मैकडोनाल्ड बहुपद

गणित में, मैकडोनाल्ड बहुपद P_λ(x; t,q) कई चरों में ऑर्थोगोनल बहुपद सममित बहुपद बहुपदों का एक संगठन है, जिसे 1987 में मैकडोनाल्ड द्वारा पेश किया गया था। बाद में उन्होंने 1995 में एक गैर-सममित सामान्यीकरण का प्रारम्भ किया। मैकडोनाल्ड ने मूल रूप से अपने बहुपदों को परिमित के भार λ के साथ जोड़ा। इसमें परिमित रूट प्रणाली और केवल एक चर पद t का उपयोग किया गया, लेकिन बाद में अनुभव किया गया कि परिमित रूट प्रणाली के अतिरिक्त उन्हें अफ्फीन रूट प्रणाली के साथ जोड़ना अधिक स्वाभाविक है। जिस स्थिति में चर पद t को कई अलग-अलग चर पद t=(t)₁ ,...,t_kसे बदला जा सकता है), अफ्फीन रूट प्रणाली में मूलों की प्रत्येक k कक्षाओं के लिए एक कोटि है। मैकडोनाल्ड बहुपद n चर x = (x)₁ ,...,x_n में बहुपद हैं), जहां n अफ्फीन रूट प्रणाली का रैंक है। वे ऑर्थोगोनल बहुपदों के कई अन्य संगठनों का सामान्यीकरण करते हैं, जैसे कि जैक बहुपद और हॉल-लिटिलवुड बहुपद और आस्की-विल्सन बहुपद, जो विशेष प्रकरणों के रूप में नामित 1-चर ऑर्थोगोनल बहुपदों में से अधिकांश को सम्मिलित करते हैं। कुर्नविंडर बहुपद कुछ गैर-कम रूट प्रणाली के मैक्डोनाल्ड बहुपद हैं। इनके बीच अफ्फीन हेज बीजगणित और हिल्बर्ट योजनाओं के साथ गहरे संबंध हैं, जिनका उपयोग मैकडोनाल्ड द्वारा उनके बारे में किए गए कई अनुमानों को प्रमाणित करने के लिए किया गया था।

परिभाषा

पहले कुछ अंकन ठीक करें:

• R वास्तविक सदिश समष्टि V में एक परिमित मूल तंत्र है।
• आर + सकारात्मक मूलों का एक विकल्प है, जो एक सकारात्मक वेइल कक्ष से समानता रखती है।
• W, R का वेइल समूह है।
• Q, R का मूल समूह है (मूलों द्वारा विस्तृत समूह)।
• P, R (Q युक्त) का भार समूहक है।
• भार समूह भार के स्थान पर आदेश : $\mu \leq \lambda$ सिर्फ $\lambda -\mu$ रूट प्रणाली धनात्मक मूल और साधारण मूल का नॉन-नेगेटिव लीनियर संबद्धीकरण है।
• धनात्मक वेइल कक्ष में P के तत्व P⁺ प्रमुख भारों का समूह है।
• ρ वेइल वेक्टर: धनात्मक मूलों का आधा योग सकारात्मक वेइल कक्ष के आंतरिक भाग में P+ का एक विशेष तत्व है।
• सामान्य रूप से परिमेय संख्याएँ F विशेषता 0 का एक क्षेत्र है।
• A = F(P), P का समूह बीजगणित है, जिसमें λ ∈ P के लिए eλ लिखे गए तत्वों का आधार है।
• अफ्फीन रूट प्रणाली में मूलों की प्रत्येक k कक्षाओं के लिए एक कोटि है।
• यदि f = eλ, तो f का अर्थ e−λ है, और इसे रैखिकता द्वारा पूरे समूह बीजगणित तक विस्तारित किया जाता है।
• mμ = Σλ ∈ Wμeλ एक कक्षा योग है; ये तत्व डब्ल्यू द्वारा निर्धारित तत्वों के सबलजेब्रा एडब्ल्यू के लिए एक आधार बनाते हैं।
• $(a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})$, Q-पोचममेर प्रतीक
• $\Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.$
• $\langle f,g\rangle =({\text{constant term of }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|$ A के दो तत्वों का आंतरिक उत्पाद है, कम से कम जब t, Q की सकारात्मक पूर्णांक शक्ति है।

