बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाख समष्टि (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, एक बानाख समष्टि एक मीट्रिक (गणित) के साथ एक सदिश समष्टि है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक कॉची अनुक्रम हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो समष्टि के भीतर है।

बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द गढ़ा। बानाख समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले कार्य समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।

परिभाषा

एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि नॉर्म्ड समष्टि है $(X,\|\cdot \|).$ एक आदर्श समष्टि एक जोड़ी है $(X,\|\cdot \|)$ एक सदिश स्थल से मिलकर $X$ एक अदिश क्षेत्र पर $\mathbb {K}$ (कहाँ $\mathbb {K}$ सामान्यतः है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$) एक प्रतिष्ठित के साथ सामान्य (गणित) $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} .$ सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड अनुवाद अपरिवर्तनीय को प्रेरित करता है मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित

$$d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$$

सभी वैक्टर के लिए $x,y\in X.$ यह बनाता है $X$ एक मीट्रिक समष्टि में $(X,d).$ एक क्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ कहा जाता है $d$-Cauchy या Cauchy in $(X,d)$ या $\|\cdot \|$-Cauchy अगर हर असली के लिए $r>0,$ कुछ सूचकांक सम्मिलित है $N$ ऐसा है कि

$$d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r$$

जब कभी भी $m$ और $n$ से अधिक हैं $N.$ विहित मीट्रिक $d$ ए कहा जाता हैcomplete metric अगर जोड़ी $(X,d)$ एक है complete metric space, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है $d$-Cauchy sequence $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ में $(X,d),$ कुछ सम्मिलित है $x\in X$ ऐसा है कि

$$\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0$$

कहाँ क्योंकि $\left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),$ इस क्रम का अभिसरण $x$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d).$$

परिभाषा के अनुसार, आदर्श समष्टि $(X,\|\cdot \|)$ एक हैBanach space यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $d$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम $\|\cdot \|$ एक आदर्श समष्टि का $(X,\|\cdot \|)$ ए कहा जाता हैcomplete norm अगर $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाख समष्टि है।

एल-अर्ध-आंतरिक उत्पाद

किसी भी सामान्य समष्टि के लिए $(X,\|\cdot \|),$ एक एल-सेमी-इनर उत्पाद सम्मिलित है $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पर $X$ ऐसा है कि ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ सभी के लिए $x\in X$; सामान्य तौर पर, असीम रूप से कई एल-सेमी-इनर उत्पाद हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। एल-सेमी-इनर उत्पाद आंतरिक उत्पादों का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को अन्य सभी बानाच समष्टि से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक समष्टि (और इसलिए सभी बानाख समष्टि) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता

सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित)#सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक आदर्श समष्टि $X$ एक Banach समष्टि है यदि और केवल यदि प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला में $X$ में विलीन हो जाता है $X,$

$$\sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X.$$

सांस्थिति

विहित मीट्रिक $d$ एक आदर्श समष्टि का $(X,\|\cdot \|)$ सामान्य मीट्रिक सांस्थिति को प्रेरित करता है $\tau _{d}$ पर $X,$ जिसे विहित या मानक प्रेरित सांस्थिति कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस हॉसडॉर्फ समष्टि सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं। नियम $\|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R}$ सांस्थिति के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है।

त्रिज्या की खुली और बंद गेंदें $r>0$ एक बिंदु पर केंद्रित $x\in X$ क्रमशः समुच्चय हैं

$$B_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.$$
 ऐसी कोई भी गेंद एक उत्तल सेट और बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि) है $X,$ लेकिन एक  कॉम्पैक्ट समष्टि बॉल/नेबरहुड (सांस्थिति) सम्मिलित है अगर और केवल तभी $X$ एक परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि है।

विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श समष्टि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समष्टि नहीं हो सकता है या मोंटेल समष्टि | हेइन-बोरेल संपत्ति हो सकती है। अगर $x_{0}$ एक वेक्टर है और $s\neq 0$ तब एक अदिश राशि है

$$x_{0}+sB_{r}(x)=B_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+sC_{r}(x)=C_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right).$$

का उपयोग करते हुए $s:=1$ दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए $x\in X$ और $S\subseteq X,$ सबसेट $S$ खुला सेट (क्रमशः, बंद सेट) में है $X$ अगर और केवल अगर यह इसके अनुवाद के लिए सही है $x+S:=\{x+s:s\in S\}.$ नतीजतन, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी पड़ोस व्यवस्था द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ आम पड़ोस के ठिकानों में सम्मिलित हैं:

$$\left\{B_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{C_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\}$$

कहाँ $\left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो अभिसरण करता है $0$ में $\mathbb {R}$ (जैसे कि $r_{n}:=1/n$ या $r_{n}:=1/2^{n}$ उदाहरण के लिए)। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुला उपसमुच्चय $U$ का $X$ एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है

$$U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}B_{1}(0)$$

कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित $I\subseteq U,$ जहां हर $r_{x}$ स्वरूप का है $r_{x}={\tfrac {1}{n_{x}}}$ कुछ पूर्णांक के लिए $n_{x}>0$ (बंद गेंद का उपयोग खुली गेंद के बजाय भी किया जा सकता है, हालांकि इंडेक्सिंग सेट $I$ और त्रिज्या $r_{x}$ बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, $I$ गणनीय सेट होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि $X$ एक है separable space, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है $X$ कुछ गणनीय घने सेट सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि उत्पाद समष्टि के लिए होमोमोर्फिज्म है ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ की अनगिनत प्रतियाँ $\mathbb {R}$ (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए)। चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि भी सम्मिलित है।$\ell$² अनुक्रम समष्टि $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ अपने सामान्य मानदंड के साथ $\|\cdot \|_{2},$ जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है sphere $\left\{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\right\}.$ एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $S$ का $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ जिसका उत्तल पतवार $\operatorname {co} (S)$ है not बंद और इस प्रकार भी not कॉम्पैक्ट (यह फुटनोट देखें एक उदाहरण के लिए)। हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, बंद उत्तल हल |closed उन्नतोत्तर पेटा ${\overline {\operatorname {co} }}S$ इसका (और हर दूसरा) कॉम्पैक्ट सबसेट कॉम्पैक्ट होगा। लेकिन अगर एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है not ने गारंटी दी ${\overline {\operatorname {co} }}S$ जब भी कॉम्पैक्ट होगा $S$ है; एक उदाहरणके पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है $\ell ^{2}(\mathbb {N} ).$ यह आदर्श-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है $\left(X,\tau _{d}\right)$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS $\left(X,\tau _{d}\right)$ है only एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है not के साथ जुड़े any विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस $\left(X,\tau _{d}\right)$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी खुली गेंदों का सेट मूल रूप से उत्तल संतुलित सेट खुले सेट से मिलकर एक पड़ोस का आधार बनाता है। यह टीवीएस भी है normable, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि) होने के कारण मूल के उत्तल सेट पड़ोस।

पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना

ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) का तात्पर्य है कि यदि $\tau {\text{ and }}\tau _{2}$ सांस्थिति चालू हैं $X$ जो दोनों बनाते हैं $(X,\tau )$ और $\left(X,\tau _{2}\right)$ एफ-समष्टि में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में सांस्थिति की तुलना है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि $\tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}$). तो उदाहरण के लिए, अगर $(X,p){\text{ and }}(X,q)$ सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं $\tau _{p}{\text{ and }}\tau _{q}$ और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ खुली गेंद है जो कि अन्य समष्टि का भी एक खुला उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक $p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R}$ या $q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R}$ निरंतर है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके समतुल्य मानदंड हैं।

पूर्णता

पूर्ण मानदंड और समकक्ष मानदंड

दो मानदंड, $p$ और $q,$ सदिश समष्टि पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता हैequivalent अगर वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं; ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं सम्मिलित हों $c,C>0$ ऐसा है कि ${\textstyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x)}$ सभी के लिए $x\in X.$ अगर $p$ और $q$ सदिश समष्टि पर दो समान मानदंड हैं $X$ तब $(X,p)$ एक Banach समष्टि है अगर और केवल अगर $(X,q)$ एक बानाख समष्टि है। इस फ़ुटनोट को बानाच समष्टि पर एक सतत मानदंड के उदाहरण के लिए देखें not उस बानाख समष्टि के दिए गए मानदंड के बराबर। परिमित-आयामी सदिश समष्टि पर सभी मानदंड समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी आदर्श समष्टि एक बानाख समष्टि है। पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण मेट्रिक्स

