द्विघात फलन: Difference between revisions

Revision as of 10:35, 15 March 2023

बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।

बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ एक द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।

उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है^[1]

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0

एकल चर x में। एक अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख एक परवलय है, एक वक्र जिसमें समरूपता का एक अक्ष समांतर होता है $y$ -एक्सिस।

यदि द्विघात फलन शून्य के साथ समीकरण है, तो परिणाम द्विघात समीकरण है। द्विघात समीकरण के हल संगत द्विघात फलन के फलनों के शून्य होते हैं।

चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है

f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f

a, b, c में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की एक निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), एक शंक्वाकार खंड (एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, एक परवलय या एक अतिपरवलय) है।

तीन चर x, y, और z में एक द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं², और², के साथ²,x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z,और एक स्थिरांक:

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

कम से कम एक गुणांक के साथ a, b, c, d, e, f दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।

सामान्यतः चर की एक बड़ी संख्या हो सकती है, इस स्थितियों में द्विघात फलन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x², xy, yz, आदि।

व्युत्पत्ति

विशेषण द्विघात लैटिन शब्द wikt:en:quadratum#Latin|quadrātum (वर्ग (ज्यामिति)) से आया है। एक शब्द जैसा $x 2$ बीजगणित में एक वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है क्योंकि यह भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल होता है $x$ .

शब्दावली

गुणांक

एक बहुपद के गुणांकों को अधिकांशतः वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, एक बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।^{[citation needed]}

डिग्री

द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। सामान्यतः संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा अर्थ है।

कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। चूंकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश एक शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।

चर

एक द्विघात बहुपद में एक एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) शामिल हो सकते हैं।

एक चर स्थितियां

किसी एकल-चर द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ax^{2}+bx+c,\,\!

जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अधिकांशतः द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं $ax^{2}+bx+c=0$ . इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक द्विघात बहुपद का एक संबद्ध द्विघात फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ एक परवलय होता है।

द्विभाजित स्थितियां

दो चर वाले किसी भी द्विघात बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!

जहाँ x और y चर हैं और a, b, c, d, e, और f गुणांक हैं। इस तरह के बहुपद शांकव वर्गों के अध्ययन के लिए मौलिक हैं, जिन्हें f (x, y) के लिए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने की विशेषता है।

इसी तरह, तीन या अधिक चर वाले द्विघात बहुपद द्विघात सतहों और हाइपरसर्फ्स के अनुरूप होते हैं। रैखिक बीजगणित में, द्विघात बहुपदों को सदिश स्थान पर द्विघात रूप की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक अविभाजित द्विघात फलन के रूप

एक अविभाजित द्विघात फलन को तीन स्वरूपों में व्यक्त किया जा सकता है:^[2]

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ मानक रूप कहा जाता है,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ कारक रूप कहा जाता है, जहाँ $r 1$ तथा $r 2$ द्विघात फलन के मूल और संगत द्विघात समीकरण के हल हैं।
$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ वर्टेक्स फॉर्म कहा जाता है, जहां $h$ तथा $k$ क्या हैं $x$ तथा $y$ क्रमशः शीर्ष के निर्देशांक।

गुणांक $a$ तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है $r 1$ तथा $r 2$ . मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, एक प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और/या वितरित करने की आवश्यकता होती है।

यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़

छवि: समारोह कुल्हाड़ी ^2.svg|thumb|350px| $f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$ छवि: फलन x^2+bx.svg|thumb|350px| $f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$ छवि: फलन x^2-bx.svg|thumb|350px| $f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!$ प्रारूप के बावजूद, एक अविभाज्य द्विघात फलन का ग्राफ़ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ एक परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है $y=ax^{2}+bx+c$ .

यदि $a > 0$ , परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यदि $a < 0$ , परवलय नीचे की ओर खुलता है।

गुणांक $a$ ग्राफ की वक्रता की डिग्री को नियंत्रित करता है; का एक बड़ा परिमाण $a$ ग्राफ को अधिक बंद (तीव्र घुमावदार) रूप देता है।

गुणांक $b$ तथा $a$ एक साथ पैराबोला की समरूपता के अक्ष के स्थान को नियंत्रित करें (भी $x$ शीर्ष के रूप में शीर्ष और एच पैरामीटर का समन्वय) जो पर है

x=-{\frac {b}{2a}}.

