स्पिन (भौतिकी): Difference between revisions

Revision as of 17:44, 9 January 2023

स्पिन एक संरक्षित मात्रा है जो प्राथमिक कण ों द्वारा और इस प्रकार मिश्रित कणों (हैड्रान ) और परमाणु नाभिक द्वारा किया जाता है।^[1]^[2] क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन दो प्रकार के कोणीय गति में से एक है, दूसरा कक्षीय कोणीय गति है। कक्षीय कोणीय गति ऑपरेटर कक्षीय क्रांति के शास्त्रीय कोणीय गति के लिए क्वांटम-मैकेनिकल समकक्ष है और तब प्रकट होता है जब कोण भिन्न होने पर इसकी तरंग क्रिया के लिए आवधिक संरचना होती है।^[3]^[4] फोटॉनों के लिए, स्पिन प्रकाश के ध्रुवीकरण (तरंगों) का क्वांटम-मैकेनिकल प्रतिरूप है; इलेक्ट्रॉनों के लिए, स्पिन का कोई शास्त्रीय समकक्ष नहीं है।^{[citation needed]} इलेक्ट्रॉन स्पिन कोणीय गति का अस्तित्व स्टर्न-गेरलाच प्रयोग जैसे प्रयोगों से अनुमानित है, जिसमें कक्षीय कोणीय गति नहीं होने के बावजूद चांदी के परमाणुओं को दो संभावित असतत कोणीय गति रखने के लिए देखा गया था।^[5] इलेक्ट्रॉन स्पिन के अस्तित्व को सैद्धांतिक रूप से स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय और पाउली अपवर्जन सिद्धांत से भी अनुमान लगाया जा सकता है- और इसके विपरीत, इलेक्ट्रॉन के विशेष स्पिन को देखते हुए, पाउली अपवर्जन सिद्धांत को प्राप्त किया जा सकता है।

स्पिन को गणितीय रूप से फोटॉन जैसे कुछ कणों के लिए वेक्टर के रूप में और इलेक्ट्रॉनों जैसे अन्य कणों के लिए spinor और bispinor के रूप में वर्णित किया गया है। स्पिनर और बिस्पिनर यूक्लिडियन वेक्टर के समान व्यवहार करते हैं: उनके पास निश्चित परिमाण होते हैं और घूर्णन के तहत परिवर्तन होते हैं; हालाँकि, वे एक अपरंपरागत दिशा का उपयोग करते हैं। किसी दिए गए प्रकार के सभी प्राथमिक कणों में स्पिन कोणीय गति का समान परिमाण होता है, हालांकि इसकी दिशा बदल सकती है। ये कण को स्पिन क्वांटम संख्या निर्दिष्ट करके इंगित किया जाता है।^[2]

स्पिन की इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली शास्त्रीय कोणीय गति के समान है (अर्थात, न्यूटन (इकाई) ·मीटर ·दूसरा , जूल·एस, या किलोग्राम ·एम²·एस^-1). व्यवहार में, स्पिन को कम प्लैंक स्थिरांक द्वारा स्पिन कोणीय गति को विभाजित करके एक आयामहीन स्पिन क्वांटम संख्या के रूप में दिया जाता है $ħ$ , जिसका कोणीय संवेग के समान आयामी विश्लेषण है, हालांकि यह इस मान की पूर्ण गणना नहीं है। बहुत बार, स्पिन क्वांटम संख्या को केवल स्पिन कहा जाता है। यह तथ्य निहित है कि यह एक क्वांटम संख्या है।