एक मीट्रिक $D$ एक वेक्टर समष्टि पर $X$ पर एक मानदंड से प्रेरित है $X$ अगर और केवल अगर $D$ अनुवाद अपरिवर्तनीय हैऔरabsolutely homogeneous, जिसका अर्थ है कि $D(sx,sy)=|s|D(x,y)$ सभी स्केलर्स के लिए $s$ और सभी $x,y\in X,$ किस मामले में समारोह $\|x\|:=D(x,0)$ पर मानदंड परिभाषित करता है $X$ और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित $\|\cdot \|$ के बराबर है $D.$ लगता है कि $(X,\|\cdot \|)$ एक आदर्श समष्टि है और वह $\tau$ मानक सांस्थिति पर प्रेरित है $X.$ लगता है कि $D$ है any मीट्रिक (गणित) पर $X$ ऐसा है कि सांस्थिति कि $D$ प्रवृत्त करता है $X$ के बराबर है $\tau .$ अगर $D$ अनुवाद अपरिवर्तनीय हैतब $(X,\|\cdot \|)$ एक Banach समष्टि है अगर और केवल अगर $(X,D)$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। अगर $D$ है not अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाख समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए $(X,D)$ को not एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो (यह फुटनोट देखें एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय, जो सभी मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि पर भी लागू होता है, इसका तात्पर्य है कि अगर सम्मिलित है any पूर्ण मीट्रिक $D$ पर $X$ जो आदर्श सांस्थिति को प्रेरित करता है $\tau$ पर $X,$ तब $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाख समष्टि है।

एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। हर बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत कार्य नहीं है (जैसे कि वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ उत्पाद सांस्थिति के साथ)। हालांकि, हर फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल सेट परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें सेमिनोर्म कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं। एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है norms (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे) लेकिन एक बानाख / सामान्य समष्टि नहीं होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है single मानदंड। ऐसी समष्टि का एक उदाहरण फ्रेचेट समष्टि है $C^{\infty }(K),$ जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण कार्यों और वितरण के रिक्त समष्टि पर पाई जा सकती है।

पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि

मीट्रिक पूर्णता के अलावा पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय एकरूपता (सांस्थिति) का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है only वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर $\tau$ सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है $\tau$ (और यहां तक ​​कि टीवीएस पर भी लागू होता है not यहां तक ​​कि मेट्रिजेबल)। हर बानाख समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अलावा, एक आदर्श समष्टि एक बानाख समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) अगर और केवल अगर यह एक टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है। अगर $(X,\tau )$ एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर $(X,\tau )$ एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a sequentially पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है sequence में $(X,\tau )$ में विलीन हो जाता है $(X,\tau )$ किसी बिंदु पर $X$ (अर्थात्, मनमानी कॉची नेट (गणित) की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

अगर $(X,\tau )$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है जिसकी सांस्थिति प्रेरित होती है some (संभवत: अज्ञात) मानदंड (ऐसे रिक्त समष्टि कहलाते हैं normable), तब $(X,\tau )$ एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है अगर और केवल अगर $X$ एक मानदंड सौंपा जा सकता है (गणित) $\|\cdot \|$ जो प्रेरित करता है $X$ सांस्थिति $\tau$ और बनाता भी है $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाख समष्टि में। हॉउसडॉर्फ समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि $X$ सामान्य समष्टि है अगर और केवल अगर इसकी मजबूत दोहरी समष्टि $X_{b}^{\prime }$ सामान्य है, किस स्थिति में $X_{b}^{\prime }$ एक बानाख समष्टि है ($X_{b}^{\prime }$ के मजबूत दोहरे समष्टि को दर्शाता है $X,$ जिसका सांस्थिति निरंतर दोहरे समष्टि पर दोहरे मानक-प्रेरित सांस्थिति का सामान्यीकरण है $X^{\prime }$; यह फुटनोट देखें अधिक जानकारी के लिए)। अगर $X$ स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि है $X$ सामान्य है अगर और केवल अगर $X_{b}^{\prime }$ एक फ्रेचेट-उरीसोहन समष्टि है। इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि की श्रेणी में, बानाख समष्टि वास्तव में वे पूर्ण समष्टि हैं जो मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल मजबूत दोहरी रिक्त समष्टि हैं।

समापन

प्रत्येक आदर्श समष्टि आइसोमेट्री के सघन वेक्टर उप-समष्टि में सन्निहित हो सकता है some बानाख समष्टि, जहां इस बैनच समष्टि को कंप्लीशन (मीट्रिक समष्टि) कहा जाता हैcompletion मानदंड समष्टि का। यह हॉसडॉर्फ समापन आइसोमेट्री आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।

अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक मानक समष्टि के लिए $X,$ वहाँ एक Banach समष्टि सम्मिलित है $Y$ और एक मानचित्रण $T:X\to Y$ ऐसा है कि $T$ एक आइसोमेट्री है और $T(X)$ में घना है $Y.$ अगर $Z$ एक और बानाख समष्टि है जैसे कि एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है $X$ के सघन उपसमुच्चय पर $Z,$ तब $Z$ isometrically isomorphic है $Y.$ यह बानाख समष्टि $Y$ हौसडॉर्फ कम्प्लीट मेट्रिक समष्टि#कंप्लीशन| हैcompletion मानदंड समष्टि का $X.$ के लिए अंतर्निहित मीट्रिक समष्टि $Y$ की मीट्रिक पूर्णता के समान है $X,$ से विस्तारित वेक्टर समष्टि संचालन के साथ $X$ को $Y.$ का पूरा होना $X$ कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है ${\widehat {X}}.$

सामान्य सिद्धांत

रैखिक संकारक, समरूपता

Main article: Bounded operator

अगर $X$ और $Y$ एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं $\mathbb {K} ,$ सभी सतत कार्य (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का सेट$\mathbb {K}$-रैखिक नक्शे $T:X\to Y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $B(X,Y).$ अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण $X$ किसी अन्य नॉर्म्ड समष्टि के लिए निरंतर है अगर और केवल अगर यह बंद इकाई क्षेत्र पर परिबद्ध ऑपरेटर है $X.$ इस प्रकार, वेक्टर समष्टि $B(X,Y)$ ऑपरेटर मानदंड दिया जा सकता है

$$\|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.$$

के लिए $Y$ एक बानाख समष्टि, समष्टि $B(X,Y)$ इस मानदंड के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी होम समष्टि को दो बानाख रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि $B(X,Y)$ एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है। अगर $X$ एक बानाख समष्टि है, समष्टि $B(X)=B(X,X)$ एक इकाई बानाख बीजगणित बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय नक्शों के संघटन द्वारा दी जाती है।

अगर $X$ और $Y$ आदर्श समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी आदर्श समष्टि हैं $T:X\to Y$ ऐसा है कि $T$ और इसका उलटा $T^{-1}$ निरंतर हैं। यदि दो में से एक समष्टि $X$ या $Y$ पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, वियोज्य समष्टि, आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो आदर्श समष्टि $X$ और $Y$ आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं यदि इसके अलावा, $T$ एक आइसोमेट्री है, यानी $\|T(x)\|=\|x\|$ हरएक के लिए $x$ में $X.$ बानाख-मजूर दूरी $d(X,Y)$ दो आइसोमॉर्फिक लेकिन आइसोमेट्रिक समष्टि के बीच नहीं $X$ और $Y$ माप देता है कि दो समष्टि कितने हैं $X$ और $Y$ अलग होना।

सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स

प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत कार्य है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$) एक आदर्श समष्टि है, एक मानक समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक एक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक है यदि और केवल अगर यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाख समष्टि पर लागू करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाख रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है।

