क्वांटम समूह: Difference between revisions
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क्वांटम | क्वांटम समूह की खोज बहुत अप्रत्याशित थी क्योंकि यह लंबे समय से ज्ञात था कि सघन समूह और अर्धसरल ली बीजगणित "कठोर" वस्तुएं हैं, अर्थात उन्हें "विकृत" नहीं किया जा सकता। क्वांटम समूह के पीछे एक विचार था कि यदि हम एक ऐसी संरचना का विचार करें जो एक विधि से समान परंतु बड़ी हो, जैसे समूह बीजगणित [[टोपोलॉजिकल समूह का समूह बीजगणित|सार्वभौमिक समूह का बीजगणित]], तो एक समूह या आवरण बीजगणित को विकृत किया जा सकता है, यद्यपि विरूपण अब एक समूह या घेरने वाला बीजगणित नहीं रहेगा। अधिक सटीक रूप से, विरूपण को हॉपफ बीजगणित की श्रेणी के भीतर पूरा किया जा सकता है, जिन्हें क्रम[[विनिमेय]] या सहअनुक्रमिक होना आवश्यक नहीं है। [[एलेन कोन्स]] की [[गैर-अनुवांशिक ज्यामिति]] के अनुसार, विकृत वस्तु को एक गैर-अनुवांशिक यह सूचना लेनिनग्राद स्कूल द्वारा विकसित क्वांटम यांग-बैक्स्टर समीकरण और क्वांटम उलटी छिन्नन में क्वांटम समूहों की विशेष श्रेणियों के प्रयोगी होने का प्रमुख कारण था। उस समय कोई भी सहज,ज्ञान नहीं थी<ref>{{citation|first=Christian|last=Schwiebert|title=Generalized quantum inverse scattering|year=1994|arxiv=hep-th/9412237v3|bibcode = 1994hep.th...12237S|pages=12237 }}</ref> कि ये क्वांटम समूह अन्य भी क्षेत्रों में उपयुक्त होंगे। दूसरे तरफ, बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह की श्रेणी की पहचान भिन्न थी और इसे क्वांटम भूगोल के रूप में क्वांटम गुरुत्व-समा समाधान के लिए आत्म-द्वित्वीय वस्तुएं की खोज से प्राप्त किया गया था।<ref>{{citation|first=Shahn|last=Majid|title=Hopf algebras for physics at the Planck scale|year=1988|journal=Classical and Quantum Gravity|volume= 5|pages=1587–1607|doi=10.1088/0264-9381/5/12/010|bibcode=1988CQGra...5.1587M|issue=12|citeseerx=10.1.1.125.6178}}</ref> | ||
==ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार क्वांटम समूह== | ==ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार क्वांटम समूह== | ||
एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है। | एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है। | ||
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====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है==== | ====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है==== | ||
सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, | सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, परंतु इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर-आव्यूह|आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। यह अनंत औपचारिक योग जेनरेटर ई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>, और कार्टन जनरेटर टी<sub>''λ''</sub>, जहां के<sub>λ</sub>औपचारिक रूप से q से पहचाना जाता है<sup>t<sub>''λ''</sub></सुपर>. अनंत औपचारिक योग दो कारकों का गुणनफल है,{{citation needed|reason=I could not find this in references or anywhere else. Chari-Pressley has a different formula.|date=July 2016}} | ||
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math> | :<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math> | ||
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1. | और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1. | ||
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:<math>u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | :<math>u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),</math> | ||
ताकि सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* द्वारा निर्धारित हो, और संयोग κ(α) = α*, κ द्वारा निर्धारित हो (सी) = −एम<sup>−1</sup>γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि यू एक प्रतिनिधित्व है, | ताकि सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* द्वारा निर्धारित हो, और संयोग κ(α) = α*, κ द्वारा निर्धारित हो (सी) = −एम<sup>−1</sup>γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि यू एक प्रतिनिधित्व है, परंतु एकात्मक प्रतिनिधित्व नहीं है। यू एकात्मक प्रतिनिधित्व के बराबर है | ||
:<math>v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).</math> | :<math>v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).</math> | ||
Revision as of 19:15, 22 July 2023
| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।
"क्वांटम समूह" शब्द पहले क्वांटम एकीकरणीय प्रणालियों के सिद्धांत में प्रकट हुआ था, जिसे फिर व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो ने एक विशेष प्रकार के हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में सार्वजनिक बनाया गया। यही शब्द दूसरी भी हॉप्फ़ बीजगणितओं के लिए उपयोग किया जाता है जो गणितीय लिए समान्तर रूप से या क्लासिकल ली समूहों या ली बीजगणितओं के निग्रानीयता से अलग होते हैं, जैसे एक "बाईक्रॉसप्रोडक्ट" क्वांटम समूह जिसे शाहन मजिद ने ड्रिंफेल्ड और जिम्बो के काम के बाद थोड़ी देर बाद प्रस्तुत किया गया था।
ड्रिंफेल्ड के दृष्टिकोण से, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित सेमीसिम्पल बीजगणितीय बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।
सहज अर्थ
क्वांटम समूह की खोज बहुत अप्रत्याशित थी क्योंकि यह लंबे समय से ज्ञात था कि सघन समूह और अर्धसरल ली बीजगणित "कठोर" वस्तुएं हैं, अर्थात उन्हें "विकृत" नहीं किया जा सकता। क्वांटम समूह के पीछे एक विचार था कि यदि हम एक ऐसी संरचना का विचार करें जो एक विधि से समान परंतु बड़ी हो, जैसे समूह बीजगणित सार्वभौमिक समूह का बीजगणित, तो एक समूह या आवरण बीजगणित को विकृत किया जा सकता है, यद्यपि विरूपण अब एक समूह या घेरने वाला बीजगणित नहीं रहेगा। अधिक सटीक रूप से, विरूपण को हॉपफ बीजगणित की श्रेणी के भीतर पूरा किया जा सकता है, जिन्हें क्रमविनिमेय या सहअनुक्रमिक होना आवश्यक नहीं है। एलेन कोन्स की गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के अनुसार, विकृत वस्तु को एक गैर-अनुवांशिक यह सूचना लेनिनग्राद स्कूल द्वारा विकसित क्वांटम यांग-बैक्स्टर समीकरण और क्वांटम उलटी छिन्नन में क्वांटम समूहों की विशेष श्रेणियों के प्रयोगी होने का प्रमुख कारण था। उस समय कोई भी सहज,ज्ञान नहीं थी[1] कि ये क्वांटम समूह अन्य भी क्षेत्रों में उपयुक्त होंगे। दूसरे तरफ, बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह की श्रेणी की पहचान भिन्न थी और इसे क्वांटम भूगोल के रूप में क्वांटम गुरुत्व-समा समाधान के लिए आत्म-द्वित्वीय वस्तुएं की खोज से प्राप्त किया गया था।[2]
ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार क्वांटम समूह
एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है।
माना A = (aij) केएसी-मूडी बीजगणित का कार्टन आव्यूह बनें, और मान लें कि q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह, यूq(जी), जहां जी झूठ बीजगणित है जिसका कार्टन आव्यूह ए है, जेनरेटर के के साथ यूनिटल बीजगणित सहयोगी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया हैλ(जहां λ वजन जाली का एक तत्व है, यानी 2(λ, αi)/(एi, एi) सभी i), और e के लिए एक पूर्णांक हैiऔर एफi(जड़ प्रणाली के लिए#सकारात्मक जड़ें और सरल जड़ें, αi), निम्नलिखित संबंधों के अधीन: