विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 16:40, 16 March 2023

गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

द्वारा

A

और

A'

के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित न

[1]

[2]

@@ Line 198: / Line 198: @@
 बहुपद पर विचार करें
 :<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0.</math>
-यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|एकपदी]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
+यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|बहुपद]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
 :<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math>
 और
@@ Line 210: / Line 210: @@
 उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।
-==असली मूल==
+==वास्तविक मूल==
 इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं।
 में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए {{math|''n''}}, किसी के पास:
 *बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो।
-*यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}} असली मूल।
+*यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}}  वास्तविक मूल।
-*यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} असली मूल।
+*यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}}  वास्तविक मूल।
-== सजातीय द्विभाजित बहुपद==
+==सजातीय द्विभाजित बहुपद==
 होने देना
 :<math>A(x,y) = a_0x^n+ a_1 x^{n-1}y + \cdots + a_n y^n=\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}y^i</math>
 घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में।
@@ Line 233: / Line 233: @@
 इन्हीं गुणों के कारण मात्रा <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> का विभेदक या सजातीय विभेदक कहा जाता है {{math|''A''}}।
-यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात हो सकती है {{math|''n''}}। इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी {{mvar|''n''}}। इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र {{slink||Invariance under ring homomorphisms}} उपयोग किया जाना चाहिए।
+यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात हो सकती है {{math|''n''}}। इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी {{mvar|''n''}}। इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र {{slink||वलय समरूपता के अंतर्गत इनवेरियन}} उपयोग किया जाना चाहिए।
 == बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें
@@ Line 250: / Line 250: @@
 घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
-===द्विघात रूप===
+===द्विघात रूप ===
 {{See also|Fundamental discriminant}}
 एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार ([[सदिश स्थल]])]] पर परिभाषित किया गया है:
@@ Line 302: / Line 302: @@
 आयाम तीन के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं।
 होने देना <math>P(x,y,z)</math> तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, <math>Q_4,</math> चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''P''}}; अर्थात
 :<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math>
 आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_4.</math>
 दूसरा द्विघात रूप, <math>Q_3,</math> तीन चर पर निर्भर करता है, और घात दो की शर्तें शामिल हैं {{math|''P''}}; अर्थात
 :<math>Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).</math>
 आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math>
@@ Line 317: / Line 317: @@
-===एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक ===
+===एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक===
 {{main article|Discriminant of an algebraic number field}}
 ==संदर्भ==
@@ Line 323: / Line 323: @@
 ==बाहरी संबंध==
 *[http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant]
 *[http://planetmath.org/discriminant Planetmath: Discriminant]
 {{Polynomials}}

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