G2 (गणित): Difference between revisions

Revision as of 13:16, 7 March 2023

गणित में ,G₂ तीन सरल झूठ समूहों (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके झूठे बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2},$ साथ ही साथ कुछ बीजगणितीय समूह है। वे पाँच असाधारण सरल झूठ समूहों में से सबसे छोटे हैं। G₂ का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो मौलिक प्रतिनिधित्व हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है।

G₂ का संक्षिप्त रूप को ऑक्टोनियन बीजगणितक े ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को उसके 8-आयामी वास्तविक प्रतिनिधित्व spinor समूह प्रतिनिधित्व (एक स्पिन प्रतिनिधित्व) में संरक्षित करता है।

इतिहास

झूठ बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$ , सबसे छोटा असाधारण साधारण झूठ बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले साधारण झूठ बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, विल्हेम हत्या ने फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ) को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी साधारण झूठ बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं ${\mathfrak {g}}_{2}$ .^[1] 1893 में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । $\mathbb {C} ^{5}$ एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$ अतिसूक्ष्म सममिति के रूप में प्रकट होता है।^[2] उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी इसी बात पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण के साथ जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना लुढ़कता है।^[3]^[4] 1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G₂ के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।^[5] 1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल झूठ समूह है।^[6] 1914 में उन्होंने कहा कि यह G₂का सघन वास्तविक रूप है। ^[7] पुरानी किताबों और पत्रों में, G₂ को कभी-कभी E₂ द्वारा निरूपित किया जाता है।

वास्तविक रूप

इस रूट प्रणाली से जुड़े 3 सरल वास्तविक लाई बीजगणित हैं:

जटिल लाई बीजगणित G₂ के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G₂ का कॉम्पैक्ट रूप है।
सघन रूप का झूठ बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है SU(2) × SU(2)/(−1,−1) है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है।

बीजगणित

डाइकिन आरेख और कार्टन मैट्रिक्स

जी के लिए डायनकिन आरेख₂ is given by जी 2 का डायकिन आरेख.

इसका कार्टन मैट्रिक्स है:

[\begin{array}{rr}  \end{array}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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 == इतिहास ==
-झूठ बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math>, सबसे छोटा असाधारण सरल झूठ बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले सरल झूठ बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, [[ विल्हेम हत्या ]] ने [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]] को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी सरल झूठ बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं <math>\mathfrak{g}_2</math>.<ref>{{cite journal
+झूठ बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math>, सबसे छोटा असाधारण साधारण झूठ बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले साधारण झूठ बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, [[ विल्हेम हत्या ]] ने [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]] को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी साधारण झूठ बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं <math>\mathfrak{g}_2</math>.<ref>{{cite journal
   | last = Agricola | first = Ilka | author-link = Ilka Agricola
   | issue = 8
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   | volume = 55
   | year = 2008}}</ref>
-में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से लैस है - जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का एक सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math> अनंत समरूपता के रूप में प्रकट होता है।<ref>{{cite journal|author=Élie Cartan|title=परिमित और सतत सरल समूहों की संरचना पर|journal=C. R. Acad. Sci.|volume=116|year=1893|pages=784–786}}</ref> उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी यही बात देखी। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के कॉन्फ़िगरेशन का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण होता है जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना रोल करता है।<ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the "rolling distribution" | author = Gil Bor and Richard Montgomery |journal =L'Enseignement Mathématique|volume =55|year=2009|pages=157–196|doi=10.4171/lem/55-1-8|arxiv=math/0612469| s2cid = 119679882 }}</ref><ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the rolling ball | author = John Baez and John Huerta |arxiv=1205.2447|journal =Trans. Amer. Math. Soc.|volume =366| issue = 10 |year=2014|pages=5257–5293|doi=10.1090/s0002-9947-2014-05977-1}}</ref>
+में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का  सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math> अतिसूक्ष्म सममिति के रूप में प्रकट होता है।<ref>{{cite journal|author=Élie Cartan|title=परिमित और सतत सरल समूहों की संरचना पर|journal=C. R. Acad. Sci.|volume=116|year=1893|pages=784–786}}</ref> उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी इसी बात पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण के साथ जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना लुढ़कता है।<ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the "rolling distribution" | author = Gil Bor and Richard Montgomery |journal =L'Enseignement Mathématique|volume =55|year=2009|pages=157–196|doi=10.4171/lem/55-1-8|arxiv=math/0612469| s2cid = 119679882 }}</ref><ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the rolling ball | author = John Baez and John Huerta |arxiv=1205.2447|journal =Trans. Amer. Math. Soc.|volume =366| issue = 10 |year=2014|pages=5257–5293|doi=10.1090/s0002-9947-2014-05977-1}}</ref>
-में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा जी के जटिल रूप में संरक्षित है।<sub>2</sub>.<ref>{{cite journal|author=Friedrich Engel|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना|journal=Leipz. Ber.|volume=52|year=1900|pages=63–76,220–239}}</ref>
+में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub>  के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।<ref>{{cite journal|author=Friedrich Engel|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना|journal=Leipz. Ber.|volume=52|year=1900|pages=63–76,220–239}}</ref>
-में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल झूठ समूह है।<ref>{{cite book|author=Élie Cartan|chapter= Nombres complexes|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year= 1908|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G का सघन वास्तविक रूप है<sub>2</sub>.<ref>{{citation|author=Élie Cartan|title=Les groupes reels simples finis et continus|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=31|year=1914|pages=255–262}}</ref>
+में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल झूठ समूह है।<ref>{{cite book|author=Élie Cartan|chapter= Nombres complexes|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year= 1908|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G<sub>2</sub>का सघन वास्तविक रूप है। <ref>{{citation|author=Élie Cartan|title=Les groupes reels simples finis et continus|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=31|year=1914|pages=255–262}}</ref>
-पुरानी किताबों और पत्रों में, जी<sub>2</sub> कभी-कभी ई द्वारा चिह्नित किया जाता है<sub>2</sub>.
+पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी  E<sub>2</sub> द्वारा निरूपित किया जाता है।
 == वास्तविक रूप ==
-इस रूट सिस्टम से जुड़े 3 सरल रियल लाई बीजगणित हैं:
+इस रूट प्रणाली से जुड़े 3 सरल वास्तविक लाई बीजगणित हैं:
-*जटिल लाई बीजगणित जी का अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित<sub>2</sub> इसका आयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबद्ध समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G का कॉम्पैक्ट रूप है<sub>2</sub>.
+*जटिल लाई बीजगणित G<sub>2</sub> के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G<sub>2</sub> का कॉम्पैक्ट रूप है।
 *सघन रूप का झूठ बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
-* गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}}. इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो बस जुड़ा हुआ है।
+* गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}} है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है।
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