वलय सिद्धांत

बीजगणित में, वलय सिद्धांत वलयों (गणित) का अध्ययन है—बीजगणितीय संरचनाएं जिनमें जोड़ और गुणन परिभाषित हैं और पूर्णांकों के लिए परिभाषित उन संक्रियाओं के समान गुण हैं। वलय सिद्धांत वलयों की संरचना का अध्ययन करता है, बीजगणित का उनका प्रतिनिधित्व, या, अलग-अलग भाषा में, अनुखंड (वलय सिद्धांत), वलयों की विशेष कक्षाएं (समूह के वलय, विभाजन के वलय, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित), साथ ही गुणों की सरणी जो सिद्धांत के अन्दर और इसके अनुप्रयोगों के लिए, जैसे समरूप बीजगणित और बहुपद पहचान वलय, दोनों के लिए अनुकूल सिद्ध हुआ।

क्रमविनिमेय वलय गैर क्रमविनिमेय वाले की तुलना में बहुत उत्तम समझे जाते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, जो क्रमविनिमेय वलयों के कई प्राकृतिक उदाहरण प्रदान करते हैं, ने क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत के विकास को बहुत प्रेरित किया है, जो अब क्रमविनिमेय बीजगणित के नाम से आधुनिक गणित का प्रमुख क्षेत्र है। क्योंकि ये तीन क्षेत्र (बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और क्रमविनिमेय बीजगणित) इतने घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं कि सामान्यतः यह तय करना कठिन और अर्थहीन होता है कि कोई विशेष परिणाम किस क्षेत्र से संबंधित है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसज़ प्रमेय है जो बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक है, और इसे क्रमविनिमेय बीजगणित के संदर्भ में कहा और सिद्ध किया गया है। इसी प्रकार, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में कहा गया है, जो क्रमविनिमेय बीजगणित का भाग है, किन्तु इसके प्रमाण में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों के आन्तरिक परिणाम सम्मिलित हैं।

गैर-अनुवर्ती वलय अनुमान में अधिक भिन्न होते हैं, क्योंकि अधिक असामान्य व्यवहार उत्पन्न हो सकता है। चूँकि सिद्धांत अपने आप में विकसित हुआ है, नवीनतम प्रवृत्ति ने ज्यामितीय प्रचलन में गैर-अनुक्रमिक वलयों के कुछ वर्गों के सिद्धांत का निर्माण करके क्रमविनिमेय विकास को समानांतर करने का अनुरोध किया है जैसे कि वे (अस्तित्वहीन) 'गैर-अनुक्रमिक रिक्त स्थान पर फलन के वलय थे। यह प्रवृत्ति 1980 के दशक में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के विकास और क्वांटम समूहों की खोज के साथ प्रारंभ हुई। इसने गैर-अनुविन्यस्त वलयों विशेषकर गैर-अनुविनिमेय नोथेरियन वलयों की उत्तम समझ उत्पन्न की है।

वलय और मूलभूत अवधारणाओं और उनके गुणों की परिभाषा के लिए, वलय (गणित) देखें। वलय सिद्धांत में प्रयुक्त शब्दों की परिभाषाएं वलय सिद्धांत की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।

क्रमविनिमेय वलयों

Main article: क्रमविनिमेय बीजगणित

वलय को क्रमविनिमेय कहा जाता है यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है। क्रमविनिमेय वलय परिचित संख्या प्रणालियों के समान होता हैं, और क्रमविनिमेय वलय के लिए विभिन्न परिभाषाओं को पूर्णांकों के गुणों को औपचारिक रूप देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। बीजगणितीय ज्यामिति में क्रमविनिमेय वलय भी महत्वपूर्ण हैं। क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत में, संख्याओं को अधिकांश आदर्श (वलय सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और प्रधान आदर्श की परिभाषा अभाज्य संख्याओं के सार को पकड़ने की प्रयास करती है। अभिन्न डोमेन, गैर-तुच्छ क्रमविनिमेय वलय जहां कोई दो गैर-शून्य तत्व शून्य देने के लिए गुणा करते हैं, पूर्णांक की और गुण का सामान्यीकरण करते हैं और विभाज्यता का अध्ययन करने के लिए उचित क्षेत्र के रूप में कार्य करते हैं। प्रधान आदर्श डोमेन अभिन्न डोमेन हैं जिसमें प्रत्येक आदर्श को तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, जो पूर्णांकों द्वारा साझा की गई एक अन्य गुण है। यूक्लिडियन डोमेन अभिन्न डोमेन हैं जिनमें सबसे बड़ा सामान्य विभाजक किया जा सकता है। क्रमविनिमेय वलयों के महत्वपूर्ण उदाहरण बहुपद के वलयों और उनके कारक वलयों के रूप में बनाए जा सकते हैं। सारांश: यूक्लिडियन डोमेन ⊂ प्रमुख आदर्श डोमेन ⊂ अद्वितीय गुणनखंड डोमेन ⊂ अभिन्न डोमेन ⊂ क्रमविनिमेय वलय।

बीजगणितीय ज्यामिति

Main article: बीजगणितीय ज्यामिति

बीजगणितीय ज्यामिति कई प्रकार से क्रमविनिमेय बीजगणित की दर्पण प्रतिबिंब है। यह पत्राचार हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसज़ के साथ प्रारंभ हुआ जो बीजगणितीय विविधता के बिंदुओं के बीच एक-से-पत्राचार स्थापित करता है, और इसकी समन्वय वलय के अधिकतम आदर्शों को स्थापित करता है। इस पत्राचार को संबंधित क्रमविनिमेय वलयों के बीजगणितीय गुणों में बीजगणितीय प्रकारों के अधिकांश ज्यामितीय गुणों के अनुवाद (और सिद्ध करने) के लिए विस्तारित और व्यवस्थित किया गया है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने बीजगणितीय प्रकारों के सामान्यीकरण, योजना (गणित) का प्रारंभ करके इसे पूरा किया, जिसे किसी भी क्रमविनिमेय वलय से बनाया जा सकता है।

अधिक त्रुटिहीन रूप से क्रमविनिमेय वलय के वलय का वर्णक्रम इसके प्रमुख आदर्शों का स्थान है जो जरिस्की टोपोलॉजी से सुसज्जित है, और वलयों के शीफ (गणित) के साथ संवर्धित है। ये वस्तुएं एफ़िन योजनाएं हैं (एफ़ाइन प्रकारों का सामान्यीकरण), और सामान्य योजना तब साथ ग्लूइंग (विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा) प्राप्त की जाती है, ऐसी कई एफ़िन योजनाएं, एटलस (टोपोलॉजी) का चार्ट (टोपोलॉजी) को एक साथ ग्लूइंग करके कई गुना बनाने के तरीके के अनुरूप होती हैं।

गैरक्रमविनिमेय वलयों

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अक्रमानुक्रमिक वलय कई प्रकार से आव्यूह (गणित) के वलयों से मिलते जुलते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति के मॉडल के बाद, नवीनतम में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति को गैर-अनुक्रमिक वलयों के आधार पर परिभाषित करने का प्रयास किया गया है।

गैर-अनुवर्ती वलय और साहचर्य बीजगणित (अंगूठियां जो सदिश स्थान भी हैं) का अधिकांश अनुखंड के उनके श्रेणी सिद्धांत के माध्यम से अध्ययन किया जाता है। वलय पर अनुखंड (गणित) एबेलियन समूह (गणित) है जो वलय एंडोमोर्फिज्म की वलय के रूप में कार्य करता है, जिस प्रकार से क्षेत्र (गणित) के समान होता है (अभिन्न डोमेन जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व उलटा होता है) वेक्टर रिक्त स्थान पर कार्य करें। गैर-अनुक्रमिक वलय के उदाहरण वर्ग आव्यूह (गणित) के वलय या अधिक सामान्यतः एबेलियन समूहों या अनुखंड के एंडोमोर्फिज्म के वलय और मोनॉइड वलयों द्वारा दिए जाते हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

Main article: प्रतिनिधित्व सिद्धांत

प्रतिनिधित्व सिद्धांत गणित की शाखा है जो गैर-क्रमविनिमेय वलयों पर भारी पड़ता है। यह वेक्टर रिक्त स्थान के रैखिक परिवर्तनों के रूप में उनके तत्व (सेट सिद्धांत) का प्रतिनिधित्व करके सार बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, और अध्ययन करता है

इन अमूर्त बीजगणितीय संरचनाओं पर अनुखंड (गणित)। संक्षेप में, प्रतिनिधित्व अमूर्त बीजगणितीय वस्तु को आव्यूह (गणित) और आव्यूह जोड़ और आव्यूह गुणन के संदर्भ में बीजगणितीय संचालन द्वारा अपने तत्वों का वर्णन करके अधिक ठोस बनाता है, जो गैर-क्रमविनिमेय है। इस प्रकार के विवरण के लिए उत्तरदायी बीजगणितीय वस्तुओं में समूह (गणित), सहयोगी बीजगणित और झूठ बीजगणित सम्मिलित हैं। इनमें से सबसे प्रमुख (और ऐतिहासिक रूप से पहला) समूह प्रतिनिधित्व है, जिसमें समूह के तत्वों को व्युत्क्रम आव्यूह द्वारा इस प्रकार से दर्शाया जाता है कि समूह संचालन आव्यूह गुणन है।

कुछ प्रासंगिक प्रमेय

सामान्य

• वलय के लिए समरूपता प्रमेय
• नाकायमा की लेम्मा

संरचना प्रमेय

• आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय अर्धसरल वलय की संरचना निर्धारित करता है
• जैकबसन घनत्व प्रमेय प्राथमिक वलय की संरचना निर्धारित करता है
• गोल्डी का प्रमेय सेमीप्राइम आदर्श गोल्डी वलय की संरचना निर्धारित करता है
• ज़ारिस्की-सैमुअल प्रमेय क्रमविनिमेय प्रधान आदर्श वलय की संरचना निर्धारित करता है
• हॉपकिंस-लेविट्ज़की प्रमेय नोथेरियन वलय के लिए आर्टिनियन वलय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है
• मोरिटा सिद्धांत में प्रमेय निर्धारित होते हैं जब दो वलयों में समकक्ष अनुखंड श्रेणियां होती हैं
• कार्टन-ब्रेयर-हुआ प्रमेय विभाजन के वलय की संरचना पर अंतर्दृष्टि देता है
• वेडरबर्न की छोटी प्रमेय बताती है कि परिमित डोमेन (वलय सिद्धांत) क्षेत्र (गणित) हैं

अन्य

• स्कोलेम-नोथेर प्रमेय साधारण वलयों के स्वसमाकृतिकता की विशेषता बताता है

अंगूठियों की संरचनाएं और अपरिवर्तनीय

क्रमविनिमेय वलय का आयाम

Main article: आयाम सिद्धांत (बीजगणित)

इस खंड में, R क्रमविनिमेय वलय को दर्शाता है। R का क्रुल आयाम प्रधान आदर्शों की सभी श्रृंखलाओं की लंबाई n का सर्वोच्च है ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$. यह पता चला है कि बहुपद वलय $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ क्षेत्र पर k का आयाम n है। आयाम सिद्धांत के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि निम्नलिखित संख्याएं नोथेरियन स्थानीय वलय $(R,{\mathfrak {m}})$ के लिए मेल खाती हैं:

• R का क्रुल आयाम।
• जनरेटर की न्यूनतम संख्या ${\mathfrak {m}}$-प्राथमिक आदर्श।
• ग्रेडेड वलय का आयाम $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$ (समतुल्य रूप से, 1 प्लस इसके हिल्बर्ट बहुपद की मात्रा)।

क्रमविनिमेय वलय R को कैटेनरी वलय कहा जाता है यदि प्रधान आदर्शों के प्रत्येक जोड़े के लिए ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$, प्रधान आदर्शों की परिमित श्रृंखला उपस्थित है ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ यह इस अर्थ में अधिकतम है कि श्रृंखला में दो आदर्शों के बीच अतिरिक्त प्रधान आदर्श सम्मिलित करना असंभव है, और ऐसी सभी अधिकतम श्रृंखलाएँ ${\mathfrak {p}}$ और ${\mathfrak {p}}'$ समान लंबाई हो। व्यावहारिक रूप से अनुप्रयोगों में दिखाई देने वाले सभी नोथेरियन वलय कैटेनरी हैं। रैटलिफ ने सिद्ध किया कि नोएथेरियन लोकल अभिन्न डोमेन आर कैटेनरी है यदि और केवल यदि हर प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ के लिए,

$\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}$

जहाँ $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ की ${\mathfrak {p}}$ ऊँचाई (वलय सिद्धांत) है.

यदि R अभिन्न डोमेन है जो अंतिम रूप से उत्पन्न k-बीजगणित है, तो इसका आयाम k के ऊपर इसके अंशों के क्षेत्र की श्रेष्ठता की मात्रा है। यदि S क्रमविनिमेय वलय R का अभिन्न विस्तार है, तो S और R का आयाम समान है।

बारीकी से संबंधित अवधारणाएं गहराई (वलय सिद्धांत) और