प्रचुर संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 17:35, 28 June 2023

भोजनालय की छड़ों के साथ, संख्या 12 की प्रचुरता का प्रदर्शन

संख्या सिद्धांत में, प्रचुर संख्या या अत्यधिक संख्या एक संख्या होती है जिसके लिए इसके उचित विभाजक का योग संख्या से अधिक होता है। पूर्णांक 12 प्रथम प्रचुर संख्या है। कुल 16 के लिए इसके उचित भाजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं। जिस राशि से योग संख्या से अधिक है वह बहुतायत है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 में 4 की बहुतायत है।

परिभाषा

संख्या n जिसके लिए भाजकों का योग σ(n) > 2n, या, समकक्ष, उचित विभाजकों का योग (या विभाज्य योग) s(n) > n' है।

बहुतायत σ(n) - 2n (या s(n) - n) मान है।

उदाहरण

प्रथम 28 प्रचुर संख्याएँ हैं:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108 , 112, 114, 120, ... (sequence A005101 in the OEIS).

उदाहरण के लिए, 24 के उचित विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, और 12 हैं। जिनका योग 36 है, क्योंकि 36 24 से अधिक है, संख्या 24 प्रचुर मात्रा में है। इसकी बहुतायत 36 − 24 = 12 है।

गुण

सबसे अल्प विषम प्रचुर संख्या 945 है।
सबसे अल्प प्रचुर संख्या जो 2 या 3 से विभाज्य नहीं है, 5391411025 है जिसके विशिष्ट प्रमुख कारक 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं (sequence A047802 in the OEIS). 2005 में इयानुची द्वारा दिए गए एल्गोरिदम दिखाता है, कि कैसे सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या की जानकरी प्राप्त करें, जो प्रथम k अभाज्य संख्या से विभाज्य न हो। ।^[1] यदि $A(k)$ सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो प्रथम के अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है तत्पश्चात सभी के लिए $\epsilon >0$ हमारे निकट है।

(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }

पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए है।

पूर्ण संख्या का प्रत्येक गुणक (स्वयं पूर्ण संख्या को त्यागकर) प्रचुर मात्रा में होता है।^[2] उदाहरण के लिए, 6 से अधिक 6 का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में है क्योंकि $1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$ है।
प्रचुर संख्या का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में होता है।^[2] उदाहरण के लिए, 20 का प्रत्येक गुणक (स्वयं 20 सहित) प्रचुर मात्रा में है क्योंकि ${\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$ है।
फलस्वरूप, अपरिमित रूप से अनेक सम और विषम संख्याएँ प्रचुर संख्याएँ विद्यमान हैं।

इसके अतिरिक्त, प्रचुर मात्रा में संख्याओं के सेट में गैर-शून्य प्राकृतिक घनत्व होता है।^[3] मार्क डेलिग्लिस ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्या और पूर्ण संख्या के सेट का प्राकृतिक घनत्व 0.2474 और 0.2480 के मध्य है।^[4]

प्रचुर संख्या जो एक प्रचुर संख्या या पूर्ण संख्या का गुणक नहीं है (अर्थात इसके सभी उचित विभाजक कम हैं) आदिम प्रचुर संख्या कहलाती है।
बहुतायत संख्या जिसकी बहुतायत किसी भी कम संख्या से अधिक है, अत्यधिक प्रचुर संख्या कहलाती है, और जिसकी सापेक्ष बहुतायत (अर्थात s(n)/n ) किसी भी कम संख्या से अधिक होती है, उसे अतिप्रचुर संख्या कहा जाता है।
20161 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को दो प्रचुर संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।^[5]
प्रचुर संख्या जो अर्धपूर्ण संख्या नहीं है, एक विचित्र संख्या कहलाती है।^[6] प्रचुर मात्रा में 1 के साथ प्रचुर संख्या को अर्धपूर्ण संख्या कहा जाता है, चूंकि अभी तक कोई भी नहीं मिला है।
प्रत्येक प्रचुर संख्या या तो पूर्ण संख्या या आदिम प्रचुर संख्या का गुणक है।

