G2 (गणित): Difference between revisions
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{{Lie groups |Simple}} | {{Lie groups |Simple}} | ||
गणित में ,G<sub>2</sub> तीन सरल [[झूठ समूह]] | गणित में, G<sub>2</sub> तीन सरल [[झूठ समूह|अपरिभाषित समूह]] (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके अपरिभाषिते बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2,</math> साथ ही साथ कुछ [[बीजगणितीय समूह]] है। वे पाँच असाधारण [[सरल झूठ समूह|सरल अपरिभाषित समूह]] में से सबसे छोटे हैं। G<sub>2</sub> का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है। | ||
G<sub>2</sub> का संक्षिप्त रूप को [[ऑक्टोनियन]] बीजगणितक | G<sub>2</sub> का संक्षिप्त रूप को [[ऑक्टोनियन]] बीजगणितक [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को उसके 8-आयामी [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] [[spinor]] [[समूह प्रतिनिधित्व]] (एक [[स्पिन प्रतिनिधित्व]]) में संरक्षित करता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
अपरिभाषित बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math>, सबसे छोटा असाधारण साधारण अपरिभाषित बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले साधारण अपरिभाषित बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम हत्या]] ने [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]] को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी साधारण अपरिभाषित बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं <math>\mathfrak{g}_2</math>.<ref>{{cite journal | |||
| last = Agricola | first = Ilka | author-link = Ilka Agricola | | last = Agricola | first = Ilka | author-link = Ilka Agricola | ||
| issue = 8 | | issue = 8 | ||
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| volume = 55 | | volume = 55 | ||
| year = 2008}}</ref> | | year = 2008}}</ref> | ||
1893 में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का | 1893 में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math> अतिसूक्ष्म सममिति के रूप में प्रकट होता है।<ref>{{cite journal|author=Élie Cartan|title=परिमित और सतत सरल समूहों की संरचना पर|journal=C. R. Acad. Sci.|volume=116|year=1893|pages=784–786}}</ref> उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी इसी बात पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण के साथ जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना लुढ़कता है।<ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the "rolling distribution" | author = Gil Bor and Richard Montgomery |journal =L'Enseignement Mathématique|volume =55|year=2009|pages=157–196|doi=10.4171/lem/55-1-8|arxiv=math/0612469| s2cid = 119679882 }}</ref><ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the rolling ball | author = John Baez and John Huerta |arxiv=1205.2447|journal =Trans. Amer. Math. Soc.|volume =366| issue = 10 |year=2014|pages=5257–5293|doi=10.1090/s0002-9947-2014-05977-1}}</ref> | ||
1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub> | 1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub> के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।<ref>{{cite journal|author=Friedrich Engel|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना|journal=Leipz. Ber.|volume=52|year=1900|pages=63–76,220–239}}</ref> | ||
1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल | 1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल अपरिभाषित समूह है।<ref>{{cite book|author=Élie Cartan|chapter= Nombres complexes|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year= 1908|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G<sub>2</sub>का सघन वास्तविक रूप है। <ref>{{citation|author=Élie Cartan|title=Les groupes reels simples finis et continus|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=31|year=1914|pages=255–262}}</ref> | ||
पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी | पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी E<sub>2</sub> द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
== वास्तविक रूप == | == वास्तविक रूप == | ||
| Line 29: | Line 29: | ||
*जटिल लाई बीजगणित G<sub>2</sub> के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G<sub>2</sub> का कॉम्पैक्ट रूप है। | *जटिल लाई बीजगणित G<sub>2</sub> के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G<sub>2</sub> का कॉम्पैक्ट रूप है। | ||
*सघन रूप का | *सघन रूप का अपरिभाषित बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है। | ||
* गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}} है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है। | * गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}} है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है। | ||
| Line 47: | Line 47: | ||
=== जी | === जी<sub>2</sub> के मूल === | ||
{| class=wikitable width=480 | {| class=wikitable width=480 | ||
|- valign=top | |- valign=top | ||
|[[File:Root system G2.svg|160px]]<BR>2 आयामों में G<sub>2</sub> की 12 सदिश [[root system]] ( | |[[File:Root system G2.svg|160px]]<BR>2 आयामों में G<sub>2</sub> की 12 सदिश [[root system]] (मूल प्रणाली)। | ||
|[[File:3-cube t1.svg|160px]]<BR>[[cuboctahedron]] (क्यूबोक्टाहेड्रोन) के 12 शीर्षों के A<sub>2</sub> [[Coxeter plane]] (कॉक्सेटर समतल) प्रक्षेपण में समान 2D सदिश व्यवस्था होती है। | |[[File:3-cube t1.svg|160px]]<BR>[[cuboctahedron]] (क्यूबोक्टाहेड्रोन) के 12 शीर्षों के A<sub>2</sub> [[Coxeter plane]] (कॉक्सेटर समतल) प्रक्षेपण में समान 2D सदिश व्यवस्था होती है। | ||
|[[Image:G2Coxeter.svg|160px]]<BR>F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G<sub>2</sub> का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया। | |[[Image:G2Coxeter.svg|160px]]<BR>F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G<sub>2</sub> का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया। | ||
|} | |} | ||
के लिए सरल | के लिए सरल मूलों का एक सेट {{Dynkin2|node_n1|6a|node_n2}} सीधे ऊपर दिए गए कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उन लोगों द्वारा स्पैन किए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं है (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली को पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है)।ऊपर दिया गया आरेख एक अलग जोड़ी मूलों से प्राप्त किया जाता है: <math>\alpha = \left( \sqrt{2}, 0 \right)</math> और <math display="inline">\beta = \left(\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{6}},\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{6},1 \right)</math>. शेष धनात्मक मूलें | | ||
शेष (धनात्मक) मूल हैं A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β । हालांकि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैले हुए हैं, | शेष (धनात्मक) मूल हैं A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β । हालांकि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैले हुए हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में [[सदिश स्थल]] के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं: | ||
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:(1,1,−2), (−1,−1,2) | :(1,1,−2), (−1,−1,2) | ||
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सरल | सरल मूलों का संगत सेट है: | ||
:e₁−e₂ = (1,−1,0), और −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1) | :e₁−e₂ = (1,−1,0), और −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1) | ||
नोट: α और A मिलकर Root_system#An|A₂ के लिए रूट सिस्टम ''समान'' बनाते हैं, जबकि β और B द्वारा गठित सिस्टम Root_system#An|A₂ के लिए ''आइसोमॉर्फिक'' है। | नोट: α और A मिलकर Root_system#An|A₂ के लिए रूट सिस्टम ''समान'' बनाते हैं, जबकि β और B द्वारा गठित सिस्टम Root_system#An|A₂ के लिए ''आइसोमॉर्फिक'' है। | ||
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=== विशेष पवित्रता === | === विशेष पवित्रता === | ||
G<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi ]] (समग्र )समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G<sub>2</sub> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है। | G<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi |holonomi]] (समग्र)समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G<sub>2</sub> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है। | ||
== बहुपद अपरिवर्तनीय == | == बहुपद अपरिवर्तनीय == | ||
| Line 98: | Line 98: | ||
-F+M&E+L& K &-C+J& -I & H & 0 | -F+M&E+L& K &-C+J& -I & H & 0 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
यह बिल्कुल समूह का | यह बिल्कुल समूह का अपरिभाषित बीजगणित है | ||
: <math>G_2=\{g\in SO(7):g^*\varphi=\varphi, \varphi = \omega^{123} + \omega^{145} + \omega^{167} + \omega^{246} - \omega^{257} - \omega^{347} - \omega^{356}\}</math> | : <math>G_2=\{g\in SO(7):g^*\varphi=\varphi, \varphi = \omega^{123} + \omega^{145} + \omega^{167} + \omega^{246} - \omega^{257} - \omega^{347} - \omega^{356}\}</math> | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