इतिहास

1924 में वोल्फगैंग पाउली दो-मूल्य वाले गैर-शास्त्रीय छिपे हुए घुमाव के कारण उपलब्ध इलेक्ट्रॉन राज्यों की संख्या को दोगुना करने का प्रस्ताव देने वाले पहले व्यक्ति थे।^[6] 1925 में, लीडेन विश्वविद्यालय में जॉर्ज उहलेनबेक और शमूएल गौडस्मिट ने अपनी धुरी के चारों ओर घूमने वाले कण की सरल भौतिक व्याख्या का सुझाव दिया,^[7] नील्स बोह्र और अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के पुराने क्वांटम सिद्धांत की भावना में।^[8] राल्फ क्रोनिग ने कई महीने पहले कोपेनहेगन में हेनरी क्रेमर्स के साथ चर्चा में उहलेनबेक-गॉडस्मिट मॉडल का अनुमान लगाया था, लेकिन प्रकाशित नहीं किया।^[8]1927 में पाउली द्वारा गणितीय सिद्धांत पर गहराई से काम किया गया था। जब पॉल डिराक ने 1928 में अपने सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी को व्युत्पन्न किया, तो इलेक्ट्रॉन स्पिन इसका एक अनिवार्य हिस्सा था।

क्वांटम संख्या

जैसा कि नाम से पता चलता है, स्पिन की कल्पना मूल रूप से किसी धुरी के चारों ओर एक कण के घूमने के रूप में की गई थी। जबकि यह सवाल कि क्या प्राथमिक कण वास्तव में घूमते हैं, अस्पष्ट है (जैसा कि वे बिंदु की तरह दिखाई देते हैं), यह तस्वीर सही है क्योंकि स्पिन उन्हीं गणितीय नियमों का पालन करता है जैसे कोणीय गति परिमाणीकरण कोणीय गति करते हैं; विशेष रूप से, स्पिन का अर्थ है कि कण का चरण कोण के साथ बदलता है। दूसरी ओर, स्पिन में कुछ अजीबोगरीब गुण होते हैं जो इसे कक्षीय कोणीय संवेग से अलग करते हैं:

स्पिन क्वांटम संख्याएँ आधा-पूर्णांक मान ले सकती हैं।
हालांकि इसके घूमने की दिशा बदली जा सकती है, एक प्राथमिक कण को तेज या धीमी गति से घूमने के लिए नहीं बनाया जा सकता है।
एक आवेशित कण का स्पिन एक जी-कारक (भौतिकी) के साथ एक चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण से जुड़ा होता है $g$ -1 से अलग-अलग कारक। शास्त्रीय घूर्णन निकाय के लिए यह शास्त्रीय रूप से केवल जाइरोमैग्नेटिक अनुपात # जाइरोमैग्नेटिक अनुपात हो सकता है।

स्पिन क्वांटम संख्या की पारंपरिक परिभाषा है $s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n/2$ , कहां $n$ कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। इसलिए के अनुमत मान $s$ 0, स्पिन-1/2 हैं1/2, 1, 3/2, 2, आदि का मान $s$ एक प्राथमिक कण के लिए केवल कण के प्रकार पर निर्भर करता है और इसे किसी भी ज्ञात तरीके से नहीं बदला जा सकता है (नीचे वर्णित स्पिन दिशा के विपरीत)। स्पिन कोणीय गति $S$ किसी भी भौतिक प्रणाली का कोणीय संवेग परिमाणीकरण है। के अनुमत मान $S$ हैं

S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},

कहां

h

प्लैंक स्थिरांक है, और

{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। इसके विपरीत, कोणीय संवेग ऑपरेटर केवल पूर्णांक मानों को ही ले सकता है

s

; अर्थात, सम-संख्या वाले मान

n

.

