क्षण (गणित)

For भौतिक अवधारणा, see क्षण (भौतिकी).

गणित में, किसी फलन के क्षण (गणित) किसी फलन के आरेख के आकार से संबंधित कुछ मात्रात्मक माप होते हैं। यदि फलन द्रव्यमान घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, तो शून्यवां क्षण कुल द्रव्यमान है, प्रथम क्षण (कुल द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत) द्रव्यमान का केंद्र है, और दूसरा क्षण जड़ता का क्षण है। यदि फलन प्रायिकता वितरण है, तो प्रथम क्षण अपेक्षित मान है, दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है, तीसरा मानकीकृत क्षण वैषम्य है, और चौथा मानकीकृत क्षण कुकुदता है। गणितीय अवधारणा भौतिकी में क्षण (भौतिकी) की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

परिबद्ध अंतराल पर द्रव्यमान या प्रायिकता के वितरण के लिए, सभी क्षणों का संग्रह (सभी क्रमों में से 0 से ∞ तक) विशिष्ट रूप से वितरण (हॉसडॉर्फ क्षण समस्या) को निर्धारित करता है। यह बात असीमित अंतरालों (हैमबर्गर क्षण समस्या) पर सत्य नहीं है।

उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में, पफनुटी चेबीशेव यादृच्छिक चर के क्षणों के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले प्रथम व्यक्ति बने।

क्षणों का महत्व

nकिसी वितरण का n-वाँ अपरिष्कृ क्षण (अर्थात, शून्य के विषय में क्षण) द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\mu '_{n}=\langle x^{n}\rangle$$

जहाँ

$$\langle f(x)\rangle ={\begin{cases}\sum f(x)P(x),&{\text{discrete distribution}}\\\int f(x)P(x)dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}$$

n}एक मान c के विषय में एक वास्तविक संख्या के वास्तविक-मान वाले सतत फलन f(x) का n-वाँ क्षण अभिन्न है

$$\mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$$

वास्तविक- मानित फलनों के क्षणों की तुलना में यादृच्छिक चर के लिए क्षणों को अधिक सामान्य रूप से परिभाषित करना संभव है - मापीय रिक्त समष्टि में केंद्रीय क्षण देखें। किसी फलन का क्षण, बिना अधिक स्पष्टीकरण के, सामान्यतः c = 0 के साथ उपरोक्त अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है। दूसरे और उच्च क्षणों के लिए, केंद्रीय क्षण (माध्य के विषय में क्षण, c माध्य है) का उपयोग सामान्यतः शून्य के विषय में क्षणों के अतिरिक्त किया जाता है, क्योंकि वे वितरण के आकार के विषय में स्पष्ट सूचना प्रदान करते हैं।

अन्य क्षणों को भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,शून्य के विषय में n-वां व्युत्क्रम $\operatorname {E} \left[X^{-n}\right]$ क्षण है, और शून्य के विषय में n-वां लघुगणकीय क्षण $\operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right]$ है।

प्रायिकता घनत्व फलन f(x) के शून्य के विषय में n}-वां क्षण Xn का अपेक्षित मान है और इसे प्राकृतिक क्षण या अपरिष्कृत क्षण कहा जाता है। इसके माध्य μ के विषय में क्षणों को केंद्रीय क्षण कहा जाता है; ये अनुवाद (ज्यामिति) से स्वतंत्र रूप से फलन के आकार का वर्णन करते हैं।

यदि f एक प्रायिकता घनत्व फलन है, तो उपरोक्त अभिन्न के मान को प्रायिकता वितरण का n-वाँ क्षण कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, यदि F किसी प्रायिकता वितरण का संचयी प्रायिकता वितरण फलन है, जिसमें घनत्व फलन नहीं हो सकता है, तो प्रायिकता वितरण का n-वाँ क्षण रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल

$$\mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)$$

द्वारा दिया जाता है, जहां X यादृच्छिक चर है जिसका संचयी वितरण F है, और E अपेक्षा संचालिका या माध्य है।