λ ∈ P+ के लिए मैकडोनाल्ड बहुपद Pλ को निम्नलिखित दो स्थितियों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है:

$P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }$ यहाँ U_λμ के साथ Q और t का एक तर्कसंगत फलन _λλ = 1 है,

P_λ और P_μ ओर्थोगोनल हैं अगर λ<<μ हैं।

दूसरे शब्दों में, मैकडोनाल्ड बहुपद AW के स्पष्ट आधार को ऑर्थोगोनलाइज़ करके प्राप्त किए जाते हैं। इन गुणों वाले बहुपदों का अस्तित्व दिखाना आसान है (किसी भी आंतरिक उत्पाद के लिए)। मैकडोनाल्ड बहुपदों की एक प्रमुख संपत्ति यह है कि वे ओर्थोगोनल हैं: Pλ, Pμ〉 = 0 जब कभी λ ≠ μ। यह परिभाषा का एक तुच्छ परिणाम नहीं है क्योंकि P+ पूरी तरह से व्यवस्थित नहीं है, और इसलिए इसमें बहुत सारे तत्व हैं जो अतुलनीय हैं। इस प्रकार किसी को यह जांचना चाहिए कि संगत बहुपद अभी भी ओर्थोगोनल हैं। ऑर्थोगोनलिटी को यह दिखा कर प्रमाणित किया जा सकता है कि मैकडोनाल्ड बहुपद 1-आयामी ईजेनस्पेस के साथ स्व-संलग्न ऑपरेटरों के आने-जाने के बीजगणित के लिए ईजेनवेक्टर हैं, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि अलग-अलग ईजेनवैल्यू के लिए ईजेनस्पेस ऑर्थोगोनल होना चाहिए।

नॉन-साधारणी-लेस्ड रूट प्रणाली (बी, सी, एफ, जी) के मामले में, पैरामीटर टी को रूट की लंबाई के साथ अलग-अलग करने के लिए चुना जा सकता है, जिससे मैकडोनाल्ड बहुपदों का तीन-पैरामीटर संगठन मिलता है। परिभाषा को गैर-घटित रूट प्रणाली बीसी तक भी बढ़ाया जा सकता है, जिस स्थिति में कोई छह-पैरामीटर संगठन (मूलों की प्रत्येक कक्षा के लिए एक टी, प्लस क्यू) प्राप्त करता है, जिसे कोर्नविंदर बहुपद के रूप में जाना जाता है। मैकडोनाल्ड बहुपदों को कभी-कभी गैर-कम किए गए एफाइन रूट प्रणाली के आधार पर मानना बेहतर होता है। इस मामले में, एफाइन रूट प्रणाली में मूलों की प्रत्येक कक्षा से जुड़ा एक पैरामीटर टी है, साथ ही एक पैरामीटर क्यू। मूलों की कक्षाओं की संख्या 1 से 5 तक अलग-अलग हो सकती है।

उदाहरण

• यदि q = t मैकडोनाल्ड बहुपद मूल प्रणाली के कॉम्पैक्ट समूह के प्रतिनिधित्व के वेइल वर्ण बन जाते हैं, या टाइप ए के रूट प्रणाली के मामले में शूर फलन करता है।
• यदि q = 0 मैकडोनाल्ड बहुपद अर्ध-सरल पी-एडिक समूह, या हॉल-लिटिलवुड बहुपदों के लिए (पुनर्वर्धित) आंचलिक गोलाकार फलन बन जाते हैं, जब रूट प्रणाली का प्रकार ए होता है।
• यदि t = 1 मैकडोनाल्ड बहुपद W कक्षाओं पर योग बन जाते हैं, जो रूट प्रणाली के प्रकार A होने पर मोनोमियल सममित फलन होते हैं।
• यदि हम t = q रखें^α और मान लें कि q 1 की ओर जाता है तो मैकडोनाल्ड बहुपद जैक बहुपद बन जाते हैं जब रूट प्रणाली A प्रकार का होता है, और अधिक सामान्य रूट प्रणाली के लिए हेकमैन-ऑप्डम बहुपद।
• एफ़ाइन रूट प्रणाली के लिए A₁, मैकडोनाल्ड बहुपद रोजर्स बहुपद हैं।
• गैर-कम रैंक 1 के लिए प्रकार की मूल प्रणाली (सी^∨
  ₁, सी₁), मैकडोनाल्ड बहुपद आस्की-विल्सन बहुपद हैं, जो बदले में 1 चर में ऑर्थोगोनल बहुपदों के अधिकांश नामित संगठनों को विशेष प्रकरणों के रूप में सम्मिलित करते हैं।
• गैर-कम किए गए एफाइन रूट प्रणाली के प्रकार के लिए (सी^∨
  _n, सी_n), मैकडोनाल्ड बहुपद कोर्नविंदर बहुपद हैं।