संबंधित अवधारणाएं

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या के समान होता है (जैसे 6 और 28) पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं, जबकि वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या से कम होता है, अपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। निकोमाचस ने स्वयं अंकगणित के परिचय (लगभग 100 ईस्वी) में संख्याओं का प्रथम समान ज्ञात वर्गीकरण कम, पूर्ण या प्रचुर मात्रा में किया गया था, जिसमें अत्यधिक अंगों वाले विकृत जानवरों के जैसे प्रचुर संख्या का वर्णन किया गया था।

n का 'बहुतायत सूचकांक' σ(n)/n का अनुपात है।^[7] भिन्न संख्याएँ n₁, n₂, ... (चाहे प्रचुर मात्रा में हो या नहीं) बहुतायत सूचकांक के साथ अनुकूल संख्याएं कहलाती हैं।

कम से कम संख्या n का अनुक्रम (a_k) ऐसा है, कि जैसे σ(n) > kn, जिसमें a₂ = 12 प्रथम प्रचुर संख्या से मेल खाता है, अत्यधिक तीव्रता से बढ़ता है (sequence A134716 in the OEIS)।

बहुतायत सूचकांक 3 से अधिक के साथ सबसे अल्प विषम पूर्णांक 1018976683725 = 3³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 है।

^[8]यदि p = (p₁, ..., p_n) अभाज्य संख्याओं की सूची है, तो 'p' को प्रचुर मात्रा में कहा जाता है, यदि 'p' में केवल संख्याओं से बना कोई पूर्णांक प्रचुर मात्रा में हो। इसके लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि p_i/(p_i − 1) का गुणनफल > 2 हो।^[9]

संदर्भ

↑ D. Iannucci (2005), "On the smallest abundant number not divisible by the first k primes", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, 12 (1): 39–44
↑ ^2.0 ^2.1 Tattersall (2005) p.134
↑ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). भाजक. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.
↑ Deléglise, Marc (1998). "प्रचुर मात्रा में पूर्णांकों के घनत्व की सीमा". Experimental Mathematics. 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A048242 (Numbers that are not the sum of two abundant numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Tattersall (2005) p.144
↑ Laatsch, Richard (1986). "पूर्णांकों की बहुतायत को मापना". Mathematics Magazine. 59 (2): 84–92. doi:10.2307/2690424. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.
↑ For smallest odd integer k with abundancy index exceeding n, see Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A119240 (Least odd number k such that sigma(k)/k >= n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
↑ Friedman, Charles N. (1993). "विभाजकों और मिस्र के अंशों का योग". Journal of Number Theory. 44 (3): 328–339. doi:10.1006/jnth.1993.1057. MR 1233293. Zbl 0781.11015.

Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.

बाहरी संबंध

[1] D. Iannucci (2005), "On the smallest abundant number not divisible by the first k primes", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, 12 (1): 39–44

[Tat134-2] 2.0 ^2.1 Tattersall (2005) p.134

[HT95-3] Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald (1988). भाजक. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 90. Cambridge: Cambridge University Press. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.

[Del1998-4] Deléglise, Marc (1998). "प्रचुर मात्रा में पूर्णांकों के घनत्व की सीमा". Experimental Mathematics. 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.

[5] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A048242 (Numbers that are not the sum of two abundant numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[Tat144-6] Tattersall (2005) p.144

[7] Laatsch, Richard (1986). "पूर्णांकों की बहुतायत को मापना". Mathematics Magazine. 59 (2): 84–92. doi:10.2307/2690424. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.

[8] For smallest odd integer k with abundancy index exceeding n, see Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A119240 (Least odd number k such that sigma(k)/k >= n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[9] Friedman, Charles N. (1993). "विभाजकों और मिस्र के अंशों का योग". Journal of Number Theory. 44 (3): 328–339. doi:10.1006/jnth.1993.1057. MR 1233293. Zbl 0781.11015.