जब

$$\operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty$$

कहा जाता है कि वह क्षण अस्तित्व में नहीं है। यदि किसी भी बिंदु के विषय में n-वां क्षण स्थित है, तो प्रत्येक बिंदु के विषय में (n − 1)-वां क्षण (और इस प्रकार, सभी निचले क्रम के क्षण) स्थित हैं। किसी भी प्रायिकता घनत्व फलन का शून्यवाँ क्षण 1 है, क्योंकि किसी भी प्रायिकता घनत्व फलन के अंतर्गत क्षेत्र के बराबर होना चाहिए।

वितरण के नामित गुणों के संबंध में क्षणों (अपरिष्कृत , केंद्रीय, सामान्यीकृत) और संचयी (अपरिष्कृत , सामान्यीकृत) का महत्व

क्षण क्रमवाचक	Moment			Cumulant
	अपरिष्कृत	केंद्रीय	मानकीकृत	अपरिष्कृत	सामान्यीकृत
1	माध्य	0	0	माध्य	—
2	–	प्रसरण	1	विसरण	1
3	–	–	वैषम्य	–	वैषम्य
4	–	–	(गैर-अतिरिक्त या ऐतिहासिक) कुकुदता	–	अत्यधिक कुकुदता
5	–	–	अतिवैषम्य	–	–
6	–	–	अतिपुच्छता	–	–
7+	–	–	–	–	–

मानकीकृत क्षण

Main article: मानकीकृत क्षण

सामान्यीकृत n-वें केंद्रीय क्षण या मानकीकृत क्षण n-वें केंद्रीय क्षण को σⁿ से विभाजित किया जाता है; यादृच्छिक चर X का सामान्यीकृत n-वाँ केंद्रीय क्षण

$${\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}$$

है।

ये सामान्यीकृत केंद्रीय क्षण विमाहीन संख्या हैं, जो पैमाने के किसी भी रैखिक परिवर्तन से स्वतंत्र रूप से वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

एक विद्युत संकेत के लिए, प्रथम क्षण उसका डीसी स्तर है, और दूसरा क्षण उसकी औसत शक्ति का आनुपातिक है।

उल्लेखनीय क्षण

माध्य

Main article: माध्य

प्रथम प्राकृतिक क्षण माध्य है, जिसे सामान्यतः $\mu \equiv \operatorname {E} [X]$ द्वारा र्शाया जाता है।

विसरण

Main article: विसरण

दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है। विचरण का धनात्मक वर्गमूल मानक विचलन $\sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}$ है।

वैषम्य

Main article: वैषम्य

तीसरा केंद्रीय क्षण वितरण की असंतुलितता का माप है; यदि परिभाषित किया जाए तो किसी भी सममित वितरण का तीसरा केंद्रीय क्षण शून्य होगा। सामान्यीकृत तीसरे केंद्रीय क्षण को प्रायः γ वैषम्य कहा जाता है। वितरण जो बाईं ओर वैषम्य है (वितरण की पश्च बाईं ओर लंबी है) में ऋणात्मक वैषम्य होगा। वितरण जो दाईं ओर वैषम्य है (वितरण की पश्च दाईं ओर लंबी है), उसमें धनात्मक वैषम्य होगा।

ऐसे वितरणों के लिए जो सामान्य वितरण से बहुत अधिक भिन्न नहीं हैं, माध्यिका μ − γσ/6 के निकट कहीं होगी; ; μ − γσ/2 के विषय में मोड (सांख्यिकी) है।

कुकुदता

Main article: कुकुदता

चौथा केंद्रीय क्षण वितरण की पश्च के भारीपन का माप है। चूँकि यह चौथी शक्ति की अपेक्षा है, चौथा केंद्रीय क्षण, जहाँ परिभाषित किया गया है, हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है; और ख़राब प्रायिकता वितरण को छोड़कर, यह हमेशा सख्ती से धनात्मक होता है। सामान्य वितरण का चौथा केंद्रीय क्षण है 3σ⁴।

कुकुदता κ को मानकीकृत चौथे केंद्रीय क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। (समान रूप से, जैसा कि अगले भाग में है, अतिरिक्त कुकुदता चौथे संचयी को दूसरे क्यूम्युलेंट के वर्ग से विभाजित किया गया है।) यदि वितरण में भारी पश्च हैं, तो कुकुदता उच्च होगा (कभी-कभी लेप्टोकर्टिक भी कहा जाता है); इसके विपरीत, हल्के-पश्च वाले वितरण (उदाहरण के लिए, वर्दी जैसे बंधे हुए वितरण) में कम कुकुदता होता है (कभी-कभी इसे प्लैटीकर्टिक भी कहा जाता है)।