अगर $f:X\to \mathbb {R}$ एक उप-योगात्मक कार्य है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक कार्य, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर $f$ एक बिंदु पर निरंतरता है अगर और केवल अगर $f$ सभी पर समान रूप से निरंतर है $X$; और अगर इसके अलावा $f(0)=0$ तब $f$ निरंतर है अगर और केवल अगर इसका पूर्ण मूल्य $|f|:X\to [0,\infty )$ निरंतर है, जो होता है अगर और केवल अगर $\{x\in X:|f(x)|<1\}$ का खुला उपसमुच्चय है $X.$ और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को लागू करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि यह इसके वास्तविक भाग के लिए सत्य है $\operatorname {Re} f$ और इसके अलावा, $\|\operatorname {Re} f\|=\|f\|$ और एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग | वास्तविक भाग $\operatorname {Re} f$ पूर्णतः निर्धारित करता है $f,$ यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। इसके अलावा, एक रैखिक कार्यात्मक $f$ पर $X$ निरंतर है अगर और केवल अगर सेमिनॉर्म $|f|$ निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म सम्मिलित होता है $p:X\to \mathbb {R}$ ऐसा है कि $|f|\leq p$; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को सम्मिलित करता है $f$ और सेमिनोर्म $p$ हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।

बुनियादी धारणाएं

कार्टेशियन उत्पाद $X\times Y$ दो नॉर्म्ड रिक्त समष्टि कैनोनिक रूप से एक मानदंड से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानदंड आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि

$$\|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)$$

जो (क्रमशः) बानाख समष्टि और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिउत्पाद और उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के अनुरूप हैं। परिमित (सह) उत्पादों के लिए, ये मानदंड आइसोमॉर्फिक आदर्श समष्टि और उत्पाद को जन्म देते हैं $X\times Y$ (या प्रत्यक्ष योग $X\oplus Y$) पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।

अगर $M$ एक आदर्श समष्टि का एक बंद सेट रैखिक उपसमष्टि है $X,$ भागफल समष्टि पर एक प्राकृतिक मानदंड है $X/M,$

$$\|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.$$

भागफल $X/M$ एक बानाख समष्टि है जब $X$ तैयार है। भागफल मानचित्र से $X$ पर $X/M,$ भेजना $x\in X$ इसकी कक्षा के लिए $x+M,$ रैखिक है, आच्छादक है और इसका मानक है $1,$ सिवाय कब $M=X,$ जिस स्थिति में भागफल रिक्त समष्टि होता है।

बंद रैखिक उप-समष्टि $M$ का $X$ की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है $X$ अगर $M$ एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) के एक समारोह की सीमा है $P:X\to M.$ इस मामले में समष्टि $X$ के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है $M$ और $\ker P,$ प्रक्षेपण की गिरी $P.$ लगता है कि $X$ और $Y$ बानाख समष्टि हैं और वह $T\in B(X,Y).$ का एक विहित गुणनखंड सम्मिलित है $T$ जैसा

$$T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y$$

जहां पहला मानचित्र $\pi$ भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र है $T_{1}$ हर वर्ग भेजता है $x+\ker T$ छवि के भागफल में $T(x)$ में $Y.,$ यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण $T_{1}$ से एक रैखिक आक्षेप है $X/\ker T$ सीमा पर $T(X),$ जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।

शास्त्रीय समष्टि

बुनियादी उदाहरण बानाख समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि $L^{p}$ और उनके विशेष मामले, अनुक्रम समष्टि (गणित) $\ell ^{p}$ जिसमें प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम सम्मिलित हैं $\mathbb {N}$; उनमें से, समष्टि $\ell ^{1}$ निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि $\ell ^{2}$ वर्ग योग्‍य अनुक्रम; समष्टि $c_{0}$ शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की $\ell ^{\infty }$ बंधे हुए अनुक्रमों की; समष्टि $C(K)$ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समष्टि पर निरंतर स्केलर फ़ंक्शंस $K,$ अधिकतम मानदंड से लैस,

$$\|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).$$

बानाख-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाख समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। $C(K).$ प्रत्येक वियोज्य बानाख समष्टि के लिए $X,$ एक बंद उप-समष्टि है $M$ का $\ell ^{1}$ ऐसा है कि $X:=\ell ^{1}/M.$ कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाख समष्टि के उदाहरण के रूप में कार्य करता है। एक हिल्बर्ट समष्टि $H$ पर $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है

$$\|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$$

कहाँ

$$\langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K}$$

आंतरिक उत्पाद समष्टि है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

$${\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}$$

उदाहरण के लिए, समष्टि $L^{2}$ एक हिल्बर्ट समष्टि है।

हार्डी समष्टि, सोबोलेव समष्टि, बानाख समष्टि के उदाहरण हैं जो इससे संबंधित हैं $L^{p}$ रिक्त समष्टि और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, हार्मोनिक विश्लेषण और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।

बानाख बीजगणित

एक Banach बीजगणित एक Banach समष्टि है $A$ ऊपर $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ या $\mathbb {C} ,$ साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना|बीजगणित खत्म $\mathbb {K}$, जैसे कि उत्पाद का मानचित्र $A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A$ निरंतर है। एक समकक्ष मानदंड $A$ पाया जा सकता है ताकि $\|ab\|\leq \|a\|\|b\|$ सभी के लिए $a,b\in A.$

उदाहरण

• द बानाख समष्टि $C(K)$ बिंदुवार गुणनफल के साथ, एक बैनाच बीजगणित है।
• डिस्क बीजगणित $A(\mathbf {D} )$ ओपन यूनिट डिस्क में होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के कार्य होते हैं $D\subseteq \mathbb {C}$ और इसके क्लोजर (सांस्थिति) पर निरंतर: ${\overline {\mathbf {D} }}.$ अधिकतम मानदंड से लैस ${\overline {\mathbf {D} }},$ डिस्क बीजगणित $A(\mathbf {D} )$ का एक बंद सबलजेब्रा है $C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).$
• वीनर बीजगणित $A(\mathbf {T} )$ यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है $\mathbf {T}$ बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से $\mathbf {T}$ इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित के लिए समरूप है $\ell ^{1}(Z),$ जहां उत्पाद अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है।
• हर बानाख समष्टि के लिए $X,$ समष्टि $B(X)$ परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की $X,$ उत्पाद के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बानाख बीजगणित है।
• ए सी*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित है $A$ एक एंटीलाइनर मानचित्र इनवोल्यूशन (गणित) के साथ $a\mapsto a^{*}$ ऐसा है कि $\left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.$ समष्टि $B(H)$ हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की संख्या $H$ C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सी*-बीजगणित कुछ के सी*-सबलजेब्रा के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। $B(H).$ समष्टि $C(K)$ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल निरंतर कार्यों का $K$ क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां हर क्रिया के साथ जुड़ाव जुड़ा हुआ है $f$ इसका जटिल संयुग्म ${\overline {f}}.$

दोहरी समष्टि

Main article: Dual space

अगर $X$ एक आदर्श समष्टि है और $\mathbb {K}$ अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) (या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या), दोहरी समष्टि#सतत दोहरी समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्रों का समष्टि है $X$ में $\mathbb {K} ,$ या निरंतर रैखिक कार्य। निरंतर दोहरे के लिए अंकन है $X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )$ इस आलेख में। तब से $\mathbb {K}$ एक बानाख समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी $X^{\prime }$ प्रत्येक मानक समष्टि के लिए एक बानाख समष्टि है $X.$ निरंतर रैखिक क्रियाओं के अस्तित्व को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।

Hahn–Banach theorem — Let $X$ be a vector space over the field $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ Let further

• $Y\subseteq X$ be a linear subspace,
• $p:X\to \mathbb {R}$ be a sublinear function and
• $f:Y\to \mathbb {K}$ be a linear functional so that $\operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)$ for all $y\in Y.$