गुणांक $c$ पैराबोला की ऊंचाई को नियंत्रित करता है; अधिक विशेष रूप से, यह परबोला की ऊंचाई है जहां यह अवरोधन करता है $y$ -एक्सिस।

वर्टेक्स

परवलय का शीर्ष वह स्थान है जहां वह मुड़ता है; इसलिए इसे टर्निंग प्वाइंट भी कहा जाता है। यदि द्विघात फलन शीर्ष रूप में है, तो शीर्ष है $(h, k)$ . वर्ग को पूरा करने की विधि का उपयोग करके, मानक रूप को उलटा किया जा सकता है

f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!

में

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}

तो शिखर, $(h, k)$ , मानक रूप में परवलय का है

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

^{[citation needed]}

यदि द्विघात फलन गुणनखंडित रूप में है

f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!

दो जड़ों का औसत, अर्थात्,

{\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!

है $x$ -शीर्ष का निर्देशांक, और इसलिए शीर्ष $(h, k)$ है

\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!

शीर्ष भी अधिकतम बिंदु है यदि $a < 0$ , या न्यूनतम बिंदु यदि $a > 0$ .

खड़ी रेखा

x=h=-{\frac {b}{2a}}

जो शीर्ष से होकर गुजरता है वह परवलय की सममिति का अक्ष भी है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक

कैलकुलस का उपयोग करके, वर्टेक्स पॉइंट, फलन का मिनिमा और मैक्सिमा होने के नाते, डेरिवेटिव की जड़ों को ढूंढकर प्राप्त किया जा सकता है:

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.

$x$ की जड़ है $f'(x)$ यदि $f'(x) = 0$ जिसके परिणामस्वरूप

x=-{\frac {b}{2a}}

संबंधित फलन मान के साथ

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,

तो फिर से शीर्ष बिंदु निर्देशांक, $(h, k)$ , के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

एकतरफा फलन की जड़ें

Graph of

y = ax 2 + bx + c

, where

a

and the discriminant

b 2 - 4 ac

are positive, with

Roots and $y$ -intercept in red
Vertex and axis of symmetry in blue
Focus and directrix in pink

Visualisation of the complex roots of

y = ax 2 + bx + c

: the parabola is rotated 180° about its vertex (orange). Its

x

-intercepts are rotated 90° around their mid-point, and the Cartesian plane is interpreted as the complex plane (green).^[3]

सटीक जड़ें

फलन की जड़ (या शून्य), $r 1$ तथा $r 2$ , अविभाज्य द्विघात समारोह का

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

के मान हैं $x$ जिसके लिए $f (x) = 0$ .

जब गुणांक $a$ , $b$ , तथा $c$ , वास्तविक संख्याएँ या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, मूल हैं

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

जड़ों के परिमाण पर ऊपरी सीमा

द्विघात के मूलों का निरपेक्ष मान $ax^{2}+bx+c\,$ से बड़ा नहीं हो सकता ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$ कहाँ पे $\phi$ सुनहरा अनुपात है ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ ^[4]^{[importance?]}

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल चार शंकु वर्गों में से एक को जन्म देता है, लगभग हमेशा या तो दीर्घवृत्त या अतिपरवलय।

यदि $a>0\,\!$ फिर समीकरण $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ हाइपरबोला का वर्णन करता है, जैसा कि दोनों पक्षों को वर्ग करके देखा जा सकता है। हाइपरबोला के अक्षों की दिशा संबंधित पैराबोला के न्यूनतम बिंदु के समन्वय द्वारा निर्धारित की जाती है $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ . यदि कोटि ऋणात्मक है, तो अतिपरवलय का प्रमुख अक्ष (इसके शीर्ष से होकर) क्षैतिज होता है, जबकि यदि कोटि धनात्मक है तो अतिपरवलय का प्रमुख अक्ष ऊर्ध्वाधर होता है।

यदि $a<0\,\!$ फिर समीकरण $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ या तो एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त का वर्णन करता है या कुछ भी नहीं। यदि संबंधित पैराबोला के अधिकतम बिंदु का समन्वय $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ सकारात्मक है, तो इसका वर्गमूल एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, लेकिन यदि कोटि ऋणात्मक है तो यह बिंदुओं के एक खाली सेट स्थान का वर्णन करता है।

पुनरावृत्ति

पुनरावृत्त कार्य करने के लिए $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , एक पुनरावृत्ति से अगले इनपुट के रूप में आउटपुट का उपयोग करते हुए, फलन को बार-बार लागू करता है।

कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है $f^{(n)}(x)$ , जिसका अर्थ है n^वें पुनरावृत्ति $f(x)$ . (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का जिक्र करते हुए $f(x)$ यदि व्युत्क्रम मौजूद है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति के स्थितियों हैं।

उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त समीकरण के लिए

f(x)=a(x-c)^{2}+c

किसी के पास

f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!

कहाँ पे

g(x)=ax^{2}\,\!

तथा

h(x)=x-c.\,\!

तो प्रेरण द्वारा,

f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!

प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $g^{(n)}(x)$ आसानी से गणना की जा सकती है

g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!

अंत में, हमारे पास है

f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!

समाधान के रूप में।

एफ और जी के बीच संबंध के बारे में अधिक विवरण के लिए स्थलीय संयुग्मन देखें। और सामान्य पुनरावृत्ति में अराजक व्यवहार के लिए जटिल द्विघात बहुपद देखें।

लॉजिस्टिक मैप

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1

पैरामीटर के साथ 2<r<4 कुछ मामलों में हल किया जा सकता है, जिनमें से एक अराजकता (गणित) है और जिनमें से एक नहीं है। अराजक स्थिति में r=4 समाधान है

x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )

जहां प्रारंभिक स्थिति पैरामीटर $\theta$ द्वारा दिया गया है $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . तर्कसंगत के लिए $\theta$ , पुनरावृत्तियों की एक सीमित संख्या के बाद $x_{n}$ एक आवधिक अनुक्रम में मानचित्र। लेकिन लगभग सभी $\theta$ तर्कहीन हैं, और, तर्कहीन के लिए $\theta$ , $x_{n}$ कभी भी स्वयं को दोहराता नहीं है - यह गैर-आवधिक है और प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करता है, इसलिए इसे अराजक कहा जाता है।

रसद मानचित्र का समाधान जब r=2 है

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$ के लिये $x_{0}\in [0,1)$ . तब से $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ के किसी भी मूल्य के लिए $x_{0}$ अस्थिर निश्चित बिंदु 0 के अलावा, शब्द $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ 0 पर जाता है जैसे n अनंत तक जाता है, इसलिए $x_{n}$ स्थिर निश्चित बिंदु पर जाता है ${\tfrac {1}{2}}.$

द्विचर (दो चर) द्विघात फलन

एक द्विभाजित द्विघात फलन प्रपत्र का द्वितीय-डिग्री बहुपद है

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!

जहां ए, बी, सी, डी, और ई निश्चित गुणांक हैं और एफ निरंतर शब्द है। ऐसा फलन एक द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना $f(x,y)\,\!$ शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है $z=0\,\!$ , जो एक शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का एक स्थान (गणित) है।

न्यूनतम/अधिकतम

यदि $4AB-E^{2}<0\,$ फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक अतिपरवलयिक परवलयिक बनाता है।

यदि $4AB-E^{2}>0\,$ फलन में न्यूनतम है यदि दोनों A > 0 तथा B > 0, और अधिकतम यदि दोनों A < 0 तथा B < 0; इसका ग्राफ एक अण्डाकार परवलय बनाता है। इस स्थितियों में न्यूनतम या अधिकतम पर होता है $(x_{m},y_{m})\,$ कहाँ पे:

x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},

y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.

यदि $4AB-E^{2}=0\,$ तथा $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर (ज्यामिति) बनाता है।

यदि $4AB-E^{2}=0\,$ तथा $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ फलन एक पंक्ति में अधिकतम/न्यूनतम प्राप्त करता है—यदि A>0 न्यूनतम है और यदि A<0 है तो अधिकतम; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर बनाता है।

यह भी देखें

द्विघात रूप
द्विघात समीकरण
शंकु वर्गों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
क्वाड्रिक
जटिल द्विघात मानचित्रण के आवधिक बिंदु
गणितीय कार्यों की सूची

संदर्भ

↑ "वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से द्विघात समीकरण". Retrieved January 6, 2013.
↑ Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, John Wiley & Sons Inc., p. 205, ISBN 9780471271758, Search result
↑ "Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts". Retrieved 1 October 2016.
↑ Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.

