जनक फलन

गणित में, जनक फलन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को आकारनिष्ठ घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर कूटलेखन करने का एक तरीका (a_n) है। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक घात श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: जनक फलन को वस्तुतः एक फलन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर अनिश्चित रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनक फलन को पहली बार प्रस्तुत किया गया था। संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक घात श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार के जनक फलन हैं, जिनमें साधारण जनक फलन, घातांकी जनक फलन, लैम्बर्ट शृंखला, बेल शृंखला और डिरिचलेट शृंखला सम्मिलित हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनक फलन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के स्थान पर 1 पर प्रारम्भ करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। अनिश्चित x के संदर्भ में इन अभिव्यक्तियों में अंकगणितीय परिचालन सम्मिलित हो सकते हैं, x के संबंध में भिन्नता और संरचना (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य उत्पन्न कार्यों के साथ हैं; चूँकि ये संक्रियाएँ फलनों के लिए भी परिभाषित हैं, परिणाम x के फलन जैसा दिखाई देता है. वस्तुतः, बंद रूप अभिव्यक्ति की प्रायः एक फलन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसका मूल्यांकन x के (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है, और इसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला होती है; यह पदनाम "जनक फलन" की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान x के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसरण श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है। साथ ही, सभी व्यंजक जो x के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं, अर्थपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वे औपचारिक श्रंखला निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, x की ऋणात्मक और आंशिक घात ऐसे फलनों के उदाहरण हैं जिनके पास संगत औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है

किसी फलन के कार्यक्षेत्र से कोडोमेन तक प्रतिचित्रण के औपचारिक अर्थ में जनक फलन फलन नहीं हैं। जनक फलन को कभी-कभी उत्पादक शृंखला कहा जाता है, इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।

परिभाषाएँ

'जनक फलन एक यंत्र है जो कुछ हद तक एक बैग के समान होता है। बहुत सी छोटी वस्तुओं को अलग-अलग ले जाने के स्थान पर, जो लज्जाजनक हो सकता है, हम उन सभी को एक बैग में रख देते हैं, और फिर हमारे पास ले जाने के लिए केवल एक ही वस्तु होती है, बैग.

— जॉर्ज पोल्या, गणित और विश्वसनीय तर्क (1954)

जनक फलन एक अलगनी है जिस पर हम प्रदर्शन के लिए संख्याओं का एक क्रम लटकाते हैं.

— हर्बर्ट विल्फ, जनकफंक्शनोलॉजी (1994)

साधारण जनक फलन (OF)

अनुक्रम का सामान्य जनक फलन a_n है

$$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$$

जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः सामान्य जनन फलन के रूप में लिया जाता है।

अगर a_n एक असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है।

साधारण जनक फलन को कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी सरणी का सामान्य जनक फलन a_m,n (जहाँ n और m प्राकृतिक संख्याएँ हैं) है

$$G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.$$

घातीय जनक फलन (ईजीएफ)

किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन a_n है

$$\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

घातीय जनक फलन सामान्यतः संयुक्त गणना समस्याओं के लिए साधारण जनक फलन की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें वर्गीकृत किए गए वस्तुनिष्ठ सम्मिलित होते हैं। घातांकी जनक फलन का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम {f_n} लें जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध f_n+2 = f_n+1 + f_n को संतुष्ट करता है। संबंधित घातीय जनक फलन का रूप है

$$\operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}$$

और इसके व्युत्पादित को अवकलन समीकरण को संतुष्ट करने के लिए उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध के साथ प्रत्यक्ष अनुरूप के रूप में EF″(x) = EF′(x) + EF(x) आसानी से दिखाया जा सकता है। इस दृष्टि से, भाज्य शब्द n! व्युत्पादित संचालक को सामान्य करने के लिए केवल एक विपरीत-अवधि xⁿ है।

पोइसन जनक फलन

एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन a_n है

$$\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).$$

लैम्बर्ट श्रृंखला

Main article: लैम्बर्ट श्रृंखला

अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला a_n है

$$\operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.$$

घात श्रेणी विस्तार में लैम्बर्ट श्रृंखला गुणांक

$$b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)$$

पूर्णांकों के लिए n ≥ 1 भाजक योग से संबंधित हैं

$$b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.$$

मुख्य लेख संख्या सिद्धांत में विशेष अंकगणितीय कार्यों से संबंधित कई और शास्त्रीय, या कम से कम प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है।

लैम्बर्ट श्रृंखला में तालिका n 1 से प्रारम्भ होता है, 0 से नहीं, क्योंकि पहला पद अन्यथा अपरिभाषित होगा।

बेल श्रृंखला

एक क्रम की बेल श्रृंखला a_n एक अनिश्चित दोनों के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति x है और एक प्रधान p निम्न द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन (डीजीएफ)

औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला को प्रायः उत्पादक कार्यों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि वे कठोरता से औपचारिक घात श्रृंखला नहीं हैं। डिरिचलेट श्रृंखला एक अनुक्रम का कार्य a_n उत्पन्न करती है

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब a_n एक गुणन फलन है, जिस स्थिति में इसमें एक यूलर गुणनफल व्यंजक होता है फलन की बेल श्रृंखला के संदर्भ में

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.$$

अगर a_n एकडिरिचलेट चरित्र है तो इसके डिरिचलेट श्रृंखला जनक फलन को डाइरिचलेट एल-शृंखला कहा जाता है। उपरोक्त लैम्बर्ट श्रृंखला विस्तार और उनके डीजीएफ में गुणांक की जोड़ी के बीच भी हमारा संबंध है। अर्थात्, हम यह सिद्ध कर सकते हैं

$$[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}$$

अगर और केवल अगर

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),$$

जहाँ ζ(s) रीमैन जीटा फलन है।

बहुपद अनुक्रम जनक फलन

जनक फलन के विचार को अन्य वस्तुओं के अनुक्रमों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम द्वारा उत्पन्न होते हैं

$$e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}$$

जहाँ p_n(x) बहुपदों का एक क्रम है और f(t) एक निश्चित रूप का कार्य है। शेफ़र क्रम इसी तरह से उत्पन्न होते हैं। अधिक जानकारी के लिए मुख्य लेख सामान्यीकृत अपेल बहुपद देखें।

