निहित सतह: Difference between revisions

Revision as of 12:38, 11 April 2023

निहित सतह टोरस

(R = 40, a = 15)

.

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जीनस 2 की निहित सतह।

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निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।

गणित में, एक निहित सतह एक समीकरण द्वारा परिभाषित यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह है

F(x,y,z)=0.

एक निहित सतह तीन चरों के एक फलन के शून्यों का समूह है। निहित का अर्थ है कि समीकरण x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।

किसी फलन का ग्राफ़ प्रायः एक समीकरण $z=f(x,y)$ द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक स्पष्ट निरूपण कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक है: $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ , जहां सतह बिंदुओं के $x$ -, $y$ - और $z$ - निर्देशांक सामान्य पैरामीटर $s,t$ के आधार पर तीन फलन $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। प्रायः अभ्यावेदन का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट निरूपण $z=f(x,y)$ दिया जाता है: $z-f(x,y)=0$ (निहित ), $(s,t,f(s,t))$ (पैरामीट्रिक)।

उदाहरण:

समतल (ज्यामिति) $x+2y-3z+1=0.$
वृत्त (ज्यामिति) $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
द टोरस (गणित) $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$
जीनस (गणित) की एक सतह 2: $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0$ (रेखाचित्र देखें)।
परिक्रमण की सतह $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0$ (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।

समतल, वृत्तऔर टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक निरूपण मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।

निहित फलन प्रमेय (implicit function theorem) उन स्थितियों का वर्णन करता है जिसके तहत एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ को $x$ , $y$ या $z$ के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर, समाधान स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: स्पर्शरेखा समतल, सतह सामान्य और वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।

यदि $F(x,y,z)$ $x$ , $y$ और $z$ में बहुपद है, तो सतह को बीजगणितीय कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।

प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।

सूत्र

निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन $F$ अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।

$F$ के आंशिक अवकलज $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$ हैं

स्पर्शरेखा समतल (प्लेन) और सामान्य वेक्टर

एक सतह बिंदु $(x_{0},y_{0},z_{0})$ नियमित कहा जाता है अगर और केवल अगर की ढाल $F$ पर $(x_{0},y_{0},z_{0})$ शून्य सदिश नहीं है $(0,0,0)$ , जिसका अर्थ है

(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)

.

यदि सतह बिंदु $(x_{0},y_{0},z_{0})$ नियमित नहीं है, उसे 'एकवचन' कहते हैं।

एक नियमित बिंदु पर स्पर्शरेखा समतल का समीकरण $(x_{0},y_{0},z_{0})$ है

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

और एक सामान्य वेक्टर है

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

सामान्य वक्रता

सूत्र को सरल रखने के लिए तर्क $(x_{0},y_{0},z_{0})$ छोड़े गए हैं:

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}

इकाई स्पर्शरेखा दिशा $\mathbf {v}$ के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। $H_{F}$ , $F$ का हेसियन मैट्रिक्स है (दूसरा डेरिवेटिव का मैट्रिक्स)।

इस सूत्र का प्रमाण निहित फलन प्रमेय और एक पैरामीट्रिक सतह के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक निहित वक्र के मामले में)।

निहित सतहों के अनुप्रयोग

निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकृतियों के साथ निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।

File:Epotfl-4ladung.svg

4 बिंदु आवेशों की समविभव सतह

बिन्दु आवेशों की समविभव सतह

बिंदु $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ पर एक बिंदु आवेश $q_{i}$ की विद्युत क्षमता बिंदु $\mathbf {p} =(x,y,z)$ पर उत्पन्न होती है, संभावित (भौतिक स्थिरांक को छोड़कर)

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

संभावित मान $c$ के लिए समविभव सतह निहित सतह $F_{i}(x,y,z)-c=0$ है जो बिंदु $\mathbf {p} _{i}$ पर केंद्र के साथ एक गोला है।