मैकडॉनल्ड कॉन्स्टेंट टर्म कंजेक्चर

अगर टी = क्यू^k किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए, तब मैकडोनाल्ड बहुपदों का मान दिया जाता है

$\langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.$

यह मैकडोनाल्ड (1982) द्वारा डायसन अनुमान के सामान्यीकरण के रूप में अनुमान लगाया गया था, और चेरेडनिक (1995) द्वारा सभी (कम) रूट प्रणाली के लिए प्रमाणित किया गया था, जिसमें डबल एफाइन हेके बीजगणित के गुणों का उपयोग किया गया था। इस प्रकार किसी को यह जांचना चाहिए कि संगत बहुपद अभी भी ओर्थोगोनल हैं। अनुमान पहले प्रकार ई को छोड़कर सभी मूल प्रणालियों के लिए मामला-दर-मामला प्रमाणित हुआ था_n कई लेखकों द्वारा।

दो अन्य अनुमान हैं जो मानक अनुमान के साथ सामूहिक रूप से इस संदर्भ में मैकडोनाल्ड अनुमान के रूप में संदर्भित होते हैं: मानदंड के सूत्र के अतिरिक्त, मैकडोनाल्ड ने पी के मूल्य के लिए एक सूत्र का अनुमान लगाया_λ बिंदु पर टी^ρ, और एक सममिति

${\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.$

फिर से, ये सामान्य रूप से कम रूट प्रणाली के लिए सिद्ध हुए चेरेडनिक (1995), वैन डायजेन, नौमी और साही के काम के माध्यम से शीघ्र ही बाद में बीसी मामले के विस्तार के साथ डबल एफाइन हेके बीजगणित का उपयोग करते हुए।

मैकडोनाल्ड सकारात्मकता अनुमान

प्रकार ए की मूल प्रणालियों के मामले में_n−1 मैकडोनाल्ड बहुपद गुणांक वाले n चरों में केवल सममित बहुपद हैं जो q और t के परिमेय फलन हैं। एक निश्चित रूपांतरित संस्करण ${\widetilde {H}}_{\mu }$ मैकडोनाल्ड बहुपदों के (नीचे मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए #combinatorial सूत्र देखें) सममित फलनों के स्थान का एक ऑर्थोगोनल आधार बनाते हैं $\mathbb {Q} (q,t)$, और इसलिए शूर बहुपद के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $s_{\lambda }$. गुणांक के_λμ(q,t) इन संबंधों को 'कोस्तका-मैकडोनाल्ड गुणांक' या qt-कोस्तका गुणांक कहा जाता है। मैकडोनाल्ड ने अनुमान लगाया कि कोस्तका-मैकडोनाल्ड गुणांक गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक वाले क्यू और टी में बहुपद थे। ये अनुमान अब सिद्ध हो गए हैं; सबसे कठिन और अंतिम कदम सकारात्मकता को प्रमाणित करना था, जो मार्क हाईमन (2001) द्वारा किया गया था, एन प्रमाणित करके! अनुमान|एन! अनुमान।

क्यूटी-कोस्टका गुणांक के लिए एक संयोजक सूत्र खोजने के लिए यह अभी भी बीजगणितीय संयोजक में एक केंद्रीय खुली समस्या है।

n! अनुमान

तब अनुमान n! एड्रियन गार्सिया और मार्क हैमैन के अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक विभाजन के लिए n स्थान का μ है

$D_{\mu }=C[\partial x,\partial y]\,\Delta _{\mu }$

के सभी उच्च आंशिक डेरिवेटिव द्वारा फैलाया गया है:

$\Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}$

इसका आयाम n है !, जहाँ (p_j, क्यू_j) विभाजन μ के आरेख के n तत्वों के माध्यम से चलाया जाता है, जिसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के जोड़े के सबसेट के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि μ n = 3 का विभाजन 3 = 2 + 1 है तो जोड़े (p_j, Q_j) हैं (0, 0), (0, 1), (1, 0), और स्पेस डी_μ द्वारा फैलाया जाता है:

