फेजर: Difference between revisions
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[[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब समारोह <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]] | [[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब समारोह <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]] | ||
== | == संकेतन == | ||
{{see also|वेक्टर अंकन}} | {{see also|वेक्टर अंकन}} | ||
फेजर | फेजर संकेतन (एंगल संकेतन के रूप में भी जाना जाता है) [[इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग]] और [[विद्युत अभियन्त्रण]] में प्रयोग होने वाला गणितीय संकेतन है। <math>1 \angle \theta</math> यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>(\cos \theta,\, \sin \theta)</math> या जटिल संख्या <math>\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}</math>, साथ <math>i^2 = -1</math>, दोनों में 1 का [[परिमाण (गणित)]] है। सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं <math>A</math> और [[कोण]] <math>\theta</math> लिखा है <math>A \angle \theta.</math><ref>{{cite book | title=Electric circuits | edition=8th | first1=James William | last1=Nilsson | first2=Susan A. | last2=Riedel | publisher=Prentice Hall | year=2008 | isbn=978-0-13-198925-2 | page=338 | url=https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC}}, [https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338 Chapter 9, page 338]</ref> | ||
कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | ||
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={} &AB \cos(\omega t + (\theta + \phi)). | ={} &AB \cos(\omega t + (\theta + \phi)). | ||
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इलेक्ट्रॉनिक्स में, <math>B e^{i\phi}</math> [[विद्युत प्रतिबाधा]] का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को स्क्वायर करना) का उत्पाद दो साइनसोइड्स के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करेगा, जो गैर-रैखिक ऑपरेशन है जो नए आवृत्ति घटकों का उत्पादन करता है। फेजर | इलेक्ट्रॉनिक्स में, <math>B e^{i\phi}</math> [[विद्युत प्रतिबाधा]] का प्रतिनिधित्व करेगा, जो समय से स्वतंत्र है। विशेष रूप से यह किसी अन्य चरण के लिए आशुलिपि संकेतन नहीं है। फेजर धारा को प्रतिबाधा से गुणा करने पर फेजर वोल्टेज उत्पन्न होता है। लेकिन दो फेजर्स (या फेजर को स्क्वायर करना) का उत्पाद दो साइनसोइड्स के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करेगा, जो गैर-रैखिक ऑपरेशन है जो नए आवृत्ति घटकों का उत्पादन करता है। फेजर संकेतन केवल आवृत्ति वाले प्रणाली का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जैसे साइनसॉइड द्वारा प्रेरित रैखिक प्रणाली। | ||
=== जोड़ === | === जोड़ === | ||
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={} &A_3 \cos(\omega t + \theta_3), | ={} &A_3 \cos(\omega t + \theta_3), | ||
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जहाँ: | |||
<math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math> | <math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math> | ||
और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है: | और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है: | ||
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जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math> | जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math> | ||
आवश्यक बात यह है कि ए<sub>3</sub> और θ<sub>3</sub> ω या t पर निर्भर न हों, जो फेजर संकेतन को संभव बनाता है। समय और आवृत्ति निर्भरता को दबाया जा सकता है और परिणाम में फिर से सम्मिलित किया जा सकता है जब तक कि बीच में उपयोग किए जाने वाले एकमात्र संचालन वे होते हैं जो एक और चरण उत्पन्न करते हैं। कोण संकेतन में, ऊपर दिखाए गए ऑपरेशन को लिखा गया है: | |||
<math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | <math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | ||
जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} और {{math|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय)#जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ एक परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए {{math|[''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)]}} (एनीमेशन देखें)। | जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} और {{math|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय)#जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ एक परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए {{math|[''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)]}} (एनीमेशन देखें)। | ||