[wolfram-1] "वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से द्विघात समीकरण". Retrieved January 6, 2013.

[2] Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, John Wiley & Sons Inc., p. 205, ISBN 9780471271758, Search result

[3] "Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts". Retrieved 1 October 2016.

[4] Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{Short description|Polynomial function of degree two}}
-{{for|the zeros of a quadratic function|Quadratic equation|Quadratic formula}}
+{{for|एक द्विघात फलन के शून्य|द्विघात समीकरण|द्विघात सूत्र}}
-बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात 2 का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।
-[[Image:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ एक द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस मामले में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।]]उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है<ref name="wolfram">{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html | title=वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से द्विघात समीकरण| access-date=January 6, 2013}}</ref>
+बीजगणित में, द्विघात फलन, द्विघात बहुपद, घात दो का बहुपद, या केवल द्विघात, एक या अधिक चरों में बहुपद दो की घात का बहुपद फलन है।
+[[Image:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|बहुपद (x अक्ष के क्रॉसिंग) के दो वास्तविक संख्या मूल के साथ एक द्विघात बहुपद और इसलिए कोई जटिल संख्या जड़ नहीं है। कुछ अन्य द्विघात बहुपदों का एक्स अक्ष के ऊपर न्यूनतम होता है, इस स्थितियों में कोई वास्तविक जड़ नहीं होती है और दो जटिल जड़ें होती हैं।]]उदाहरण के लिए, एक अविभाज्य (एकल-चर) द्विघात फलन का रूप होता है<ref name="wolfram">{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html | title=वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से द्विघात समीकरण| access-date=January 6, 2013}}</ref>
 :<math>f(x)=ax^2+bx+c,\quad a \ne 0</math>
 एकल चर x में। एक अविभाजित द्विघात फलन के फलन का आलेख एक परवलय है, एक वक्र जिसमें समरूपता का एक अक्ष समांतर होता है {{math|''y''}}-एक्सिस।
@@ Line 11: / Line 12: @@
 चर x और y के संदर्भ में द्विचर स्थिति का रूप है
 :<math> f(x,y) = a x^2 + bx y+ cy^2 + d x+ ey + f </math>
-a, b, c में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की एक निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), एक शंक्वाकार खंड (एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, एक परवलय या एक अतिपरवलय)।
+a, b, c में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है। इस द्विघात समारोह के शून्य सामान्य रूप से हैं (अर्थात, यदि गुणांक की एक निश्चित अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है), एक शंक्वाकार खंड (एक वृत्त या अन्य दीर्घवृत्त, एक परवलय या एक अतिपरवलय) है।
-तीन चर x, y, और z में एक द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं<sup>2</sup>, और<sup>2</sup>, के साथ<sup>2</sup>, xy, xz, yz, x, y, z, और एक स्थिरांक:
+तीन चर x, y, और z में एक द्विघात फलन में विशेष रूप से x पद होते हैं<sup>2</sup>, और<sup>2</sup>, के साथ<sup>2</sup>,''x''<sup>2</sup>, ''y''<sup>2</sup>, ''z''<sup>2</sup>, ''xy'', ''xz'', ''yz'', ''x'', ''y'', ''z'',और एक स्थिरांक:
 :<math>f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz +j,</math>
-कम से कम एक गुणांक के साथ ए, बी, सी, डी, ई, या एफ दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।
+कम से कम एक गुणांक के साथ ''a, b, c, d, e, f''  दूसरी डिग्री की शर्तें गैर-शून्य हैं।
-सामान्य तौर पर चर की एक बड़ी संख्या हो सकती है, इस मामले में द्विघात फ़ंक्शन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x<sup>2</sup>, xy, yz, आदि।
+सामान्यतः चर की एक बड़ी संख्या हो सकती है, इस स्थितियों में द्विघात फलन को शून्य पर सेट करने की परिणामी सतह (ज्यामिति) को क्वाड्रिक कहा जाता है, लेकिन उच्चतम डिग्री शब्द डिग्री 2 का होना चाहिए, जैसे x<sup>2</sup>, xy, yz, आदि।