$\Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}$

$y_{2}-y_{3}$

$y_{3}-y_{1}$

$x_{3}-x_{2}$

$x_{1}-x_{3}$

$1$

जिसका आयाम 6 = 3! है।

मैकडोनाल्ड सकारात्मकता अनुमान और n का हैमन का प्रमाण! अनुमान में सम्मिलित है कि एक विमान में n बिंदुओं की आइसोस्पेक्ट्रल हिल्बर्ट योजना कोहेन-मैकाले (और यहां तक ​​कि गोरेंस्टीन की अंगूठी) थी। हैमन और गार्सिया के पहले के परिणाम पहले ही दिखा चुके थे कि इसका मतलब n! है ।अनुमान, और वह n! अनुमान का तात्पर्य है कि कोस्तका-मैकडोनाल्ड गुणांक मॉड्यूल डी के लिए चरित्र बहुगुणों को वर्गीकृत किया गया था_μ. के लिए वर्ण बहुगुणों को वर्गीकृत किया गया था। यह तुरंत मैकडोनाल्ड सकारात्मकता अनुमान का तात्पर्य है क्योंकि वर्ण गुणकों को गैर-नकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए।

इयान ग्रोजनोव्स्की और मार्क हैमन ने एलएलटी बहुपदों के लिए सकारात्मकता अनुमान को प्रमाणित करके मैकडोनाल्ड सकारात्मकता अनुमान का एक और प्रमाण पाया गया है।

मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए संयोजन सूत्र

2005 में, जे. हागलंड, एम. हैमन और एन. लोहरने मैकडोनाल्ड बहुपदों की एक संयुक्त व्याख्या का पहला प्रमाण दिया। 1988 में आई. जी. मैकडोनाल्डमैकडोनाल्ड बहुपदों (समीकरण (4.11) और (5.13)) की एक संयुक्त व्याख्या का दूसरा प्रमाण दिया। मैकडोनाल्ड का सूत्र हैगलंड, हैमन और लोहर के काम से अलग है, बहुत कम शर्तों के साथ (यह सूत्र मैकडोनाल्ड के मौलिक फलन,अध्याय VI (7.13) में भी सिद्ध हुआ है)। संगणना के लिए बहुत उपयोगी और अपने आप में दिलचस्प होने के बावजूद, उनके संयोजी सूत्र कोस्तका-मैकडोनाल्ड गुणांकों की सकारात्मकता को तुरंत नहीं दर्शाते हैं। $K_{\lambda \mu }(q,t),$ जैसा कि मैकडोनाल्ड बहुपदों के अपघटन को शूर फलनों के के अतिरिक्त मोनोमियल सममित फलनों में दिया जाता है।

रूपांतरित मैकडोनाल्ड बहुपदों में लिखा गया ${\widetilde {H}}_{\mu }$ सामान्य के के अतिरिक्त $P_{\lambda }$, वे हैं

${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }$

जहां σ आकार μ, inv और maj के यंग डायग्राम की फिलिंग है, फिलिंग σ पर परिभाषित कुछ कॉम्बिनेटरियल स्टैटिस्टिक्स (फंक्शंस) हैं। यह सूत्र मैकडोनाल्ड बहुपदों को अपरिमित रूप से कई चरों में व्यक्त करता है। n चरों में बहुपद प्राप्त करने के लिए, सूत्र को केवल उन भरणों तक सीमित करें जिनमें केवल पूर्णांक 1, 2, ..., n का उपयोग किया गया है। शब्द एक्स^σ की व्याख्या की जानी चाहिए $x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots$ जहां σi सामग्री i के साथ μ के भरने में बक्से की संख्या है।

यह यंग आरेख के एक वर्ग के हाथ और पैर को दर्शाता है। भुजा उसके दायीं ओर के वर्गों की संख्या है, और पैर उसके ऊपर के वर्गों की संख्या है।

रूपांतरित मैकडोनाल्ड बहुपद ${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)$ उपर्युक्त सूत्र में शास्त्रीय मैकडोनाल्ड बहुपदों से संबंधित हैं $P_{\lambda }$ परिवर्तनों के एक क्रम के माध्यम से सबसे पहले, मैकडोनाल्ड बहुपदों का अभिन्न रूप, निरूपित $J_{\lambda }(x;q,t)$, का पुन: स्केलिंग है $P_{\lambda }(x;q,t)$ जो गुणांकों के भाजक को साफ करता है:

