सघन समूह

This article is about mathematics. For astronomy of galaxies, see galaxy group.

File:Circle as Lie group.svg

जटिल तल में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 का वृत्त जटिल गुणन वाला एक सघन झूठ समूह है।

गणित में, एक कॉम्पैक्ट (टोपोलॉजिकल) समूह एक टोपोलॉजिकल समूह होता है जिसकी टोपोलॉजी इसे एक सघन स्थान के रूप में महसूस करती है (जब समूह का एक तत्व संचालित होता है, तो परिणाम भी समूह के भीतर होता है)। सघन समूह असतत टोपोलॉजी के साथ परिमित समूहों का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है और इसमें ऐसे गुण होते हैं जो महत्वपूर्ण फैशन में आगे बढ़ते हैं। समूह कार्रवाई (गणित) और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संबंध में, कॉम्पैक्ट समूहों के पास एक अच्छी तरह से समझा जाने वाला सिद्धांत है।

निम्नलिखित में हम मान लेंगे कि सभी समूह हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं।

संक्षिप्त झूठ समूह

झूठ समूह टोपोलॉजिकल समूहों का एक वर्ग बनाते हैं, और कॉम्पैक्ट झूठ समूहों में एक विशेष रूप से अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत होता है। कॉम्पैक्ट लाई समूहों के बुनियादी उदाहरणों में शामिल हैं

• वृत्त समूह टी और टोरस समूह टीⁿ,
• ऑर्थोगोनल समूह O(n), विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) और इसका कवरिंग स्पिन समूह स्पिन(n),
• एकात्मक समूह U(n) और विशेष एकात्मक समूह SU(n),
• असाधारण झूठ समूहों के संक्षिप्त रूप: G2 (गणित)|G₂, F4 (गणित)|F₄, ई6 (गणित)|ई₆, ई7 (गणित)|ई₇, और E8 (गणित)|ई₈.

कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण प्रमेय में कहा गया है कि परिमित समूह विस्तार और परिमित कवरिंग समूह तक यह उदाहरणों की सूची को समाप्त कर देता है (जिसमें पहले से ही कुछ अतिरेक शामिल हैं)। इस वर्गीकरण को अगले उपधारा में अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है।

वर्गीकरण

किसी भी कॉम्पैक्ट लाई ग्रुप जी को देखते हुए कोई इसका पहचान घटक जी ले सकता है₀, जो स्थान से जुड़ा हुआ है। भागफल समूह G/G₀ घटकों का समूह है π₀(जी) जो परिमित होना चाहिए क्योंकि जी सघन है। इसलिए हमारे पास एक सीमित विस्तार है

$1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.$

इस बीच, कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूहों के लिए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं:

प्रमेय: प्रत्येक जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट लाई समूह एक सरल रूप से जुड़े कॉम्पैक्ट लाई समूह और एक टोरस के उत्पाद के एक परिमित केंद्रीय उपसमूह द्वारा भागफल है।

इस प्रकार, जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण को सैद्धांतिक रूप से उनके केंद्रों के बारे में जानकारी के साथ-साथ बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के ज्ञान तक कम किया जा सकता है। (केंद्र के बारे में जानकारी के लिए, मौलिक समूह और केंद्र पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

अंत में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, बस-कनेक्टेड लाई समूह के सीमित रूप से कई कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड, बस-कनेक्टेड सरल लाई ग्रुप के का एक उत्पाद है।_i जिनमें से प्रत्येक बिल्कुल निम्नलिखित में से किसी एक का समरूपी है:

• द सिंपलेक्टिक ग्रुप#Sp.28n.29 $\operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1$
• विशेष एकात्मक समूह $\operatorname {SU} (n),\,n\geq 3$
• स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7$