4 बिंदु आवेशों की क्षमता को $F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं $(\pm 1,\pm 1,0)$ पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (निहित सतह) $F(x,y,z)-2.8=0$ है।

लगातार दूरी उत्पाद सतह

एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, योग स्थिर होता है)। इसी तरह, निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।

रेखाचित्र में रूपांतरित ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: ${\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}$ के साथ स्थिर दूरी उत्पाद सतह $F(x,y,z)-1.1=0$ प्रदर्शित होती है।

File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg

दो निहित सतहों के बीच कायापलट: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।

निहित सतहों का कायांतरण

नई निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को निहित सतहों का कायापलट कहा जाता है:

दो निहित सतहों के लिए $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर $\mu \in [0,1]$ का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:

$F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0$

रेखाचित्र में डिज़ाइन पैरामीटर क्रमिक रूप से $\mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1$ है।

File:Approx-3tori.svg

तीन तोरी (समानांतर प्रक्षेपण) का अनुमान

File:Approx-3tori-pov.png

तीन टोरी के एक अनुमान की पीओवी-रे छवि (केंद्रीय प्रक्षेपण)।

कई निहित सतहों का चिकना अनुमान

$\Pi$ -सतहों^[1] का उपयोग $R^{3}$ में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$ के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद $F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r$ ^[1] द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ $r\in \mathbb {R}$ सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए है जो अनुमान त्रुटि को नियंत्रित करता है।

निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0

उपयुक्त मापदंडों के लिए प्रतिनिधित्व करता है $c$ समीकरणों के साथ तीन अन्तर्विभाजक तोरी का सहज सन्निकटन

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}

(रेखाचित्र में पैरामीटर $R=1,\,a=0.2,\,r=0.01$ हैं)

File:Metamorphose-kugel-6pfl.png

पीओवी-रे छवि: एक गोले और एक स्थिर दूरी उत्पाद सतह (6 अंक) के बीच रूपांतरित होती है।

निहित सतहों का प्रत्योक्षकरण

निहित सतहों को प्रतिपादन करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,^[2] मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम सहित।^[3] अनिवार्य रूप से एक निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है (सतह त्रिभुज देखें) और दूसरा किरण अनुरेखण पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।^[4] सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक हस्ताक्षरित दूरी फलन का उपयोग करके, चौराहे के बिंदुओं को गोलाकार अनुरेखण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।^[5]

यह भी देखें

निहित वक्र

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Adriano N. Raposo; Abel J.P. Gomes (2019). "Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects". WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. arXiv:1906.06751.
↑ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 August 1997). अंतर्निहित सतहों का परिचय. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.
↑ Ian Stephenson (1 December 2004). Production Rendering: Design and Implementation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
↑ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
↑ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण (in English). World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

अग्रिम पठन

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

बाहरी संबंध

[RaposoGomes2019-1] 1.0 ^1.1 Adriano N. Raposo; Abel J.P. Gomes (2019). "Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects". WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. arXiv:1906.06751.

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 August 1997). अंतर्निहित सतहों का परिचय. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1 December 2004). Production Rendering: Design and Implementation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.

[4] Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems, Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[5] Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण (in English). World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.

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 {{Short description|Surface in 3D space defined by an implicit function of three variables}}
 [[File:Torus-40-15.svg|thumb|निहित सतह टोरस {{math|1=(''R'' = 40, ''a'' = 15)}}.|253x253px]]
-[[File:Impl-flaeche-geschl2.svg|thumb|जीनस 2 की अंतर्निहित सतह।|251x251px]]
+[[File:Impl-flaeche-geschl2.svg|thumb|जीनस 2 की निहित सतह।|251x251px]]
-[[File:Impl-flaeche-weinglas.svg|150px|thumb|अंतर्निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।]][[गणित]] में, एक '''अन्तर्निहित सतह''' एक समीकरण द्वारा परिभाषित [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक सतह है
+[[File:Impl-flaeche-weinglas.svg|150px|thumb|निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।]][[गणित]] में, एक '''निहित सतह''' एक समीकरण द्वारा परिभाषित [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक सतह है
 : <math>F(x,y,z)=0.</math>
-एक ''अन्तर्निहित सतह'' [[तीन चर के एक फ़ंक्शन|तीन चरों के एक फलन]] के शून्यों का समूह है। अंतर्निहित का अर्थ है कि समीकरण x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।
+एक ''निहित सतह'' [[तीन चर के एक फ़ंक्शन|तीन चरों के एक फलन]] के शून्यों का समूह है। निहित का अर्थ है कि समीकरण x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।
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 ''उदाहरण:''
-#समतल (ज्यामिति) <math> x+2y-3z+1=0.</math>
+#[[समतल]] (ज्यामिति) <math> x+2y-3z+1=0.</math>
-#[[क्षेत्र (ज्यामिति)]] <math> x^2+y^2+z^2-4=0.</math>
+#[[वृत्त]] (ज्यामिति) <math> x^2+y^2+z^2-4=0.</math>
 # द [[टोरस (गणित)]] <math>(x^2+y^2+z^2+R^2-a^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0. </math>
 # [[जीनस (गणित)]] की एक सतह 2: <math>2y(y^2-3x^2)(1-z^2)+(x^2+y^2)^2-(9z^2-1)(1-z^2)=0</math> (रेखाचित्र देखें)।
-#[[क्रांति की सतह]] <math> x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0</math> (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।
+#[[परिक्रमण की सतह]] <math> x^2+y^2-(\ln(z+3.2))^2-0.02=0</math> (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।
-समतल, गोले और टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक निरूपण मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।
+समतल, वृत्तऔर टोरस के लिए सरल पैरामीट्रिक निरूपण मौजूद हैं। यह चौथे उदाहरण के लिए सही नहीं है।
-[[अंतर्निहित कार्य प्रमेय|अंतर्निहित फलन प्रमेय]] (implicit function theorem) उन स्थितियों का वर्णन करता है जिसके तहत एक समीकरण<math>F(x,y,z)=0</math> को {{mvar|x}}, {{mvar|y}} या {{mvar|z}} के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर, समाधान स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: [[स्पर्शरेखा समतल]], [[सतह सामान्य]] और [[वक्रता]] (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका विज़ुअलाइज़ेशन कठिन है।
+[[निहित फलन प्रमेय]] (implicit function theorem) उन स्थितियों का वर्णन करता है जिसके तहत एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> को {{mvar|x}}, {{mvar|y}} या {{mvar|z}} के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन सामान्य तौर पर, समाधान स्पष्ट नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय एक सतह की आवश्यक ज्यामितीय विशेषताओं की गणना की कुंजी है: [[स्पर्शरेखा समतल]], [[सतह सामान्य]] और [[वक्रता]] (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।
 यदि <math>F(x,y,z)</math>  {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और {{mvar|z}} में बहुपद है, तो सतह को [[बीजगणितीय]] कहा जाता है। उदाहरण 5 ''गैर-बीजीय'' है।
-विज़ुअलाइज़ेशन की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे [[स्टेनर सतह]]) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।
