फेजर: Difference between revisions

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{{short description|Complex number representing a particular sine wave}}
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{{other uses}} {{confused|phaser (disambiguation){{!}}phaser}}
[[Image:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|विशिष्ट के लिए श्रृंखला [[आरएलसी सर्किट]] और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण {{mvar|ω}}. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना [[जटिल विमान]]) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो [[वोल्टेज]] के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।]]भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू <ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|url-access=limited|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|url=https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl|url-access=limited|year=2000 |publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=[https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl/page/n134 124]|edition=2nd}}</ref>) [[साइन लहर]] का प्रतिनिधित्व करने वाली [[जटिल संख्या]] है जिसका [[आयाम]] ({{mvar|A}}), [[कोणीय आवृत्ति]] ({{mvar|ω}}), और चरण (तरंगें) ({{mvar|θ}}) [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह [[विश्लेषणात्मक संकेत]] नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref> और (पुराने पाठ्य में) सिनर <ref name="Hindmarsh2014"/> या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।<ref name="Hindmarsh2014">{{cite book|author=J. Hindmarsh|title=Electrical Machines & their Applications|year=1984|edition=4th|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4832-9492-6|page=58}}</ref>
{{redirect|जटिल आयाम|क्वांटम-मैकेनिकल अवधारणा|जटिल संभाव्यता आयाम}}
[[Image:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|विशिष्ट के लिए श्रृंखला [[आरएलसी सर्किट]] और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण {{mvar|ω}}. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना [[जटिल विमान]]) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो [[वोल्टेज]] के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।]]भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू <ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|url-access=limited|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|url=https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl|url-access=limited|year=2000 |publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=[https://archive.org/details/basicaccircuits00mscl/page/n134 124]|edition=2nd}}</ref>) [[साइन लहर]] का प्रतिनिधित्व करने वाली [[जटिल संख्या]] है जिसका [[आयाम]] ({{mvar|A}}), [[कोणीय आवृत्ति]] ({{mvar|ω}}), और चरण (तरंगें) ({{mvar|θ}}) [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह [[विश्लेषणात्मक संकेत]] नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref> और (पुराने ग्रंथों में) सिनर <ref name="Hindmarsh2014"/> या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।<ref name="Hindmarsh2014">{{cite book|author=J. Hindmarsh|title=Electrical Machines & their Applications|year=1984|edition=4th|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4832-9492-6|page=58}}</ref>
[[प्रत्यावर्ती धारा]] द्वारा संचालित [[विद्युत नेटवर्क]] में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)<ref name=":02">{{Cite book |last=Gross |first=Charles A. |title=Fundamentals of electrical engineering |date=2012 |publisher=CRC Press |others=Thaddeus Adam Roppel |isbn=978-1-4398-9807-9 |location=Boca Raton, FL |oclc=863646311}}</ref>{{Rp|page=53}} और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।
[[प्रत्यावर्ती धारा]] द्वारा संचालित [[विद्युत नेटवर्क]] में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)<ref name=":02">{{Cite book |last=Gross |first=Charles A. |title=Fundamentals of electrical engineering |date=2012 |publisher=CRC Press |others=Thaddeus Adam Roppel |isbn=978-1-4398-9807-9 |location=Boca Raton, FL |oclc=863646311}}</ref>{{Rp|page=53}} और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।


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कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को [[लाप्लास रूपांतरण]] के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref> चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।<ref name="YangLee2008"/>
कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को [[लाप्लास रूपांतरण]] के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref> चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।<ref name="YangLee2008"/>


[[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब समारोह <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]]
[[File:unfasor.gif|thumb|right|अंजीर 2. जब फलन <math>A \cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता है{{pi}}/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है {{math|1=''t'' = 0}} (और कम से {{math|1=''t'' = ''n'' 2''π''/''ω''}} के सभी [[पूर्णांक]] मानों के लिए {{mvar|n}}).]]


