फेजर: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 12: | Line 12: | ||
== नोटेशन == | == नोटेशन == | ||
{{see also| | {{see also|वेक्टर अंकन}} | ||
फेजर नोटेशन (एंगल नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) [[इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग]] और [[विद्युत अभियन्त्रण]] में | फेजर नोटेशन (एंगल नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) [[इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग]] और [[विद्युत अभियन्त्रण]] में प्रयोग होने वाला एक गणितीय संकेतन है। <math>1 \angle \theta</math> यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>(\cos \theta,\, \sin \theta)</math> या जटिल संख्या <math>\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}</math>, साथ <math>i^2 = -1</math>, दोनों में 1 का [[परिमाण (गणित)]] है। एक सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं <math>A</math> और [[कोण]] <math>\theta</math> लिखा है <math>A \angle \theta.</math><ref>{{cite book | title=Electric circuits | edition=8th | first1=James William | last1=Nilsson | first2=Susan A. | last2=Riedel | publisher=Prentice Hall | year=2008 | isbn=978-0-13-198925-2 | page=338 | url=https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC}}, [https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338 Chapter 9, page 338]</ref> | ||
कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | कोण को [[डिग्री (कोण)]] में डिग्री से [[कांति]] में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए <math>1 \angle 90</math> माना जाएगा <math>1 \angle 90^\circ,</math> जो वेक्टर है <math>(0,\, 1)</math> या संख्या <math>e^{i\pi/2} = i.</math> | ||
| Line 24: | Line 26: | ||
:<math>i \cdot A\sin(\omega t + \theta)</math> | :<math>i \cdot A\sin(\omega t + \theta)</math> | ||
यूलर के | यूलर के सूत्र के अनुसार, लेड पैराग्राफ में वर्णित फैक्टरिंग संपत्ति देता है: | ||
:<math>A\cos(\omega t + \theta) + i\cdot A\sin(\omega t + \theta) = A e^{i(\omega t + \theta)} = A e^{i \theta} \cdot e^{i\omega t},</math> | :<math>A\cos(\omega t + \theta) + i\cdot A\sin(\omega t + \theta) = A e^{i(\omega t + \theta)} = A e^{i \theta} \cdot e^{i\omega t},</math> | ||
जिसका वास्तविक भाग मूल साइनसॉइड है। जटिल प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि अन्य जटिल प्रस्तुतियों के साथ रैखिक संचालन एक जटिल परिणाम उत्पन्न करता है जिसका वास्तविक भाग अन्य जटिल साइनसॉइड के वास्तविक भागों के साथ समान रैखिक संचालन को दर्शाता है। इसके | जिसका वास्तविक भाग मूल साइनसॉइड है। जटिल प्रतिनिधित्व का लाभ यह है कि अन्य जटिल प्रस्तुतियों के साथ रैखिक संचालन एक जटिल परिणाम उत्पन्न करता है जिसका वास्तविक भाग अन्य जटिल साइनसॉइड के वास्तविक भागों के साथ समान रैखिक संचालन को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त , सभी गणित सिर्फ चरणों के साथ किया जा सकता है <math>A e^{i \theta},</math> और सामान्य कारक <math>e^{i\omega t}</math> परिणाम के वास्तविक भाग से पहले पुन: सम्मिलित किया जाता है। | ||