Then, there exists a linear functional $F:X\to \mathbb {K}$ so that

$$F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).$$

विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानदंड को बढ़ाए बिना, एक आदर्श समष्टि के उप-समष्टि पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को लगातार पूरे समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए $x$ एक आदर्श समष्टि में $X,$ वहाँ एक सतत रैखिक कार्यात्मक सम्मिलित है $f$ पर $X$ ऐसा है कि

$$f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.$$

कब $x$ के बराबर नहीं है $\mathbf {0}$ वेक्टर, कार्यात्मक $f$ मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक कहा जाता है $x.$ हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल सेट एक वास्तविक बानाच समष्टि में, उनमें से एक खुला है, एक बंद एफ़िन समष्टि hyperplane द्वारा अलग किया जा सकता है। खुला उत्तल सेट हाइपरप्लेन के एक तरफ सख्ती से स्थित है, दूसरा उत्तल सेट दूसरी तरफ स्थित है लेकिन हाइपरप्लेन को छू सकता है। उपसमुच्चय $S$ एक बानाख समष्टि में $X$ कुल है अगर की रैखिक अवधि $S$ सघन रूप से स्थापित है $X.$ उपसमुच्चय $S$ में कुल है $X$ अगर और केवल अगर एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो गायब हो जाता है $S$ है $\mathbf {0}$ कार्यात्मक: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।

अगर $X$ दो बंद रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है $M$ और $N,$ फिर द्वैत $X^{\prime }$ का $X$ के द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है $M$ और $N.$ अगर $M$ में एक बंद रैखिक उपसमष्टि है $X,$ कोई जोड़ सकता है orthogonal of $M$ दोहरे में,

$$M^{bot}=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.$$

ऑर्थोगोनल $M^{\bot }$ द्वैत की एक बंद रेखीय उपसमष्टि है। का द्वैत $M$ isometrically isomorphic है $X'/M^{\bot }.$ का द्वैत $X/M$ isometrically isomorphic है $M^{\bot }.$ एक वियोज्य बानाख समष्टि के दोहरे को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:

Theorem — Let $X$ be a normed space. If $X'$ is separable, then $X$ is separable.

कब $X'$ वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानदंड का उपयोग गणना योग्य कुल उपसमुच्चय के अस्तित्व को साबित करने के लिए किया जा सकता है $X.$

कमजोर सांस्थिति

बानाख समष्टि पर कमजोर सांस्थिति $X$ पर सांस्थिति की तुलना है $X$ जिसके लिए सभी तत्व $x^{\prime }$ निरंतर दोहरी समष्टि में $X^{\prime }$ निरंतर हैं। मानक सांस्थिति इसलिए कमजोर सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि कमजोर सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाख समष्टि का एक मानक-बंद उत्तल सेट भी कमजोर रूप से बंद है। दो बानाख समष्टि के बीच एक मानक-निरंतर रेखीय मानचित्र $X$ और $Y$ भी कमजोर रूप से निरंतर है, अर्थात कमजोर सांस्थिति से निरंतर है $X$ उसके वहां के लिए $Y.$ अगर $X$ अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि $X^{*}$ से सभी रैखिक मानचित्रों का $X$ अंतर्निहित क्षेत्र के लिए $\mathbb {K}$ (यह समष्टि $X^{*}$ इसे अलग करने के लिए इसे दोहरी समष्टि#बीजगणितीय दोहरी समष्टि कहा जाता है $X^{\prime }$ एक सांस्थिति को भी प्रेरित करता है $X$ जो कमजोर सांस्थिति की तुलना में बेहतर सांस्थिति है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।

दोहरे समष्टि पर $X^{\prime },$ की कमजोर सांस्थिति की तुलना में कमजोर सांस्थिति है $X^{\prime },$ कमजोर सांस्थिति कहा जाता है|कमजोर* सांस्थिति। यह सबसे मोटे सांस्थिति है $X^{\prime }$ जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र $x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),$ कहाँ $x$ से अधिक है $X,$ निरंतर हैं। इसका महत्व बानाख-अलाग्लू प्रमेय से आता है।

Banach–Alaoglu theorem — Let $X$ be a normed vector space. Then the closed unit ball $B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}$ of the dual space is compact in the weak* topology.

कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत उत्पादों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। कब $X$ वियोज्य है, यूनिट बॉल $B^{\prime }$ दोहरे का कमजोर * सांस्थिति में मेट्रिजेबल समष्टि कॉम्पैक्ट है।

दोहरे समष्टि के उदाहरण

का द्वैत $c_{0}$ isometrically isomorphic है $\ell ^{1}$: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए $f$ पर $c_{0},$ एक अनूठा तत्व है $y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}$ ऐसा है कि

$$f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.$$

का द्वैत $\ell ^{1}$ isometrically isomorphic है $\ell ^{\infty }$. एलपी समष्टि का दोहरा # एलपी समष्टि का गुण $L^{p}([0,1])$ isometrically isomorphic है $L^{q}([0,1])$ कब $1\leq p<\infty$ और ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$ हर वेक्टर के लिए $y$ एक हिल्बर्ट समष्टि में $H,$ मानचित्रण

$$x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle$$

एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $f_{y}$ पर $H.$रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर $H$ स्वरूप का है $f_{y}$ विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए $y$ में $H.$ मानचित्रण $y\in H\to f_{y}$ एक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्रिक बायजेक्शन है $H$ इसके दोहरे पर $H'.$ जब स्केलर वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।

कब $K$ एक कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल समष्टि है, डुअल $M(K)$ का $C(K)$ बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन उपायों का समष्टि है। उपसमुच्चय $P(K)$ का $M(K)$ द्रव्यमान 1 (संभाव्यता उपाय) के गैर-नकारात्मक उपायों से मिलकर यूनिट बॉल का एक उत्तल w*-बंद उपसमुच्चय है $M(K).$ के चरम बिंदु $P(K)$ डिराक उपाय चालू हैं $K.$ डिराक का सेट चालू है $K,$ डब्ल्यू * - सांस्थिति से लैस, होमोमोर्फिज्म है $K.$

Banach–Stone Theorem — If $K$ and $L$ are compact Hausdorff spaces and if $C(K)$ and $C(L)$ are isometrically isomorphic, then the topological spaces $K$ and $L$ are homeomorphic.

परिणाम आमिर द्वारा बढ़ाया गया है और कैम्बरन मामले में जब गुणक बानाख-मजूर कॉम्पेक्टम | बानाख-मजूर के बीच की दूरी $C(K)$ और $C(L)$ है $<2.$ दूरी होने पर प्रमेय अब सत्य नहीं है $=2.$ क्रमविनिमेय बानाख बीजगणित में $C(K),$ द बानाख बीजगणित#आदर्श और चरित्र सटीक रूप से डायराक उपायों की गुठली हैं $K,$

$$I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.$$

अधिक आम तौर पर, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एक यूनिटल कम्यूटेटिव बानाख बीजगणित के अधिकतम आदर्शों को इसके बानाख बीजगणित # आदर्शों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल सेट के रूप में बल्कि टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि के रूप में: हल-कर्नेल सांस्थिति के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला। इस पहचान में, अधिकतम आदर्श समष्टि को दोहरी गेंद में इकाई गेंद के w*-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है $A'.$

Theorem — If $K$ is a compact Hausdorff space, then the maximal ideal space $\Xi$ of the Banach algebra $C(K)$ is homeomorphic to $K.$

प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बानाख बीजगणित का रूप नहीं है $C(K)$ कुछ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समष्टि के लिए $K.$ हालाँकि, यह कथन यदि एक समष्टि पर है $C(K)$ क्रमविनिमेय C*-अल्जेब्रा की छोटी श्रेणी में। इज़राइल गेलफैंड | गेलफैंड का गेलफैंड प्रतिनिधित्व क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित $A$ isometrically isomorphic to a $C(K)$ समष्टि। हॉउसडॉर्फ कॉम्पैक्ट समष्टि $K$ यहाँ फिर से अधिकतम आदर्श समष्टि है, जिसे C*-बीजगणित का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है# के उदाहरण $A$ सी*-बीजगणित संदर्भ में।

द्विभाषी

See also: Bidual, Reflexive space, and Semi-reflexive space

अगर $X$ एक आदर्श समष्टि है, (निरंतर) दोहरा $X''$ द्वैत का $X'$ कहा जाता हैbidual, याsecond dual का $X.$ प्रत्येक सामान्य समष्टि के लिए $X,$ एक प्राकृतिक मानचित्र है,

$${\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}$$

यह परिभाषित करता है $F_{X}(x)$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में $X^{\prime },$ वह है, का एक तत्व $X^{\prime \prime }.$ वो मानचित्र $F_{X}:x\to F_{X}(x)$ से एक रेखीय मानचित्र है $X$ को $X^{\prime \prime }.$ बानाख समष्टि # दोहरे समष्टि के अस्तित्व के परिणामस्वरूप $f$ हरएक के लिए $x\in X,$ यह मानचित्र $F_{X}$ isometric है, इस प्रकार इंजेक्शन।

