भाजक: Difference between revisions

Revision as of 12:55, 19 November 2022

10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10

गणित में, एक पूर्णांक का भाजक $n$ , जिसे कारक भी कहा जाता है $n$ , एक पूर्णांक है $m$ जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है $n$ . ऐसे में एक का यह भी कहना है $n$ का गुणज है $m.$ पूर्णांक $n$ किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है $m$ यदि $m$ का भाजक है $n$ ; इसका अर्थ है विभाजित करना $n$ द्वारा $m$ शेष नहीं रहता।

परिभाषा

पूर्णांक $n$ एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है $m$ यदि कोई पूर्णांक उपस्थित है $k$ ऐसा है कि $n=km$ . यह इस प्रकार लिखा गया है

m\mid n.

उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं $m$ विभाजित $n$ , $m$ का भाजक है $n$ , $m$ का कारक है $n$ , तथा $n$ का गुणज है $m$ . यदि $m$ विभाजित नहीं करता $n$ , तो अंकन है $m\not \mid n$ .^[1]^[2] सामान्यतः, $m$ अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन $n$ शून्य होने की स्वीकृति है। इस समूह के साथ, $m\mid 0$ प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए $m$ .^[1]^[2]कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं $m$ शून्य न हो।^[3]

सामान्य

विभाजक ऋणात्मक संख्या के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

1, −1, n और −n को n का 'छोटा विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो छोटा भाजक नहीं है, उसे 'गैर-छोटा भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।^[4]). कम से कम एक गैर-छोटा भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समस्त संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और अभाज्य संख्याओं कोई गैर-छोटा भाजक नहीं होता है।

विभाज्यता नियम हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की स्वीकृति देते हैं।

उदाहरण

File:Highly composite numbers.svg

1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक सम्मिश्र संख्याएँ मोटे में होती हैं।

*7 42 का भाजक है क्योंकि $7\times 6=42$ , तो हम कह सकते हैं $7\mid 42$ . यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।

6 के गैर-छोटा भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ , आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, यह आरेख है:

File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg

आगे की धारणाएं और तथ्य

कुछ प्राथमिक नियम हैं:

यदि $a\mid b$ तथा $b\mid c$ , फिर $a\mid c$ , अर्थात विभाज्यता एक सकर्मक संबंध है।
यदि $a\mid b$ तथा $b\mid a$ , फिर $a=b$ या $a=-b$ .
यदि $a\mid b$ तथा $a\mid c$ , फिर $a\mid (b+c)$ धारण करता है, के रूप में करता है $a\mid (b-c)$ .^[5] हालांकि, यदि $a\mid b$ तथा $c\mid b$ , फिर $(a+c)\mid b$ हमेशा धारण नहीं करता (उदा। $2\mid 6$ तथा $3\mid 6$ लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

यदि $a\mid bc$ , तथा $\gcd(a,b)=1$ , फिर $a\mid c$ .^{[note 1]} इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।

यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p\mid ab$ फिर $p\mid a$ या

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

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 == सामान्य ==
-विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं, हालांकि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।
+विभाजक [[ ऋणात्मक संख्या ]] के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं,यद्यपि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।
-और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक [[ सम और विषम संख्या ]]एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
+और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक [[ सम और विषम संख्या | सम और विषम संख्या]]एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
-, −1, n और −n को n का 'तुच्छ विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो तुच्छ भाजक नहीं है, उसे 'गैर-तुच्छ भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite web| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf| title = राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti}}</ref>). कम से कम एक गैर-तुच्छ भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समग्र संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और [[ अभाज्य संख्या ]]ओं में कोई गैर-तुच्छ भाजक नहीं होता है।
+, −1, n और −n को n का 'छोटा विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो छोटा भाजक नहीं है, उसे 'गैर-छोटा भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite web| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf| title = राफेल कॉडरलियर और कैथरीन डुबोइस द्वारा प्रूफ इंटरऑपरेबिलिटी के लिए बचाव के लिए FoCaLiZe और Dedukti}}</ref>). कम से कम एक गैर-छोटा भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समस्त संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और [[ अभाज्य संख्या | अभाज्य संख्या]]ओं कोई गैर-छोटा भाजक नहीं होता है।
-[[ विभाज्यता नियम ]] हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की अनुमति देते हैं।
+[[ विभाज्यता नियम ]] हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की स्वीकृति देते हैं।
 == उदाहरण ==
-[[File:Highly composite numbers.svg|thumb|250px|1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक संमिश्र संख्याएँ बोल्ड में होती हैं।]]*7 42 का भाजक है क्योंकि <math>7\times 6=42</math>, तो हम कह सकते हैं <math>7\mid 42</math>. यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।
+[[File:Highly composite numbers.svg|thumb|250px|1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक सम्मिश्र संख्याएँ मोटे में होती हैं।]]*7 42 का भाजक है क्योंकि <math>7\times 6=42</math>, तो हम कह सकते हैं <math>7\mid 42</math>. यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।
-*6 के गैर-तुच्छ भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
+*6 के गैर-छोटा भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
 *42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
-*60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), <math>A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}</math>, आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, हस आरेख है:
+*60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), <math>A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}</math>, आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, यह आरेख है:
 [[File:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|center|350px]]
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 कहाँ पे <math> \gamma </math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
 इस परिणाम की एक व्याख्या यह है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए धनात्मक पूर्णांक n का औसत होता है
-के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. हालांकि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समग्र संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
+के विभाजकों की संख्या <math>\ln n</math>. हालांकि, यह असामान्य रूप से कई भाजक के साथ अत्यधिक समस्त संख्या | संख्याओं के योगदान का परिणाम है।
 == अमूर्त बीजगणित में ==

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