कार्यक्रम <math>Ae^{i(\omega t + \theta)}</math> का विश्लेषणात्मक निरूपण कहा जाता है <math>A\cos(\omega t + \theta).</math> चित्र 2 इसे जटिल तल में घूमते हुए सदिश के रूप में दर्शाता है। कभी-कभी संपूर्ण कार्य को चरण के रूप में संदर्भित करना सुविधाजनक होता है,<ref>{{cite book |last1=Singh |first1=Ravish R |title=Electrical Networks |date=2009 |publisher=Mcgraw Hill Higher Education |isbn=978-0070260962 |page=4.13 |chapter=Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref> जैसा कि हम अगले भाग में करते हैं। लेकिन फेजर शब्द का अर्थ | कार्यक्रम <math>Ae^{i(\omega t + \theta)}</math> का विश्लेषणात्मक निरूपण कहा जाता है <math>A\cos(\omega t + \theta).</math> चित्र 2 इसे जटिल तल में घूमते हुए सदिश के रूप में दर्शाता है। कभी-कभी संपूर्ण कार्य को चरण के रूप में संदर्भित करना सुविधाजनक होता है,<ref>{{cite book |last1=Singh |first1=Ravish R |title=Electrical Networks |date=2009 |publisher=Mcgraw Hill Higher Education |isbn=978-0070260962 |page=4.13 |chapter=Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref> जैसा कि हम अगले भाग में करते हैं। लेकिन फेजर शब्द का अर्थ सामान्यतः पर केवल स्थिर जटिल संख्या होता है <math>A e^{i\theta}.</math> | ||
== अंकगणित == | == अंकगणित == | ||
{{see also| | {{see also|सम्मिश्र संख्या संबंध और संचालन}} | ||
=== एक स्थिर (अदिश) द्वारा गुणा === | === एक स्थिर (अदिश) द्वारा गुणा === | ||
चरण का गुणन <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}</math> एक जटिल स्थिरांक द्वारा, <math>B e^{i\phi}</math>, एक और चरण पैदा करता है। इसका | चरण का गुणन <math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}</math> एक जटिल स्थिरांक द्वारा, <math>B e^{i\phi}</math>, एक और चरण पैदा करता है। इसका अर्थ है कि इसका एकमात्र प्रभाव अंतर्निहित साइनसॉइड के आयाम और चरण को बदलना है: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
&\operatorname{Re}\left( \left(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi}\right) \cdot e^{i\omega t} \right) \\ | &\operatorname{Re}\left( \left(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi}\right) \cdot e^{i\omega t} \right) \\ | ||
| Line 67: | Line 69: | ||
= A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta), | = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta), | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2.</math> | |||
एक | |||
एक जरुरी बात यह है कि ए<sub>3</sub> और θ<sub>3</sub> ω या t पर निर्भर न हों, जो फेजर नोटेशन को संभव बनाता है। समय और आवृत्ति निर्भरता को दबाया जा सकता है और परिणाम में फिर से सम्मिलित किया जा सकता है जब तक कि बीच में उपयोग किए जाने वाले एकमात्र संचालन वे होते हैं जो एक और चरण उत्पन्न करते हैं। कोण संकेतन में, ऊपर दिखाए गए ऑपरेशन को लिखा गया है: | |||
<math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | <math display="block">A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3.</math> | ||
जोड़ देखने का | जोड़ देखने का दूसरी विधि यह है कि निर्देशांक वाले दो वैक्टर {{math|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} और {{math|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} वेक्टर हैं (ज्यामितीय)#जोड़ और घटाव निर्देशांक के साथ एक परिणामी वेक्टर का उत्पादन करने के लिए {{math|[''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)]}} (एनीमेशन देखें)। | ||
