विस्थापन (ज्यामिति): Difference between revisions

Revision as of 17:53, 7 May 2023

विस्थापन बनाम एक पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी

ज्यामिति और यांत्रिकी में, विस्थापन (ज्यामिति) एक सदिश है जिसकी लम्बाई गतिमान बिंदु P की आरंभिक से अंतिम स्थिति तक की सबसे छोटी दूरी है।^[1] यह प्रारंभिक स्थिति से लेकर बिंदु प्रक्षेपवक्र की अंतिम स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ परिशुद्ध या कुल गति की दूरी और दिशा (ज्यामिति) दोनों को निर्धारित करता है। एक विस्थापन को स्थानांतरण (ज्यामिति) के साथ पहचाना जा सकता है जो प्रारंभिक स्थिति को अंतिम स्थिति में मानचित्रित करता है।

विस्थापन को एक सापेक्ष स्थिति (गति के परिणामस्वरूप) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जो कि इसकी प्रारंभिक स्थिति xi के सापेक्ष एक बिंदु की अंतिम स्थिति xf के रूप में है। इससे संबंधित विस्थापन सदिश को अंतिम और प्रारंभिक स्थितियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

s=x_{\textrm {f}}-x_{\textrm {i}}=\Delta {x}

समय के साथ वस्तुओं की गतियों पर विचार करने में, वस्तु का तात्क्षणिक वेग समय के एक फलन के रूप में विस्थापन के परिवर्तन की दर होती है। तात्क्षणिक गति, फिर, वेग या किसी विशिष्ट पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी के परिवर्तन की समय दर से अलग होती है। वेग को स्थिति सदिश के परिवर्तन की समय दर के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। यदि कोई गतिमान प्रारंभिक स्थिति, या समतुल्य रूप से गतिमान मूलबिंदु पर विचार करता है उदाहरण के लिए एक प्रारंभिक स्थिति या मूल बिन्दु जो एक ट्रेन गाड़ी के लिए निर्धारित किया जाता है, जो बदले में अपने रेल पथ पर चलती है P का वेग जैसे एक यात्री की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला बिंदु ट्रेन पर चलने को एक पूर्ण वेग के विपरीत एक सापेक्ष वेग के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जिसकी गणना उस बिंदु के संबंध में की जाती है जिसे 'समय में स्थिर' माना जाता है, उदाहरण के लिए ट्रेन स्टेशन के फर्श पर निर्धारित बिंदु होता है।

किसी दिए गए समय अंतराल पर गति के लिए, समय अंतराल की लंबाई से विभाजित विस्थापन औसत वेग को परिभाषित करता है, जो एक सदिश होता है, और इस प्रकार औसत गति से भिन्न होता है, जो एक अदिश राशि होती है।

दृढ पिंड

दृढ पिंड की गति से सम्पर्क में, विस्थापन शब्द में पिंड के घूर्णन को भी सम्मिलित किया जा सकता है। इस स्थिति में, पिंड के एक कण के विस्थापन को 'रैखिक विस्थापन' (एक रेखा के साथ विस्थापन) कहा जाता है, जबकि पिंड के घूर्णन को 'कोणीय विस्थापन' कहा जाता है।^{[citation needed]}

डेरिवेटिव

एक स्थिति सदिश $\mathbf {s}$ के लिए जो कि समय $t$ का एक फलन है, और $t$ के संबंध में अवकलजों की गणना की जा सकती है। भौतिकी में पहले दो अवकलज प्रायः सामने आते हैं।

वेग: $\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}$

त्वरण

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}$
प्रतिक्षेप (भौतिकी): $\mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {s} }{dt^{3}}}$

ये सामान्य नाम मूल गतिमितीय में उपयोग की जाने वाली शब्दावली के अनुरूप हैं।^[2] विस्तार से, उच्च क्रम वाले अवकल की गणना इसी तरह से की जा सकती है।इन उच्च क्रम अवकल के अध्ययन से मूल विस्थापन फलन के अनुमानों में संशोधन हो सकता है। अभियान्त्रिकी और भौतिकी में कई विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम करने के लिए, एक अनंत श्रृंखला के योग के रूप में विस्थापन फलन का सही रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए इस तरह के उच्च-क्रम के पदों की आवश्यकता होती है। अतः चौथे क्रम के अवकल को जौंस कहा जाता है।