== संकेतन  ==
== संकेतन  ==
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<math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math>
<math display="block">A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,</math>
और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है:
और, अगर हम लेते हैं <math display="inline"> \theta_3 \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]</math>, तब <math>\theta_3</math> है:
* <math display="inline">\sgn(A_1 \sin(\theta_1)  + A_2 \sin(\theta_2)) \cdot \frac{\pi}{2},</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = 0,</math> साथ <math>\sgn</math> [[साइन समारोह]];
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* <math>\arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0</math>;
* <math>\arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 > 0</math>;
* <math>\pi + \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0</math>.
* <math>\pi + \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right),</math> अगर <math>A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 < 0</math>.
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इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ({{math|+''A''<sub>max</sub>}}) 90° पर या {{frac|{{pi}}|2}} और ऋणात्मक शिखर मान, ({{math|−''A''<sub>max</sub>}}) 270° पर या {{frac|3{{pi}}|2}}. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ({{mvar|t}}) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है।
इसी तरह, जब वेक्टर की नोक लंबवत होती है तो यह सकारात्मक शिखर मान का प्रतिनिधित्व करती है, ({{math|+''A''<sub>max</sub>}}) 90° पर या {{frac|{{pi}}|2}} और ऋणात्मक शिखर मान, ({{math|−''A''<sub>max</sub>}}) 270° पर या {{frac|3{{pi}}|2}}. तब तरंग का समय अक्ष या तो डिग्री या रेडियन में कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिसके माध्यम से फेजर चला गया है। तो हम कह सकते हैं कि फेजर स्केल्ड वोल्टेज या घूर्णन वेक्टर के वर्तमान मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी समय में जमे हुए हैं, ({{mvar|t}}) और ऊपर हमारे उदाहरण में, यह 30° के कोण पर है।


कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, अधिकतर जब हम एक ही अक्ष पर दो अलग-अलग तरंगों की तुलना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वोल्टेज और करंट। हमने ऊपर तरंग रूप में मान लिया है कि तरंग समय पर शुरू होती है {{math|1=''t'' = 0}} डिग्री या रेडियन में संबंधित चरण कोण के साथ होती है ।
कभी-कभी जब हम प्रत्यावर्ती तरंगों का विश्लेषण कर रहे होते हैं, तो हमें फेजर की स्थिति जानने की आवश्यकता हो सकती है, जो समय में किसी विशेष क्षण में वैकल्पिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करती है, अधिकतर जब हम एक ही अक्ष पर दो अलग-अलग तरंगों की तुलना करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वोल्टेज और करंट। हमने ऊपर तरंग रूप में मान लिया है कि तरंग समय पर शुरू होती है {{math|1=''t'' = 0}} डिग्री या रेडियन में संबंधित चरण कोण के साथ होती है।


लेकिन अगर दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, {{var|Φ}} तरंग का। पिछले चरण अंतर ट्यूटोरियल से नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें।
लेकिन अगर दूसरी तरंग इस शून्य बिंदु के बाईं ओर या दाईं ओर शुरू होती है, या यदि हम दो तरंगों के बीच के संबंध को फेजर टिप्पणी में प्रस्तुत करना चाहते हैं, तो हमें इस चरण के अंतर को ध्यान में रखना होगा, {{var|Φ}} तरंग का है। पिछले चरण अंतर ट्यूटोरियल से नीचे दिए गए आरेख पर विचार करें।


=== विभेदीकरण और एकीकरण ===
=== विभेदीकरण और एकीकरण ===
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}}
}}
चूंकि यह सभी के लिए होना चाहिए <math>t</math>, विशेष रूप से: <math display="inline">t - \frac{\pi}{2\omega},</math> यह इस प्रकार है कि:
चूंकि यह सभी के लिए होना चाहिए <math>t</math>, विशेष रूप से: <math display="inline">t - \frac{\pi}{2\omega},</math> यह इस प्रकार है कि:
{{NumBlk||<math>
    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \operatorname{Im}\left(V_\text{c} \cdot e^{i\omega t}\right) + \frac{1}{RC} \operatorname{Im}\ बायां(V_\text{c} \cdot e^{i\omega t}\right)
  = \frac{1}{RC}\operatorname{Im}\left(V_\text{s} \cdot e^{i\omega t}\right).
</ गणित>
|{{EquationRef|Eq.2}}
}}
यह भी आसानी से देखा जा सकता है कि:
<math display="block">\begin{align}
    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \operatorname{Re}\left( V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right)
  &= \operatorname{Re}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathord\left( V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right)\right)
  = \operatorname{Re}\left(i\omega V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right) \\
    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \operatorname{Im}\left( V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right)
  &= \operatorname{Im}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathord\left( V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right) \right)
  = \operatorname{Im}\left(i\omega V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} \right).
\end{align}</math>
इन्हें प्रतिस्थापित करना {{EquationNote|Eq.1}} और {{EquationNote|Eq.2}}, गुणा करना {{EquationNote|Eq.2}} द्वारा <math>i,</math> और दोनों समीकरणों को जोड़ने से मिलता है:
<math display="block">\begin{align}
  i\omega V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} + \frac{1}{RC}V_\text{c} \cdot e^{i\omega t} &= \frac{1}{RC}V_\text{s} \cdot e^{i\omega t} \\
      \left(i\omega V_\text{c} + \frac{1}{RC}V_\text{c} \right) \!\cdot e^{i\omega t} &= \left(\frac{1}{RC}V_\text{s}\right) \cdot e^{i \omega t} \\
                                          i\omega V_\text{c} + \frac{1}{RC}V_\text{c} &= \frac{1}{RC}V_\text{s}.
\end{align}</math>
}}


फेजर कैपेसिटर वोल्टेज के लिए समाधान देता है:
फेजर कैपेसिटर वोल्टेज के लिए समाधान देता है:
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=== दूरसंचार: अनुरूप मॉडुलन ===
=== दूरसंचार: अनुरूप मॉडुलन ===
[[File:Modulation phasors.svg|thumb|ए: आयाम मॉडुलन का चरण प्रतिनिधित्व, बी: आयाम मॉड्यूलेशन का वैकल्पिक प्रतिनिधित्व, सी: आवृत्ति मॉड्यूलेशन का चरण प्रतिनिधित्व, डी: आवृत्ति मॉड्यूलेशन का वैकल्पिक प्रतिनिधित्व]]फेजर का उपयोग कर घूर्णन फ्रेम चित्र एनालॉग मॉड्यूलेशन जैसे आयाम मॉड्यूलेशन (और इसके वेरिएंट) को समझने के लिए शक्तिशाली उपकरण हो सकता है<ref name=IJRES>de Oliveira, H.M. and Nunes, F.D. ''About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations''. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364 </ref>) और आवृत्ति मॉडुलन।
फेजर का उपयोग कर घूर्णन फ्रेम चित्र एनालॉग मॉड्यूलेशन जैसे आयाम मॉड्यूलेशन (और इसके वेरिएंट) को समझने के लिए शक्तिशाली उपकरण हो सकता है<ref name=IJRES>de Oliveira, H.M. and Nunes, F.D. ''About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations''. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364 </ref>) और आवृत्ति मॉडुलन।


<math display="block">x(t) = \operatorname{Re}\left( A e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_0 t} \right),</math> जहां कोष्ठक में शब्द जटिल विमान में घूर्णन वेक्टर के रूप में देखा जाता है।
<math display="block">x(t) = \operatorname{Re}\left( A e^{i \theta} \cdot e^{i 2\pi f_0 t} \right),</math> जहां कोष्ठक में शब्द जटिल विमान में घूर्णन वेक्टर के रूप में देखा जाता है।
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
{{commons category|Phasors}}
{{Sister project|project = wikiversity|text = [[Wikiversity]] has a lesson on  '''''{{#if:{{{1|}}}|[[v:BCP/{{{1}}}|{{{1}}}]]|[[v:Phasor algebra|Phasor algebra]]}}'''''}}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory]
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory]
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors]
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Visual Representation of Phasors]

Revision as of 14:10, 10 February 2023

File:Wykres wektorowy by Zureks.svg
विशिष्ट के लिए श्रृंखला आरएलसी सर्किट और संबंधित फेजर आरेख का उदाहरण ω. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना जटिल विमान) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो वोल्टेज के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं ।

भौतिकी और अभियांत्रिकी में (चरण सदिश का पोर्टमैंटू [1][2]) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली जटिल संख्या है जिसका आयाम (A), कोणीय आवृत्ति (ω), और चरण (तरंगें) (θ) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,[3] जो समय और आवृत्ति के आधार पर जटिल स्थिरांक और कारक के उत्पाद में साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,[4][5] और (पुराने पाठ्य में) सिनर [6] या यहां तक ​​कि जटिल कहा जाता है।[6]

प्रत्यावर्ती धारा द्वारा संचालित विद्युत नेटवर्क में सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के रैखिक संयोजन को चरणों के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)[7]: 53  और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।

फेजर शब्द की उत्पत्ति सही ही बताती है कि यूक्लिडियन वेक्टर के लिए संभव के समान (डायग्रामेटिक) गणना फेजर के लिए भी संभव है।[6] फेजर ट्रांसफॉर्म की महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और अभिन्न (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) के नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) (गणना) को अंतर समीकरण को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल बीजगणितीय समीकरण (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन मे[8][9][lower-alpha 1] चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में सामान्य विद्युतीय में काम कर रहे चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़ थे।[10][11]

कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को लाप्लास रूपांतरण के विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसके अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।[9][11] चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।[11]

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अंजीर 2. जब फलन जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता हैπ/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है t = 0 (और कम से t = n 2π/ω के सभी पूर्णांक मानों के लिए n).

संकेतन

See also: वेक्टर अंकन

फेजर संकेतन (एंगल संकेतन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में प्रयोग होने वाला गणितीय संकेतन है। यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है या जटिल संख्या , साथ , दोनों में 1 का परिमाण (गणित) है। सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं और कोण लिखा है [12]

कोण को डिग्री (कोण) में डिग्री से कांति में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए माना जाएगा जो वेक्टर है या संख्या


परिभाषा

निरंतर आयाम, आवृत्ति और चरण के साथ वास्तविक मूल्यवान साइनसॉइड का रूप है:

जहां केवल पैरामीटर