$J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)$

जहाँ $D(\lambda )$ के यंग आरेख में वर्गों का संग्रह है $\lambda$, और $a(s)$ और $l(s)$ वर्ग के हाथ और पैर को निरूपित करें $s$, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। ध्यान दें: दाहिनी ओर का चित्र झाँकी के लिए फ्रेंच संकेतन का उपयोग करता है, जो यंग आरेखों के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर उपयोग किए गए अंग्रेजी अंकन से लंबवत रूप से फ़्लिप किया गया है। मैकडोनाल्ड बहुपदों के अध्ययन में फ्रांसीसी संकेतन का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

रूपांतरित मैकडोनाल्ड बहुपद ${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $J_{\mu }$'एस।

${\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]$

जहाँ

$n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).$

उपरोक्त कोष्ठक संकेतन बहुतायत प्रतिस्थापन को दर्शाता है।

जैक फलन के लिए नोप और साही के सूत्र को सिद्ध करने के लिए इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद

1995 में, मैकडोनाल्ड ने सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों का एक गैर-सममितीय एनालॉग पेश किया, और सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों को आसानी से गैर-सममित समकक्ष से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। मैकडोनाल्ड ने अनुमान लगाया कि जब शास्त्रीय शूर फलनों के संदर्भ में इन बहुपदों के एक निश्चित सामान्यीकरण का विस्तार किया गया था, तो गुणांक हमेशा N [q, t] में बहुपद होंगे। उन्होंने इन गुणांकों q, t-कोस्टका फलनों को बुलाया, और अनुमान को मैकडोनाल्ड सकारात्मकता अनुमान के रूप में जाना जाने लगा। अपनी मूल परिभाषा में, वह दर्शाता है कि गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद एक निश्चित आंतरिक उत्पाद के लिए बहुपद ऑर्थोगोनल का एक अनूठा संगठन है, साथ ही साथ एक त्रिकोणीय संपत्ति को संतुष्ट करता है जब मोनोमियल आधार में विस्तारित किया जाता है। मैकडोनाल्ड बहुपदों के अध्ययन में फ्रांसीसी संकेतन का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

2007 में, हाग्लंड, हैमन और लोहर ने गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए एक संयुक्त सूत्र दिया।

गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद q = t = 0, और प्रमुख बहुपदों के लिए जब q = t = ∞ लेते हैं, तो डीमेज़र वर्णों के विशेषज्ञ होते हैं।

बहिष्करण प्रक्रिया के आधार पर मिश्रित सूत्र

2018 में, एस. कॉर्टील, ओ. मेंडेलश्टम, और एल. विलियम्स ने सममित और गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद दोनों का प्रत्यक्ष संयोजक लक्षण वर्णन करने के लिए अपवर्जन प्रक्रिया का उपयोग किया।उनके परिणाम आंशिक रूप से हैगलंड के पहले के काम से भिन्न हैं क्योंकि वे मैकडोनाल्ड बहुपदों के लिए एक रूपांतरण के के अतिरिक्त सीधे एक सूत्र प्रदान करते हैं। वे एक बहुपंक्ति कतार की अवधारणा विकसित करते हैं, जो गेंदों और उनके पड़ोसियों के बीच एक मानचित्रण और संयोजन लेबलिंग तंत्र के साथ गेंदों या खाली कोशिकाओं से युक्त एक मैट्रिक्स है। गैर-सममित मैकडोनाल्ड बहुपद तब संतुष्ट करता है:

$E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)$

जहां योग सब पर $L\times n$ है, मल्टीलाइन प्रकार की कतारें $\lambda$ और $\mathrm {wt}$ एक वेटिंग फलन है जो उन कतारों को विशिष्ट बहुपदों के लिए मैप करता है। सममित मैकडोनाल्ड बहुपद संतुष्ट करता है:

$P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)$

जहां बाहरी योग सभी अलग-अलग रचनाओं पर $\mu$ होता है, जो $\lambda$ के क्रमपरिवर्तन हैं, और आंतरिक योग पहले जैसा है।

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

• Mike Zabrocki's page about मैक्डोनाल्ड polynomials.
• Some of Haiman's papers about मैक्डोनाल्ड polynomials.