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जहां चरण <math>V_\text{s} = V_\text{P} e^{i\theta},</math> और चरण <math>V_\text{c}</math> निर्धारित की जाने वाली अज्ञात मात्रा है। | जहां चरण <math>V_\text{s} = V_\text{P} e^{i\theta},</math> और चरण <math>V_\text{c}</math> निर्धारित की जाने वाली अज्ञात मात्रा है। | ||
फेजर शॉर्टहैंड | फेजर शॉर्टहैंड संकेतन में, डिफरेंशियल इक्वेशन कम हो जाता है: | ||
<math display="block">i \omega V_\text{c} + \frac{1}{RC} V_\text{c} = \frac{1}{RC}V_\text{s}.</math> | <math display="block">i \omega V_\text{c} + \frac{1}{RC} V_\text{c} = \frac{1}{RC}V_\text{s}.</math> | ||
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=== चरणों का अनुपात === | === चरणों का अनुपात === | ||
जटिल विद्युत प्रतिबाधा नामक एक मात्रा दो फेजर्स का अनुपात है, जो फेजर नहीं है, क्योंकि यह साइनसोइडली भिन्न | जटिल विद्युत प्रतिबाधा नामक एक मात्रा दो फेजर्स का अनुपात है, जो फेजर नहीं है, क्योंकि यह साइनसोइडली भिन्न फलन के अनुरूप नहीं है। | ||
== अनुप्रयोग == | == अनुप्रयोग == | ||
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फेजर्स के साथ, [[एकदिश धारा]] सर्किट को हल करने की विधि को रैखिक एसी सर्किट को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।{{Efn|name="ac-circuits"}} | फेजर्स के साथ, [[एकदिश धारा]] सर्किट को हल करने की विधि को रैखिक एसी सर्किट को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।{{Efn|name="ac-circuits"}} | ||
; प्रतिरोधों के लिए ओम का नियम: प्रतिरोधक के पास समय की देरी नहीं होती है और इसलिए संकेत के चरण को नहीं बदलता है {{math|1=''V'' = ''IR''}} वैध रहता है। | ; प्रतिरोधों के लिए ओम का नियम: प्रतिरोधक के पास समय की देरी नहीं होती है और इसलिए संकेत के चरण को नहीं बदलता है {{math|1=''V'' = ''IR''}} वैध रहता है। | ||
; प्रतिरोधों, प्रेरकों और संधारित्रों के लिए ओम का नियम: {{math|1=''V'' = ''IZ''}} कहाँ {{mvar|Z}} जटिल विद्युत प्रतिबाधा है। | ; प्रतिरोधों, प्रेरकों और संधारित्रों के लिए ओम का नियम: {{math|1=''V'' = ''IZ''}} कहाँ {{mvar|Z}} जटिल विद्युत प्रतिबाधा है। | ||
; किरचॉफ के सर्किट नियम: वोल्टेज और करंट के साथ जटिल फेजर्स के रूप में कार्य करें। | ; किरचॉफ के सर्किट नियम: वोल्टेज और करंट के साथ जटिल फेजर्स के रूप में कार्य करें। | ||
Revision as of 10:18, 10 February 2023
भौतिकी और अभियांत्रिकी में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू [1][2]) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली जटिल संख्या है जिसका आयाम (A), कोणीय आवृत्ति (ω), और चरण (तरंगें) (θ) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,[3] जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,[4][5] और (पुराने ग्रंथों में) सिनर [6] या यहां तक कि जटिल कहा जाता है।[6]
प्रत्यावर्ती धारा द्वारा संचालित विद्युत नेटवर्क में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)[7]: 53 और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।
फेजर शब्द की उत्पत्ति सही ही बताती है कि यूक्लिडियन वेक्टर के लिए संभव के समान (डायग्रामेटिक) गणना फेजर के लिए भी संभव है।[6] फेजर ट्रांसफॉर्म की महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और अभिन्न (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) के नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) (गणना) को अंतर समीकरण को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल बीजगणितीय समीकरण (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन मे[8][9][lower-alpha 1] चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में सामान्य विद्युतीय में काम कर रहे चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़ थे।[10][11]
कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को लाप्लास रूपांतरण के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।[9][11] चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।[11]
संकेतन
फेजर संकेतन (एंगल संकेतन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में प्रयोग होने वाला गणितीय संकेतन है। यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है या जटिल संख्या , साथ , दोनों में 1 का परिमाण (गणित) है। सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं और कोण लिखा है [12]
कोण को डिग्री (कोण) में डिग्री से कांति में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए माना जाएगा जो वेक्टर है या संख्या
परिभाषा
निरंतर आयाम, आवृत्ति और चरण के साथ वास्तविक मूल्यवान साइनसॉइड का रूप है:
जहां केवल पैरामीटर समय-भिन्न है। काल्पनिक भाग का समावेश:
यूलर के सूत्र के अनुसार, लेड पैराग्राफ में वर्णित फैक्टरिंग संपत्ति देता है: