निहित सतह

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निहित सतह टोरस (R = 40, a = 15).

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जीनस 2 की निहित सतह।

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निहित गैर-बीजीय सतह (शराब का गिलास)।

गणित में, एक निहित सतह एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह है जिसे एक समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है

$F(x,y,z)=0.$

एक निहित सतह तीन परिवर्तनीयों के कार्य के शून्यों का सेट है। अनुमानित का मतलब है कि संतुलन x या y या z के लिए हल नहीं किया गया है।

किसी फलन का ग्राफ़ प्रायः एक समीकरण $z=f(x,y)$ द्वारा वर्णित किया जाता है और इसे एक स्पष्ट निरूपण कहा जाता है। सतह का तीसरा आवश्यक विवरण पैरामीट्रिक है: $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$, जहां सतह बिंदुओं के x-, y- और z- निर्देशांक सामान्य पैरामीटर $s,t$ के आधार पर तीन फलन $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ द्वारा दर्शाए जाते हैं। प्रायः अभ्यावेदन का परिवर्तन केवल तभी सरल होता है जब स्पष्ट निरूपण $z=f(x,y)$ दिया जाता है: $z-f(x,y)=0$ (निहित ),$(s,t,f(s,t))$ (पैरामीट्रिक)।

उदाहरण:

1. समतल (ज्यामिति) $x+2y-3z+1=0.$
2. वृत्त (ज्यामिति) $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
3. द टोरस (गणित) $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$
4. जीनस (गणित) की एक सतह 2: $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0$ (रेखाचित्र देखें)।
5. परिक्रमण की सतह $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0$ (वाइनग्लास रेखाचित्र देखें)।

एक फ्लैट, एक क्षेत्र, और एक टोरस के लिए, सरल पैरामीटर प्रतिनिधित्व हैं। यह चौथा उदाहरण के लिए सच नहीं है।

निहित कार्य सिद्धांत उन स्थितियों का वर्णन करता है जिनके तहत एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ को x, y या z के लिए (कम से कम निहित रूप से) हल किया जा सकता है। लेकिन आम तौर पर समाधान स्पष्ट रूप से नहीं किया जा सकता है। ययह सिद्धांत एक सतह की आवश्यक भौगोलिक विशेषताओं की गणना करने की कुंजी है: स्पर्शरेखा समतल, सतह सामान्य और वक्रता (नीचे देखें)। लेकिन उनमें एक आवश्यक कमी है: उनका प्रत्योक्षकरण कठिन है।

यदि $F(x,y,z)$ x, y और z में बहुपद है, तो सतह को बीजगणितीय कहा जाता है। उदाहरण 5 गैर-बीजीय है।

प्रत्योक्षकरण की कठिनाई के बावजूद, निहित सतहें सैद्धांतिक रूप से (जैसे स्टेनर सतह) और व्यावहारिक रूप से (नीचे देखें) दिलचस्प सतहों को उत्पन्न करने के लिए अपेक्षाकृत सरल तकनीक प्रदान करती हैं।

सूत्र

निम्नलिखित विचारों के दौरान, निहित सतह को एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ फलन $F$ अवकलनीयता की आवश्यक शर्तों को पूरा करता है।

$F$ के आंशिक अवकलज $F_x,F_y,F_z,F_x$