 == व्युत्पत्ति ==
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 === गुणांक ===
-एक बहुपद के गुणांकों को अक्सर वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, एक बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।{{Citation needed|date=October 2022}}
+एक बहुपद के गुणांकों को अधिकांशतः वास्तविक या जटिल द्विघात बहुपद के रूप में लिया जाता है, लेकिन वास्तव में, एक बहुपद को किसी भी वलय (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।{{Citation needed|date=October 2022}}
 === डिग्री ===
-द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। आम तौर पर संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा मतलब है।
+द्विघात बहुपद शब्द का उपयोग करते समय, लेखकों का अर्थ कभी-कभी ठीक 2 डिग्री होना और कभी-कभी अधिकतम 2 डिग्री होना होता है। यदि डिग्री 2 से कम है, तो इसे डीजनरेसी (गणित) कहा जा सकता है। सामान्यतः संदर्भ स्थापित करेगा कि दोनों में से कौन सा अर्थ है।
-कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। हालांकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश एक शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।
+कभी-कभी शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के अर्थ के साथ किया जाता है, उदा। एक दूसरे क्रम का बहुपद। चूंकि, जहां बहुपद की डिग्री बहुपद के गैर-शून्य शब्द की सबसे बड़ी डिग्री को संदर्भित करती है, अधिक विशिष्ट रूप से आदेश एक शक्ति श्रृंखला के गैर-शून्य शब्द की निम्नतम डिग्री को संदर्भित करता है।
 === चर ===
-एक द्विघात बहुपद में एक एकल चर (गणित) x (एकतरफा मामला), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी मामला) शामिल हो सकते हैं।
+एक द्विघात बहुपद में एक एकल चर (गणित) x (एक तरफ स्थितियां), या कई चर जैसे x, y, और z (बहुभिन्नरूपी स्थितियां) शामिल हो सकते हैं।
-====एक चर मामला ====
+====एक चर स्थितियां ====
 किसी एकल-चर द्विघात बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 :<math>ax^2 + bx + c,\,\!</math>
-जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अक्सर द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं <math>ax^2 + bx + c = 0</math>. इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक द्विघात बहुपद का एक संबद्ध द्विघात फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ एक परवलय होता है।
+जहाँ x चर है, और a, b, और c गुणांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, ऐसे बहुपद अधिकांशतः द्विघात समीकरण के रूप में उत्पन्न होते हैं <math>ax^2 + bx + c = 0</math>. इस समीकरण के समाधान को द्विघात बहुपद के फलन का मूल कहा जाता है, और गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करने, फलन का ग्राफ, न्यूटन की विधि, या द्विघात सूत्र के उपयोग के माध्यम से पाया जा सकता है। प्रत्येक द्विघात बहुपद का एक संबद्ध द्विघात फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ एक परवलय होता है।
-==== द्विभाजित मामला ====
+==== द्विभाजित स्थितियां ====
 दो चर वाले किसी भी द्विघात बहुपद को इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math> f(x,y) = a x^2 + b y^2 + cxy + dx+ e y + f, \,\!</math>
 जहाँ x और y चर हैं और a, b, c, d, e, और f गुणांक हैं। इस तरह के बहुपद शांकव वर्गों के अध्ययन के लिए मौलिक हैं, जिन्हें f (x, y) के लिए अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करने की विशेषता है।
 इसी तरह, तीन या अधिक चर वाले द्विघात बहुपद द्विघात सतहों और हाइपरसर्फ्स के अनुरूप होते हैं। रैखिक बीजगणित में, द्विघात बहुपदों को सदिश स्थान पर द्विघात रूप की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
@@ Line 73: / Line 75: @@
 गुणांक {{math|''a''}} तीनों रूपों में समान मूल्य है। मानक रूप को कारक रूप में बदलने के लिए, दो जड़ों को निर्धारित करने के लिए केवल द्विघात सूत्र की आवश्यकता होती है {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}. मानक फॉर्म को वर्टेक्स फॉर्म में बदलने के लिए, एक प्रक्रिया की आवश्यकता होती है जिसे वर्ग को पूरा करना कहा जाता है। गुणनखंडित रूप (या शीर्ष रूप) को मानक रूप में बदलने के लिए, गुणनखंडों को गुणा, विस्तार और/या वितरित करने की आवश्यकता होती है।
