हिल्बर्ट योजना

बीजगणितीय ज्यामिति में, गणित की शाखा, हिल्बर्ट योजना ऐसी योजना है जो कुछ प्रक्षेप्य समिष्ट (या अधिक सामान्य प्रक्षेप्य योजना) के विवृत उप-योजनाओं के लिए पैरामीटर समिष्ट है, जो चाउ विविधता को परिष्कृत करती है। हिल्बर्ट योजना हिल्बर्ट बहुपदों के अनुरूप प्रक्षेप्य उपयोजनाओं का असंयुक्त संघ है। हिल्बर्ट योजनाओं का मूल सिद्धांत अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1961) द्वारा विकसित किया गया था। हिरोनका के उदाहरण से ज्ञात होता है कि गैर-प्रोजेक्टिव प्रकार के लिए हिल्बर्ट योजनाएँ आवश्यक नहीं हैं।

प्रक्षेप्य समिष्ट की हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ का $\mathbb {P} ^{n}$ प्रक्षेप्य समिष्ट की विवृत उप-योजनाओं को निम्नलिखित अर्थों में वर्गीकृत करता है: किसी भी स्थानीय नोथेरियन योजना S के लिए, S-मूल्यांकित अंक के समुच्चय इस प्रकार हैं:

$\operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))$

हिल्बर्ट योजना स्वाभाविक रूप से विवृत उप-योजनाओं के समुच्चय के लिए समरूपी है $\mathbb {P} ^{n}\times S$ जो S पर समतल हैं। $\mathbb {P} ^{n}\times S$ की विवृत उपयोजनाएँ जो कि S पर समतल हैं, उन्हें अनौपचारिक रूप S द्वारा मानकीकृत प्रोजेक्टिव समिष्ट की उप-योजनाओं के परिवारों के रूप में माना जा सकता है। हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ खण्डों के असंयुक्त संघ के रूप में विभक्त हो जाता है, हिल्बर्ट बहुपद P के साथ प्रक्षेप्य समिष्ट की उपयोजनाओं के हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप $\mathbf {Hilb} (n,P)$ होता है। इनमें से प्रत्येक खंड प्रक्षेप्य $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ है।

निर्धारक कोटि के रूप में निर्माण

ग्रोथेंडिक ने हिल्बर्ट योजना का निर्माण किया $\mathbf {Hilb} (n)$ का $n$-आयामी प्रक्षेप्य $\mathbb {P} ^{n}$ विभिन्न निर्धारकों के लुप्त होने से परिभाषित ग्रासमैनियन की उपयोजना के रूप में समिष्ट है। इसकी मौलिक संपत्ति योजना के लिए $T$ है, यह उस फ़नकार का प्रतिनिधित्व करता है जिसका $T$-मूल्यांकित अंक विवृत उप-योजनाएं $\mathbb {P} ^{n}\times T$ हैं, जो कि $T$ पर समतल हैं।

यदि $X$ की उपयोजना $n$-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट है, तब $X$ श्रेणीबद्ध आदर्श से युग्मित होता है, $I_{X}^{\bullet }$ बहुपद वलय का $S$ में $n+1$ चर, श्रेणीबद्ध खण्डों के साथ $I_{X}^{m}$ होता है। पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $m$ के सभी उच्च सह-समरूपता समूह $X$ में गुणांक के साथ ${\mathcal {O}}(m)$ लुप्त हो जाता है। जो त्रुटिहीन अनुक्रम का उपयोग करता है:

$0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$

हमारे पास $I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))$ का आयाम $Q(m)-P_{X}(m)$ है, जहां $Q$ प्रक्षेप्य समिष्ट का हिल्बर्ट बहुपद है। इसे स्थानीय स्तर पर समतल समूहों द्वारा उपरोक्त त्रुटिहीन अनुक्रम को टेंसर करके दिखाया जा सकता है, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)$, त्रुटिहीन अनुक्रम देता है जहां अंत के दो शब्दों में तुच्छ सह-समरूपता है, जो उच्च सह-समरूपता की तुच्छता $I_{X}(m)$ को दर्शाता है। ध्यान दें कि हम सुसंगत शीफ के हिल्बर्ट बहुपद की समानता का उपयोग इसके शीफ सह-समरूपता समूहों की यूलर-विशेषता के साथ कर रहे हैं।

$m$ के पर्याप्त बड़े मान का चयन करता है। $(Q(m)-P_{X}(m))$-आयामी स्थान $I_{X}^{m}$ का उपस्थान है $Q(m)$-आयामी स्थान $S^{n}$ है, तो यह ग्रासमैनियन के बिंदु ${\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))$ का प्रतिनिधित्व करता है। यह हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप हिल्बर्ट योजना के खण्डों का एम्बेडिंग देता है, इस ग्रासमैनियन में $P_{X}$