== प्रतिनिधित्व == | == प्रतिनिधित्व == | ||
वास्तविक और जटिल | वास्तविक और जटिल अपरिभाषित बीजगणित और लाई (अपरिभाषित) समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण [[वेइल वर्ण सूत्र]] द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं {{OEIS|id=A104599}}: | ||
:1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार) , 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 . | :1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 . | ||
14-आयामी प्रतिनिधित्व | 14-आयामी प्रतिनिधित्व अपरिभाषित बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी प्रतिनिधित्व काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर G<sub>2</sub> की क्रिया है। | ||
आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (डाइनकिन आरेख में दो नोड्स के अनुसार इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक इंगित करता है)। | आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (डाइनकिन आरेख में दो नोड्स के अनुसार इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक इंगित करता है)। | ||
{{harvtxt|Vogan|1994}} ने | {{harvtxt|Vogan|1994}} ने G<sub>2</sub> के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया । | ||
== परिमित समूह == | == परिमित समूह == | ||
समूह G<sub>2</sub>(q) [[परिमित क्षेत्र]] Fq बीजगणितीय समूह G<sub>2</sub> के बिंदु हैं । इन परिमित समूहों को सर्वप्रथम [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] | समूह G<sub>2</sub>(q) [[परिमित क्षेत्र]] Fq बीजगणितीय समूह G<sub>2</sub> के बिंदु हैं । इन परिमित समूहों को सर्वप्रथम [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] {{harvtxt|Dickson|1901}} विषम q के लिए {{harvtxt|Dickson|1905}} के लिए सम q के लिए पेश किया गया था। G<sub>2</sub> (q) की कोटि {{nowrap|''q''<sup>6</sup>(''q''<sup>6</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − 1)}} है। जब {{nowrap|''q'' ≠ 2}}, समूह सरल समूह है, और जब {{nowrap|1=''q'' = 2}} होता है, तो इसमें 2A<sub>2</sub>(32) के सूचकांक 2 आइसोमॉर्फिक का एक सरल उपसमूह होता है, और ऑक्टोनियंस के एक अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है। जांको समूह J<sub>2</sub> का निर्माण सबसे पहले G<sub>2</sub>(11) के उपसमूह के रूप में किया गया था।{{harvtxt|Ree|1960}} (1960) ने {{nowrap|1=''q'' = 3<sup>2''n''+1</sup>}}, 3 की एक विषम शक्ति के लिए आदेश {{nowrap|''q''<sup>3</sup>(''q''<sup>3</sup> + 1)(''q'' − 1)}}के मुड़ [[ री समूह |री समूह]] 2 G<sub>2</sub>(q) की शुरुआत की। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
| Line 123: | Line 123: | ||
* मौलिक प्रतिनिधित्व | * मौलिक प्रतिनिधित्व | ||
* जी2-संरचना|जी<sub>2</sub>-संरचना | * जी2-संरचना|जी<sub>2</sub>-संरचना | ||
* | * अपरिभाषित समूह | ||
* [[सात आयामी क्रॉस उत्पाद]] | * [[सात आयामी क्रॉस उत्पाद]] | ||
* सरल | * सरल अपरिभाषित समूह | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
| Line 137: | Line 137: | ||
*{{Citation | last1=Ree | first1=Rimhak | title=A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G<sub>2</sub>) | doi=10.1090/S0002-9904-1960-10523-X | mr=0125155 | year=1960 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=66 | pages=508–510 | issue=6| doi-access=free }} | *{{Citation | last1=Ree | first1=Rimhak | title=A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G<sub>2</sub>) | doi=10.1090/S0002-9904-1960-10523-X | mr=0125155 | year=1960 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=66 | pages=508–510 | issue=6| doi-access=free }} | ||
*{{Citation | last1=Vogan | first1=David A. Jr. | title=The unitary dual of G<sub>2</sub> | doi=10.1007/BF01231578 | year=1994 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=116 | issue=1 | pages=677–791 | mr=1253210| bibcode=1994InMat.116..677V | s2cid=120845135 }} | *{{Citation | last1=Vogan | first1=David A. Jr. | title=The unitary dual of G<sub>2</sub> | doi=10.1007/BF01231578 | year=1994 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=116 | issue=1 | pages=677–791 | mr=1253210| bibcode=1994InMat.116..677V | s2cid=120845135 }} | ||
[[Category: बीजगणितीय समूह]] [[Category: झूठ बोलने वाले समूह]] [[Category: Octonions]] [[Category: असाधारण झूठ बीजगणित]] | [[Category: बीजगणितीय समूह]] [[Category: झूठ बोलने वाले समूह]] [[Category: Octonions]] [[Category: असाधारण झूठ बीजगणित]] | ||
Revision as of 14:15, 10 March 2023
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