+प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे [[स्टेनर सतह]]) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।
 == सूत्र ==
-निम्नलिखित विचारों के दौरान, अन्तर्निहित सतह को एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन <math>F</math> अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।
+निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन <math>F</math> अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।
 <math>F</math> के [[आंशिक अवकलज]] <math>F_x,F_y,F_z,F_{xx},\ldots</math> हैं
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 इकाई स्पर्शरेखा दिशा <math> \mathbf v</math> के लिए एक नियमित बिंदु पर सतह की सामान्य वक्रता है। <math>H_F</math>, <math>F</math> का [[हेसियन मैट्रिक्स]] है (दूसरा डेरिवेटिव का मैट्रिक्स)।
-इस सूत्र का प्रमाण अंतर्निहित फलन प्रमेय और एक [[पैरामीट्रिक सतह]] के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक अंतर्निहित वक्र के मामले में)।
+इस सूत्र का प्रमाण निहित फलन प्रमेय और एक [[पैरामीट्रिक सतह]] के सामान्य वक्रता के सूत्र पर निर्भर करता है (जैसा कि एक निहित वक्र के मामले में)।
-== अंतर्निहित सतहों के अनुप्रयोग ==
+== निहित सतहों के अनुप्रयोग ==
-निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकृतियों के साथ अंतर्निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।
+निहित वक्रों के मामले में सरल आदिम पर बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, गुणन) को लागू करके वांछित आकृतियों के साथ निहित सतहों को उत्पन्न करना एक आसान काम है।
   [[File:Epotfl-4ladung.svg|thumb|4 बिंदु आवेशों की समविभव सतह]]
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 बिंदु <math>\mathbf p_i=(x_i,y_i,z_i)</math> पर एक बिंदु आवेश <math>q_i</math> की विद्युत क्षमता बिंदु <math> \mathbf p=(x,y,z)</math> पर उत्पन्न होती है, संभावित (भौतिक स्थिरांक को छोड़कर)
 : <math>F_i(x,y,z)=\frac{q_i}{\|\mathbf p -\mathbf p_i\|}.</math>
-संभावित मान <math>c</math> के लिए समविभव सतह अन्तर्निहित सतह <math> F_i(x,y,z)-c=0 </math> है जो बिंदु <math>\mathbf p_i</math> पर केंद्र के साथ एक गोला है।
+संभावित मान <math>c</math> के लिए समविभव सतह निहित सतह <math> F_i(x,y,z)-c=0 </math> है जो बिंदु <math>\mathbf p_i</math> पर केंद्र के साथ एक गोला है।
 बिंदु आवेशों की क्षमता को<math>F(x,y,z)=\frac{q_1}{\|\mathbf p -\mathbf p_1\|}+ \frac{q_2}{\|\mathbf p -\mathbf p_2\|}+ \frac{q_3}{\|\mathbf p -\mathbf p_3\|}+\frac{q_4}{\|\mathbf p -\mathbf p_4\|}</math> द्वारा दर्शाया जाता है।
-रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं <math>(\pm 1,\pm 1,0)</math> पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (अंतर्निहित सतह) <math>F(x,y,z)-2.8=0</math> है।
+रेखाचित्र के लिए, चार आवेश 1 के बराबर हैं और बिंदुओं <math>(\pm 1,\pm 1,0)</math> पर स्थित हैं। प्रदर्शित सतह समविभव सतह (निहित सतह) <math>F(x,y,z)-2.8=0</math> है।
 === लगातार दूरी उत्पाद सतह ===
-एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, ''योग'' स्थिर होता है)। इसी तरह, अंतर्निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।
+एक कैसिनी अंडाकार को उस बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है (इसके विपरीत, दीर्घवृत्त के लिए, ''योग'' स्थिर होता है)। इसी तरह, निहित सतहों को निरंतर दूरी उत्पाद द्वारा कई निश्चित बिंदुओं पर परिभाषित किया जा सकता है।
 रेखाचित्र में रूपांतरित ऊपरी बाएँ सतह इस नियम द्वारा उत्पन्न होती है: <math>
@@ Line 70: / Line 71: @@
 </math> के साथ स्थिर दूरी उत्पाद सतह <math>F(x,y,z)-1.1=0</math> प्रदर्शित होती है।
-[[File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg|340x340px|thumb|दो अंतर्निहित सतहों के बीच कायापलट: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।]]
+[[File:Metamorphose-torus-4ppfl.svg|340x340px|thumb|दो निहित सतहों के बीच कायापलट: एक टोरस और एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह।]]