कुकुदता बिना किसी सीमा के धनात्मक हो सकता है, लेकिन κ से बड़ा या बराबर होना चाहिए γ² + 1; समानता केवल बर्नौली वितरण के लिए है। असीमित वैषम्य वितरण के लिए जो सामान्य से बहुत दूर नहीं है, κ के क्षेत्र में कहीं होता है γ² और 2γ²।

विचार करके असमानता को सिद्ध किया जा सकता है

$$\operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]$$

जहाँ T = (X − μ)/σ। यह वर्ग की अपेक्षा है, इसलिए यह सभी a के लिए गैर-ऋणात्मक है; हालाँकि यह में द्विघात बहुपद भी है। इसका विवेचक गैर-धनात्मक होना चाहिए, जो आवश्यक संबंध देता है।

उच्चतर क्षण

उच्च-क्रम के क्षण चौथे-क्रम के क्षणों से परे के क्षण हैं।

विचरण, वैषम्य और कुकुदता की तरह, ये उच्च-क्रम के आँकड़े हैं, जिनमें डेटा के गैर-रेखीय संयोजन शामिल हैं, और इनका उपयोग आगे के आकार मापदंडों के विवरण या अनुमान के लिए किया जा सकता है। क्षण जितना अधिक होगा, अनुमान लगाना उतना ही कठिन होगा, इस अर्थ में कि समान गुणवत्ता के अनुमान प्राप्त करने के लिए बड़े नमूनों की आवश्यकता होती है। यह उच्चतर क्रमों द्वारा उपभोग की गई स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री (सांख्यिकी) के कारण है। इसके अलावा, उनकी व्याख्या करना सूक्ष्म हो सकता है, प्रायः उन्हें निचले क्रम के क्षणों के संदर्भ में सबसे आसानी से समझा जा सकता है - भौतिकी में जर्क (भौतिकी) और जंज़ के उच्च-क्रम डेरिवेटिव की तुलना करें। उदाहरण के लिए, जिस प्रकार चौथे क्रम के क्षण (कुकुदता) की व्याख्या फैलाव में योगदान में कंधों की तुलना में पश्चों के सापेक्ष महत्व के रूप में की जा सकती है (फैलाव की निश्चित मात्रा के लिए, उच्च कुकुदता मोटी पश्च से मेल खाती है, जबकि निचला कुकुदता व्यापक से मेल खाता है) कंधे), 5वें क्रम के क्षण की व्याख्या वैषम्य में योगदान के लिए केंद्र (मोड (सांख्यिकी) और कंधों) की तुलना में पश्चों के सापेक्ष महत्व को मापने के रूप में की जा सकती है (वैषम्य की निश्चित मात्रा के लिए, उच्चतर 5वां क्षण उच्चतर वैषम्य से मेल खाता है) पश्च के भाग और मोड का थोड़ा वैषम्य, जबकि निचला 5वां क्षण कंधों में अधिक वैषम्य से मेल खाता है)।

मिश्रित क्षण

मिश्रित क्षण ऐसे क्षण होते हैं जिनमें अनेक चर शामिल होते हैं।

मान $E[X^{k}]$ क्रम का क्षण कहा जाता है $k$ (क्षणों को गैर-अभिन्न के लिए भी परिभाषित किया गया है $k$)। यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के क्षण $X_{1}...X_{n}$ समान रूप से परिभाषित हैं। किसी भी पूर्णांक के लिए $k_{i}\geq 0$, गणितीय अपेक्षा $E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]$ क्रम का मिश्रित क्षण कहलाता है $k$ (जहाँ $k=k_{1}+...+k_{n}$), और $E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]$ क्रम का केंद्रीय मिश्रित क्षण कहलाता है $k$। मिश्रित क्षण $E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]$ इसे सहप्रसरण कहा जाता है और यह यादृच्छिक चरों के बीच निर्भरता की बुनियादी विशेषताओं में से है।

