अंकगणितीय कार्य

संख्या सिद्धांत में, एक अंकगणितीय, अंकगणितीय, या संख्या-सैद्धांतिक कार्य अधिकांश लेखकों के लिए है | कोई भी फलन (गणित) f(n) जिसका प्रांत प्राकृत संख्या है और जिसका विस्तार सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय है। हार्डी एंड राइट ने अपनी परिभाषा में इस आवश्यकता को शामिल किया है कि एक अंकगणितीय फलन n की कुछ अंकगणितीय संपत्ति को व्यक्त करता है। एक अंकगणितीय फलन का एक उदाहरण विभाजक फलन है जिसका मान धनात्मक पूर्णांक n पर n के विभाजकों की संख्या के बराबर है।

संख्या-सैद्धांतिक कार्यों का एक बड़ा वर्ग है जो उपरोक्त परिभाषा में फिट नहीं होता है, उदाहरण के लिए, अभाज्य-गणना कार्य। यह आलेख दोनों वर्गों के कार्यों के लिंक प्रदान करता है।

अंकगणितीय कार्य अक्सर अत्यंत अनियमित होते हैं (कुछ अंकगणितीय कार्यों के #पहले 100 मान देखें), लेकिन उनमें से कुछ में रामानुजन के योग के संदर्भ में श्रृंखला विस्तार है।

गुणक और योगात्मक कार्य

एक अंकगणितीय फलन a है

• 'पूर्ण योग फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;
• 'पूरी तरह से गुणा फलन' अगर a(mn) = a(m)a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;

दो पूर्ण संख्याएँ m और n सहअभाज्य कहलाती हैं यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है, अर्थात यदि कोई अभाज्य संख्या नहीं है जो दोनों को विभाजित करती है।

तब एक अंकगणितीय फलन a है

• 'योगात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी coprime प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;
• 'गुणात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m)a(n) सभी सहअभाज्य प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए।

नोटेशन

इस आलेख में, ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$ और ${\textstyle \prod _{p}f(p)}$ इसका मतलब है कि योग या उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है:

$$\sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots$$

और

$$\prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .$$

इसी प्रकार, ${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$ और ${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$ इसका मतलब है कि योग या उत्पाद पूरी तरह से सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है (इसलिए k = 0 शामिल नहीं है):

$$\sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .$$

अंकन ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ और ${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$ इसका अर्थ है कि योग या गुणनफल n के सभी धनात्मक विभाजकों से अधिक है, जिसमें 1 और n शामिल हैं। उदाहरण के लिए, अगर n = 12, तब

$$\prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).$$

नोटेशन को जोड़ा जा सकता है: ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$ और ${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$ इसका मतलब है कि योग या उत्पाद n के सभी प्रमुख विभाजकों से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि n = 18, तब

$$\sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),$$

और इसी तरह ${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ और ${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ इसका मतलब यह है कि योग या उत्पाद एन को विभाजित करने वाली सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि n = 24, तब

$$\prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).$$

Ω(एन), ω(एन), एन_p(एन) - प्रधान शक्ति अपघटन

अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n को अभाज्य की शक्तियों के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है: $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$ जहां प₁ < पृ₂ < ... < पी_k अभाज्य हैं और ए_jसकारात्मक पूर्णांक हैं। (1 खाली उत्पाद द्वारा दिया गया है।)

इसे सभी अभाज्य संख्याओं पर अनंत गुणनफल के रूप में लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, जहां परिमित संख्या को छोड़कर सभी में शून्य घातांक होता है। p-adic मूल्यांकन|p-adic मूल्यांकन 'ν परिभाषित करें_p(n)' प्रधान p की उच्चतम शक्ति का प्रतिपादक होना जो n को विभाजित करता है। अर्थात, यदि p, p में से एक है_i फिर वी_p(एन) = ए_i, अन्यथा यह शून्य है। तब

$$n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.$$

उपरोक्त के संदर्भ में प्राइम ओमेगा फलन ω और Ω द्वारा परिभाषित किया गया है

ω(n) = k,

Ω(n) = a₁ + a₂ + ... + a_k.