-=== अन्तर्निहित सतहों का कायांतरण ===
+=== निहित सतहों का कायांतरण ===
-नई अन्तर्निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को अन्तर्निहित सतहों का ''कायापलट'' कहा जाता है:
+नई निहित सतहों को उत्पन्न करने के लिए एक और सरल विधि को निहित सतहों का ''कायापलट'' कहा जाता है:
-दो अंतर्निहित सतहों के लिए <math>F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0</math> (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर <math> \mu \in [0,1]</math> का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:
+दो निहित सतहों के लिए <math>F_1(x,y,z)=0, F_2(x,y,z)=0</math> (रेखाचित्र में: एक निरंतर दूरी उत्पाद सतह और एक टोरस) डिजाइन पैरामीटर <math> \mu \in [0,1]</math> का उपयोग करके नई सतहों को परिभाषित करता है:
 <math>F(x,y,z)=\mu F_1(x,y,z)+(1-\mu)F_2(x,y,z)=0</math>
@@ Line 82: / Line 83: @@
 [[File:Approx-3tori-pov.png|280px|thumb|तीन टोरी के एक अनुमान की पीओवी-रे छवि (केंद्रीय प्रक्षेपण)।]]
-=== कई अंतर्निहित सतहों का चिकना अनुमान ===
+=== कई निहित सतहों का चिकना अनुमान ===
-<math>\Pi</math>-सतहों<ref name="RaposoGomes2019">{{cite news|author1=Adriano N. Raposo|author2=Abel J.P. Gomes|title=Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects|date=2019|publisher=WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision|arxiv=1906.06751}}</ref> का उपयोग <math>R^3</math> में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को <math>f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)</math> के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद <math>F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r</math> <ref name="RaposoGomes2019" /> द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां <math>r\in\mathbb{R}</math> सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए खड़ा है जो अनुमानित त्रुटि को नियंत्रित करता है।
+<math>\Pi</math>-सतहों<ref name="RaposoGomes2019">{{cite news|author1=Adriano N. Raposo|author2=Abel J.P. Gomes|title=Pi-surfaces: products of implicit surfaces towards constructive composition of 3D objects|date=2019|publisher=WSCG 2019 27. International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision|arxiv=1906.06751}}</ref> का उपयोग <math>R^3</math> में किसी भी चिकनी और बंधी हुई वस्तु का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी सतह को सहायक बहुपदों के उत्पाद के रूप में एकल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, हम किसी भी चिकनी वस्तु को एक बीजगणितीय सतह के साथ डिज़ाइन कर सकते हैं। परिभाषित बहुपदों को <math>f_i\in\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n](i=1,\ldots,k)</math> के रूप में निरूपित करते हैं। फिर, अनुमानित वस्तु को बहुपद <math>F(x,y,z) = \prod_i f_i(x,y,z) - r</math> <ref name="RaposoGomes2019" /> द्वारा परिभाषित किया जाता है जहाँ <math>r\in\mathbb{R}</math> सम्मिश्रण पैरामीटर के लिए है जो अनुमान त्रुटि को नियंत्रित करता है।
 निहित वक्रों के साथ सहज सन्निकटन के अनुरूप, समीकरण
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 [[File:Metamorphose-kugel-6pfl.png|400px|thumb|पीओवी-रे छवि: एक गोले और एक स्थिर दूरी उत्पाद सतह (6 अंक) के बीच रूपांतरित होती है।]]
-== अंतर्निहित सतहों का दृश्य ==
+== निहित सतहों का प्रत्योक्षकरण ==