-== यूनिवेरिएट फ़ंक्शन का ग्राफ़ ==
+== यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़ ==
-छवि: समारोह कुल्हाड़ी ^2.svg|thumb|350px|<math>f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!</math>छवि: फ़ंक्शन x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!</math>छवि: फ़ंक्शन x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}} \!</math>प्रारूप के बावजूद, एक अविभाज्य द्विघात फ़ंक्शन का ग्राफ़ <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> एक परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है <math>y = ax^2 + bx + c</math>.
+छवि: समारोह कुल्हाड़ी ^2.svg|thumb|350px|<math>f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}} \!</math>छवि: फलन x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}} \!</math>छवि: फलन x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}} \!</math>प्रारूप के बावजूद, एक अविभाज्य द्विघात फलन का ग्राफ़ <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> एक परवलय है (जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है)। समान रूप से, यह द्विचर द्विघात समीकरण का आलेख है <math>y = ax^2 + bx + c</math>.
 * यदि {{math|''a'' &gt; 0}}, परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
@@ Line 111: / Line 113: @@
 ==== अधिकतम और न्यूनतम अंक ====
-कैलकुलस का उपयोग करके, वर्टेक्स पॉइंट, फ़ंक्शन का मिनिमा और मैक्सिमा होने के नाते, डेरिवेटिव की जड़ों को ढूंढकर प्राप्त किया जा सकता है:
+कैलकुलस का उपयोग करके, वर्टेक्स पॉइंट, फलन का मिनिमा और मैक्सिमा होने के नाते, डेरिवेटिव की जड़ों को ढूंढकर प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math>f(x)=ax^2+bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b \,\!.</math>
 {{math|''x''}} की जड़ है {{math|''f'' '(''x'')}} यदि {{math|''f'' '(''x'') {{=}} 0}}
 जिसके परिणामस्वरूप
 :<math>x=-\frac{b}{2a}</math>
-संबंधित फ़ंक्शन मान के साथ
+संबंधित फलन मान के साथ
 :<math>f(x) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = c-\frac{b^2}{4a} \,\!,</math>
 तो फिर से शीर्ष बिंदु निर्देशांक, {{math|(''h'', ''k'')}}, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
@@ Line 130: / Line 132: @@
 ===सटीक जड़ें ===
-फ़ंक्शन की जड़ (या शून्य), {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}, अविभाज्य द्विघात समारोह का
+फलन की जड़ (या शून्य), {{math|''r''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''r''<sub>2</sub>}}, अविभाज्य द्विघात समारोह का
 : <math>\begin{align}
@@ Line 158: / Line 160: @@
 == पुनरावृत्ति ==
-पुनरावृत्त कार्य करने के लिए <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>, एक पुनरावृत्ति से अगले इनपुट के रूप में आउटपुट का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन को बार-बार लागू करता है।
+पुनरावृत्त कार्य करने के लिए <math>f(x)=ax^2+bx+c</math>, एक पुनरावृत्ति से अगले इनपुट के रूप में आउटपुट का उपयोग करते हुए, फलन को बार-बार लागू करता है।
-कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है <math>f^{(n)}(x)</math>, जिसका अर्थ है n<sup>वें </sup> पुनरावृत्ति <math>f(x)</math>. (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का जिक्र करते हुए <math>f(x)</math> यदि व्युत्क्रम मौजूद है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति के मामले हैं।
+कोई हमेशा के विश्लेषणात्मक रूप का अनुमान नहीं लगा सकता है <math>f^{(n)}(x)</math>, जिसका अर्थ है n<sup>वें </sup> पुनरावृत्ति <math>f(x)</math>. (सुपरस्क्रिप्ट को ऋणात्मक संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, के व्युत्क्रम की पुनरावृत्ति का जिक्र करते हुए <math>f(x)</math> यदि व्युत्क्रम मौजूद है।) लेकिन कुछ विश्लेषणात्मक रूप से बंद-रूप अभिव्यक्ति के स्थितियों हैं।
 उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त समीकरण के लिए