पुनरावृत्ति से बचने के लिए, इस आलेख में सूचीबद्ध कार्यों के लिए जब भी संभव सूत्र एन और संबंधित पी के संदर्भ में दिए गए हैं_i, ए_i, ω, और Ω।

गुणक कार्य

पी_k(एन), τ(एन), डी(एन) - विभाजक रकम

'भाजक समारोह | पी_k(n)' n के सकारात्मक विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है, जिसमें 1 और n शामिल हैं, जहाँ k एक सम्मिश्र संख्या है।

'σ₁(n)', n के (सकारात्मक) विभाजकों का योग, आमतौर पर 'σ(n)' द्वारा दर्शाया जाता है।

चूँकि शून्य घात की एक धनात्मक संख्या एक है, 'σ₀(n)' इसलिए n के (सकारात्मक) विभाजकों की संख्या है; इसे आमतौर पर 'd(n)' या 'τ(n)' (जर्मन टेयलर = विभाजक के लिए) द्वारा दर्शाया जाता है।

$$\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).$$

दूसरे गुणनफल में k = 0 सेट करने पर प्राप्त होता है

$$\tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).$$

φ(n) - यूलर टोटिएंट फंक्शन

'यूलर टोटिएंट फंक्शन|φ(n)', यूलर टोटिएंट फंक्शन, धनात्मक पूर्णांकों की वह संख्या है जो n से अधिक नहीं है जो n के सहअभाज्य हैं।

$$\varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).$$

जे_k(एन) - जॉर्डन कुल समारोह

'जॉर्डन कुल समारोह | जे_k(n)', जोर्डन टोटिएंट फंक्शन, n से कम या उसके बराबर सकारात्मक पूर्णांकों के k-टुपल्स की संख्या है जो n के साथ मिलकर एक कोप्राइम (k + 1)-ट्यूपल बनाता है। यह यूलर के टोटेंट का सामान्यीकरण है, φ(n) = J₁(n).

$$J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).$$

μ(एन) - मोबियस फलन

'मोबियस फलन|μ(n)', मोबियस फलन, मोबियस उलटा सूत्र के कारण महत्वपूर्ण है। नीचे #Dirichlet कनवल्शन देखें।

$$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}$$

इसका तात्पर्य है कि μ(1) = 1. (क्योंकि Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ(n) – रामानुजन ताऊ फलन

'रामानुजन ताऊ फलन|τ(n)', रामानुजन ताऊ फलन, इसकी जनक फलन पहचान द्वारा परिभाषित है:

$$\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.$$

हालांकि यह कहना मुश्किल है कि वास्तव में n का अंकगणितीय गुण क्या व्यक्त करता है, (τ(n) है (2π)^{मॉड्यूलर डिस्क्रिमिनेंट#मॉड्यूलर डिस्क्रिमिनेंट फलन के q-विस्तार में −12} गुना nवां फूरियर गुणांक) इसे अंकगणितीय कार्यों में शामिल किया गया है क्योंकि यह गुणक है और यह कुछ σ वाली सर्वसमिकाओं में होता है_k(एन) और आर_k(एन) कार्य करता है (क्योंकि ये भी मॉड्यूलर रूपों के विस्तार में गुणांक हैं)।

सी_q(एन) - रामानुजन का योग

'रामानुजन की राशि | सी_q(n)', रामानुजन का योग, एकता के आदिम qवें मूल की nवीं शक्तियों का योग है:

$$c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.$$

भले ही इसे जटिल संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया गया हो (q के अधिकांश मानों के लिए अपरिमेय), यह एक पूर्णांक है। n के निश्चित मान के लिए यह q में गुणक है:

'यदि q और r सहअभाज्य हैं', तब $c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).$

ψ(n) - डेडकाइंड साई फंक्शन

डेडेकाइंड साई फंक्शन सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).$$

पूरी तरह से गुणात्मक कार्य

λ (एन) - लिउविल फलन

'लिउविल फंक्शन|λ(n)', लिउविल फंक्शन, द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.$$

χ(एन) - अक्षर

सभी 'डिरिचलेट वर्ण χ(n)' पूरी तरह गुणक हैं। दो वर्णों के विशेष अंकन हैं:

'प्रमुख चरित्र (मॉड एन)' को χ द्वारा निरूपित किया जाता है₀(ए) (या χ₁(ए))। इसे के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}$$

द्विघात वर्ण (mod n) विषम n के लिए जैकोबी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है (यह n के लिए भी परिभाषित नहीं है):

$$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.$$

इस सूत्र में $({\tfrac {a}{p}})$ लीजेंड्रे प्रतीक है, जो सभी पूर्णांकों a और सभी विषम अभाज्य p द्वारा परिभाषित है

$$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}$$

खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन के बाद, $\left({\frac {a}{1}}\right)=1.$

