विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 23:25, 16 March 2023

गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

[1]

[2]

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 मान लीजिए, अभी के लिये, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के निकट
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y))</math> है।
-इस मात्रा को <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> दर्शाने द्वारा
+इस मात्रा को <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> से दर्शाने द्वारा पर
-किसी के निकट
 :<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math>
 और
-:<math>\operatorname{Disc}_y (A) =x^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A).</math>
+:<math>\operatorname{Disc}_y (A) =x^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A)</math>
-इन्हीं गुणों के कारण मात्रा <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> का विभेदक या सजातीय विभेदक कहा जाता है {{math|''A''}}।
+:होता है।
+इन्हीं गुणों के कारण मात्रा <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> को {{math|''A''}} का विभेदक या सजातीय विभेदक कहा जाता है।
-यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात हो सकती है {{math|''n''}}। इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी {{mvar|''n''}}। इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र {{slink||वलय समरूपता के अंतर्गत इनवेरियन}} उपयोग किया जाना चाहिए।
+यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात  {{math|''n''}} हो सकती है। इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात {{mvar|''n''}}  होगी। इसका तात्पर्य है कि विभेदक की गणना <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित के साथ की जानी चाहिए, इस गणना के बाद उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन किया जा रहा है। समतुल्य रूप से,  {{slink||वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम}} के सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।
-== बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें
+== बीजगणितीय ज्यामिति में प्रयोग करें ==
+बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल [[बीजगणितीय वक्र|बीजगणितीय वक्रों]] का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः [[ऊनविम पृष्ठ]] । मान लीजिए कि {{math|''V''}} ऐसा वक्र या ऊनविम सतह हो; {{math|''V''}} को [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक अन्य अनिश्चित के स्थान में एक ऊनविम पृष्ठ  {{math|''W''}} को परिभाषित करता है।  {{math|''W''}} के बिंदु वस्तुतः  {{math|''V''}} के बिंदुओं(अनंत पर बिंदुओं सहित) के प्रक्षेपण हैं, जो या तो एकवचन हैं या  [[स्पर्शरेखा स्थान]] है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है।
-बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः [[ऊनविम पृष्ठ]] मान लीजिए कि {{math|''V''}} ऐसा वक्र या ऊनविम सतह हो; {{math|''V''}} को [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है {{math|''W''}} अन्य अनिश्चित के स्थान पर। के अंक {{math|''W''}} बिल्कुल बिंदुओं का प्रक्षेपण है {{math|''V''}} (अनंत पर बिंदुओं सहित), जो या तो एकवचन हैं या एक [[स्पर्शरेखा स्थान]] है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है।
+उदाहरण के लिए,  मान लीजिए {{mvar|f}} वास्तविक गुणांकों के साथ {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} में द्विचर बहुपद है, ताकि {{math|1=''f'' &thinsp;= 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अन्तर्निहित समीकरण हो। {{mvar|X}} के आधार पर गुणांक के साथ {{mvar|Y}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|f}}  को देखते हुए, फिर विभेदक  {{mvar|X}} में एक बहुपद है जिसके   मूल एकवचन बिंदुओं के {{mvar|X}}-निर्देशांक हैं, {{mvar|Y}}-अक्ष के समानांतर स्पर्शरेखा वाले बिंदुओं के और कुछ में से स्पर्शोन्मुख  {{mvar|Y}}-अक्ष के समानांतर हैं।  दूसरे शब्दों में,  {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-विभेदक के  मूलों की गणना किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देती है,  विभक्ति बिंदुओं को छोड़कर।
-उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f'' &thinsp;= 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के।
 ==सामान्यीकरण==
-विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात क्षेत्रों]] सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है।
+विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात क्षेत्रों]] सहित कुछ विषयों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है।
-गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस प्रकार के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
+गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के  लोपी होने की समस्या के  निपात उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का विषय है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश स्थिति, जहां इस प्रकार के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
-मान लीजिए कि {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक डेरिवेटिव {{math|''A''}} में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है यदि और मात्र यदि इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है {{math|''A''}}। हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
+मान लीजिए कि {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद  {{math|''n''}} हो विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रक्षेपीय ऊनविम पृष्ठ को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय विविधता का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक व्युत्पन्न  {{math|''A''}} में एक फलन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह विषय है यदि और मात्र यदि इन आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को  {{math|''A''}} विभेदक के रूप में माना जा सकता है। यद्यपि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
 घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
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 :<math>Q(X) =X A X^\mathrm T,</math>
 के लिए <math>n\times n</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>, द <math>1\times n</math> पंक्ति वेक्टर <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और यह <math>n\times 1</math> स्तंभ वेक्टर <math>X^{\mathrm{T}}</math>। विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विभेदक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
-का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है।
+का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष विषय है।
 एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।
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 :<math>Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).</math>
 आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math>
-यदि <math>\Delta_4>0,</math> और सतह के वास्तविक बिंदु हैं, तो यह या तो [[अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज]] है या एक-पत्रक अतिपरवलयज है। दोनों ही मामलों में, यह एक [[शासित सतह]] है जिसमें हर बिंदु पर ऋणात्मक गॉसियन वक्रता होती है।
+यदि <math>\Delta_4>0,</math> और सतह के वास्तविक बिंदु हैं, तो यह या तो [[अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज]] है या एक-पत्रक अतिपरवलयज है। दोनों ही विषयों में, यह एक [[शासित सतह]] है जिसमें हर बिंदु पर ऋणात्मक गॉसियन वक्रता होती है।
-यदि <math>\Delta_4<0,</math> सतह या तो एक [[दीर्घवृत्ताभ]] या एक दो-शीट अतिपरवलयज या एक दीर्घवृत्तीय परवलयज है। सभी मामलों में, इसके प्रत्येक बिंदु पर धनात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
+यदि <math>\Delta_4<0,</math> सतह या तो एक [[दीर्घवृत्ताभ]] या एक दो-शीट अतिपरवलयज या एक दीर्घवृत्तीय परवलयज है। सभी विषयों में, इसके प्रत्येक बिंदु पर धनात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
 यदि <math>\Delta_4=0,</math> सतह में एक बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। यदि मात्र एक विलक्षण बिंदु है, तो सतह एक बेलन या शंक्वाकार सतह है। यदि कई एकवचन बिंदु हैं तो सतह में दो तल होते हैं, एक दोहरा तल या एक रेखा।
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 ==बाहरी संबंध==
-*[http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant]
+*[http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Wolfram Mathworld: Polynomial विभेदक]
-*[http://planetmath.org/discriminant Planetmath: Discriminant]
+*[http://planetmath.org/discriminant Planetmath: विभेदक]
 {{Polynomials}}

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