या पाँच असाधारण समूहों G2 (गणित)|G में से एक₂, F4 (गणित)|F₄, ई6 (गणित)|ई₆, ई7 (गणित)|ई₇, और E8 (गणित)|ई₈. n पर प्रतिबंध n के छोटे मूल्यों के लिए विभिन्न परिवारों के बीच विशेष समरूपता से बचने के लिए हैं। इनमें से प्रत्येक समूह के लिए, केंद्र स्पष्ट रूप से जाना जाता है। वर्गीकरण संबंधित जड़ प्रणाली (एक निश्चित अधिकतम टोरस के लिए) के माध्यम से होता है, जिसे बदले में उनके डिनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।

सघन, सरलता से जुड़े लाई समूहों का वर्गीकरण जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। वास्तव में, यदि K एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट लाई समूह है, तो K के लाई बीजगणित की जटिलता अर्धसरल है। इसके विपरीत, प्रत्येक जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कॉम्पैक्ट, बस जुड़े हुए लाई समूह के लाई बीजगणित के लिए एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप आइसोमोर्फिक होता है।

अधिकतम टोरी और रूट सिस्टम

See also: Maximal torus and Root system

कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह K के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण विचार एक अधिकतम टोरस की अवधारणा है, जो कि K का एक उपसमूह T है जो कि कई प्रतियों के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है। $S^{1}$ और वह इस प्रकार के किसी भी बड़े उपसमूह में शामिल नहीं है। एक बुनियादी उदाहरण मामला है $K=\operatorname {SU} (n)$, जिस स्थिति में हम ले सकते हैं $T$ में विकर्ण तत्वों का समूह होना $K$. एक मूल परिणाम टोरस प्रमेय है जो बताता है कि प्रत्येक तत्व $K$ अधिकतम टोरस से संबंधित है और सभी अधिकतम टोरी संयुग्मित हैं।

एक कॉम्पैक्ट समूह में अधिकतम टोरस एक जटिल सेमीसिम्पल लाई बीजगणित में सेमीसिम्पल लाई बीजगणित#कार्टन सबलेजेब्रा और रूट सिस्टम के समान भूमिका निभाता है। विशेष रूप से, एक बार अधिकतम टोरस $T\subset K$ चुना गया है, कोई एक रूट सिस्टम और एक वेइल समूह को परिभाषित कर सकता है, जैसा कि किसी के पास सेमीसिम्पल लाई अलजेब्रा के लिए होता है। ये संरचनाएं जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूहों (ऊपर वर्णित) के वर्गीकरण और एक निश्चित ऐसे समूह (नीचे वर्णित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत दोनों में एक आवश्यक भूमिका निभाती हैं।

सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूहों के वर्गीकरण में दिखने वाले सरल कॉम्पैक्ट समूहों से जुड़ी रूट प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:

• विशेष एकात्मक समूह $\operatorname {SU} (n)$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $A_{n-1}$
• विषम स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (2n+1)$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $B_{n}$
• संहत सहानुभूति समूह $\operatorname {Sp} (n)$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $C_{n}$
• समान स्पिन समूह $\operatorname {Spin} (2n)$ जड़ प्रणाली के अनुरूप $D_{n}$
• असाधारण कॉम्पैक्ट लाई समूह पांच असाधारण रूट सिस्टम जी के अनुरूप हैं₂, एफ₄, और₆, और₇, या ई₈

मौलिक समूह और केंद्र

See also: Fundamental group § Lie groups

यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह बस जुड़ा हुआ है, और यदि नहीं, तो इसके मौलिक समूह को निर्धारित करने के लिए। सघन झूठ समूहों के लिए, मौलिक समूह की गणना करने के लिए मौलिक समूह # झूठ समूह हैं। पहला दृष्टिकोण शास्त्रीय कॉम्पैक्ट समूहों पर लागू होता है $\operatorname {SU} (n)$, $\operatorname {U} (n)$, $\operatorname {SO} (n)$, और $\operatorname {Sp} (n)$ और प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है $n$. दूसरा दृष्टिकोण रूट सिस्टम का उपयोग करता है और सभी जुड़े कॉम्पैक्ट लाई समूहों पर लागू होता है।

कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह के केंद्र को जानना भी महत्वपूर्ण है। एक शास्त्रीय समूह का केंद्र $G$ आसानी से हाथ से गणना की जा सकती है, और ज्यादातर मामलों में इसमें पहचान की जो भी जड़ें हैं, वे शामिल होती हैं $G$. (समूह SO(2) एक अपवाद है - केंद्र पूरा समूह है, भले ही अधिकांश तत्व पहचान की जड़ें नहीं हैं।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, का केंद्र $\operatorname {SU} (n)$ एकता गुणा पहचान की nवीं जड़ों से मिलकर बनता है, क्रम का एक चक्रीय समूह $n$.

सामान्य तौर पर, केंद्र को अधिकतम टोरस के लिए रूट जाली और घातीय मानचित्र के कर्नेल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य विधि से पता चलता है कि असाधारण रूट सिस्टम के अनुरूप बस जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट समूह $G_{2}$ तुच्छ केंद्र है. इस प्रकार, G2 (गणित)|कॉम्पैक्ट $G_{2}$ समूह बहुत कम सरल कॉम्पैक्ट समूहों में से एक है जो एक साथ आसानी से जुड़े हुए हैं और केंद्र मुक्त हैं। (अन्य F4 (गणित) हैं|$F_{4}$और E8 (गणित)|$E_{8}$.)

आगे के उदाहरण

उन समूहों में से जो झूठ समूह नहीं हैं, और इसलिए कई गुना की संरचना नहीं रखते हैं, उदाहरण योगात्मक समूह Z हैं_p पी-एडिक पूर्णांकों का, और उससे निर्माण। वास्तव में कोई भी अनंत समूह एक सघन समूह होता है। इसका मतलब यह है कि गैलोज़ समूह कॉम्पैक्ट समूह हैं, जो अनंत डिग्री के मामले में बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत के लिए एक बुनियादी तथ्य है।

पोंट्रीगिन द्वंद्व कॉम्पैक्ट कम्यूटेटिव समूहों के उदाहरणों की एक बड़ी आपूर्ति प्रदान करता है। ये एबेलियन असतत समूहों के साथ द्वंद्व में हैं।

उसका माप

See also: Peter–Weyl theorem

सभी सघन समूहों में हार माप होता है, जो बाएँ और दाएँ दोनों अनुवादों द्वारा अपरिवर्तनीय होगा (हार माप सकारात्मक वास्तविकताओं के लिए एक सतत समरूपता होनी चाहिए (आर)⁺, ×), और इसी प्रकार 1). दूसरे शब्दों में, ये समूह एक-मॉड्यूलर समूह हैं। सर्कल पर dθ/2π के अनुरूप, Haar माप को संभाव्यता माप के रूप में आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

ऐसे हार माप की गणना कई मामलों में आसान है; उदाहरण के लिए ऑर्थोगोनल समूहों के लिए यह एडॉल्फ हर्विट्ज़ को ज्ञात था, और लाई समूह में मामलों को हमेशा एक अपरिवर्तनीय अंतर रूप द्वारा दिया जा सकता है। अनंत मामले में परिमित सूचकांक के कई उपसमूह होते हैं, और सहसमुच्चय का हार माप सूचकांक का व्युत्क्रम होगा। इसलिए, अभिन्नों की गणना अक्सर सीधे तौर पर की जा सकती है, यह तथ्य संख्या सिद्धांत में लगातार लागू होता है।

अगर $K$ एक सघन समूह है और $m$ संबंधित हार माप है, पीटर-वेइल प्रमेय का अपघटन प्रदान करता है $L^{2}(K,dm)$ के अघुलनशील अभ्यावेदन के लिए मैट्रिक्स प्रविष्टियों के परिमित-आयामी उप-स्थानों के एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग के रूप में $K$.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

कॉम्पैक्ट समूहों (जरूरी नहीं कि झूठ समूह हों और जरूरी नहीं कि जुड़े हों) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया था। हरमन वेइल ने अधिकतम टोरस स