सापेक्ष वेग: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 15: | Line 15: | ||
:<math>\vec v_{T\mid E}</math> पृथ्वी के सापेक्ष ट्रेन का वेग है। | :<math>\vec v_{T\mid E}</math> पृथ्वी के सापेक्ष ट्रेन का वेग है। | ||
बी के सापेक्ष | बी के सापेक्ष A के वेग के लिए पूरी तरह से वैध अभिव्यक्ति में B के संबंध में A का वेग और समन्वय प्रणाली में A का वेग सम्मिलित है जहां B सदैव विराम पर है। विशेष आपेक्षिकता का सिद्धांत इसलिए होता है क्योंकि सापेक्ष वेग के लिए यह समीकरण गलत भविष्यवाणी करता है कि विभिन्न पर्यवेक्षक प्रकाश की गति का अवलोकन करते समय अलग-अलग गति को मापेंगे। <ref group=note>For example, replace the "Man" by a photon traveling at the speed of light.</ref> | ||
===दो आयामों में (गैर-सापेक्षवादी)=== | ===दो आयामों में (गैर-सापेक्षवादी)=== | ||
[[File:Relative velocity.svg|thumb|upright=1.3|शास्त्रीय यांत्रिकी में दो कणों के बीच सापेक्ष वेग]]चित्र दो वस्तुओं A और B को निरंतर वेग से गतिमान दिखाता है। गति के समीकरण हैं: | [[File:Relative velocity.svg|thumb|upright=1.3|शास्त्रीय यांत्रिकी में दो कणों के बीच सापेक्ष वेग]]चित्र दो वस्तुओं A और B को निरंतर वेग से गतिमान दिखाता है। गति के समीकरण हैं: | ||
| Line 21: | Line 21: | ||
:<math>\vec r_A=\vec r_{Ai}+\vec v_A t,</math> | :<math>\vec r_A=\vec r_{Ai}+\vec v_A t,</math> | ||
:<math>\vec r_B=\vec r_{Bi}+ \vec v_B t,</math> | :<math>\vec r_B=\vec r_{Bi}+ \vec v_B t,</math> | ||
जहां सबस्क्रिप्ट i प्रारंभिक विस्थापन (समय पर शून्य के बराबर) को संदर्भित करता है। दो विस्थापन सदिशों के बीच का अंतर, <math>\vec r_B-\vec r_A</math>, | जहां सबस्क्रिप्ट i प्रारंभिक विस्थापन (समय पर शून्य के बराबर) को संदर्भित करता है। दो विस्थापन सदिशों के बीच का अंतर, <math>\vec r_B-\vec r_A</math>, A से देखे गए B के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
: <math>\vec r_B-\vec r_A= \underbrace{\vec r_{Bi}-\vec r_{Ai}}_\text{initial separation} + \underbrace{(\vec v_B-\vec v_A ) t}_\text{relative velocity}.</math> | : <math>\vec r_B-\vec r_A= \underbrace{\vec r_{Bi}-\vec r_{Ai}}_\text{initial separation} + \underbrace{(\vec v_B-\vec v_A ) t}_\text{relative velocity}.</math> | ||
| Line 37: | Line 37: | ||
:<math>\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v</math> | :<math>\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v</math> | ||
सापेक्ष वेग के लिए पिछले भावों को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम मानते हैं कि कण A अप्रमाणित संदर्भ में dx/dt द्वारा परिभाषित पथ का अनुसरण कर रहा है (और इसलिए dx′/dt′ प्राइमेड फ्रेम में)। इस प्रकार <math>dx/dt = v_{A\mid O}</math> और <math>dx'/dt = v_{A\mid O'}</math>, जहाँ <math>O</math> और <math>O'</math> अप्राइमेड और प्राइमेड फ्रेम में एक प्रेक्षक द्वारा देखे गए | सापेक्ष वेग के लिए पिछले भावों को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम मानते हैं कि कण A अप्रमाणित संदर्भ में dx/dt द्वारा परिभाषित पथ का अनुसरण कर रहा है (और इसलिए dx′/dt′ प्राइमेड फ्रेम में)। इस प्रकार <math>dx/dt = v_{A\mid O}</math> और <math>dx'/dt = v_{A\mid O'}</math>, जहाँ <math>O</math> और <math>O'</math> अप्राइमेड और प्राइमेड फ्रेम में एक प्रेक्षक द्वारा देखे गए A की गति को देखें। याद रखें कि v प्राइमेड फ्रेम में एक स्थिर वस्तु की गति है, जैसा कि अनप्राइमेड फ्रेम से देखा जाता है। इस प्रकार हमारे पास है <math>v=v_{O'\mid O}</math>, और: | ||
:<math> v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O},</math> | :<math> v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O},</math> | ||