योगात्मक कार्य

ω(n) - विशिष्ट अभाज्य भाजक

'ω(n)', n को विभाजित करने वाली अलग-अलग प्राइम्स की संख्या के रूप में ऊपर परिभाषित, योगात्मक है (प्राइम ओमेगा फलन देखें)।

पूरी तरह से योगात्मक कार्य

Ω(एन) - प्रधान विभाजक

'प्राइम फ़ैक्टर|Ω(n)', जिसे ऊपर n के प्राइम फ़ैक्टर की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे बहुगुणों के साथ गिना जाता है, पूरी तरह से योगात्मक है (प्राइम ओमेगा फलन देखें)।

एन_p(एन) - पी-एडिक वैल्यूएशन|पी-एडिक वैल्यूएशन ऑफ एन इंटीजर एन

नियत अभाज्य p के लिए, 'ν_p(n)', जिसे ऊपर n को विभाजित करने वाले p की सबसे बड़ी शक्ति के घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है, पूरी तरह से योज्य है।

लघुगणक व्युत्पन्न

$\operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}$, कहाँ $D(n)$ अंकगणितीय व्युत्पन्न है।

न तो गुणक और न ही योगात्मक

π(x), Π(x), θ(x), ψ(x) - प्राइम-काउंटिंग फलन

ये महत्वपूर्ण कार्य (जो अंकगणितीय कार्य नहीं हैं) को गैर-नकारात्मक वास्तविक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, और विभिन्न बयानों और अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाणों में उपयोग किया जाता है। वे अंकगणितीय कार्यों के योग कार्य हैं (नीचे मुख्य भाग देखें) जो न तो गुणक हैं और न ही योगात्मक हैं।

'प्राइम-काउंटिंग फंक्शन |π(x)', प्राइम-काउंटिंग फलन, प्राइम्स की संख्या x से अधिक नहीं है। यह अभाज्य संख्याओं के सूचक फलन का योग फलन है।

$$\pi (x)=\sum _{p\leq x}1$$

एक संबंधित फलन प्राइम शक्तियों की गणना करता है, प्राइम के लिए वजन 1, उनके वर्गों के लिए 1/2, क्यूब्स के लिए 1/3, ... यह अंकगणितीय फलन का योग फलन है जो पूर्णांक पर मान 1/k लेता है जो k हैं कुछ अभाज्य संख्या की -थ घात, और अन्य पूर्णांकों पर मान 0।

$$\Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.$$

चेबीशेव फलन|θ(x) और ψ(x), चेबीशेव फलन, को अभाज्य संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जो x' से अधिक नहीं है '।

$$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,$$

$$\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.$$

चेबीशेव फलन ψ(x) ठीक नीचे वॉन मैंगोल्ड्ट फलन का योग फलन है।

Λ(एन) - वॉन मैंगोल्ड फलन

'वॉन मैंगोल्ड फलन|Λ(n)', वॉन मैंगोल्ड फलन, 0 है जब तक कि तर्क n एक प्रमुख शक्ति नहीं है p^k, जिस स्थिति में यह अभाज्य p का प्राकृतिक लघुगणक है:

$$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}$$

पी (एन) - विभाजन समारोह

'विभाजन फलन (संख्या सिद्धांत)|p(n)', विभाजन फलन, धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में n को दर्शाने के तरीकों की संख्या है, जहां भिन्न क्रम में समान योग वाले दो निरूपणों को भिन्न होने के रूप में नहीं गिना जाता है :

$$p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.$$

λ (एन) - कारमाइकल फलन

'कारमाइकल फंक्शन|λ(n)', कारमाइकल फंक्शन, सबसे छोटी सकारात्मक संख्या है जैसे कि $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ सभी के लिए n के लिए एक coprime। समतुल्य रूप से, यह पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह के तत्वों के आदेशों का कम से कम सामान्य गुणक है।