-अंतर्निहित सतहों को [[प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)|प्रतिपादन]] करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,<ref name="BloomenthalBajaj1997">{{cite book|author1=Jules Bloomenthal|author2=Chandrajit Bajaj|author3=Brian Wyvill|title=अंतर्निहित सतहों का परिचय|url=https://books.google.com/books?id=T3SSqIVnS4YC&q=%22implicit+surface%22+rendering|date=15 August 1997|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-233-5}}</ref> [[मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम]] सहित।<ref name="Stephenson2004">{{cite book|author=Ian Stephenson|title=Production Rendering: Design and Implementation|url=https://books.google.com/books?id=krTfLA5b940C|date=1 December 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-85233-821-3}}</ref> अनिवार्य रूप से एक अंतर्निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है ([[सतह त्रिभुज]] देखें) और दूसरा [[किरण अनुरेखण (भौतिकी)|किरण अनुरेखण]] पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।<ref>Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: ''Ray Tracing Gems'', Springer, 2019, {{ISBN|978-1-4842-4427-2}}</ref> सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक [[हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन|हस्ताक्षरित दूरी फलन]] का उपयोग करके, चौराहे के बिंदुओं को ''गोलाकार अनुरेखण'' द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last1=Hardy|first1=Alexandre|url=https://books.google.com/books?id=IGtIWmM2GWIC&dq=%22sphere+tracing%22&pg=PA369|title=सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण|last2=Steeb|first2=Willi-Hans|date=2008|publisher=World Scientific|isbn=978-981-279-102-3|language=en}}</ref>
+निहित सतहों को [[प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)|प्रतिपादन]] करने के लिए विभिन्न एल्गोरिदम हैं,<ref name="BloomenthalBajaj1997">{{cite book|author1=Jules Bloomenthal|author2=Chandrajit Bajaj|author3=Brian Wyvill|title=अंतर्निहित सतहों का परिचय|url=https://books.google.com/books?id=T3SSqIVnS4YC&q=%22implicit+surface%22+rendering|date=15 August 1997|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-233-5}}</ref> [[मार्चिंग क्यूब्स एल्गोरिदम]] सहित।<ref name="Stephenson2004">{{cite book|author=Ian Stephenson|title=Production Rendering: Design and Implementation|url=https://books.google.com/books?id=krTfLA5b940C|date=1 December 2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-85233-821-3}}</ref> अनिवार्य रूप से एक निहित सतह को देखने के लिए दो विचार हैं: एक बहुभुज का एक जाल उत्पन्न करता है जिसे देखा जाता है ([[सतह त्रिभुज]] देखें) और दूसरा [[किरण अनुरेखण (भौतिकी)|किरण अनुरेखण]] पर निर्भर करता है जो सतह के साथ किरणों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करता है।<ref>Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: ''Ray Tracing Gems'', Springer, 2019, {{ISBN|978-1-4842-4427-2}}</ref> सतह की दूरी का पता लगाने के लिए एक [[हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन|हस्ताक्षरित दूरी फलन]] का उपयोग करके, चौराहे के बिंदुओं को ''गोलाकार अनुरेखण'' द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last1=Hardy|first1=Alexandre|url=https://books.google.com/books?id=IGtIWmM2GWIC&dq=%22sphere+tracing%22&pg=PA369|title=सी#कार्यान्वयन के साथ कंप्यूटर ग्राफिक्स में गणितीय उपकरण|last2=Steeb|first2=Willi-Hans|date=2008|publisher=World Scientific|isbn=978-981-279-102-3|language=en}}</ref>
 == यह भी देखें ==
 * [[निहित वक्र]]

v t e आयाम
आयामी स्थान	वेक्टर स्पेस यूक्लिडियन स्पेस Affine अंतरिक्ष प्रोजेक्टिव स्पेस मुक्त मॉड्यूल कई गुना बीजगणितीय किस्म अंतरिक्ष समय	Animated tesseract
अन्य आयाम	क्रुल Lebesgue कवरिंग आगमनात्मक हौसडॉर्फ मिंकोव्स्की फ्रैक्टल स्वतंत्रता की कोटियां
पॉलीटोप और आकार	हाइपरप्लेन हाइपरसुरफेस हाइपरक्यूब हाइपररेक्टंगल DemihyperCube हाइपरफेयर क्रॉस-पॉलीटोप सिम्प्लेक्स हाइपरपाइरामिड
संख्या द्वारा आयाम	शून्य एक दो तीन चार पांच छह सात आठ n -आयाम
यह सभी देखें	हाइपरस्पेस Codimension
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