कुछ उदाहरण सहप्रसरण, कोस्क्यूनेस और कोकुकुदता हैं। जबकि अद्वितीय सहप्रसरण है, कई सह-वैषम्य और सह-कुर्टोज़ भी हैं।

क्षणों के गुण

केंद्र का परिवर्तन

तब से

$$(x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}$$

जहाँ ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ द्विपद गुणांक है, इसका तात्पर्य यह है कि b के विषय में क्षणों की गणना a के विषय में क्षणों से की जा सकती है:

$$E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.$$

फलन के कनवल्शन का क्षण

Main article: Convolution

एक संकल्प का क्षण ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$ पढ़ता

$$\mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]$$

जहाँ $\mu _{n}[\,\cdot \,]$ को दर्शाता है $n$कोष्ठक में दिए गए फलन का -वाँ क्षण। यह पहचान क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के लिए कनवल्शन प्रमेय का अनुसरण करती है और किसी उत्पाद के विभेदीकरण (गणित) के लिए श्रृंखला नियम को लागू करती है।

संचयी

Main article: Cumulant

प्रथम प्राकृतिक क्षण और दूसरा और तीसरा असामान्य केंद्रीय क्षण इस अर्थ में योगात्मक हैं कि यदि X और Y सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर हैं तो

$${\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}$$

(ये उन चरों के लिए भी मान्य हो सकते हैं जो स्वतंत्रता की तुलना में कमजोर स्थितियों को संतुष्ट करते हैं। प्रथम हमेशा कायम रहता है; यदि दूसरा कायम रहता है, तो चर को सहसंबंध कहा जाता है)।

वास्तव में, ये पहले तीन क्यूमुलेंट हैं और सभी क्यूमुलेंट इस additivity संपत्ति को साझा करते हैं।

नमूना क्षण

सभी के लिए, द k-किसी जनसंख्या के कच्चे क्षण का अनुमान इसका उपयोग करके लगाया जा सकता है k-वां प्राकृतिक नमूना क्षण

$${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$$

एक नमूने पर लागू किया गया X₁, ..., X_nजनसंख्या से लिया गया।

यह दिखाया जा सकता है कि कच्चे नमूने के क्षण का अपेक्षित मान बराबर है k-किसी भी नमूना आकार के लिए जनसंख्या का वां प्राकृतिक क्षण, यदि वह क्षण स्थित है n। इस प्रकार यह निष्पक्ष अनुमानक है। यह केंद्रीय क्षणों की स्थिति के विपरीत है, जिनकी गणना नमूना माध्य का उपयोग करके स्वतंत्रता की डिग्री का उपयोग करती है। इसलिए उदाहरण के लिए जनसंख्या विचरण (दूसरा केंद्रीय क्षण) का निष्पक्ष अनुमान दिया गया है

$${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$$

जिसमें पिछला प्रत्येक n को स्वतंत्रता की कोटियों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है n − 1, और किसमें ${\bar {X}}$ नमूना माध्य को संदर्भित करता है। जनसंख्या क्षण का यह अनुमान कारक द्वारा असमायोजित देखे गए नमूना क्षण से अधिक है ${\tfrac {n}{n-1}},$ और इसे समायोजित नमूना विचरण या कभी-कभी केवल नमूना विचरण के रूप में जाना जाता है।

क्षणों की समस्या

Main article: Moment problem

किसी प्रायिकता वितरण को उसके क्षणों के अनुक्रम से निर्धारित करने की समस्याओं को क्षणों की समस्या कहा जाता है। ऐसी समस्याओं पर सबसे पहले पी।एल। ने चर्चा की थी। चेबीशेव (1874) सीमा प्रमेय पर शोध के संबंध में। क्रम में कि यादृच्छिक चर की प्रायिकता वितरण $X$ अपने क्षणों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए $\alpha _{k}=EX^{k}$ उदाहरण के लिए, यह पर्याप्त है कि कार्लेमैन की शर्त पूरी हो:

