विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 22:12, 16 March 2023

गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

द्वारा

A

और

A'

के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है।

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में इसके $n$ मूल, $r 1 comma r 2 comma ellipsis comma r Subscript n Baseline$

[1]

[2]

@@ Line 199: / Line 199: @@
 :<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0</math>
 :पर विचार करें।
-यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|बहुपद]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
+यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|बहुपद]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों
 :<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math>
 और
-:<math>i_1+2i_2 + \cdots+n i_n=n(n-1),</math>
+:<math>i_1+2i_2 + \cdots+n i_n=n(n-1)</math>
-और समीकरण भी
+को संतुष्ट करते हैं और समीकरण
-:<math>ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1),</math>
+:<math>ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1)</math>
-जो दूसरे समीकरण को प्रथम वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{math|''n''}}।
+को भी जो पूर्व समीकरण को {{math|''n''}} से गुणा करके दूसरे समीकरण को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
 यह विभेदक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विभेदक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विभेदक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं।
-उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।
+उच्च घात के लिए, ऐसे एकपदीय हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद  <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> के लिए है, जिस स्थिति में एकपदीय <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।
 ==वास्तविक मूल==
 इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं।
-में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए {{math|''n''}}, किसी के पास:
+{{slink||निम्न घात}} में यह देखा गया है  कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक यथार्थ रूप से, घात  {{math|''n''}} के बहुपद के लिए, एक के निकट है:
 *बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो।
-*यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}}  वास्तविक मूल।
+*यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} है जैसे जटिल संयुग्म मूलों  और {{math|''n'' − 4''k''}}    वास्तविक मूल {{math|2''k''}}  जोड़े हैं।
-*यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}}  वास्तविक मूल।
+*यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक  {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} है जैसे जटिल संयुग्म मूलों  और  {{math|''n'' − 4''k'' + 2}}  वास्तविक मूल {{math|2''k'' + 1}}जोड़े हैं।
 ==सजातीय द्विभाजित बहुपद==
@@ Line 223: / Line 223: @@
 मान लीजिए कि
 :<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math>
-घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में।
+दो अनिश्चितांकों में घात {{math|''n''}} का एक सजातीय बहुपद है।
-मान लीजिए, फिलहाल, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के पास है
+मान लीजिए, अभी के लिये, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के निकट
-:<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).</math>
+:<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y))</math> है।
-द्वारा इस मात्रा को नकारना <math>\operatorname{Disc}^h (A),</math>
+इस मात्रा को <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> दर्शाने द्वारा
-किसी के पास
+किसी के निकट
 :<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math>
 और

Anonymous

Search

विभेदक: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 22:12, 16 March 2023

Contents

उत्पत्ति

परिभाषा

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति