द्विघात फलन

For एक द्विघात फलन के शून्य, see द्विघात समीकरण and द्विघात सूत्र.

बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।

बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ एक द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।

उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।

बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ एक द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।

उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$

एकल चर x में। एक अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख एक परवलय है, एक वक्र जिसमें समरूपता का एक अक्ष समांतर होता है y-एक्सिस।

यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।

चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है

$f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f$

a, b, c में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की एक निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), एक शंक्वाकार खंड (एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, एक परवलय या एक अतिपरवलय) है।

तीन चर x, y, और z में एक द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं², और², के साथ²,x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z,और एक स्थिरांक:

$f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

कम से कम एक गुणांक के साथ a, b, c, d, e, f दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।

सामान्यतः चर की एक बड़ी संख्या हो सकती है, इस स्थितियों में द्विघात फलन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x², xy, yz, आदि।

व्युत्पत्ति

विशेषण द्विघात लैटिन शब्द wikt:en:quadratum#Latin|quadrātum (वर्ग (ज्यामिति)) से आया है। एक शब्द जैसा x² बीजगणित में एक वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है क्योंकि यह भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल होता है x.

शब्दावली

गुणांक

एक बहुपद के गुणांकों को अधिकांशतः वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, एक बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

डिग्री

द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। सामान्यतः संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा अर्थ है।

कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। चूंकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश एक शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।

चर

एक द्विघात बहुपद में एक एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) शामिल हो सकते हैं।

एक चर स्थितियां

किसी एकल-चर द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$ax^{2}+bx+c,\,\!$

जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अधिकांशतः द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं $ax^{2}+bx+c=0$. इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक द्विघात बहुपद का एक संबद्ध द्विघात फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ एक परवलय होता है।

द्विभाजित स्थितियां

दो चर वाले किसी भी द्विघात बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!$

जहाँ x और y चर हैं और a, b, c, d, e, और f गुणांक हैं। इस तरह के बहुपद शांकव वर्गों के अध्ययन के लिए मौलिक हैं, जिन्हें f (x, y) के लिए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने की विशेषता है।

इसी तरह, तीन या अधिक चर वाले द्विघात बहुपद द्विघात सतहों और हाइपरसर्फ्स के अनुरूप होते हैं। रैखिक बीजगणित में, द्विघात बहुपदों को सदिश स्थान पर द्विघात रूप की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक अविभाजित द्विघात फलन के रूप

एक अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ मानक रूप कहा जाता है,
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ कारक रूप कहा जाता है, जहाँ r₁ तथा r₂ द्विघात फलन के मूल और संगत द्विघात समीकरण के हल हैं।
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ वर्टेक्स फॉर्म कहा जाता है, जहां h तथा k क्या हैं x तथा y क्रमशः शीर्ष के निर्देशांक।

गुणांक a तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है r₁ तथा r₂. मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, एक प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और/या वितरित करने की आवश्यकता होती है।

यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़

एक अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:

एक परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है

छवि: समारोह कुल्हाड़ी ^2.svg|thumb|350px|$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$छवि: फलन x^2+bx.svg|thumb|350px|$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$छवि: फलन x^2-bx.svg|thumb|350px|$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!$प्रारूप के बावजूद, एक अविभाज्य द्विघात फलन का ग्राफ़ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ एक परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है $y=ax^{2}+bx+c$.

• यदि a > 0, परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
• यदि a < 0, परवलय नीचे की ओर खुलता है।

गुणांक a ग्राफ की वक्रता की डिग्री को नियंत्रित करता है; का एक बड़ा परिमाण a ग्राफ को अधिक बंद (तीव्र घुमावदार) रूप देता है।

गुणांक b तथा a एक साथ परवलय की समरूपता के अक्ष के स्थान को नियंत्रित करें (भी xशीर्ष के रूप में शीर्ष और एच पैरामीटर का समन्वय) जो पर है

$x=-{\frac {b}{2a}}.$

गुणांक c परवलय की ऊंचाई को नियंत्रित करता है; अधिक विशेष रूप से, यह परवलय की ऊंचाई है जहां यह अवरोधन करता है y-एक्सिस।

वर्टेक्स

परवलय का शीर्ष वह स्थान है जहां वह मुड़ता है; इसलिए इसे घुमाव बिंदु भी कहा जाता है। यदि द्विघात फलन शीर्ष रूप में है, तो शीर्ष है (h, k). वर्ग को पूरा करने की विधि का उपयोग करके, मानक रूप को उल्टा किया जा सकता है

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

में

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}$

तो शिखर, (h, k), मानक रूप में परवलय का है

$\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

यदि द्विघात फलन गुणनखंडित रूप में है

$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$

दो जड़ों का औसत, अर्थात्,

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$

है x-शीर्ष का निर्देशांक, और इसलिए शीर्ष (h, k) है

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!$

शीर्ष भी अधिकतम बिंदु है यदि a < 0, या न्यूनतम बिंदु यदि a > 0.

खड़ी रेखा

$x=h=-{\frac {b}{2a}}$

जो शीर्ष से होकर गुजरता है वह परवलय की सममिति का अक्ष भी है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक

कैलकुलस का उपयोग करके, वर्टेक्स बिंदु, फलन का न्यूनतम और अधिकतम होने के नाते, डेरिवेटिव की जड़ों को ढूंढकर प्राप्त किया जा सकता है:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.$

x की जड़ है f '(x) यदि f '(x) = 0

जिसके परिणामस्वरूप

$x=-{\frac {b}{2a}}$

संबंधित फलन मान के साथ

$f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,$

तो फिर से शीर्ष बिंदु निर्देशांक, (h, k), के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

अविभाज्य फलन की जड़ें

Graph of y = ax² + bx + c, where a and the discriminant b² − 4ac are positive, with

• Roots and y-intercept in red
• Vertex and axis of symmetry in blue
• Focus and directrix in pink

Visualisation of the complex roots of y = ax² + bx + c: the parabola is rotated 180° about its vertex (orange). Its x-intercepts are rotated 90° around their mid-point, and the Cartesian plane is interpreted as the complex plane (green).

Further information: द्विघात समीकरण

सटीक जड़ें

फलन की जड़ (या शून्य), r₁ तथा r₂, अविभाज्य द्विघात फलन का

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}$

के मान हैं x जिसके लिए f(x) = 0.

जब गुणांक a, b, तथा c, वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, मूल हैं

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

$r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

जड़ों के परिमाण पर ऊपरी सीमा

द्विघात के मूलों का निरपेक्ष मान $ax^{2}+bx+c\,$ से बड़ा नहीं हो सकता ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$ कहाँ पे $\phi$ सुनहरा अनुपात है ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल चार शंकु वर्गों में से एक को जन्म देता है, लगभग हमेशा या तो दीर्घवृत्त या अतिपरवलय।

यदि $a>0\,\!$ फिर समीकरण $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ परवलय का वर्णन करता है, जैसा कि दोनों पक्षों को वर्ग करके देखा जा सकता है। परवलय के अक्षों की दिशा संबंधित परवलय के न्यूनतम बिंदु के समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$. यदि कोटि ऋणात्मक है, तो अतिपरवलय का प्रमुख अक्ष (इसके शीर्ष से होकर) क्षैतिज होता है, जबकि यदि कोटि धनात्मक है तो अतिपरवलय का प्रमुख अक्ष ऊर्ध्वाधर होता है।

यदि $a<0\,\!$ फिर समीकरण $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ या तो एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त का वर्णन करता है या कुछ भी नहीं। यदि संबंधित परवलय के अधिकतम बिंदु का समन्वय

$y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ सकारात्मक है, तो इसका वर्गमूल एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, लेकिन यदि कोटि ऋणात्मक है तो यह बिंदुओं के एक खाली सेट स्थान का वर्णन करता है।

पुनरावृत्ति

पुनरावृत्त कार्य करने के लिए $f(x)=ax^{2}+bx+c$, एक पुनरावृत्ति से अगले इनपुट के रूप में आउटपुट का उपयोग करते हुए, फलन को बार-बार प्रयुक्त करता है।

कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है $f^{(n)}(x)$, जिसका अर्थ है n^th पुनरावृत्ति $f(x)$. (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का चर्चा करते हुए $f(x)$ यदि व्युत्क्रम उपस्थित है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति की स्थितियों हैं।

उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त समीकरण के लिए

$f(x)=a(x-c)^{2}+c$

किसी के पास

$f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!$

कहाँ पे

$g(x)=ax^{2}\,\!$ तथा $h(x)=x-c.\,\!$

तो प्रेरण द्वारा,

$f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!$

प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $g^{(n)}(x)$ आसानी से गणना की जा सकती है

$g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!$

अंत में, हमारे पास है

$f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!$

समाधान के रूप में।

f और g के बीच संबंध के बारे में अधिक विवरण के लिए स्थलीय संयुग्मन देखें। और सामान्य पुनरावृत्ति में अराजक व्यवहार के लिए जटिल द्विघात बहुपद देखें।

लॉजिस्टिक मैप

$x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1$

पैरामीटर के साथ 2<r<4 कुछ स्थितियों में हल किया जा सकता है, जिनमें से एक अराजकता (गणित) है और जिनमें से एक नहीं है। अराजक स्थिति में r=4 समाधान है

$x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )$

जहां प्रारंभिक स्थिति पैरामीटर $\theta$ द्वारा दिया गया है $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$. तर्कसंगत के लिए $\theta$, पुनरावृत्तियों की एक सीमित संख्या के बाद $x_{n}$ एक आवधिक अनुक्रम में मानचित्र। लेकिन लगभग सभी $\theta$ तर्कहीन हैं, और, तर्कहीन के लिए $\theta$, $x_{n}$ कभी भी स्वयं को दोहराता नहीं है - यह गैर-आवधिक है और प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करता है, इसलिए इसे अराजक कहा जाता है।

रसद मानचित्र का समाधान जब r=2 है

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$ के लिये $x_{0}\in [0,1)$. तब से $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ के किसी भी मूल्य के लिए $x_{0}$ अस्थिर निश्चित बिंदु 0 के अलावा, शब्द $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ 0 पर जाता है जैसे n अनंत तक जाता है, इसलिए $x_{n}$ स्थिर निश्चित बिंदु पर जाता है ${\tfrac {1}{2}}.$

द्विचर (दो चर) द्विघात फलन

Further information: द्विघात and द्विघात रूप

एक द्विभाजित द्विघात फलन प्रपत्र का द्वितीय-डिग्री बहुपद है

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

जहां a, b, c, d, और e निश्चित गुणांक हैं और एफ निरंतर शब्द है।

ऐसा फलन एक द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना $f(x,y)\,\!$ शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है $z=0\,\!$, जो एक शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का एक स्थान (गणित) है।

न्यूनतम/अधिकतम

यदि $4AB-E^{2}<0\,$ फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक अतिपरवलयिक परवलयिक बनाता है।

यदि $4AB-E^{2}>0\,$ फलन में न्यूनतम है यदि दोनों A > 0 तथा B > 0, और अधिकतम यदि दोनों A < 0 तथा B < 0; इसका ग्राफ एक अण्डाकार परवलय बनाता है। इस स्थितियों में न्यूनतम या अधिकतम पर होता है $(x_{m},y_{m})\,$ जहाँ पर:

$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},$

$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.$

यदि $4AB-E^{2}=0\,$ तथा $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर (ज्यामिति) बनाता है।

यदि $4AB-E^{2}=0\,$ तथा $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ फलन एक पंक्ति में अधिकतम/न्यूनतम प्राप्त करता है—यदि A>0 न्यूनतम है और यदि A<0 है तो अधिकतम; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर बनाता है।

यह भी देखें

• द्विघात रूप
• द्विघात समीकरण
• शंकु वर्गों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
• क्वाड्रिक
• जटिल द्विघात मानचित्रण के आवधिक बिंदु
• गणितीय कार्यों की सूची

संदर्भ

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.