[[Image:destructive interference.png|thumb|right|पूर्ण विनाशकारी हस्तक्षेप में तीन तरंगों का फेजर आरेख]]भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड [[हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)]] एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से | [[Image:destructive interference.png|thumb|right|पूर्ण विनाशकारी हस्तक्षेप में तीन तरंगों का फेजर आरेख]]भौतिकी में, इस प्रकार का जोड़ तब होता है जब साइनसॉइड [[हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)]] एक दूसरे के साथ, रचनात्मक या विनाशकारी रूप से होता है। स्थैतिक वेक्टर अवधारणा इस तरह के प्रश्नों में उपयोगी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है: पूर्ण रद्दीकरण के लिए तीन समान साइनसोइड्स के बीच किस चरण के अंतर की आवश्यकता होगी? इस स्थितियों में, बस समान लंबाई के तीन वैक्टर लेने की कल्पना करें और उन्हें सिर से पूंछ तक इस तरह रखें कि आखिरी सिर पहली पूंछ से जोड़ खाता हो। स्पष्ट रूप से, जो आकृति इन शर्तों को संतुष्ट करती है वह एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए प्रत्येक चरण से अगले चरण के बीच का कोण 120° ({{frac|2{{pi}}|3}}रेडियन), या तरंग दैर्ध्य का एक तिहाई {{frac|{{var|λ}}|3}}. तो प्रत्येक तरंग के बीच का चरण अंतर भी 120 ° होना चाहिए, जैसा कि [[तीन चरण की शक्ति]] में होता है। | ||
दूसरे शब्दों में, यह क्या दर्शाता है कि: | दूसरे शब्दों में, यह क्या दर्शाता है कि: | ||
<math display="block">\cos(\omega t) + \cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right) = 0.</math> | <math display="block">\cos(\omega t) + \cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right) = 0.</math> | ||
तीन तरंगों के उदाहरण में, पहली और आखिरी लहर के बीच चरण अंतर 240 डिग्री था, जबकि दो तरंगों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप 180 डिग्री पर होता है। कई तरंगों की सीमा में, फेजर्स को विनाशकारी हस्तक्षेप के लिए एक चक्र बनाना चाहिए, ताकि पहला फेजर अंतिम के साथ लगभग समानांतर हो। इसका | तीन तरंगों के उदाहरण में, पहली और आखिरी लहर के बीच चरण अंतर 240 डिग्री था, जबकि दो तरंगों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप 180 डिग्री पर होता है। कई तरंगों की सीमा में, फेजर्स को विनाशकारी हस्तक्षेप के लिए एक चक्र बनाना चाहिए, ताकि पहला फेजर अंतिम के साथ लगभग समानांतर हो। इसका अर्थ यह है कि कई स्रोतों के लिए विनाशकारी हस्तक्षेप तब होता है जब पहली और आखिरी लहर 360 डिग्री, एक पूर्ण तरंग दैर्ध्य से भिन्न होती है <math>\lambda</math>. यही कारण है कि एकल भट्ठा [[विवर्तन]] में, मिनिमा तब होता है जब दूर किनारे से प्रकाश निकट किनारे से प्रकाश की तुलना में पूर्ण तरंग दैर्ध्य यात्रा करता है। | ||
चूंकि एकल वेक्टर वामावर्त दिशा में घूमता है, बिंदु A पर इसकी नोक 360° या 2 की एक पूर्ण क्रांति को घुमाएगी{{pi}}रेडियंस एक पूर्ण चक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि इसकी गतिमान नोक की लंबाई समय में अलग-अलग कोणीय अंतरालों पर एक ग्राफ में स्थानांतरित की जाती है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तो एक साइनसॉइडल तरंग को शून्य समय के साथ बाईं ओर से खींचा जाएगा। क्षैतिज अक्ष के साथ प्रत्येक स्थिति उस समय को इंगित करती है जो शून्य समय से बीत चुका है, {{math|1=''t'' = 0}}. जब वेक्टर क्षैतिज होता है तो वेक्टर की नोक 0°, 180° और 360° पर कोणों का प्रतिनिधित्व करती है। | चूंकि एकल वेक्टर वामावर्त दिशा में घूमता है, बिंदु A पर इसकी नोक 360° या 2 की एक पूर्ण क्रांति को घुमाएगी{{pi}}रेडियंस एक पूर्ण चक्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि इसकी गतिमान नोक की लंबाई समय में अलग-अलग कोणीय अंतरालों पर एक ग्राफ में स्थानांतरित की जाती है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, तो एक साइनसॉइडल तरंग को शून्य समय के साथ बाईं ओर से खींचा जाएगा। क्षैतिज अक्ष के साथ प्रत्येक स्थिति उस समय को इंगित करती है जो शून्य समय से बीत चुका है, {{math|1=''t'' = 0}}. जब वेक्टर क्षैतिज होता है तो वेक्टर की नोक 0°, 180° और 360° पर कोणों का प्रतिनिधित्व करती है। | ||
| Line 172: | Line 175: | ||
=== पावर इंजीनियरिंग === | === पावर इंजीनियरिंग === | ||
तीन चरण एसी बिजली प्रणालियों के विश्लेषण में, | तीन चरण एसी बिजली प्रणालियों के विश्लेषण में, सामान्यतः पर फेजर्स का एक सेट एकता के तीन जटिल घन जड़ों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो ग्राफिक रूप से 0, 120 और 240 डिग्री के कोण पर इकाई परिमाण के रूप में दर्शाया जाता है। पॉलीपेज़ एसी सर्किट मात्राओं को फ़ैसर के रूप में इलाज करके, संतुलित सर्किट को सरल बनाया जा सकता है और असंतुलित सर्किट को [[सममित घटक]]ों के बीजगणितीय संयोजन के रूप में माना जा सकता है। यह दृष्टिकोण वोल्टेज ड्रॉप, पावर फ्लो और शॉर्ट-सर्किट धाराओं की विद्युत गणना में आवश्यक कार्य को बहुत सरल करता है। पावर सिस्टम विश्लेषण के संदर्भ में, चरण कोण अक्सर डिग्री (कोण) में दिया जाता है, और साइनसॉइड के शिखर आयाम के अतिरिक्त [[वर्गमूल औसत का वर्ग]] वैल्यू में परिमाण। | ||
[[तुल्यकालिक]] की तकनीक ट्रांसमिशन नेटवर्क में व्यापक बिंदुओं पर ट्रांसमिशन सिस्टम वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने वाले चरणों को मापने के लिए डिजिटल उपकरणों का उपयोग करती है। फेजर्स के बीच अंतर शक्ति प्रवाह और सिस्टम स्थिरता का संकेत देते हैं। | [[तुल्यकालिक]] की तकनीक ट्रांसमिशन नेटवर्क में व्यापक बिंदुओं पर ट्रांसमिशन सिस्टम वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने वाले चरणों को मापने के लिए डिजिटल उपकरणों का उपयोग करती है। फेजर्स के बीच अंतर शक्ति प्रवाह और सिस्टम स्थिरता का संकेत देते हैं। | ||
Revision as of 17:15, 9 February 2023
File:Wykres wektorowy by Zureks.svg
एक विशिष्ट के लिए श्रृंखला आरएलसी सर्किट और संबंधित फेजर आरेख का एक उदाहरण ω. ऊपरी आरेख में तीर फ़ैसर हैं, जो फ़ैसर आरेख (दिखाए गए धुरी के बिना जटिल विमान) में खींचे गए हैं, जिन्हें निचले आरेख में तीरों से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो वोल्टेज के लिए संदर्भ ध्रुवीयता और विद्युत के लिए संदर्भ दिशा हैं मौजूदा।
भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक चरण (चरण सदिश का एक पोर्टमैंटू [1][2]) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली एक जटिल संख्या है जिसका आयाम (A), कोणीय आवृत्ति (ω), और चरण (तरंगें) (θ) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं| समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक एक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,[3] जो समय और आवृत्ति के आधार पर एक जटिल स्थिरांक और एक कारक के उत्पाद में एक साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,[4][5] और (पुराने ग्रंथों में) सिनर [6] या यहां तक कि जटिल कहा जाता है।[6] भौतिकी और अभियांत्रिकी में, एक चरण (चरण सदिश का एक पोर्टमैंटू [1][2]) साइन लहर का प्रतिनिधित्व करने वाली एक जटिल संख्या है जिसका आयाम (A), कोणीय आवृत्ति (ω), और चरण (तरंगें) (θ) समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली हैं| समय-अपरिवर्तनीय हैं। यह विश्लेषणात्मक संकेत नामक एक अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है,[3] जो समय और आवृत्ति के आधार पर एक जटिल स्थिरांक और एक कारक के उत्पाद में एक साइनसॉइड को विघटित करता है। जटिल स्थिरांक, जो आयाम और चरण पर निर्भर करता है, को फेजर या जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है,[4][5] और (पुराने ग्रंथों में) सिनर [6] या यहां तक कि जटिल कहा जाता है।[6]
प्रत्यावर्ती धारा द्वारा संचालित विद्युत नेटवर्क में एक सामान्य स्थिति एक ही आवृत्ति के साथ कई साइनसोइड्स का अस्तित्व है, लेकिन विभिन्न आयाम और चरण हैं। उनके विश्लेषणात्मक अभ्यावेदन में एकमात्र अंतर जटिल आयाम (फासर) है। ऐसे कार्यों के एक रैखिक संयोजन को चरणों के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसे चरण अंकगणित या चरण बीजगणित के रूप में जाना जाता है)[7]: 53 और समय आवृत्ति पर निर्भर कारक जो उन सभी में समान है।
फेजर शब्द की उत्पत्ति ठीक ही बताती है कि यूक्लिडियन वेक्टर के लिए संभव के समान एक (डायग्रामेटिक) कैलकुलस फेजर के लिए भी संभव है।[6] फेजर ट्रांसफॉर्म की एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त विशेषता यह है कि साइनसॉइडल संकेत के व्युत्पन्न और अभिन्न (स्थिर आयाम, अवधि और चरण वाले) फेजर्स पर सरल बीजगणितीय संचालन से मेल खाते हैं; चरण रूपांतरण इस प्रकार आरएलसी सर्किट के वैकल्पिक वर्तमान स्थिर स्थिति (इलेक्ट्रॉनिक्स) के नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) (गणना) को अंतर समीकरण को हल करने के अतिरिक्त फेजर डोमेन में सरल बीजगणितीय समीकरण (यद्यपि जटिल गुणांक के साथ) को हल करके (वास्तविक के साथ) की अनुमति देता है। संख्या गुणांक समय डोमेन में।[8][9][lower-alpha 1] चरण परिवर्तन के प्रवर्तक 19वीं शताब्दी के अंत में सामान्य विद्युतीय में काम कर रहे चार्ल्स प्रोटियस स्टेनमेट्ज़ थे।[10][11]
कुछ गणितीय विवरणों पर प्रकाश डालते हुए, चरण परिवर्तन को लाप्लास रूपांतरण के एक विशेष स्थितियों के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसका अतिरिक्त रूप से उपयोग किया जा सकता है (एक साथ) एक आरएलसी सर्किट की क्षणिक प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए।[9][11] चुकीं ,लाप्लास परिवर्तन गणितीय रूप से लागू करने के लिए अधिक कठिन है और यदि केवल स्थिर स्थिति विश्लेषण की आवश्यकता है तो प्रयास अनुचित हो सकता है।[11]
Error creating thumbnail:
अंजीर 2. जब समारोह जटिल विमान में दर्शाया गया है, इसकी जटिल संख्या द्वारा गठित वेक्टर मूल के चारों ओर घूमता है। इसका परिमाण A है और यह प्रत्येक 2 में एक चक्र पूरा करता हैπ/ω सेकंड। θ वह कोण है जिस पर यह धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनता है t = 0 (और कम से t = n 2π/ω के सभी पूर्णांक मानों के लिए n).
नोटेशन
फेजर नोटेशन (एंगल नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियरिंग और विद्युत अभियन्त्रण में प्रयोग होने वाला एक गणितीय संकेतन है। यूक्लिडियन वेक्टर का प्रतिनिधित्व कर सकता है या जटिल संख्या , साथ , दोनों में 1 का परिमाण (गणित) है। एक सदिश जिसका ध्रुवीय निर्देशांक जटिल संख्याएं परिमाण हैं और कोण लिखा है [12]
कोण को डिग्री (कोण) में डिग्री से कांति में निहित रूपांतरण के साथ कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए माना जाएगा जो वेक्टर है या संख्या
परिभाषा
निरंतर आयाम, आवृत्ति और चरण के साथ वास्तविक मूल्यवान साइनसॉइड का रूप है: