शूर बहुपद

गणित में, शूर बहुपद, जिसका नाम ईसाई स्कूर के नाम पर रखा गया है, n चरों में कुछ सममित बहुपद हैं, जो पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित हैं, जो प्राथमिक सममित बहुपदों और पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वे सामान्य रेखीय समूहों के बहुपद अलघुकरणीय अभ्यावेदन के पात्र हैं। शूर बहुपद सभी सममित बहुपदों के स्थान के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं। शूर बहुपदों के किसी भी गुणनफल को शूर बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में गैर-ऋणात्मक समाकल गुणांकों के साथ लिखा जा सकता है; इन गुणांकों के मूल्यों को लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा संयुक्त रूप से दिया गया है। अधिक सामान्यतः, स्कू शूर बहुपद विभाजन के जोड़े से जुड़े होते हैं और शूर बहुपदों के समान गुण होते हैं।

परिभाषा (जैकोबी का द्विवार्षिक सूत्र)

शूर बहुपदों को पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। एक विभाजन λ = (λ₁, λ₂, …,λ_n) दिया गया, जहाँ λ₁ ≥ λ₂ ≥ … ≥ λ_n, और प्रत्येक λ_j एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, निम्न कार्य करता है

$$a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]$$

निर्धारक के गुणों द्वारा बहुपदों को वैकल्पिक कर रहे हैं। एक बहुपद वैकल्पिक है यदि यह चर के किसी भी विपर्यय (गणित) के तहत संकेत बदलता है।

चूंकि वे वैकल्पिक हैं, वे सभी वांडरमोंडे निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं

$$a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).$$

शूर बहुपदों को अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है

$$s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.$$

इसे जैकोबी के द्विअर्थी सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह वेइल वर्ण सूत्र की एक विशेष स्तिथि है।

यह एक सममित कार्य है क्योंकि अंश और भाजक दोनों वैकल्पिक हैं, और एक बहुपद है क्योंकि सभी वैकल्पिक बहुपद वैंडरमोंड निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं।

गुण

श्रेणी d शूर बहुपद में n चर सजातीय घात d के स्थान के लिए सममित बहुपद n चर एक रेखीय आधार हैं। एक विभाजन λ = (λ₁, λ₂, ..., λ_n) के लिए, शूर बहुपद एकपदी का योग निम्न है,

$$