विषम अभाज्य संख्याओं की घातों के लिए और 2 और 4 के लिए, λ(n) n के यूलर कुल फलन के बराबर है; 4 से अधिक 2 की शक्तियों के लिए यह n के यूलर टोटेंट फलन के आधे के बराबर है:

$$\lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}$$

और सामान्य n के लिए यह n के प्रमुख शक्ति कारकों में से प्रत्येक के λ का कम से कम सामान्य गुणक है:

$$\lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].$$

एच (एन) - कक्षा संख्या

'आदर्श वर्ग समूह|h(n)', वर्ग संख्या फलन, विविक्तकर n वाले परिमेय के बीजगणितीय विस्तार के आदर्श वर्ग समूह का क्रम है। संकेतन अस्पष्ट है, क्योंकि सामान्य रूप से एक ही विवेचक के साथ कई विस्तार होते हैं। शास्त्रीय उदाहरणों के लिए द्विघात क्षेत्र और चक्रीय क्षेत्र देखें।

आर_k(एन) - के वर्गों का योग

'वर्गों का योग फलन|आर_k(n)' उन तरीकों की संख्या है जिन्हें n को k वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ निरूपण जो केवल योग के क्रम में भिन्न होते हैं या वर्गमूल के चिह्नों में भिन्न के रूप में गिने जाते हैं।

$$r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|$$

डी (एन) - अंकगणितीय व्युत्पन्न

डेरिवेटिव के लिए डिफरेंशियल ऑपरेटर # नोटेशन का उपयोग करना, अंकगणितीय डेरिवेटिव डी (एन) एक ऐसा फलन है

• $D(n)=1$ अगर एन प्राइम, और
• $D(mn)=mD(n)+D(m)n$ (उत्पाद नियम)

योग समारोह

एक अंकगणितीय फलन दिया गया है), यह 'समेशन फलन' A(x) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).$$

A को एक वास्तविक चर के कार्य के रूप में माना जा सकता है। एक सकारात्मक पूर्णांक एम दिया गया है, ए खुले अंतराल एम <एक्स <एम + 1 के साथ स्थिर है, और प्रत्येक पूर्णांक पर असंतोष का वर्गीकरण है जिसके लिए ए (एम) ≠ 0 है।

चूँकि इस तरह के कार्यों को अक्सर श्रृंखला और अभिन्न द्वारा दर्शाया जाता है, बिंदुवार अभिसरण प्राप्त करने के लिए यह सामान्य रूप से बाएँ और दाएँ मानों के औसत के रूप में विच्छिन्नता पर मान को परिभाषित करता है:

$$A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).$$

अंकगणितीय कार्यों के व्यक्तिगत मूल्यों में बेतहाशा उतार-चढ़ाव हो सकता है - जैसा कि उपरोक्त अधिकांश उदाहरणों में है। योग कार्य इन उतार-चढ़ाव को सुचारू करते हैं। कुछ मामलों में यह संभव हो सकता है कि बड़े x के योग समारोह के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण खोजा जाए।

इस घटना का एक शास्त्रीय उदाहरण विभाजक सारांश समारोह द्वारा दिया जाता है, डी (एन) का योग समारोह, एन के विभाजकों की संख्या:

$$\liminf _{n\to \infty }d(n)=2$$

$$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2$$

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.$$

एक अंकगणितीय फलन का एक औसत क्रम कुछ सरल या बेहतर समझा जाने वाला फलन होता है, जिसमें समान रूप से समान योग फलन होता है, और इसलिए औसत पर समान मान लेता है। हम कहते हैं कि g f का औसत क्रम है यदि

$$\sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)$$

एक्स के रूप में अनंत की ओर जाता है। उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि डी (एन) में औसत ऑर्डर लॉग (एन) है।

डिरिचलेट कनवल्शन

अंकगणितीय फलन a(n) दिया है, मान लीजिए F_a(s), जटिल s के लिए, संबंधित डिरिचलेट श्रृंखला (जहां यह अभिसारी श्रृंखला) द्वारा परिभाषित कार्य है:

$$F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.$$

F_a(s) को a(n) का जनरेटिंग फंक्शन कहा जाता है। सभी n के लिए स्थिर फलन a(n) = 1 के अनुरूप ऐसी सबसे सरल श्रृंखला, ς(s) रीमैन जीटा फलन है।

मोबियस फलन का जनरेटिंग फलन ज़ेटा फलन का व्युत्क्रम है:

$$\zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>0.$$

दो अंकगणितीय कार्यों a और b और उनके संबंधित जनन फलन F पर विचार करें_a(एस) और एफ_b(एस)। उत्पाद एफ_a(एस) एफ_b(एस) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).$$

यह दिखाने के लिए एक सीधा अभ्यास है कि यदि c(n) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),$$

तब

$$F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).$$

इस फलन c को a और b का डिरिचलेट कनवल्शन कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है $a*b$.

एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण मामला सभी n के लिए स्थिर फलन a(n) = 1 के साथ कनवल्शन है, जो जेता फलन द्वारा जनरेटिंग फलन को गुणा करने के अनुरूप है:

$$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).$$

ज़ेटा फलन के व्युत्क्रम से गुणा करने पर मोबियस उलटा सूत्र मिलता है:

$$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).$$

यदि f गुणक है, तो g भी गुणक है। अगर f पूरी तरह से गुणक है, तो g गुणक है, लेकिन पूरी तरह से गुणक हो भी सकता है और नहीं भी।

कार्यों के बीच संबंध

अंकगणितीय कार्यों को एक दूसरे के साथ और विश्लेषण के कार्यों, विशेष रूप से शक्तियों, जड़ों, और घातीय और लॉग कार्यों के साथ जोड़ने वाले बहुत से सूत्र हैं। पृष्ठ विभाजक योग पहचान में अंकगणितीय कार्यों को शामिल करने वाली पहचान के कई और सामान्यीकृत और संबंधित उदाहरण हैं।

कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

डिरिचलेट कनवल्शन

$\sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}$ जहां λ लिउविल फलन है।

$\sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.$      

$\varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.$ मोबियस उलटा

$\sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.$      

$J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.$ मोबियस उलटा

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)$      

$\sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).$      

$\sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.$      

$|\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.$ मोबियस उलटा

$\sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).$      

$2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).$ मोबियस उलटा

$\sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).$      

$d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).$ मोबियस उलटा

$\sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).$      

$\sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}$ जहां λ लिउविल समारोह है।

$\sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.$      

$\Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).$ मोबियस उलटा

वर्गों का योग

सभी के लिए $k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.$ (लैग्रेंज का चार-वर्ग प्रमेय)।

$r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),$

जहां क्रोनकर प्रतीक का मान है

$\left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}$

आर के लिए एक सूत्र है₃ नीचे #कक्षा संख्या से संबंधित अनुभाग में।

$$r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},$$

कहाँ ν = ν₂(n).    

$$r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},$$

कहाँ $\chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).$<रेफरी नाम = हार्डी एंड राइट, § 20.13>हार्डी एंड राइट, § 20.13</ref>

फलन को परिभाषित कीजिए σ_k^*(n) जैसा

$$\sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}$$

अर्थात्, यदि n विषम है, σ_k^*(n) n के विभाजकों की kवीं शक्तियों का योग है, अर्थात, σ_k(n), और यदि n भी है तो यह n के सम विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है जो n के विषम विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है।

$r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).$ <रेफरी नाम = हार्डी एंड राइट, § 20.13 />

रामानुजन की जो परम्परा है उसे अपनाओ τ(x) = 0 यदि x 'पूर्णांक नहीं है।'

$r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}$    

भाजक योग कनवल्शन

यहाँ कनवल्शन का मतलब डिरिचलेट कनवल्शन नहीं है, बल्कि पावर सीरीज़ के गुणांकों के लिए फॉर्मूला को संदर्भित करता है # गुणन और विभाजन:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.$

क्रम $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ अनुक्रम a का कनवल्शन या कॉची उत्पाद कहा जाता है_n और बी_n.
इन सूत्रों को विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है (आइज़ेंस्टीन श्रृंखला देखें) या प्राथमिक तरीकों से।

$\sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.$    

$\sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.$    

${\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}$    

${\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}$    

$\tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),$ जहां τ(n) रामानुजन का फलन है।

चूंकि पी_k(n) (प्राकृतिक संख्या k के लिए) और τ(n) पूर्णांक हैं, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कार्यों के लिए। कुछ उदाहरणों के लिए रामानुजन ताऊ फंक्शन कार्य देखें।

सेटिंग द्वारा पार्टीशन फंक्शन के डोमेन का विस्तार करें p(0) = 1.