फर्मियन और बोसॉन

अर्ध-पूर्णांक चक्रण वाले वे कण, जैसे 1/2, 3/2, 5/2, को फर्मियन के रूप में जाना जाता है, जबकि पूर्णांक स्पिन वाले कण, जैसे 0, 1, 2, बोसोन के रूप में जाने जाते हैं। कणों के दो परिवार अलग-अलग नियमों का पालन करते हैं और मोटे तौर पर हमारे आसपास की दुनिया में अलग-अलग भूमिकाएँ होती हैं। दो परिवारों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि फ़र्मियन पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं: अर्थात्, एक ही क्वांटम संख्या (अर्थात्, मोटे तौर पर, समान स्थिति, वेग और स्पिन दिशा वाले) वाले दो समान फ़र्मियन एक साथ नहीं हो सकते। फ़र्मियन फ़र्मी-डिराक सांख्यिकी के नियमों का पालन करते हैं। इसके विपरीत, बोसोन बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के नियमों का पालन करते हैं और उन पर ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए वे समान अवस्थाओं में एक साथ गुच्छा बना सकते हैं। साथ ही, मिश्रित कणों में स्पिन उनके घटक कणों से भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जमीनी अवस्था में एक हीलियम -4 परमाणु में स्पिन 0 होता है और यह बोसोन की तरह व्यवहार करता है, भले ही इसे बनाने वाले क्वार्क और इलेक्ट्रॉनों सभी फ़र्मियन हैं।

इसके कुछ गहरे परिणाम होते हैं:

क्वार्क और लेप्टॉन (इलेक्ट्रॉन और न्युट्रीनो सहित), जो शास्त्रीय रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, स्पिन-1/2स्पिन के साथ सभी फ़र्मियन हैं1/2. सामान्य विचार है कि पदार्थ अंतरिक्ष लेता है वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर कब्जा करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का दबाव (कभी-कभी पतित पदार्थ के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है।
अन्य चक्रणों के साथ प्रारंभिक फर्मन (3/2, 5/2, आदि) सम्मिलित नहीं हैं।
प्राथमिक कण जिन्हें बल वाहक माना जाता है, वे सभी स्पिन वाले बोसोन हैं 1। इनमें फोटॉन सम्मिलित है, जो विद्युत चुम्बकीय बल , ग्लूऑन (मजबूत बल ), और डब्ल्यू और जेड बोसॉन (कमजोर बल ) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर कब्जा करने की क्षमता का उपयोग लेज़र में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न superfluid तरल हीलियम बोसोन और अतिचालकता है, जहां कूपर जोड़ी (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल समग्र बोसोन के रूप में कार्य करती हैं।
अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से अस्तित्व में नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक उपचार प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के भीतर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ गुरुत्वाकर्षण (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा अस्तित्व में होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ हिग्स बॉसन (इलेक्ट्रोवीक समरूपता को तोड़ने की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है सम्मिलित।^[9] यह प्रकृति में सम्मिलित पहला अदिश बोसोन (स्पिन 0) है।
परमाणु नाभिक में स्पिन क्वांटम संख्या # परमाणु स्पिन होती है जो या तो आधा-पूर्णांक या पूर्णांक हो सकती है, जिससे कि नाभिक या तो फ़र्मियन या बोसोन हो सकते हैं।

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय कणों को दो समूहों में विभाजित करता है: बोसोन और फरमिओन्स , जहां बोसॉन बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, और फ़र्मियन फ़र्मी-डिराक सांख्यिकी (और इसलिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत) का पालन करते हैं। विशेष रूप से, सिद्धांत कहता है कि एक पूर्णांक स्पिन वाले कण बोसॉन हैं, जबकि अन्य सभी कणों में आधा-पूर्णांक स्पिन है और वे फ़र्मियन हैं। एक उदाहरण के रूप में, इलेक्ट्रॉन ों में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है और वे फ़र्मियन होते हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं, जबकि फोटॉन में पूर्णांक स्पिन होता है और नहीं। प्रमेय क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों पर निर्भर करता है, और स्पिन और सांख्यिकी के बीच इस संबंध को विशेष सापेक्षता सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक कहा जाता है।^[10]

शास्त्रीय रोटेशन से संबंध

चूँकि प्राथमिक कण बिंदु-समान होते हैं, स्व-घूर्णन उनके लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। हालाँकि, स्पिन का तात्पर्य है कि कण का चरण कोण पर निर्भर करता है $e^{iS\theta }$ स्पिन एस के समानांतर धुरी के चारों ओर कोण θ के रोटेशन के लिए। यह स्थिति में चरण निर्भरता के रूप में गति की क्वांटम-मैकेनिकल व्याख्या के बराबर है, और कोणीय गति ऑपरेटर # कक्षीय कोणीय गति कोणीय स्थिति में चरण निर्भरता के रूप में है।

फोटॉन स्पिन प्रकाश ध्रुवीकरण (तरंगों) का क्वांटम-मैकेनिकल विवरण है, जहां स्पिन +1 और स्पिन -1 गोलाकार ध्रुवीकरण की दो विपरीत दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार, परिभाषित गोलाकार ध्रुवीकरण के प्रकाश में एक ही स्पिन वाले फोटॉन होते हैं, या तो सभी +1 या सभी -1। स्पिन अन्य सदिश बोसोन के लिए भी ध्रुवीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

फर्मियंस के लिए, चित्र कम स्पष्ट है। कोणीय वेग एरेनफेस्ट प्रमेय द्वारा हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के व्युत्पन्न के बराबर है, जो कि कुल कोणीय गति ऑपरेटर है J = L + S. इसलिए, यदि हैमिल्टन एच स्पिन एस पर निर्भर है, डीएच/डीएस गैर-शून्य है, और स्पिन कोणीय वेग का कारण बनता है, और इसलिए वास्तविक रोटेशन, अर्थात समय के साथ चरण-कोण संबंध में परिवर्तन। हालांकि, क्या यह मुक्त इलेक्ट्रॉन के लिए धारण करता है अस्पष्ट है, क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए, एस² स्थिर है, और इसलिए यह व्याख्या का विषय है कि हैमिल्टनियन में ऐसा शब्द सम्मिलित है या नहीं। फिर भी, डायराक समीकरण में स्पिन प्रकट होता है, और इस प्रकार इलेक्ट्रॉन के सापेक्षवादी हैमिल्टनियन, जिसे डायराक क्षेत्र के रूप में माना जाता है, को स्पिन एस में निर्भरता के रूप में व्याख्या की जा सकती है।^[11] इस व्याख्या के तहत, मुक्त इलेक्ट्रॉन भी स्व-घूर्णन करते हैं, इस रोटेशन के रूप में समझे जाने वाले हिलाने की क्रिया प्रभाव के साथ।

चुंबकीय क्षण

ब्लैक एरो के रूप में न्यूट्रॉन के स्पिन को दर्शाने वाला योजनाबद्ध आरेख और न्यूट्रॉन चुंबकीय क्षण से जुड़ी चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ। न्यूट्रॉन का एक नकारात्मक चुंबकीय क्षण होता है। जबकि इस आरेख में न्यूट्रॉन का स्पिन ऊपर की ओर है, द्विध्रुव के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ नीचे की ओर हैं।

स्पिन वाले कणों में चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण हो सकता है, ठीक शास्त्रीय विद्युतगतिकी में एक घूर्णन विद्युत आवेश पिंड की तरह। इन चुंबकीय क्षणों को प्रयोगात्मक रूप से कई तरीकों से देखा जा सकता है, उदा। स्टर्न-गेरलाच प्रयोग में अमानवीय चुंबकीय क्षेत्र ों द्वारा कणों के विक्षेपण द्वारा, या स्वयं कणों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को मापकर।

आंतरिक चुंबकीय क्षण $μ$ स्पिन-1/2स्पिन-1/2आवेश के साथ कण $q$ , द्रव्यमान $m$ , और स्पिन कोणीय गति $S$ , है^[12]

{\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{s}q}{2m}}\mathbf {S} ,

जहां आयाम रहित मात्रा $g s$ इसे स्पिन जी-फैक्टर (भौतिकी) #इलेक्ट्रॉन स्पिन जी-फैक्टर कहा जाता है $g$ -कारक। विशेष रूप से कक्षीय घुमावों के लिए यह 1 होगा (यह मानते हुए कि द्रव्यमान और आवेश समान त्रिज्या के क्षेत्रों पर कब्जा करते हैं)।

इलेक्ट्रॉन, एक आवेशित प्राथमिक कण होने के कारण, एक इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण रखता है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के सिद्धांत की जीत में से एक इलेक्ट्रॉन लैंडे जी-फैक्टर की सटीक भविष्यवाणी है $g$ -फैक्टर, जिसका मान रखने के लिए प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया गया है −2.00231930436256(35), एक मानक विचलन पर अंतिम दो अंकों में माप अनिश्चितता को दर्शाते हुए कोष्ठकों में अंकों के साथ।^[13] 2 का मान डायराक समीकरण से उत्पन्न होता है, एक मौलिक समीकरण जो इलेक्ट्रॉन के स्पिन को उसके विद्युत चुम्बकीय गुणों से जोड़ता है, और इसका सुधार 0.002319304... अपने स्वयं के क्षेत्र सहित आसपास के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन की बातचीत से उत्पन्न होता है।^[14] मिश्रित कणों में भी उनके स्पिन से जुड़े चुंबकीय क्षण होते हैं। विशेष रूप से, विद्युत रूप से तटस्थ होने के बावजूद न्यूट्रॉन में गैर-शून्य चुंबकीय क्षण होता है। यह तथ्य एक प्रारंभिक संकेत था कि न्यूट्रॉन प्राथमिक कण नहीं है। वास्तव में, यह क्वार्क से बना है, जो विद्युत आवेशित कण हैं। न्यूट्रॉन चुंबकीय क्षण व्यक्तिगत क्वार्कों और उनके कक्षीय गतियों के चक्रण से आता है।

न्युट्रीनो प्राथमिक और विद्युत रूप से तटस्थ दोनों हैं। न्यूनतम विस्तारित मानक मॉडल जो गैर-शून्य न्यूट्रिनो द्रव्यमान को ध्यान में रखता है, न्यूट्रिनो चुंबकीय क्षणों की भविष्यवाणी करता है:^[15]^[16]^[17]

\mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }}{\text{eV}}},

जहां $μ ν$ न्यूट्रिनो चुंबकीय क्षण हैं, $m ν$ न्यूट्रिनो द्रव्यमान हैं, और $μ B$ बोहर चुंबक है। इलेक्ट्रोवीक स्केल के ऊपर नई भौतिकी, हालांकि, महत्वपूर्ण रूप से उच्चतर न्यूट्रिनो चुंबकीय क्षणों को जन्म दे सकती है। यह मॉडल-स्वतंत्र तरीके से दिखाया जा सकता है कि न्यूट्रिनो चुंबकीय क्षण लगभग 10 से बड़े होते हैं^-14 $μ B$ अप्राकृतिक हैं क्योंकि वे न्यूट्रिनो द्रव्यमान में बड़े विकिरण योगदान का भी नेतृत्व करेंगे। चूंकि न्यूट्रिनो द्रव्यमान अधिकतम 1 eV के रूप में जाना जाता है, इसलिए बड़े विकिरण संबंधी सुधारों को एक दूसरे को रद्द करने के लिए, एक बड़ी डिग्री तक, और न्यूट्रिनो द्रव्यमान को छोटा छोड़ने के लिए फाइन-ट्यून करना होगा।^[18] न्यूट्रिनो चुंबकीय क्षणों का माप अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। प्रायोगिक परिणामों ने न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्ण को से कम पर रखा है 1.2×10⁻¹⁰इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय क्षण का गुना।

दूसरी ओर स्पिन के साथ प्राथमिक कण, लेकिन विद्युत आवेश के बिना, जैसे कि फोटॉन या जेड बोसॉन, में चुंबकीय क्षण नहीं होता है।