यह भी देखें

विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी)
समतुल्यता (ज्यामिति)
गति सदिश (भौतिकी)
स्थिति सदिश
एफ़िन समष्टि

संदर्भ

↑ Tom Henderson. "Describing Motion with Words". The Physics Classroom. Retrieved 2 January 2012.
↑ Stewart, James (2001). "§2.8 - The Derivative As A Function". Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

]]

==

[1] Tom Henderson. "Describing Motion with Words". The Physics Classroom. Retrieved 2 January 2012.

[stewart-2] Stewart, James (2001). "§2.8 - The Derivative As A Function". Calculus (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

[1]

[2]

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 ज्यामिति और यांत्रिकी में, '''विस्थापन (ज्यामिति)''' एक सदिश है जिसकी लम्बाई गतिमान बिंदु P की आरंभिक से अंतिम स्थिति तक की सबसे छोटी दूरी है।<ref>{{cite web| url=http://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/U1L1c.cfm|title=Describing Motion with Words| author=Tom Henderson| work=The Physics Classroom|access-date=2 January 2012}}</ref> यह प्रारंभिक स्थिति से लेकर बिंदु प्रक्षेपवक्र की अंतिम स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ परिशुद्ध या कुल गति की दूरी और दिशा (ज्यामिति) दोनों को निर्धारित करता है। एक विस्थापन को स्थानांतरण (ज्यामिति) के साथ पहचाना जा सकता है जो प्रारंभिक स्थिति को अंतिम स्थिति में मानचित्रित करता है।
-एक विस्थापन को एक सापेक्ष स्थिति (गति के परिणामस्वरूप) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जो कि इसकी प्रारंभिक स्थिति xi के सापेक्ष एक बिंदु की अंतिम स्थिति xf के रूप में है। संबंधित विस्थापन सदिश को अंतिम और प्रारंभिक स्थितियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
+विस्थापन को एक सापेक्ष स्थिति (गति के परिणामस्वरूप) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जो कि इसकी प्रारंभिक स्थिति xi के सापेक्ष एक बिंदु की अंतिम स्थिति xf के रूप में है। इससे संबंधित विस्थापन सदिश को अंतिम और प्रारंभिक स्थितियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 <math display="block"> s = x_\textrm{f} - x_\textrm{i} = \Delta{x}</math>
-समय के साथ वस्तुओं की गतियों पर विचार करने में, वस्तु का तात्क्षणिक वेग समय के एक फलन के रूप में विस्थापन के परिवर्तन की दर है। तात्क्षणिक गति, फिर, वेग या किसी विशिष्ट पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी के परिवर्तन की समय दर से अलग है। वेग को स्थिति सदिश के परिवर्तन की समय दर के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। यदि कोई गतिमान प्रारंभिक स्थिति, या समतुल्य रूप से गतिमान मूलबिंदु पर विचार करता है उदाहरण के लिए एक प्रारंभिक स्थिति या मूल जो एक ट्रेन गाड़ी के लिए निर्धारित की जाती है, जो बदले में अपने रेल पथ पर चलती है P का वेग जैसे एक यात्री की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला बिंदु ट्रेन पर चलने को एक पूर्ण वेग के विपरीत एक सापेक्ष वेग के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जिसकी गणना उस बिंदु के संबंध में की जाती है जिसे 'समय में स्थिर' माना जाता है, उदाहरण के लिए ट्रेन स्टेशन के फर्श पर निर्धारित बिंदु होता है।
+समय के साथ वस्तुओं की गतियों पर विचार करने में, वस्तु का तात्क्षणिक वेग समय के एक फलन के रूप में विस्थापन के परिवर्तन की दर होती है। तात्क्षणिक गति, फिर, वेग या किसी विशिष्ट पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी के परिवर्तन की समय दर से अलग होती है। वेग को स्थिति सदिश के परिवर्तन की समय दर के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है। यदि कोई गतिमान प्रारंभिक स्थिति, या समतुल्य रूप से गतिमान मूलबिंदु पर विचार करता है उदाहरण के लिए एक प्रारंभिक स्थिति या मूल बिन्दु जो एक ट्रेन गाड़ी के लिए निर्धारित किया जाता है, जो बदले में अपने रेल पथ पर चलती है P का वेग जैसे एक यात्री की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला बिंदु ट्रेन पर चलने को एक पूर्ण वेग के विपरीत एक सापेक्ष वेग के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जिसकी गणना उस बिंदु के संबंध में की जाती है जिसे 'समय में स्थिर' माना जाता है, उदाहरण के लिए ट्रेन स्टेशन के फर्श पर निर्धारित बिंदु होता है।
-किसी दिए गए समय अंतराल पर गति के लिए, समय अंतराल की लंबाई से विभाजित विस्थापन औसत वेग को परिभाषित करता है, जो एक सदिश है, और इस प्रकार औसत गति से भिन्न होता है, जो एक अदिश राशि है।
+किसी दिए गए समय अंतराल पर गति के लिए, समय अंतराल की लंबाई से विभाजित विस्थापन औसत वेग को परिभाषित करता है, जो एक सदिश होता है, और इस प्रकार औसत गति से भिन्न होता है, जो एक अदिश राशि होती है।
 == दृढ पिंड ==
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 == डेरिवेटिव ==
-एक स्थिति सदिश <math>\mathbf{s}</math> के लिए जो कि समय <math>t</math> का एक फलन है, <math>t</math> के संबंध में अवकलजों की गणना की जा सकती है। भौतिकी में पहले दो अवकलज प्रायः सामने आते हैं।
+एक स्थिति सदिश <math>\mathbf{s}</math> के लिए जो कि समय <math>t</math> का एक फलन है, और <math>t</math> के संबंध में अवकलजों की गणना की जा सकती है। भौतिकी में पहले दो अवकलज प्रायः सामने आते हैं।
 ;वेग
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 ; प्रतिक्षेप (भौतिकी)
 :<math>\mathbf{j} = \frac{d\mathbf{a}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2}=\frac{d^3\mathbf{s}}{dt^3}</math>
-ये सामान्य नाम मूल गतिकी में उपयोग की जाने वाली शब्दावली के अनुरूप हैं।<ref name="stewart">{{cite book
+ये सामान्य नाम मूल गतिमितीय में उपयोग की जाने वाली शब्दावली के अनुरूप हैं।<ref name="stewart">{{cite book
 |last= Stewart
 |first= James
@@ Line 35: / Line 35: @@
 |chapter= §2.8 - The Derivative As A Function
 }}
-</ref> विस्तार से, उच्च क्रम वाले अवकल की गणना इसी तरह से की जा सकती है।इन उच्च क्रम अवकल के अध्ययन से मूल विस्थापन फलन के अनुमानों में सुधार हो सकता है। अभियान्त्रिकी और भौतिकी में कई विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम करने के लिए, एक अनंत श्रृंखला के योग के रूप में विस्थापन फलन का सही रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए इस तरह के उच्च-क्रम के पदों की आवश्यकता होती है। चौथे क्रम के अवकल को जौंस कहा जाता है।
+</ref> विस्तार से, उच्च क्रम वाले अवकल की गणना इसी तरह से की जा सकती है।इन उच्च क्रम अवकल के अध्ययन से मूल विस्थापन फलन के अनुमानों में संशोधन हो सकता है। अभियान्त्रिकी और भौतिकी में कई विश्लेषणात्मक तकनीकों को सक्षम करने के लिए, एक अनंत श्रृंखला के योग के रूप में विस्थापन फलन का सही रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए इस तरह के उच्च-क्रम के पदों की आवश्यकता होती है। अतः चौथे क्रम के अवकल को जौंस कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
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 * विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी)
 * समतुल्यता (ज्यामिति)
-* गति सदिश
+* गति सदिश (भौतिकी)
 * स्थिति सदिश
 * एफ़िन समष्टि

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