण (पहला विलियम थर्स्टन के कारण था) किया गया है; विशेष रूप से, रॉबर्ट गोम्फ ने दिखाया है कि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह कुछ सिम्प्लेक्टिक 4-मैनिफोल्ड्स के मौलिक समूह के रूप में होता है, जो काहलर स्थिति के विपरीत है।

कोई कह सकता है कि अधिकांश सिम्प्लेक्टिक गुणक काहलर नहीं हैं; और इसलिए सिम्प्लेक्टिक रूप के साथ संगत एकीकृत रैखिक जटिल संरचना नहीं है। चूंकि, मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) ने महत्वपूर्ण अवलोकन किया कि सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड संगत लगभग जटिल संरचनाओं की बहुतायत को स्वीकार करते हैं, जिससे वे काहलर मैनिफोल्ड के लिए सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट कर सकें, अतिरिक्त आवश्यकता के कि संक्रमण मानचित्र होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हो।

ग्रोमोव ने स्यूडोहोलोमोर्फिक कर्व्स के सिद्धांत को विकसित करने के लिए सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स पर लगभग जटिल संरचनाओं के अस्तित्व का उपयोग किया था, जिसके कारण सिम्प्लेक्टिक टोपोलॉजी में कई प्रगति हुई है, जिसमें सिम्प्लेक्टिक अपरिवर्तनीय्स का वर्ग भी सम्मिलित है, जिसे अब ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय्स के रूप में जाना जाता है। बाद में, स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र विधि का उपयोग करते हुए एंड्रियास फ्लोर ने सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति में और महत्वपूर्ण उपकरण का आविष्कार किया था, जिसे फ्लोर होमोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• ज्यामिति से संपर्क करें
• ज्यामितीय यांत्रिकी
• पल नक्शा
• पोइसन ज्यामिति
• सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर
• सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान

संदर्भ

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Arnol'd, V. I. (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [First steps in symplectic topology]. Успехи математических наук (in русский). 41 (6(252)): 3–18. doi:10.1070/RM1986v041n06ABEH004221. ISSN 0036-0279. S2CID 250908036 – via Russian Mathematical Surveys, 1986, 41:6, 1–21.
• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Fomenko, A. T. (1995). Symplectic Geometry (2nd ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3. (An undergraduate level introduction.)
• de Gosson, Maurice A. (2006). Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Weinstein, Alan (1981). "Symplectic Geometry" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 5 (1): 1–13. doi:10.1090/s0273-0979-1981-14911-9.
• Weyl, Hermann (1939). The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255.

बाहरी संबंध

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• "Symplectic structure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]