उदाहरण के लिए, की दोहरी $X=c_{0}$ से पहचाना जाता है $\ell ^{1},$ और की दोहरी $\ell ^{1}$ से पहचाना जाता है $\ell ^{\infty },$ परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का समष्टि। इन पहचान के तहत $F_{X}$ से समावेशन मानचित्र है $c_{0}$ को $\ell ^{\infty }.$ यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।

अगर $F_{X}$ आच्छादन है, तो आदर्श समष्टि $X$ रिफ्लेक्सिव कहा जाता है (बानाख समष्टि # रिफ्लेक्सिविटी देखें)। एक आदर्श समष्टि के दोहरे होने के नाते, बिडुअल $X''$ पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड समष्टि एक बानाख समष्टि है।

आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग का उपयोग करना $F_{X},$ यह एक आदर्श समष्टि पर विचार करने के लिए प्रथागत है $X$ इसकी बोली के सबसेट के रूप में। कब $X$ एक बानाख समष्टि है, इसे एक बंद रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है $X^{\prime \prime }.$ अगर $X$ रिफ्लेक्सिव नहीं है, की यूनिट बॉल $X$ की इकाई गेंद का एक उचित उपसमुच्चय है $X^{\prime \prime }.$ गोल्डस्टाइन प्रमेय में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गेंद बोली की इकाई गेंद में कमजोर*-सघन होती है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए $x''$ बिडुअल में, एक नेट सम्मिलित है (गणित) $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ में $X$ ताकि

$$\sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.$$

दोहरी होने पर नेट को कमजोर *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $X'$ वियोज्य है। दूसरी ओर, की बोली के तत्व $\ell ^{1}$ जो अंदर नहीं हैं $\ell ^{1}$ कमजोर नहीं हो सकता* - की सीमा sequences में $\ell ^{1},$ तब से $\ell ^{1}$ बानाच समष्टि है # अनुक्रमों का कमजोर अभिसरण।

बानाख के प्रमेय

बानाख की किताब के समय तक वापस जाने वाले बानाख रिक्त समष्टि के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम यहां दिए गए हैं (Banach (1932)) और बायर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं। इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि (जैसे कि एक बैनच समष्टि, एक फ्रेचेट समष्टि या एक एफ-समष्टि) खाली इंटीरियर (सांस्थिति) के साथ गिने-चुने कई बंद उपसमुच्चयों के संघ के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, एक Banach समष्टि गिनती के कई बंद उप-समष्टि का संघ नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बानाख समष्टि परिमित-आयामी है।

Banach–Steinhaus Theorem — Let $X$ be a Banach space and $Y$ be a normed vector space. Suppose that $F$ is a collection of continuous linear operators from $X$ to $Y.$ The uniform boundedness principle states that if for all $x$ in $X$ we have $\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$ then $\sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .$

बानाख-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाख समष्टि तक सीमित नहीं है। इसे उदाहरण के लिए उस मामले में बढ़ाया जा सकता है जहां $X$ एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के तहत, एक पड़ोस सम्मिलित है $U$ का $\mathbf {0}$ में $X$ ऐसा है कि सभी $T$ में $F$ समान रूप से बंधे हुए हैं $U,$

$$\sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .$$

The Open Mapping Theorem — Let $X$ and $Y$ be Banach spaces and $T:X\to Y$ be a surjective continuous linear operator, then $T$ is an open map.

Corollary — Every one-to-one bounded linear operator from a Banach space onto a Banach space is an isomorphism.

The First Isomorphism Theorem for Banach spaces — Suppose that $X$ and $Y$ are Banach spaces and that $T\in B(X,Y).$ Suppose further that the range of $T$ is closed in $Y.$ Then $X/\ker T$ is isomorphic to $T(X).$

यह परिणाम पूर्ववर्ती बानाख समरूपता प्रमेय और बंधे हुए रैखिक मानचित्रों के विहित गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।

Corollary — If a Banach space $X$ is the internal direct sum of closed subspaces $M_{1},\ldots ,M_{n},$ then $X$ is isomorphic to $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.$

यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो निरंतर आक्षेप पर लागू होता है $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ पर $X$ भेजना $m_{1},\cdots ,m_{n}$ राशि के लिए $m_{1}+\cdots +m_{n}.$

The Closed Graph Theorem — Let $T:X\to Y$ be a linear mapping between Banach spaces. The graph of $T$ is closed in $X\times Y$ if and only if $T$ is continuous.

रिफ्लेक्सिविटी

Main article: Reflexive space

आदर्श समष्टि $X$ प्राकृतिक मानचित्र होने पर रिफ्लेक्सिव समष्टि कहा जाता है

$${\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}$$

विशेषण है। रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड समष्टि बानाख समष्टि हैं।

Theorem — If $X$ is a reflexive Banach space, every closed subspace of $X$ and every quotient space of $X$ are reflexive.

यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है। इसके अलावा, ओपन मैपिंग प्रमेय द्वारा, यदि बानाख समष्टि से एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है $X$ बानाख समष्टि पर $Y,$ तब $Y$ प्रतिवर्त है।

Theorem — If $X$ is a Banach space, then $X$ is reflexive if and only if $X^{\prime }$ is reflexive.

Corollary — Let $X$ be a reflexive Banach space. Then $X$ is separable if and only if $X^{\prime }$ is separable.

दरअसल, अगर दोहरी $Y^{\prime }$ एक बानाख समष्टि का $Y$ वियोज्य है, तो $Y$ वियोज्य है। अगर $X$ प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर का दोहरा $X^{\prime }$ वियोज्य है, इसलिए $X^{\prime }$ वियोज्य है।

Theorem — Suppose that $X_{1},\ldots ,X_{n}$ are normed spaces and that $X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.$ Then $X$ is reflexive if and only if each $X_{j}$ is reflexive.

हिल्बर्ट समष्टि रिफ्लेक्सिव हैं। $L^{p}$ h> समष्टि रिफ्लेक्सिव होते हैं जब $1<p<\infty .$ अधिक आम तौर पर, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। रिक्त समष्टि $c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])$ परावर्तक नहीं हैं। गैर-रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि के इन उदाहरणों में $X,$ बोली $X''$ से बहुत बड़ा है $X.$ अर्थात्, प्राकृतिक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के तहत $X$ में $X''$ हन-बानाख प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल $X^{\prime \prime }/X$ अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है। हालाँकि, रॉबर्ट सी। जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है एक गैर-रिफ्लेक्सिव समष्टि, जिसे आमतौर पर जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $J,$ ऐसा भागफल $J^{\prime \prime }/J$ एक आयामी है। इसके अलावा, यह समष्टि $J$ isometrically isomorphic to its Bidual है।

Theorem — A Banach space $X$ is reflexive if and only if its unit ball is compact in the weak topology.