@@ Line 198: / Line 200: @@
 :<math> f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!</math>
 जहां ए, बी, सी, डी, और ई निश्चित गुणांक हैं और एफ निरंतर शब्द है।
-ऐसा फ़ंक्शन एक द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना <math>f(x,y)\,\!</math> शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है <math>z=0\,\!</math>, जो एक शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का एक स्थान (गणित) है।
+ऐसा फलन एक द्विघात सतह (गणित) का वर्णन करता है। स्थापना <math>f(x,y)\,\!</math> शून्य के बराबर विमान के साथ सतह के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है <math>z=0\,\!</math>, जो एक शंकु खंड के समतुल्य बिंदुओं का एक स्थान (गणित) है।
 ===न्यूनतम/अधिकतम===
-यदि <math> 4AB-E^2 <0 \,</math> फ़ंक्शन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक अतिपरवलयिक परवलयिक बनाता है।
+यदि <math> 4AB-E^2 <0 \,</math> फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक अतिपरवलयिक परवलयिक बनाता है।
-यदि <math> 4AB-E^2 >0 \,</math> फ़ंक्शन में न्यूनतम है यदि दोनों {{nowrap|''A'' > 0}} तथा {{nowrap|''B'' > 0}}, और अधिकतम यदि दोनों {{nowrap|''A'' < 0}} तथा {{nowrap|''B'' < 0}}; इसका ग्राफ एक अण्डाकार परवलय बनाता है। इस मामले में न्यूनतम या अधिकतम पर होता है <math> (x_m, y_m) \,</math> कहाँ पे:
+यदि <math> 4AB-E^2 >0 \,</math> फलन में न्यूनतम है यदि दोनों {{nowrap|''A'' > 0}} तथा {{nowrap|''B'' > 0}}, और अधिकतम यदि दोनों {{nowrap|''A'' < 0}} तथा {{nowrap|''B'' < 0}}; इसका ग्राफ एक अण्डाकार परवलय बनाता है। इस स्थितियों में न्यूनतम या अधिकतम पर होता है <math> (x_m, y_m) \,</math> कहाँ पे:
 :<math>x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2},</math>
 :<math>y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}.</math>
-यदि <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> तथा <math> DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,</math> फ़ंक्शन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर (ज्यामिति) बनाता है।
+यदि <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> तथा <math> DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,</math> फलन में अधिकतम या न्यूनतम नहीं है; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर (ज्यामिति) बनाता है।
-यदि <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> तथा <math> DE-2CB=2AD-CE =0 \,</math> फ़ंक्शन एक पंक्ति में अधिकतम/न्यूनतम प्राप्त करता है—यदि A>0 न्यूनतम है और यदि A<0 है तो अधिकतम; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर बनाता है।
+यदि <math> 4AB- E^2 =0 \,</math> तथा <math> DE-2CB=2AD-CE =0 \,</math> फलन एक पंक्ति में अधिकतम/न्यूनतम प्राप्त करता है—यदि A>0 न्यूनतम है और यदि A<0 है तो अधिकतम; इसका ग्राफ एक परवलयिक सिलेंडर बनाता है।
 == यह भी देखें ==

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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Contents

व्युत्पत्ति

शब्दावली

गुणांक

डिग्री

चर

एक चर स्थितियां

द्विभाजित स्थितियां

एक अविभाजित द्विघात फलन के रूप

यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़

वर्टेक्स

अधिकतम और न्यूनतम अंक

एकतरफा फलन की जड़ें

सटीक जड़ें

जड़ों के परिमाण पर ऊपरी सीमा

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल

पुनरावृत्ति

द्विचर (दो चर) द्विघात फलन

न्यूनतम/अधिकतम

यह भी देखें

संदर्भ

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द्विघात फलन: Difference between revisions

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गुणांक

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चर

एक चर स्थितियां

द्विभाजित स्थितियां

एक अविभाजित द्विघात फलन के रूप

यूनिवेरिएट फलन का ग्राफ़

वर्टेक्स

अधिकतम और न्यूनतम अंक

एकतरफा फलन की जड़ें

सटीक जड़ें

जड़ों के परिमाण पर ऊपरी सीमा

एक अविभाजित द्विघात फलन का वर्गमूल

पुनरावृत्ति

द्विचर (दो चर) द्विघात फलन

न्यूनतम/अधिकतम

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