| Line 45: | Line 45: | ||
{{further|विशेष आपेक्षिकता#वेगों का संघटन{{!}}विशेष आपेक्षिकता – वेगों का संघटन|वेग-जोड़ सूत्र}} | {{further|विशेष आपेक्षिकता#वेगों का संघटन{{!}}विशेष आपेक्षिकता – वेगों का संघटन|वेग-जोड़ सूत्र}} | ||
शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में, विशेष सापेक्षता में सापेक्ष वेग <math>\vec{v}_\mathrm{B|A}</math> किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक | शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में, विशेष सापेक्षता में सापेक्ष वेग <math>\vec{v}_\mathrm{B|A}</math> किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक A के बाकी फ्रेम में किसी वस्तु या पर्यवेक्षक B का वेग है। चूँकि, शास्त्रीय यांत्रिकी की स्थिति के विपरीत, विशेष सापेक्षता में, यह सामान्यतः ऐसा नहीं होता है | ||
:<math>\vec{v}_\mathrm{B|A}=-\vec{v}_\mathrm{A|B}</math> | :<math>\vec{v}_\mathrm{B|A}=-\vec{v}_\mathrm{A|B}</math> | ||
समरूपता की यह विशेषक कमी [[थॉमस प्रीसेशन]] से संबंधित है और तथ्य यह है कि लगातार दो [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]] समन्वय प्रणाली को घुमाते हैं। इस घुमाव का सदिश के परिमाण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और इसलिए सापेक्ष गति सममित होती है। | समरूपता की यह विशेषक कमी [[थॉमस प्रीसेशन]] से संबंधित है और तथ्य यह है कि लगातार दो [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]] समन्वय प्रणाली को घुमाते हैं। इस घुमाव का सदिश के परिमाण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और इसलिए सापेक्ष गति सममित होती है। | ||
Revision as of 15:40, 22 March 2023
| Part of a series on |
| चिरसम्मत यांत्रिकी |
|---|
सापेक्ष वेग (भी या ) किसी वस्तु या प्रेक्षक B का वेग किसी अन्य वस्तु या प्रेक्षक A के बाकी फ्रेम में है।
शास्त्रीय यांत्रिकी
एक आयाम में (गैर-सापेक्षतावादी)
हम शास्त्रीय यांत्रिकी में सापेक्ष गति से प्रारंभ करते हैं, (या विशेष सापेक्षता का गैर-परिचय, या शास्त्रीय यांत्रिकी) कि सभी गति प्रकाश की गति से बहुत कम हैं। यह सीमा गैलिलियन परिवर्तन से जुड़ी है। यह आंकड़ा ट्रेन के पिछले किनारे पर एक आदमी को दिखाता है। दोपहर 1:00 बजे वह 10 किमी/घंटा (किलोमीटर प्रति घंटा) की गति से आगे बढ़ना प्रारंभ करता है। ट्रेन 40 किमी/घंटा की गति से चल रही है। यह चित्र आदमी और ट्रेन को दो अलग-अलग समयों पर दर्शाता है: पहला, जब यात्रा प्रारंभ हुई, और एक घंटे बाद दोपहर 2:00 बजे। यह आंकड़ा बताता है कि आदमी एक घंटे की यात्रा (चलने और ट्रेन से) करने के बाद प्रारंभिक बिंदु से 50 किमी दूर है। यह, परिभाषा के अनुसार, 50 किमी/घंटा है, जो बताता है कि इस तरह से सापेक्ष वेग की गणना करने का नुस्खा दो वेगों को जोड़ना है।
चित्र पाठक को यह याद दिलाने के लिए घड़ियों और शासकों को प्रदर्शित करता है कि यद्यपि इस गणना के पीछे का तर्क निर्दोष प्रतीत होता है, यह घड़ियों और शासकों के व्यवहार के बारे में गलत धारणा बनाता है। (एक साथ सापेक्षता देखें या ट्रेन-एंड-प्लेटफ़ॉर्म विचार प्रयोग देखे।) यह पहचानने के लिए कि सापेक्ष गति का यह शास्त्रीय यांत्रिकी मॉडल विशेष सापेक्षता का उल्लंघन करता है, हम उदाहरण को एक समीकरण में सामान्य करते हैं:
जहाँ:
- पृथ्वी के सापेक्ष मनुष्य का वेग है,
- ट्रेन के सापेक्ष मनुष्य का वेग है,
- पृथ्वी के सापेक्ष ट्रेन का वेग है।
बी के सापेक्ष A के वेग के लिए पूरी तरह से वैध अभिव्यक्ति में B के संबंध में A का वेग और समन्वय प्रणाली में A का वेग सम्मिलित है जहां B सदैव विराम पर है। विशेष आपेक्षिकता का सिद्धांत इसलिए होता है क्योंकि सापेक्ष वेग के लिए यह समीकरण गलत भविष्यवाणी करता है कि विभिन्न पर्यवेक्षक प्रकाश की गति का अवलोकन करते समय अलग-अलग गति को मापेंगे। [note 1]