कब $X$ स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी बंद और परिबद्ध उत्तल सेट $X$ कमजोर रूप से संकुचित हैं। एक हिल्बर्ट समष्टि में $H,$ यूनिट बॉल की कमजोर सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक बंधे हुए क्रम में $H$ कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं।

यूनिट बॉल की कमजोर कॉम्पैक्टनेस कुछ अनंत-आयामी अनुकूलन के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गेंद पर निरंतर कार्य करता है $B$ एक रिफ्लेक्सिव समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है $B.$ पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष मामले के रूप में, कब $X$ एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है $\mathbb {R} ,$ हर निरंतर रैखिक कार्यात्मक $f$ में $X^{\prime }$ अधिकतम प्राप्त करता है $\|f\|$ की यूनिट बॉल पर $X.$ निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है।

James' Theorem — For a Banach space the following two properties are equivalent:

• $X$ is reflexive.
• for all $f$ in $X^{\prime }$ there exists $x\in X$ with $\|x\|\leq 1,$ so that $f(x)=\|f\|.$

प्रमेय को कमजोर रूप से सघन उत्तल सेटों का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

हर नॉन-रिफ्लेक्सिव बानाख समष्टि पर $X,$ निरंतर रेखीय कार्य सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। हालांकि, बिशप बचाओ -रॉबर्ट फेल्प्स प्रमेय बताता है कि आदर्श-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं $X^{\prime }$ का $X.$

अनुक्रमों के कमजोर अभिसरण

एक क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ एक बानाख समष्टि में $X$ वेक्टर के लिए कमजोर रूप से अभिसरण है $x\in X$ अगर $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ में विलीन हो जाता है $f(x)$ प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए $f$ दोहरे में $X^{\prime }.$ क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ एक कमजोर कॉची अनुक्रम है अगर $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ एक स्केलर सीमा में अभिसरण करता है $L(f),,$ हरएक के लिए $f$ में $X^{\prime }.$ एक क्रम $\left\{f_{n}\right\}$ दोहरे में $X^{\prime }$ दुर्बल रूप से* एक कार्यात्मक के लिए अभिसरण है $f\in X^{\prime }$ अगर $f_{n}(x)$ में विलीन हो जाता है $f(x)$ हरएक के लिए $x$ में $X.$ यूनिफ़ॉर्म बाउंडेडनेस सिद्धांत | बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप कमजोर कॉची अनुक्रम, कमजोर रूप से अभिसरण और कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम मानदंड से बंधे हुए हैं।

जब क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ में $X$ एक कमजोर कॉशी अनुक्रम है, सीमा $L$ उपरोक्त दोहरी पर एक बाध्य रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $X^{\prime },$ वह है, एक तत्व $L$ की बोली का $X,$ और $L$ की सीमा है $\left\{x_{n}\right\}$ कमजोर * में - बिडुअल की सांस्थिति। द बानाख समष्टि $X$ कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक कमजोर कॉची अनुक्रम में कमजोर रूप से अभिसरण होता है $X.$ यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि रिफ्लेक्सिव समष्टि कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।

Theorem  — For every measure $\mu ,$ the space $L^{1}(\mu )$ is weakly sequentially complete.

हिल्बर्ट समष्टि में एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम एक कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा के बराबर है $\mathbf {0}$ वेक्टर। शाउडर आधार # के उदाहरण $\ell ^{p}$ के लिए $1<p<\infty ,$ या का $c_{0},$ एक कमजोर अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो कमजोर रूप से अभिसरण करता है $\mathbf {0} .$ बानाच समष्टि में प्रत्येक कमजोर अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम सम्मिलित है जो मानक-अभिसरण है $\mathbf {0} .$ इकाई वेक्टर आधार $\ell ^{1}$ कमजोर कॉची नहीं है। कमजोर कॉची क्रम में $\ell ^{1}$ कमजोर रूप से अभिसरण हैं, चूंकि $L^{1}$-समष्टि कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। वास्तव में, कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम $\ell ^{1}$ मानक अभिसरण हैं। इस का मतलब है कि $\ell ^{1}$ शूर की संपत्ति को संतुष्ट करता है।

== परिणाम सम्मिलित हैं $\ell ^{1}$ आधार

कमजोर कॉची अनुक्रम और $\ell ^{1}$ आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहरे परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत मामले हैं।

Theorem — Let $\left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ be a bounded sequence in a Banach space. Either $\left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ has a weakly Cauchy subsequence, or it admits a subsequence equivalent to the standard unit vector basis of $\ell ^{1}.$

इस परिणाम का पूरक ओडेल और रोसेन्थल (1975) के कारण है।

Theorem — Let $X$ be a separable Banach space. The following are equivalent:

• The space $X$ does not contain a closed subspace isomorphic to $\ell ^{1}.$
• Every element of the bidual $X''$ is the weak*-limit of a sequence $\left\{x_{n}\right\}$ in $X.$

गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व $B^{\prime \prime }$ का $X^{\prime \prime }$ कमजोर है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा $X.$ कब $X$ सम्मिलित नहीं है $\ell ^{1},$ का हर तत्व $B^{\prime \prime }$ कमजोर है* - एक की सीमा sequence की यूनिट बॉल में $X.$ जब बानाख समष्टि $X$ वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद $X^{\prime },$ कमजोर *-सांस्थिति से लैस, एक मेट्रिजेबल कॉम्पैक्ट समष्टि है $K,$और हर तत्व $x^{\prime \prime }$ बोली में $X^{\prime \prime }$ एक बंधे हुए कार्य को परिभाषित करता है $K$:

$$x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.$$

यह कार्य कॉम्पैक्ट सांस्थिति के लिए निरंतर है $K$ अगर और केवल अगर $x^{\prime \prime }$ वास्तव में है $X,$ का उपसमुच्चय माना जाता है $X^{\prime \prime }.$ बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि $X$ सम्मिलित नहीं है $\ell ^{1}.$ ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, समारोह $x^{\prime \prime }$ बिन्दुवार अभिसरण चालू है $K$ एक क्रम का $\left\{x_{n}\right\}\subseteq X$ निरंतर कार्यों पर $K,$ इसलिए यह एक बाहरी समारोह है $K.$ बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $K.$

अनुक्रम, कमजोर और कमजोर * कॉम्पैक्टनेस

कब $X$ वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद कमजोर है * - बानाख-अलाग्लु प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट और कमजोर * सांस्थिति के लिए मेट्रिजेबल,इसलिए दोहरे में प्रत्येक बंधे हुए क्रम में कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। यह वियोज्य रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि पर लागू होता है, लेकिन इस मामले में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

बानाख समष्टि की कमजोर सांस्थिति $X$ मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर $X$ परिमित-आयामी है। यदि द्वि $X'$ वियोज्य है, यूनिट बॉल की कमजोर सांस्थिति $X$ मेट्रिजेबल है। यह विशेष रूप से अलग करने योग्य रिफ्लेक्सिव बैनच रिक्त समष्टि पर लागू होता है। हालांकि यूनिट बॉल की कमजोर सांस्थिति सामान्य रूप से मेट्रिजेबल नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके कमजोर कॉम्पैक्टनेस को चिह्नित किया जा सकता है।

Eberlein–Šmulian theorem — A set $A$ in a Banach space is relatively weakly compact if and only if every sequence $\left\{a_{n}\right\}$ in $A$ has a weakly convergent subsequence.

एक बानाख समष्टि $X$ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर प्रत्येक बंधे अनुक्रम में $X$ एक कमजोर अभिसारी परिणाम है। एक कमजोर कॉम्पैक्ट सबसेट $A$ में $\ell ^{1}$ नॉर्म-कॉम्पैक्ट है। दरअसल, हर क्रम में $A$ Eberlein-Smulian द्वारा कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो कि Schur संपत्ति द्वारा मानक अभिसरण हैं $\ell ^{1}.$

कंपकंपी के आधार

Main article: Schauder basis

बानाख क्षेत्र में एक कंपकंपी का आधार $X$ एक क्रम है $\left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}$ वैक्टर में $X$ संपत्ति के साथ कि हर वेक्टर के लिए $x\in X,$ वहां है uniquely परिभाषित स्केलर $\left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}$ इस पर निर्भर करते हुए $x,$ ऐसा है कि

$$x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.$$

स्कॉडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय सेट घना है।

यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण है $\left\{P_{n}\right\}$ समान रूप से कुछ स्थिरांक से बंधे होते हैं $C.$ होने देना $\left\{e_{n}^{*}\right\}$ उन समन्वय कार्यों को निरूपित करें जो प्रत्येक को असाइन करते हैं $x$ में $X$ समन्वय $x_{n}$ का $x$ उपरोक्त विस्तार में। उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानदंड होता है $1,$ समन्वय कार्य करता है $\left\{e_{n}^{*}\right\}$ आदर्श है $\,\leq 2C$ के दोहरे में $X.$ अधिकांश शास्त्रीय वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। उसकी तरंगिका $\left\{h_{n}\right\}$ का आधार है $L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .$ द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है $L^{p}(\mathbf {T} )$ कब $1<p<\infty .$ इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली समष्टि में एक आधार है $C([0,1]).$ डिस्क बीजगणित का सवाल है $A(\mathbf {D} )$ एक आधार है 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा $A(\mathbf {D} )$ यूनिट अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है। चूंकि प्रत्येक वेक्टर $x$ एक बानाख समष्टि में $X$ आधार के साथ की सीमा है $P_{n}(x),$ साथ $P_{n}$ परिमित रैंक और समान रूप से घिरा, समष्टि $X$ सन्निकटन संपत्ति को संतुष्ट करता है। सन्निकटन संपत्ति को विफल करने वाले समष्टि के प्रति एंफ्लो द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में एक अलग-अलग बानाच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि स्कॉडर आधार के बिना था। रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच समष्टि में एक आधार के साथ रिफ्लेक्सिविटी की विशेषता बताई: समष्टि $X$ एक Schauder आधार के साथ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर आधार Schauder आधार#Schauder आधार और द्वैत दोनों है। इस मामले में, बायोऑर्थोगोनल कार्यात्मकता दोहरे के आधार का निर्माण करती है $X.$