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 {{short description|Number that is less than the sum of its proper divisors}}
-[[File:Abundant number Cuisenaire rods 12.png|thumb|275px|भोजनालय की छड़ों के साथ, संख्या 12 की प्रचुरता का प्रदर्शन]][[संख्या सिद्धांत]] में, एक प्रचुर संख्या या अत्यधिक संख्या एक संख्या होती है जिसके लिए इसके [[उचित विभाजक]] का योग संख्या से अधिक होता है। पूर्णांक 12 पहली प्रचुर संख्या है। कुल 16 के लिए इसके उचित भाजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं। जिस राशि से योग संख्या से अधिक है वह बहुतायत है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 में 4 की बहुतायत है।
+[[File:Abundant number Cuisenaire rods 12.png|thumb|275px|भोजनालय की छड़ों के साथ, संख्या 12 की प्रचुरता का प्रदर्शन]][[संख्या सिद्धांत]] में, प्रचुर संख्या या अत्यधिक संख्या एक संख्या होती है जिसके लिए इसके [[उचित विभाजक]] का योग संख्या से अधिक होता है। पूर्णांक 12 प्रथम प्रचुर संख्या है। कुल 16 के लिए इसके उचित भाजक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं। जिस राशि से योग संख्या से अधिक है वह बहुतायत है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 में 4 की बहुतायत है।
 == परिभाषा ==
-एक संख्या ''n'' जिसके लिए ''योग'' ''का'' ''भाजक'' विभाजक फलन|''σ''(''n'') > 2''n'', या, समकक्ष, उचित विभाजकों का योग (या विभाज्य योग) ''s''(''n'') > ''n'
+संख्या ''n'' जिसके लिए भाजकों का योग ''σ''(''n'') > 2''n'', या, समकक्ष, उचित विभाजकों का योग (या विभाज्य योग) ''s''(''n'') > ''n' है।
-बहुतायत मूल्य है (गणित) ''σ''(''n'') - ''2n'' (या ''s''(''n'') - ''n'')।
+बहुतायत ''σ''(''n'') - ''2n'' (या ''s''(''n'') - ''n'') मान है।
 == उदाहरण ==
-पहले 28 प्रचुर संख्याएँ हैं:
+प्रथम 28 प्रचुर संख्याएँ हैं:
 : 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108 , 112, 114, 120, ... {{OEIS|id=A005101}}.
-उदाहरण के लिए, 24 के उचित विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, और 12 हैं, जिनका योग 36 है। क्योंकि 36 24 से अधिक है, संख्या 24 प्रचुर मात्रा में है। इसकी बहुतायत 36 − 24 = 12 है।
+उदाहरण के लिए, 24 के उचित विभाजक 1, 2, 3, 4, 6, 8, और 12 हैं। जिनका योग 36 है, क्योंकि 36 24 से अधिक है, संख्या 24 प्रचुर मात्रा में है। इसकी बहुतायत 36 − 24 = 12 है।
 == गुण ==
-*सबसे छोटी विषम प्रचुर संख्या 945 है।
+*सबसे अल्प विषम प्रचुर संख्या 945 है।
-*2 या 3 से विभाज्य न होने वाली सबसे छोटी प्रचुर संख्या 5391411025 है जिसके विशिष्ट प्रमुख कारक 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं {{OEIS|id=A047802}}. 2005 में इयानुची द्वारा दिए गए एक एल्गोरिदम से पता चलता है कि पहले के [[अभाज्य संख्या]]ओं से विभाजित न होने वाली सबसे छोटी प्रचुर मात्रा में संख्या कैसे प्राप्त करें।<ref>{{citation|author=D. Iannucci|title=On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes|journal=[[Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]|volume=12|issue=1|year=2005|pages=39–44|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms/1113318127}}</ref> अगर <math>A(k)</math> सबसे छोटी प्रचुर संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो पहले के अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है फिर सभी के लिए <math>\epsilon>0</math> अपने पास
+*सबसे अल्प प्रचुर संख्या जो 2 या 3 से विभाज्य नहीं है, 5391411025 है जिसके विशिष्ट प्रमुख कारक 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं {{OEIS|id=A047802}}. 2005 में इयानुची द्वारा दिए गए एल्गोरिदम दिखाता है, कि कैसे सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या की जानकरी प्राप्त करें, जो प्रथम ''k'' [[अभाज्य संख्या]] से विभाज्य न हो। ।<ref>{{citation|author=D. Iannucci|title=On the smallest abundant number not divisible by the first ''k'' primes|journal=[[Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]|volume=12|issue=1|year=2005|pages=39–44|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bbms/1113318127}}</ref> यदि <math>A(k)</math> सबसे अल्प प्रचुर मात्रा में संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो प्रथम के अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है तत्पश्चात सभी के लिए <math>\epsilon>0</math> हमारे निकट है।
-::<math> (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\ln k)^{2+\epsilon} </math> : पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए।
+::<math> (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}<\ln A(k)<(1+\epsilon)(k\ln k)^{2+\epsilon} </math>
-*एक पूर्ण संख्या का प्रत्येक गुणक (स्वयं पूर्ण संख्या को छोड़कर) प्रचुर मात्रा में होता है।<ref name=Tat134>Tattersall (2005) p.134</ref> उदाहरण के लिए, 6 से अधिक 6 का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में है क्योंकि <math>1 + \tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} = n +1.</math>
+::पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए है।
-*प्रचुर संख्या का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में होता है।<ref name=Tat134/>  उदाहरण के लिए, 20 का प्रत्येक गुणक (स्वयं 20 सहित) प्रचुर मात्रा में है क्योंकि <math>\tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{4} + \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{10} + \tfrac{n}{20}= n + \tfrac{n}{10}.</math>
+*पूर्ण संख्या का प्रत्येक गुणक (स्वयं पूर्ण संख्या को त्यागकर) प्रचुर मात्रा में होता है।<ref name=Tat134>Tattersall (2005) p.134</ref> उदाहरण के लिए, 6 से अधिक 6 का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में है क्योंकि <math>1 + \tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} = n +1.</math> है।
+*प्रचुर संख्या का प्रत्येक गुणज प्रचुर मात्रा में होता है।<ref name=Tat134/>  उदाहरण के लिए, 20 का प्रत्येक गुणक (स्वयं 20 सहित) प्रचुर मात्रा में है क्योंकि <math>\tfrac{n}{2} + \tfrac{n}{4} + \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{10} + \tfrac{n}{20}= n + \tfrac{n}{10}.</math> है।
 * फलस्वरूप, अपरिमित रूप से अनेक [[सम और विषम संख्याएँ]] प्रचुर संख्याएँ विद्यमान हैं।
-[[File:Proportion of abundant numbers.svg|thumb|होने देना <math>a(n)</math> प्रचुर मात्रा में संख्या से अधिक न हो <math>n</math>. टुकड़ा <math>a(n)/n</math> के लिए <math>n < 10^6</math> (साथ <math>n</math> लॉग-स्केल्ड)]]*इसके अलावा, प्रचुर मात्रा में संख्याओं के सेट में गैर-शून्य [[प्राकृतिक घनत्व]] होता है।<ref name=HT95>{{cite book | zbl=0653.10001 | last1=Hall | first1=Richard R. | last2= Tenenbaum | first2=Gérald | author2-link=Gérald Tenenbaum | title=भाजक| series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=90 | location =Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=978-0-521-34056-4 | page=95 }}</ref> मार्क डेलिग्लिस ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्या और पूर्ण संख्या के सेट का प्राकृतिक घनत्व 0.2474 और 0.2480 के बीच है।<ref name=Del1998>{{cite journal | first=Marc | last=Deléglise | title= प्रचुर मात्रा में पूर्णांकों के घनत्व की सीमा| journal=Experimental Mathematics | volume=7 | issue=2 | year=1998 | pages=137–143 | url= http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 | mr=1677091 | zbl=0923.11127 | issn=1058-6458 | doi=10.1080/10586458.1998.10504363| citeseerx = 10.1.1.36.8272 }}</ref>
-* एक प्रचुर संख्या जो एक प्रचुर संख्या या पूर्ण संख्या का गुणक नहीं है (अर्थात इसके सभी उचित विभाजक कम हैं) एक आदिम प्रचुर संख्या कहलाती है
+* इसके अतिरिक्त, प्रचुर मात्रा में संख्याओं के सेट में गैर-शून्य [[प्राकृतिक घनत्व]] होता है।<ref name="HT95">{{cite book | zbl=0653.10001 | last1=Hall | first1=Richard R. | last2= Tenenbaum | first2=Gérald | author2-link=Gérald Tenenbaum | title=भाजक| series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=90 | location =Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1988 | isbn=978-0-521-34056-4 | page=95 }}</ref> मार्क डेलिग्लिस ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्या और पूर्ण संख्या के सेट का प्राकृतिक घनत्व 0.2474 और 0.2480 के मध्य है।<ref name="Del1998">{{cite journal | first=Marc | last=Deléglise | title= प्रचुर मात्रा में पूर्णांकों के घनत्व की सीमा| journal=Experimental Mathematics | volume=7 | issue=2 | year=1998 | pages=137–143 | url= http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515661 | mr=1677091 | zbl=0923.11127 | issn=1058-6458 | doi=10.1080/10586458.1998.10504363| citeseerx = 10.1.1.36.8272 }}</ref>
-* एक बहुतायत संख्या जिसकी बहुतायत किसी भी कम संख्या से अधिक है, अत्यधिक प्रचुर संख्या कहलाती है, और जिसकी सापेक्ष बहुतायत (यानी s(n)/n ) किसी भी कम संख्या से अधिक होती है, उसे अतिप्रचुर संख्या कहा जाता है
+* प्रचुर संख्या जो एक प्रचुर संख्या या पूर्ण संख्या का गुणक नहीं है (अर्थात इसके सभी उचित विभाजक कम हैं) आदिम प्रचुर संख्या कहलाती है।
+* बहुतायत संख्या जिसकी बहुतायत किसी भी कम संख्या से अधिक है, अत्यधिक प्रचुर संख्या कहलाती है, और जिसकी सापेक्ष बहुतायत (अर्थात s(n)/n ) किसी भी कम संख्या से अधिक होती है, उसे अतिप्रचुर संख्या कहा जाता है।
 *20161 से बड़े प्रत्येक [[पूर्णांक]] को दो प्रचुर संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A048242|name=Numbers that are not the sum of two abundant numbers}}</ref>
-*एक प्रचुर संख्या जो एक अर्धपूर्ण संख्या नहीं है, एक [[अजीब संख्या]] कहलाती है।<ref name=Tat144>Tattersall (2005) p.144</ref> प्रचुर मात्रा में 1 के साथ एक प्रचुर संख्या को अर्धपूर्ण संख्या कहा जाता है, हालांकि अभी तक कोई भी नहीं मिला है।
+*प्रचुर संख्या जो अर्धपूर्ण संख्या नहीं है, एक [[अजीब संख्या|विचित्र संख्या]] कहलाती है।<ref name="Tat144">Tattersall (2005) p.144</ref> प्रचुर मात्रा में 1 के साथ प्रचुर संख्या को अर्धपूर्ण संख्या कहा जाता है, चूंकि अभी तक कोई भी नहीं मिला है।
-* प्रत्येक प्रचुर संख्या या तो एक पूर्ण संख्या या एक आदिम प्रचुर संख्या का गुणक है।
+* प्रत्येक प्रचुर संख्या या तो पूर्ण संख्या या आदिम प्रचुर संख्या का गुणक है।
 == संबंधित अवधारणाएं ==
 {{Euler_diagram_numbers_with_many_divisors.svg}}
-वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या के बराबर होता है (जैसे 6 और 28) पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं, जबकि वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या से कम होता है, अपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। संख्याओं का पहला ज्ञात वर्गीकरण कम, पूर्ण या प्रचुर मात्रा में [[निकोमाचस]] द्वारा अपने अंकगणित के परिचय (लगभग 100 ईस्वी) में किया गया था, जिसमें बहुत अधिक अंगों वाले विकृत जानवरों की तरह प्रचुर संख्या का वर्णन किया गया था।
+वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या के समान होता है (जैसे 6 और 28) पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं, जबकि वे संख्याएँ जिनके उचित गुणनखंडों का योग स्वयं संख्या से कम होता है, अपूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। [[निकोमाचस]] ने स्वयं अंकगणित के परिचय (लगभग 100 ईस्वी) में संख्याओं का प्रथम समान ज्ञात वर्गीकरण कम, पूर्ण या प्रचुर मात्रा में किया गया था, जिसमें अत्यधिक अंगों वाले विकृत जानवरों के जैसे प्रचुर संख्या का वर्णन किया गया था।
+n का 'बहुतायत सूचकांक' σ(n)/n का अनुपात  है।<ref>{{cite journal | last=Laatsch | first=Richard | title=पूर्णांकों की बहुतायत को मापना| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=59 | number=2 | pages=84–92 | year=1986 | issn=0025-570X | zbl=0601.10003 |jstor=2690424 |mr=0835144 | doi=10.2307/2690424}}</ref> भिन्न संख्याएँ ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, ... (चाहे प्रचुर मात्रा में हो या नहीं) बहुतायत सूचकांक के साथ अनुकूल संख्याएं कहलाती हैं।
+कम से कम संख्या n का अनुक्रम (''a<sub>k</sub>'') ऐसा है, कि जैसे σ(n) > kn, जिसमें a<sub>2</sub> = 12 प्रथम प्रचुर संख्या से मेल खाता है, अत्यधिक तीव्रता से बढ़ता है {{OEIS|id=A134716}}।
-n का 'बहुतायत सूचकांक' अनुपात σ(n)/n है।<ref>{{cite journal | last=Laatsch | first=Richard | title=पूर्णांकों की बहुतायत को मापना| journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=59 | number=2 | pages=84–92 | year=1986 | issn=0025-570X | zbl=0601.10003 |jstor=2690424 |mr=0835144 | doi=10.2307/2690424}}</ref> भिन्न संख्याएँ n<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ... (चाहे प्रचुर मात्रा में हो या नहीं) एक ही बहुतायत सूचकांक के साथ अनुकूल संख्याएं कहलाती हैं।
+बहुतायत सूचकांक 3 से अधिक के साथ सबसे अल्प विषम पूर्णांक 1018976683725 = 3<sup>3</sup> × 5<sup>2</sup> × 7<sup>2</sup> × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 है।
-अनुक्रम (अ़<sub>''k''</sub>) कम से कम संख्या n जैसे कि σ(n) > kn, जिसमें a<sub>2</sub> = 12 पहली प्रचुर संख्या से मेल खाता है, बहुत तेज़ी से बढ़ता है {{OEIS|id=A134716}}.
+<ref>For smallest odd integer ''k'' with abundancy index exceeding ''n'', see {{Cite OEIS|sequencenumber=A119240|name=Least odd number ''k'' such that sigma(k)/k >= n.}}</ref>यदि '''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') अभाज्य संख्याओं की सूची है, तो '<nowiki/>'''p'''<nowiki/>' को प्रचुर मात्रा में कहा जाता है, यदि ''''p'''<nowiki/>' में केवल संख्याओं से बना कोई पूर्णांक प्रचुर मात्रा में हो। इसके लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि ''p<sub>i</sub>''/(''p<sub>i</sub>'' − 1) का गुणनफल > 2 हो।<ref>{{cite journal | title = विभाजकों और मिस्र के अंशों का योग| last = Friedman | first = Charles N. | journal = [[Journal of Number Theory]] | year = 1993 | volume = 44 | pages = 328–339 | mr = 1233293 | zbl = 0781.11015 | doi = 10.1006/jnth.1993.1057 | issue = 3 | doi-access = free }}</ref>
-बहुतायत सूचकांक 3 से अधिक के साथ सबसे छोटा विषम पूर्णांक 1018976683725 = 3 है<sup>3</sup> × 5<sup>2</sup> × 7<sup>2</sup> × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29।<ref>For smallest odd integer ''k'' with abundancy index exceeding ''n'', see {{Cite OEIS|sequencenumber=A119240|name=Least odd number ''k'' such that sigma(k)/k >= n.}}</ref>
-अगर पी = (''पी''<sub>1</sub>, ..., पी<sub>n</sub>) प्राइम्स की एक सूची है, तो 'पी' को प्रचुर मात्रा में कहा जाता है यदि 'पी' में केवल प्राइम्स से बना कुछ पूर्णांक प्रचुर मात्रा में है। इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि p का गुणनफल<sub>i</sub>/(पी<sub>i</sub>− 1) होना > 2।<ref>{{cite journal | title = विभाजकों और मिस्र के अंशों का योग| last = Friedman | first = Charles N. | journal = [[Journal of Number Theory]] | year = 1993 | volume = 44 | pages = 328–339 | mr = 1233293 | zbl = 0781.11015 | doi = 10.1006/jnth.1993.1057 | issue = 3 | doi-access = free }}</ref>
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 {{Divisor classes}}
 {{Classes of natural numbers}}
-[[Category: अंकगणितीय गतिकी]] [[Category: भाजक समारोह]] [[Category: पूर्णांक अनुक्रम]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:अंकगणितीय गतिकी]]
+[[Category:पूर्णांक अनुक्रम]]
+[[Category:भाजक समारोह]]

v t e पूर्णांक के विभाजन-आधारित सेट
अवलोकन	पूर्णांक कारक भाजक एकात्मक भाजक भाजक समारोह मुख्य कारक है अंकगणित का मौलिक प्रमेय
फैक्टराइजेशन फार्म	प्राइम समग्र सेमीप्रीम प्रोनिक Sphenic स्क्वायर-फ्री शक्तिशाली सही शक्ति Achilles चिकनी नियमित किसी न किसी असामान्य
विवश विभाजित रकम	परफेक्ट लगभग सही quasiperfect गुणा करें परफेक्ट हेमिपरफेक्ट हाइपरपरफेक्ट SuperPerFect एकात्मक पूर्ण सेमीपेरफेक्ट व्यावहारिक erdős -nynolas
कई विभाजकों के साथ	प्रचुर मात्रा में आदिम प्रचुर मात्रा में अत्यधिक प्रचुर मात्रा में सुपरबंडेंट colossally प्रचुर मात्रा में अत्यधिक समग्र बेहतर उच्च समग्र अजीब
विभाज्य अनुक्रम-संबंधित	अछूत सौहार्दपूर्ण ( ट्रिपल) मिलनसार बेटरोथेड
आधार-आश्रित	इक्विडिजिटल असाधारण मितव्ययी हर्षद पॉलीडिविबल स्मिथ
अन्य सेट	अंकगणित कमी फ्रेंडली एकान्त उदात्त हार्मोनिक डिविसर डेसकार्टेस Refactorable SuperPerFect

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