$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty$$

एक समान परिणाम यादृच्छिक वैक्टर के क्षणों के लिए भी लागू होता है। क्षणों की समस्या अनुक्रमों के लक्षण वर्णन की तलाश करती है ${{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }$यह किसी फलन f के सभी क्षणों के अनुक्रम हैं $\alpha _{k}(n)$ जिनमें से परिमित हैं, और प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k\geq 1$ होने देना

$$\alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,$$

जहाँ $\alpha _{k}$ परिमित है। फिर क्रम है ${\mu _{n}}'$ जो कमजोर रूप से वितरण फलन में परिवर्तित हो जाता है $\mu$ रखना $\alpha _{k}$ इसके क्षणों के रूप में। यदि क्षण निर्धारित करते हैं $\mu$ विशिष्ट रूप से, फिर क्रम ${\mu _{n}}'$ कमजोर रूप से अभिसरण करता है $\mu$।

आंशिक क्षण

आंशिक क्षणों को कभी-कभी एकतरफा क्षण भी कहा जाता है। n}-संदर्भ बिंदु r के संबंध में निचले और ऊपरी आंशिक क्षणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.$$

यदि अभिन्न फलन अभिसरण नहीं करता है, तो आंशिक क्षण स्थित नहीं है।

आंशिक क्षणों को घात 1/n तक बढ़ाकर सामान्यीकृत किया जाता है। उल्टा संभावित अनुपात को पहले क्रम के ऊपरी आंशिक क्षण और सामान्यीकृत दूसरे क्रम के निचले आंशिक क्षण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उनका उपयोग कुछ वित्तीय मेट्रिक्स की परिभाषा में किया गया है, जैसे सॉर्टिनो अनुपात, क्योंकि वे पूरी तरह से ऊपर या नीचे पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

मापीय रिक्त समष्टि में केंद्रीय क्षण

होने देना (M, d) मापीय समष्टि बनें, और B(M) को बोरेल सिग्मा बीजगणित होने दें|बोरेल σ-एम पर बीजगणित, सिग्मा बीजगणित|σ-एम के डी- खुला सेट द्वारा उत्पन्न बीजगणित। (तकनीकी कारणों से, यह मान लेना भी सुविधाजनक है कि एम मापीय (गणित) डी के संबंध में अलग करने योग्य समष्टि है।) मान लीजिए 1 ≤ p ≤ ∞।

p-माप का वां केंद्रीय क्षण μ किसी दिए गए बिंदु के विषय में मापने योग्य समष्टि (एम, बी(एम)) पर x₀ ∈ M को परिभाषित किया गया है

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).$$

μ को 'परिमित' कहा जाता है p-वाँ केंद्रीय क्षण यदि p-का केंद्रीय क्षण μ एक्स के विषय में₀ कुछ के लिए सीमित है x₀ ∈ M।

उपायों के लिए यह शब्दावली सामान्य तरीके से यादृच्छिक चर को आगे बढ़ाती है: यदि (Ω, Σ, P) प्रायिकता समष्टि है और X : Ω → M यादृच्छिक चर है, तोp-X का केंद्रीय क्षण x₀ ∈ M को परिभाषित किया गया है

$$\int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],$$

और एक्स के पास 'परिमित' है p-वाँ केंद्रीय क्षण यदि p-एक्स के विषय में एक्स का केंद्रीय क्षण₀ कुछ के लिए सीमित है x₀ ∈ M।

यह भी देखें

• ऊर्जा (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• तथ्यात्मक क्षण
• सामान्यीकृत माध्य
• छवि क्षण
• एल-पल
• क्षणों की विधि (संभावना सिद्धांत)
• क्षणों की विधि (सांख्यिकी)
• क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य#क्षणों की गणना|क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
• क्षण माप
• द्वितीय क्षण विधि
• मानकीकृत क्षण
• स्थिर क्षण समस्या
• यादृच्छिक चर के कार्यों के क्षणों के लिए टेलर विस्तार

संदर्भ

• Text was copied from Moment at the Encyclopedia of Mathematics, which is released under a Creative Commons Attribution-Share Alike 3।0 (Unported) (CC-BY-SA 3।0) license and the GNU Free Documentation License।

अग्रिम पठन

• Spanos, Aris (1999). Probability Theory and Statistical Inference. New York: Cambridge University Press. pp. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Walker, Helen M. (1929). Studies in the history of statistical method, with special reference to certain educational problems. Baltimore, Williams & Wilkins Co. p. 71.

बाहरी संबंध

• "Moment", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moments at Mathworld