टेंसर उत्पाद

Main articles: Tensor product and Topological tensor product

होने देना $X$ और $Y$ दो हो $\mathbb {K}$-वेक्टर रिक्त समष्टि। टेंसर उत्पाद $X\otimes Y$ का $X$ और $Y$ एक है $\mathbb {K}$-सदिश स्थल $Z$ बिलिनियर मैपिंग के साथ $T:X\times Y\to Z$ जिसके पास निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है:

अगर $T_{1}:X\times Y\to Z_{1}$ क्या कोई बिलिनियर मैपिंग ए में है $\mathbb {K}$-सदिश स्थल $Z_{1},$ तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण सम्मिलित है $f:Z\to Z_{1}$ ऐसा है कि $T_{1}=f\circ T.$

नीचे की छवि $T$ एक जोड़े का $(x,y)$ में $X\times Y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $x\otimes y,$ और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है। हर तत्व $z$ में $X\otimes Y$ ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।

ऐसे विभिन्न मानदंड हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त समष्टि के टेंसर उत्पाद पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#क्रॉस मानदंड और बैनच समष्टि के टेंसर उत्पाद और टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किए गए बानाख समष्टि के क्रॉस मानदंड और टेंसर उत्पाद |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक। सामान्य तौर पर, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर उत्पाद फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाख रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथा है कि प्रक्षेपी टेंसर उत्पाद दो बानाख समष्टि में से $X$ और $Y$ है completion $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का $X\otimes Y$ प्रोजेक्टिव टेंसर मानदंड से लैस है, और इसी तरह इंजेक्शन टेंसर उत्पाद के लिए $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$ ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से साबित किया

$${\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}$$

कहाँ $K$ एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समष्टि है, $C(K,Y)$ से निरंतर कार्यों की Banach समष्टि $K$ को $Y$ और $L^{1}([0,1],Y)$ Bochner-मापने योग्य और पूर्णांक कार्यों का समष्टि $[0,1]$ को $Y,$ और जहां समरूपताएं सममितीय हैं। उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र के संबंधित विस्तार हैं $f\otimes y$ वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन के लिए $s\in K\to f(s)y\in Y.$

टेंसर उत्पाद और सन्निकटन गुण

होने देना $X$ बानाख समष्टि बनो। टेंसर उत्पाद $X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ में बंद होने के साथ आइसोमेट्रिक रूप से पहचाना जाता है $B(X)$ परिमित रैंक ऑपरेटरों के सेट का। कब $X$ सन्निकटन संपत्ति है, यह क्लोजर कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के समष्टि के साथ मेल खाता है $X.$ प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए $Y,$ एक प्राकृतिक मानदंड है $1$ रैखिक मानचित्र

$$Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$$

बीजगणितीय टेन्सर उत्पाद के पहचान मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन संपत्ति को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह मानचित्र एक-से-एक कब है $Y$ का द्वैत है $X.$ सटीक रूप से, प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए $X,$ वो मानचित्र

$$X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$$

एक-से-एक है अगर और केवल अगर $X$ सन्निकटन गुण है। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ और $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ जब भी अलग होना चाहिए $X$ और $Y$ अनंत-आयामी बानाख समष्टि हैं। यह 1983 में गाइल्स पिसिएर द्वारा अस्वीकृत किया गया था। पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बानाख समष्टि का निर्माण किया $X$ ऐसा है कि $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X$ और $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ बराबर हैं। इसके अलावा, Per Enflo|Enflo के उदाहरण के रूप में, यह समष्टि $X$ एक हाथ से बनाया गया समष्टि है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि शास्त्रीय समष्टि $B\left(\ell ^{2}\right)$ सन्निकटन गुण नहीं है।

कुछ वर्गीकरण परिणाम

बानाच समष्टि के बीच हिल्बर्ट समष्टि की विशेषताएं

बानाख समष्टि के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त $X$ एक आंतरिक उत्पाद से जुड़ा होना समांतर चतुर्भुज पहचान है:

Parallelogram identity — for all $x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).$

यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp समष्टि $L^{p}([0,1])$ हिल्बर्ट समष्टि तभी है जब $p=2.$ यदि यह पहचान संतुष्ट होती है, तो संबंधित आंतरिक उत्पाद ध्रुवीकरण पहचान द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के मामले में, यह देता है:

$$\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).$$

जटिल स्केलर्स के लिए, इनर प्रोडक्ट समष्टि को परिभाषित करना ताकि हो सके $\mathbb {C}$-रैखिक में $x,$ एंटीलाइनर मानचित्र में $y,$ ध्रुवीकरण पहचान देता है:

$$\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).$$

यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज कानून पर्याप्त है, कोई वास्तविक मामले में देखता है कि $\langle x,y\rangle$ सममित है, और जटिल मामले में, कि यह हर्मिटियन समरूपता गुण को संतुष्ट करता है और $\langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .$ समांतर चतुर्भुज कानून का तात्पर्य है $\langle x,y\rangle$ में योगात्मक है $x.$ यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक (आइसोमेट्रिक के बजाय) रिक्त समष्टि के कई लक्षण उपलब्ध हैं। समांतर चतुर्भुज कानून को दो से अधिक सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर के साथ दो तरफा असमानता की शुरूआत से कमजोर हो सकता है $c\geq 1$: Kwapień ने साबित कर दिया कि अगर

$$c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}$$

प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n$ और वैक्टर के सभी परिवार$\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,$ फिर बानाख समष्टि $X$ हिल्बर्ट समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक है। यहाँ, $\operatorname {Ave} _{\pm }$ से अधिक औसत दर्शाता है $2^{n}$ संकेतों के संभावित विकल्प $\pm 1.$ उसी लेख में, Kwapień ने साबित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-वैल्यू पारसेवल के प्रमेय की वैधता बानाख समष्टि आइसोमॉर्फिक को हिल्बर्ट समष्टि की विशेषता बताती है।

लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने साबित किया कि एक बानाख समष्टि जिसमें प्रत्येक बंद रैखिक उप-समष्टि पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक है। प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, Dvoretzky के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n,$ किसी भी परिमित-आयामी आदर्श समष्टि की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ $n,$ से लगभग सममितीय उपस्थान समाहित करता है $n$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि।

अगला परिणाम तथाकथित का समाधान देता है homogeneous space problem. एक अनंत-आयामी बानाख समष्टि $X$ सजातीय कहा जाता है अगर यह अपने सभी अनंत-आयामी बंद उप-समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक है। एक बैनच समष्टि आइसोमॉर्फिक टू $\ell ^{2}$ सजातीय है, और बानाख ने बातचीत के लिए कहा।

Theorem — A Banach space isomorphic to all its infinite-dimensional closed subspaces is isomorphic to a separable Hilbert space.

एक अनंत-आयामी बैनच समष्टि आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है। टिमोथी गोवर्स द्विभाजन प्रमेयदावा करता है कि हर अनंत-आयामी Banach समष्टि $X$ सम्मिलित है, या तो एक उप-समष्टि $Y$ Schauder आधार के साथ # बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-समष्टि $Z,$ खास तरीके से, $Z$ अपने बंद हाइपरप्लेन के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। अगर $X$ सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है | वह $X$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\ell ^{2}.$

मीट्रिक वर्गीकरण

अगर $T:X\to Y$ बानाख समष्टि से एक आइसोमेट्री है $X$ बानाख समष्टि पर $Y$ (जहां दोनों $X$ और $Y$ सदिश समष्टि समाप्त हो गए हैं $\mathbb {R}$), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि $T$ एक affine परिवर्तन होना चाहिए। विशेष रूप से, अगर $T(0_{X})=0_{Y},$ यह है $T$ के शून्य को मैप करता है $X$ के शून्य तक $Y,$ तब $T$ रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बानाख रिक्त समष्टि में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से आदर्श समष्टि में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से कैप्चर करता है।

सांस्थितिक वर्गीकरण

परिमित आयामी Banach रिक्त समष्टि स्थलीय रिक्त समष्टि के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त समष्टि के समान आयाम हैं।

एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) साबित करता है कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि Banach रिक्त समष्टि सामयिक समष्टि के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो साबित हुआ कि कोई भी दो बानाख समष्टि होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान सेट-सैद्धांतिक सांस्थिति#कार्डिनल फ़ंक्शंस हैं, तो घने उपसमुच्चय की न्यूनतम कार्डिनैलिटी।

निरंतर कार्यों के समष्टि

जब दो कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ रिक्त समष्टि $K_{1}$ और $K_{2}$ होमोमोर्फिज्म हैं, बानाख समष्टि $C\left(K_{1}\right)$ और $C\left(K_{2}\right)$ सममितीय हैं। इसके विपरीत कब $K_{1}$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है $K_{2},$ (गुणक) बानाख-मजूर के बीच की दूरी $C\left(K_{1}\right)$ और $C\left(K_{2}\right)$ से अधिक या बराबर होना चाहिए $2,$ बानाच समष्टि के ऊपर देखें # दोहरे समष्टि के उदाहरण। यद्यपि बेशुमार कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त समष्टि में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:

Theorem — Let $K$ be an uncountable compact metric space. Then $C(K)$ is isomorphic to $C([0,1]).$

काउंटेबल सेट कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समष्टि के लिए स्थिति अलग है। हर गिनती अनंत कॉम्पैक्ट $K$ क्रमिक संख्याओं के कुछ बंद अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है

$$\langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}$$

आदेश सांस्थिति से लैस है, जहां $\alpha$ एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है। द बानाख समष्टि $C(K)$ तो isometric है C(⟨1, α⟩). कब $\alpha ,\beta$ दो अनगिनत अनंत अध्यादेश हैं, और मान रहे हैं $\alpha \leq \beta ,$ रिक्त समष्टि C(⟨1, α⟩) और C(⟨1, β⟩) आइसोमॉर्फिक हैं अगर और केवल अगर β < α^ω. उदाहरण के लिए, बानाख रिक्त समष्टि

$$C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots$$

परस्पर गैर-समरूपी हैं।

उदाहरण

Main article: List of Banach spaces

Glossary of symbols for the table below:

• $\mathbb {F}$ denotes the field of real numbers $\mathbb {R}$ or complex numbers $\mathbb {C} .$
• $K$ is a compact Hausdorff space.
• $p,q\in \mathbb {R}$ are real numbers with $1<p,q<\infty$ that are Hölder conjugates, meaning that they satisfy ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1$ and thus also $q={\frac {p}{p-1}}.$
• $\Sigma$ is a $\sigma$-algebra of sets.
• $\Xi$ is an algebra of sets (for spaces only requiring finite additivity, such as the ba space).
• $\mu$ is a measure with variation $|\mu |.$ A positive measure is a real-valued positive set function defined on a $\sigma$-algebra which is countably additive.

Classical Banach spaces
	Dual space	Reflexive	weakly sequentially complete	Norm		Notes
$\mathbb {F} ^{n}$	$\mathbb {F} ^{n}$	Yes	Yes	$\|x\|_{2}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}$	Euclidean space
$\ell _{p}^{n}$	$\ell _{q}^{n}$	Yes	Yes	$\|x\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell _{\infty }^{n}$	$\ell _{1}^{n}$	Yes	Yes	$\|x\|_{\infty }$	$=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
$\ell ^{p}$	$\ell ^{q}$	Yes	Yes	$\|x\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell ^{1}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\|x\|_{1}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|$
$\ell ^{\infty }$	$\operatorname {ba}$	No	No	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$
$\operatorname {c}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$
$c_{0}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$	Isomorphic but not isometric to $c.$
$\operatorname {bv}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\|x\|_{bv}$	$=\left|x_{1}\right|+\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bv} _{0}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\|x\|_{bv_{0}}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bs}$	$\operatorname {ba}$	No	No	$\|x\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{\infty }.$
$\operatorname {cs}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\|x\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|$	Isometrically isomorphic to $c.$
$B(K,\Xi )$	$\operatorname {ba} (\Xi )$	No	No	$\|f\|_{B}$	$=\sup \nolimits _{k\in K}|f(k)|$
$C(K)$	$\operatorname {rca} (K)$	No	No	$\|x\|_{C(K)}$	$=\max \nolimits _{k\in K}|f(k)|$
$\operatorname {ba} (\Xi )$	?	No	Yes	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$
$\operatorname {ca} (\Sigma )$	?	No	Yes	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$	A closed subspace of $\operatorname {ba} (\Sigma ).$
$\operatorname {rca} (\Sigma )$	?	No	Yes	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$	A closed subspace of $\operatorname {ca} (\Sigma ).$
$L^{p}(\mu )$	$L^{q}(\mu )$	Yes	Yes	$\|f\|_{p}$	$=\left(\int |f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$
$L^{1}(\mu )$	$L^{\infty }(\mu )$	No	Yes	$\|f\|_{1}$	$=\int |f|\,d\mu$	The dual is $L^{\infty }(\mu )$ if $\mu$ is $\sigma$-finite.
$\operatorname {BV} ([a,b])$	?	No	Yes	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	$V_{f}([a,b]).$ is the total variation of $f$
$\operatorname {NBV} ([a,b])$	?	No	Yes	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])$	$\operatorname {NBV} ([a,b])$ consists of $\operatorname {BV} ([a,b])$ functions such that $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\operatorname {AC} ([a,b])$	$\mathbb {F} +L^{\infty }([a,b])$	No	Yes	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	Isomorphic to the Sobolev space $W^{1,1}([a,b]).$
$C^{n}([a,b])$	$\operatorname {rca} ([a,b])$	No	No	$\|f\|$	$=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left|f^{(i)}(x)\right|$	Isomorphic to $\mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b]),$ essentially by Taylor's theorem.

डेरिवेटिव्स

एक डेरिवेटिव की कई अवधारणाओं को बानाच समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट डेरिवेटिव और व्युत्पन्न केक पर लेख देखें। फ़्रेचेट डेरिवेटिव बानाख समष्टि के कुल व्युत्पन्न की अवधारणा के विस्तार के लिए स्वीकृति देता है। गेटॉक्स व्युत्पन्न स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त समष्टि के लिए एक दिशात्मक व्युत्पन्न के विस्तार की स्वीकृति देता है। गैटॉक्स डिफरेंशियलिटी की तुलना में फ्रेचेट डिफरेंशियलिटी एक मजबूत स्थिति है। अर्ध-व्युत्पन्न दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक मजबूत स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट भिन्नता की तुलना में कमजोर स्थिति है।

सामान्यीकरण

कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण समष्टि, उदाहरण के लिए सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों का समष्टि $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ या सभी वितरण (गणित) का समष्टि $\mathbb {R} ,$ पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश समष्टि नहीं हैं और इसलिए बानाख समष्टि नहीं हैं। फ्रेचेट समष्टि में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जबकि वामो-समष्टि पूर्ण यूनिफॉर्म समष्टि वेक्टर समष्टि हैं जो फ्रेचेट समष्टि की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

• Space (mathematics)
  • Fréchet space
  • Hardy space
  • Hilbert space
  • L-semi-inner product
  • $L^{p}$ space
  • Sobolev space
  • Banach lattice
• Banach disk
• Banach manifold
  • Banach bundle
• Distortion problem
• Interpolation space
• Locally convex topological vector space
• Modulus and characteristic of convexity
• Smith space
• Topological vector space

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

• "Banach space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Banach Space". MathWorld.

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