$p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).$     इस पुनरावृत्ति का उपयोग p(n) की गणना के लिए किया जा सकता है।

वर्ग संख्या संबंधित

पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने ऐसे सूत्रों की खोज की जो द्विघात संख्या क्षेत्रों के वर्ग संख्या h को जैकोबी प्रतीक से संबंधित करते हैं। एक पूर्णांक डी को 'मौलिक विभेदक' कहा जाता है यदि यह द्विघात संख्या क्षेत्र का विभेदक है। यह डी ≠ 1 के बराबर है और या तो ए) डी free है और डी ≡ 1 (मॉड 4) या बी) डी ≡ 0 (मोड 4), डी/4 स्क्वायरफ्री है, और डी/4 ≡ 2 या 3 (मॉड 4) ). क्रोनकर प्रतीक को परिभाषित करके भाजक में सम संख्याओं को स्वीकार करने के लिए जैकोबी प्रतीक का विस्तार करें:

$$\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}$$

तब यदि D <-4 एक मूलभूत विविक्तकर है

$${\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}$$

r से संबंधित एक सूत्र भी है₃ और वह। दोबारा, डी को मौलिक भेदभाव करने दें, डी <-4। तब

$$r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).$$

प्रधान-गणना संबंधित

होने देना $H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$ nth हार्मोनिक संख्या हो। तब

$\sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है यदि और केवल यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है।

रीमैन परिकल्पना भी इस कथन के समतुल्य है कि, सभी n > 5040 के लिए,

$$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$$

(जहां γ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है)। यह भाजक फलन#अनुमानित वृद्धि दर|रॉबिन प्रमेय है।

$\sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).$

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).$    

$\Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.$    

$e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.$    

$e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].$    

मेनन की पहचान

1965 में पी केशव मेनन ने साबित किया

$$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).$$

यह कई गणितज्ञों द्वारा सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए,

• बी सूरी
  $$\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).$$
• एन राव
  $$\sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),$$
  जहाँ एक₁, ए₂, ..., ए_s पूर्णांक हैं, gcd(a₁, ए₂, ..., ए_s, एन) = 1।
• टोथ लेज़्लो फेजेस
  $$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},$$
  जहां एम₁ और एम₂ विषम हैं, एम = एलसीएम (एम₁, एम₂).

वास्तव में, यदि f कोई अंकगणितीय फलन है

$$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},$$

कहाँ $*$ डिरिचलेट कनवल्शन के लिए खड़ा है।

विविध

एम और एन को विशिष्ट, विषम और सकारात्मक होने दें। तब जैकोबी प्रतीक द्विघात पारस्परिकता के नियम को संतुष्ट करता है:

$$\left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.$$

चलो डी (एन) अंकगणितीय व्युत्पन्न हो। फिर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न

$${\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.$$

विवरण के लिए अंकगणितीय व्युत्पन्न देखें।

मान लीजिए λ(n) लियूविल का फलन है। तब

$|\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),$ और

$\lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).$

मान लीजिए λ(n) कार्मिकेल का फलन है। तब

$\lambda (n)\mid \phi (n).$ आगे,

$\lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}$ पूर्णांक मॉड्यूलो एन और आदिम रूट मॉड्यूलो एन के गुणक समूह देखें।

$2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.$    

${\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.$    

${\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}$     ध्यान दें कि$\phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .$    

$c_{q}(1)=\mu (q).$

$c_{q}(q)=\phi (q).$

$\sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.$     इसकी तुलना करें 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

$d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).$    

$\sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).$    

$\tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),$ जहां τ(n) रामानुजन का फलन है।

कुछ अंकगणितीय कार्यों के पहले 100 मान

n	factorization	𝜙(n)	ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	π(n)	𝜎0(n)	𝜎1(n)	𝜎2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0.69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	22	2	1	2	1	0	0.69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	23	4	1	3	−1	0	0.69	4	4	15	85	4	12	24
9	32	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	22 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	24	8	1	4	1	0	0.69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 32	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	22 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	23 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	52	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	33	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	22 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	25	16	1	5	−1	0	0.69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	22 · 32	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	23 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	22 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	32 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	24 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	72	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 52	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	22 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 33	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	23 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	22 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	32 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	26	32	1	6	1	0	0.69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	22 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	23 · 32	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 52	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	22 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	24 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	34	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	22 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	23 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 32 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	22 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	25 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 72	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	32 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	22 · 52	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	factorization	𝜙(n)	ω(n)	Ω(n)	𝜆(n)	𝜇(n)	𝜆(n)	π(n)	𝜎0(n)	𝜎1(n)	𝜎2(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)

संदर्भ

• Tom M. Apostol (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Springer Undergraduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90163-9
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अग्रिम पठन

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 184, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42725-8, Zbl 0807.11001

बाहरी संबंध

• "Arithmetic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Yet another Generalization of Euler's Totient Function
• Huard, Ou, Spearman, and Williams. Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions
• László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables