विभेदक: Difference between revisions
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=== वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | === वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
मान लीजिए कि <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक समरूपता है। {{math|''R''[''x'']}} में एक बहुपद | |||
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
दिया गया है, समरूपता <math>\varphi</math> {{math|''S''[''x'']}} में बहुपद | |||
:<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | :<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math> | ||
के उत्पादन के लिए {{math|''A''}} कार्य करता है। | |||
विभेदक | निम्नलिखित अर्थों में विभेदक <math>\varphi</math>के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तो | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) | :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math>। | ||
जैसा कि विभेदक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह | जैसा कि विभेदक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह गुण निर्धारकों की समान गुण से तुरंत परिणाम देती है। | ||
यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> तो <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math> शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब <math>\varphi(a_n)= 0,</math> | ||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math> | ||
जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: | जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: | ||
:<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math> | :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math> | ||
इसे प्रायः | इसे प्रायः यह कहते हुए व्याख्यायित किया जाता है कि <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि <math>A^\varphi</math> का एक बहु मूल है (संभवतः अनंत पर)। | ||
===बहुपदों का गुणनफल=== | ===बहुपदों का गुणनफल=== | ||
यदि {{math|1=''R'' = ''PQ''}} | यदि {{math|1=''R'' = ''PQ''}} , {{math|''x''}} में बहुपदों का गुणनफल है तो | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | \operatorname{disc}_x(R) &= \operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)^2\operatorname{disc}_x(Q) | ||
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{}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q), | {}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q), | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> चर {{math|''x''}} के संबंध में परिणाम को दर्शाता है, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}}, {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} की क्रमशः घात हैं। | |||
यह | यह गुण संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है। | ||
===एकरूपता=== | ===एकरूपता=== | ||
विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] | विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है। | ||
घात | घात {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक गुणांकों में घात {{math|2''n'' − 2}} का समरूप है। इसे दो प्रकार से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है {{mvar|λ}}। एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में {{math|(2''n'' − 1) × (2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (सिल्वेस्टर आव्यूह) द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}}, निर्धारक घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 1}} प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}} घात बनाता है {{math|2''n'' − 2}}। | ||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर। | घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर। | ||
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==सजातीय द्विभाजित बहुपद== | ==सजातीय द्विभाजित बहुपद== | ||
मान लीजिए कि | |||
:<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math> | :<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math> | ||
घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | ||
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== बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें | == बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें | ||
बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः [[ऊनविम पृष्ठ]] | बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः [[ऊनविम पृष्ठ]] मान लीजिए कि {{math|''V''}} ऐसा वक्र या ऊनविम सतह हो; {{math|''V''}} को [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है {{math|''W''}} अन्य अनिश्चित के स्थान पर। के अंक {{math|''W''}} बिल्कुल बिंदुओं का प्रक्षेपण है {{math|''V''}} (अनंत पर बिंदुओं सहित), जो या तो एकवचन हैं या एक [[स्पर्शरेखा स्थान]] है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है। | ||
उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f''  = 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के। | उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f''  = 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के। | ||
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विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात क्षेत्रों]] सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है। | विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात क्षेत्रों]] सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है। | ||
गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस | गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस प्रकार के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं। | ||
मान लीजिए कि {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक डेरिवेटिव {{math|''A''}} में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है यदि और मात्र यदि इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है {{math|''A''}}। हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)। | |||
घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं। | घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं। | ||
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एक शंक्वाकार खंड एक [[समतल वक्र]] है जिसे फॉर्म के एक [[निहित समीकरण|अंतर्निहित समीकरण]] द्वारा परिभाषित किया गया है | एक शंक्वाकार खंड एक [[समतल वक्र]] है जिसे फॉर्म के एक [[निहित समीकरण|अंतर्निहित समीकरण]] द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
:<math>ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0,</math> | :<math>ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0,</math> | ||
जहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f''}} वास्तविक संख्याएँ हैं। | |||
दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विभेदक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं। | दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विभेदक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं। | ||
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आयाम तीन के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं। | आयाम तीन के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं। | ||
मान लीजिए कि <math>P(x,y,z)</math> तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, <math>Q_4,</math> चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''P''}}; अर्थात | |||
:<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math> | :<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math> | ||
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Revision as of 20:40, 16 March 2023
गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
द्विघात बहुपद का विभेदक
है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।
अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
उत्पत्ति
विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।[2]
परिभाषा
मान लीजिए
घात n का एक बहुपद (इसका अर्थ है ), जैसे कि गुणांक एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। A और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,
- का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