साधारण उत्पादन कार्य

सरल अनुक्रम जनक फलन के उदाहरण

बहुपद साधारण जनक फलन की एक विशेष स्तिथि है, जो परिमित अनुक्रमों के अनुरूप है, या समतुल्य अनुक्रम जो एक निश्चित बिंदु के बाद गायब हो जाते हैं। ये इस मायने में महत्वपूर्ण हैं कि कई परिमित अनुक्रमों को जनक फलन के रूप में उपयोगी रूप से व्याख्यायित किया जा सकता है, जैसे कि पॉइनकेयर बहुपद और अन्य।

एक मौलिक जनक फलन निरंतर अनुक्रम 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ..., का है जिसका साधारण जनक फलन गुणोत्तर श्रेणी है

$$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.$$

बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, 1 − x बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और यह जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर x⁰ 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम 1 − x घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है।

अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन x → ax ज्यामितीय प्रगति किसी भी स्थिरांक a के लिए जनक फलन 1, a, a², a³, ...देता है  :

$$\sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.$$

(समानता इस तथ्य से भी प्रत्यक्ष रूप से अनुसरण करती है कि बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार है।) विशेष रूप से,

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.$$

अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है , तो उदाहरण के लिए अनुक्रम 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... (जो रुक जाता है x, x³, x⁵, ...) को निम्न जनक फलन मिलता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.$$

आरंभिक जनक फलन का वर्ग करके, या इसके संबंध में दोनों पक्षों का अवकलज ज्ञात करके x और संचालन परिवर्ती n → n + 1 में बदलाव करता है, कोई देखता है कि गुणांक अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5, ... बनाते हैं, तो किसी के पास है

$$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},$$

और तीसरी घात के गुणांक के रूप में त्रिकोणीय संख्याएँ 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... हैं, जिसका कार्यकाल n द्विपद गुणांक (^{n + 2}
₂) है, ताकि

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.$$

अधिक सामान्यतः, किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए k और गैर-शून्य वास्तविक मान a, यह सच है कि

$$\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.$$

तब से

$$2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},$$

वर्ग संख्याओं के अनुक्रम 0, 1, 4, 9, 16, ... के लिए सामान्य जनक फलन द्विपद-गुणांक उत्पन्न करने वाले अनुक्रमों के रैखिक संयोजन द्वारा पा सकते हैं। }:

$$G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.$$

हम निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय श्रृंखला के व्युत्पादित के योग के रूप में वर्गों के इसी क्रम को उत्पन्न करने के लिए वैकल्पिक रूप से विस्तार भी कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\[4px]&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\[4px]&=x^{2}D^{2}\left[{\frac {1}{1-x}}\right]+xD\left[{\frac {1}{1-x}}\right]\\[4px]&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}$$

प्रेरण द्वारा, हम सकारात्मक पूर्णांक m ≥ 1 के लिए इसी तरह दिखा सकते हैं कि

$$n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},$$

जहाँ {ⁿ
_k} दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या और जहां जनक फलन को दर्शाता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},$$

ताकि हम उपरोक्त वर्ग स्तिथि में परिणाम को सामान्यीकृत करने वाली अभिन्न mth घात पर अनुरूप जनक फलन बना सकें। विशेष रूप से, चूंकि हम लिख सकते हैं

$${\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},$$

हम इसे प्राप्त करने के लिए स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित एक प्रसिद्ध परिमित योग सर्वसमिका लागू कर सकते हैं

$$\sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.$$

तर्कसंगत कार्य

Main article: रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम

एक अनुक्रम के सामान्य जनक फलन को एक तर्कसंगत फलन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक परिमित अंतर समीकरण द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है। यहाँ प्रतिमानिकल उदाहरण फलन तकनीकों को उत्पन्न करके फाइबोनैचि संख्याओं के लिए बिनेट के सूत्र को प्राप्त करना है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं

$$f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{l}(n)\rho _{l}^{n},$$

जहां पारस्परिक जड़ें, ρ_i ∈ ℂ, स्थिर अदिश हैं और जहाँ p_i(n) में एक बहुपद n सभी 1 ≤ i ≤ l के लिए है।

सामान्यतः, जनक फलन रूपांतरण हैडमार्ड उत्पाद और तर्कसंगत फलन के विकर्ण जनक फलन का उत्पादन करते हैं। इसी प्रकार यदि

$$F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}$$

एक द्विभाजित तर्कसंगत जनक फलन है, तो इसका संगत विकर्ण जनक फलन,

$$\operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},$$

बीजीय है। उदाहरण के लिए, अगर हम करते हैं

$$F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},$$

तब यह जनक फलन विकर्ण गुणांक जनक फलन सुप्रसिद्ध OF सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$\operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.$$

इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या समोच्च एकीकरण, जटिल अवशेष (जटिल विश्लेषण) लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष क्रमभंग द्वारा सम्मिलित है।

जनक फलन संचालन

गुणन से संवलन मिलता है

Main article: कॉची पदार्थ

साधारण जनक फलन का गुणन अनुक्रमों के असतत संवलन (कॉची उत्पाद) का उत्पादन करता है। उदाहरण के लिए, संचयी योग का क्रम (थोड़ा अधिक सामान्य यूलर-मैकलॉरिन सूत्र की तुलना में)