विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 09:04, 17 March 2023

गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

{Disc}_{x} (A)

[1]

[2]

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 :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
 घात {{math|''n''}} का एक बहुपद (इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]],
-:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>:
+:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का सारणिक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>:
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math>
 :द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है
-ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है।
+ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। सारणिक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है।
 ===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति===
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 निम्नलिखित अर्थों में  विभेदक <math>\varphi</math>के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तो
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math>।
-जैसा कि विभेदक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह गुण निर्धारकों की समान गुण से तुरंत परिणाम देती है।
+जैसा कि विभेदक को एक सारणिक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह गुण सारणिकों की समान गुण से तुरंत परिणाम देती है।
 यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> तो <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math> शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब <math>\varphi(a_n)= 0,</math>
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 विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है।
-घात  {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक गुणांकों में घात {{math|2''n'' − 2}} का समरूप है। इसे दो प्रकार से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म सूत्र के संदर्भ में, सभी गुणांकों को  {{mvar|λ}} से गुणा करने पर मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को {{mvar|λ}} से गुणा करते हैं। {{mvar|a<sub>n</sub>}} द्वारा विभाजित  {{math|(2''n'' − 1)&thinsp;×&thinsp;(2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (सिल्वेस्टर आव्यूह) के एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में , निर्धारक प्रविष्टियों में घात {{math|2''n'' − 1}}का  सजातीय है , और घात {{math|2''n'' − 2}} बनाता है।
+घात  {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक गुणांकों में घात {{math|2''n'' − 2}} का समरूप है। इसे दो प्रकार से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म सूत्र के संदर्भ में, सभी गुणांकों को  {{mvar|λ}} से गुणा करने पर मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को {{mvar|λ}} से गुणा करते हैं। {{mvar|a<sub>n</sub>}} द्वारा विभाजित  {{math|(2''n'' − 1)&thinsp;×&thinsp;(2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (सिल्वेस्टर आव्यूह) के एक के सारणिक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में , सारणिक प्रविष्टियों में घात {{math|2''n'' − 1}}का  सजातीय है , और घात {{math|2''n'' − 2}} बनाता है।
 घात  {{math|''n''}} वाले बहुपद का विभेदक मूलों में घात  {{math|''n''(''n'' − 1)}} का समरूप होता है। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो मूलों के स्थिर और <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math>  वर्ग अंतर का उत्पाद है।
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 या, आव्यूह रूप में,
 :<math>Q(X) =X A X^\mathrm T,</math>
-<math>n\times n</math>  के लिए, [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>,  <math>1\times n</math> पंक्ति सदिश  <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और <math>n\times 1</math> स्तंभ सदिश <math>X^{\mathrm{T}}</math>। विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विभेदक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
+<math>n\times n</math>  के लिए, [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>,  <math>1\times n</math> पंक्ति सदिश  <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और <math>n\times 1</math> स्तंभ सदिश <math>X^{\mathrm{T}}</math>। 2 से भिन्न विशेषता में (बीजगणित) ,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> {{math|''Q''}} का विभेदक या सारणिक  {{math|''A''}} का सारणिक है ।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
-का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके विभेदक का समय। के आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष विषय है।
-एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।
+{{math|''Q''}} का [[हेसियन निर्धारक|हेसियन सारणिक]]  इसके विभेदक का <math>2^n</math> गुना है। {{math|''Q''}} के आंशिक व्युत्पन्न  का बहुभिन्नरूपी परिणाम इसके हेस्सियन सारणिक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष विषय है।
-[[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह {{math|''S''}} द्वारा परिभाषित किया गया है, आव्यूह {{math|''A''}} को <math>S^\mathrm T A\,S</math> में  बदलता है,  और इस प्रकार विभेदक को {{math|''S''}} सारणिक के वर्ग से गुणा करता है। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, क्षेत्र {{math|''K''}} पर एक द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}} का एक अवयव है, गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा {{math|''K''}} के गुणात्मक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]]   (अर्थात, {{math|''K''}} के दो अवयव  समान [[तुल्यता वर्ग]] में यदि एक दूसरे का गुणनफल शून्येतर वर्ग से है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त पूर्णांक के बराबर होता है ।
-:<math>a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2.</math>
-अधिक यथार्थ रूप से, एक द्विघात रूपों को योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+[[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में
+:<math>a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2</math>
+:के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+अधिक यथार्थ रूप से, एक द्विघात रूपों को योग
 :<math>\sum_{i=1}^n a_i L_i^2</math>
-जहां {{math|''L''<sub>''i''</sub>}} स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और {{mvar|n}} चरों की संख्या है (कुछ {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} शून्य हो सकता है)। समान रूप से, किसी भी सममित आव्यूह के लिए {{math|''A''}}, एक प्रारंभिक आव्यूह है {{math|''S''}} ऐसा है कि <math>S^\mathrm T A\,S</math> एक [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] है।
+के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां {{math|''L''<sub>''i''</sub>}} स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और {{mvar|n}} चरों की संख्या है (कुछ {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} शून्य हो सकते  है)। समान रूप से, किसी भी सममित आव्यूह {{math|''A''}} के लिए , एक प्रारंभिक आव्यूह {{math|''S''}} है जैसे <math>S^\mathrm T A\,S</math> एक [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] है। फिर  विभेदक का उत्पाद {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} है , जिसे {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}} में  एक वर्ग के रूप में ठीक रूप से परिभाषित किया गया है ।
-तब विभेदक का उत्पाद है {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}, जिसे एक वर्ग के रूप में ठीक रूप से परिभाषित किया गया है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}।
 ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में एक द्विघात रूप का विभेदक [[प्रक्षेपी वक्र]] का समीकरण है। विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो (संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।
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 पहला द्विघात रूप है
 :<math>ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dxz + 2eyz + fz^2 = 0.</math>
-इसका विभेदक निर्धारक है
+इसका विभेदक सारणिक है
 :<math>\begin{vmatrix} a & b & d\\b & c & e\\d & e & f \end{vmatrix}. </math>
 यदि शंक्वाकार खंड दो रेखाओं, एक दोहरी रेखा या एक बिंदु में पतित हो जाता है तो यह शून्य है।

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