क्यूरी तापमान और संरेखण का नुकसान

सामान्य सामग्रियों में, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो एक दूसरे को रद्द करते हैं, क्योंकि प्रत्येक द्विध्रुव एक यादृच्छिक दिशा में इंगित करता है, समग्र औसत शून्य के बहुत करीब होता है। हालांकि, उनके क्यूरी तापमान के नीचे लौह िक सामग्री, चुंबकीय डोमेन प्रदर्शित करती है जिसमें परमाणु द्विध्रुवीय क्षण अनायास स्थानीय रूप से संरेखित होते हैं, डोमेन से एक मैक्रोस्कोपिक, गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र का उत्पादन करते हैं। ये साधारण चुम्बक हैं जिनसे हम सभी परिचित हैं।

अनुचुम्बकीय पदार्थों में, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण आंशिक रूप से बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होंगे। प्रतिचुम्बकीय पदार्थों में, दूसरी ओर, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण किसी बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत संरेखित होते हैं, भले ही ऐसा करने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता हो।

ऐसे स्पिन मॉडल के व्यवहार का अध्ययन संघनित पदार्थ भौतिकी में अनुसंधान का एक संपन्न क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल स्पिन (डिपोल) का वर्णन करता है जिसमें केवल दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, ऊपर और नीचे, जबकि हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) में स्पिन वेक्टर को किसी भी दिशा में इंगित करने की स्वीकृति होती है। इन मॉडलों में कई दिलचस्प गुण हैं, जिससे चरण संक्रमण के सिद्धांत में दिलचस्प परिणाम सामने आए हैं।

दिशा

स्पिन प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक कण के कोणीय संवेग में न केवल एक परिमाण (पिंड कितनी तेजी से घूम रहा है) होता है, बल्कि एक दिशा (कण के घूर्णन के अक्ष पर ऊपर या नीचे) भी होती है। क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन में दिशा के बारे में भी जानकारी होती है, लेकिन अधिक सूक्ष्म रूप में। क्वांटम यांत्रिकी का कहना है कि किसी भी दिशा में मापे गए स्पिन-एस कण के लिए कोणीय गति का स्थानिक वेक्टर केवल मान ले सकता है^[19]

S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},

कहां $S i$ साथ स्पिन घटक है $i$ -वें अक्ष (या तो $x$ , $y$ , या $z$ ), $s i$ साथ में स्पिन प्रोजेक्शन क्वांटम संख्या है $i$ -वें अक्ष, और $s$ प्रिंसिपल स्पिन क्वांटम नंबर है (पिछले अनुभाग में चर्चा की गई)। परंपरागत रूप से चुनी गई दिशा है $z$ एक्सिस:

S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},

कहां $S z$ साथ स्पिन घटक है $z$ एक्सिस, $s z$ साथ में स्पिन प्रोजेक्शन क्वांटम संख्या है $z$ एक्सिस।

कोई देख सकता है कि हैं $2 s + 1$ के संभावित मान $s z$ . जो नंबर $2 s + 1$ स्पिन प्रणाली की बहुलता (रसायन विज्ञान) है। उदाहरण के लिए, स्पिन-1/2स्पिन- के लिए केवल दो संभावित मान हैं1/2कण: $s z = + 1 / 2$ और $s z = - 1 / 2$ . ये क्वांटम राज्यों के अनुरूप हैं जिनमें स्पिन घटक क्रमशः +z या -z दिशाओं में इंगित कर रहा है, और प्रायः इसे स्पिन अप और स्पिन डाउन के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक स्पिन के लिए-3/2 कण, एक डी एल अन्य फील्ड रियान की तरह, संभावित मान + हैं3/2, +1/2, −1/2, −3/2.

वेक्टर

पूर्ण 720° घूमने के बाद अपने मूल विन्यास में वापस आ जाता है।

किसी दिए गए क्वांटम राज्य के लिए, स्पिन वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है ${\textstyle \langle S\rangle }$ जिनके घटक प्रत्येक अक्ष के साथ स्पिन घटकों का अपेक्षित मूल्य (क्वांटम भौतिकी) हैं, अर्थात, ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ . यह वेक्टर तब उस दिशा का वर्णन करेगा जिसमें स्पिन इंगित कर रहा है, जो रोटेशन के अक्ष की शास्त्रीय अवधारणा के अनुरूप है। यह पता चला है कि स्पिन वेक्टर वास्तविक क्वांटम-यांत्रिक गणनाओं में बहुत उपयोगी नहीं है, क्योंकि इसे प्रत्यक्ष रूप से मापा नहीं जा सकता है: $s x$ , $s y$ और $s z$ उनके बीच एक क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत के कारण एक साथ निश्चित मूल्य नहीं हो सकते। हालांकि, कणों के सांख्यिकीय रूप से बड़े संग्रह के लिए जिन्हें एक ही शुद्ध क्वांटम अवस्था में रखा गया है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच तंत्र के उपयोग के माध्यम से, स्पिन वेक्टर का एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक अर्थ है: यह साधारण अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करता है। जिसमें संग्रह में प्रत्येक कण का पता लगाने की अधिकतम संभव संभावना (100%) प्राप्त करने के लिए बाद के डिटेक्टर को उन्मुख होना चाहिए। स्पिन के लिए-1/2 कण, यह संभावना सुचारू रूप से कम हो जाती है क्योंकि स्पिन वेक्टर और डिटेक्टर के बीच का कोण 180 ° के कोण तक बढ़ जाता है - अर्थात, स्पिन वेक्टर के विपरीत दिशा में उन्मुख डिटेक्टरों के लिए - संग्रह से कणों का पता लगाने की अपेक्षा न्यूनतम 0% तक पहुँचता है।

एक गुणात्मक अवधारणा के रूप में, स्पिन वेक्टर प्रायः आसान होता है क्योंकि शास्त्रीय रूप से चित्र बनाना आसान होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन शास्त्रीय जाइरोस्कोप के अनुरूप घटना प्रदर्शित कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय क्षेत्र में रखकर एक इलेक्ट्रॉन पर एक प्रकार का टोक़ लगाया जा सकता है (क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण पर कार्य करता है-निम्न अनुभाग देखें)। इसका परिणाम यह होता है कि स्पिन वेक्टर क्लासिकल जाइरोस्कोप की तरह ही अग्रगमन से गुजरता है। इस घटना को इलेक्ट्रॉन स्पिन अनुनाद (ईएसआर) के रूप में जाना जाता है। परमाणु नाभिक में प्रोटॉन के समतुल्य व्यवहार का उपयोग परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) स्पेक्ट्रोस्कोपी और इमेजिंग में किया जाता है।

गणितीय रूप से, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन राज्यों को वेक्टर-जैसी वस्तुओं द्वारा वर्णित किया जाता है जिन्हें स्पिनर कहा जाता है। निर्देशांक घूर्णन के तहत स्पिनरों और सदिशों के व्यवहार के बीच सूक्ष्म अंतर हैं। उदाहरण के लिए, स्पिन को घुमाना-1/2 360° का कण इसे उसी क्वांटम अवस्था में वापस नहीं लाता है, बल्कि विपरीत क्वांटम चरण (तरंगों) वाली अवस्था में लाता है; यह पता लगाने योग्य है, सिद्धांत रूप में, हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) प्रयोगों के साथ। कण को उसकी सटीक मूल स्थिति में वापस लाने के लिए, 720 ° रोटेशन की आवश्यकता होती है। (प्लेट ट्रिक और मोबियस स्ट्रिप गैर-क्वांटम उपमाएं देते हैं।) एक स्पिन-शून्य कण में केवल एक क्वांटम स्थिति हो सकती है, यहां तक कि टॉर्क लागू होने के बाद भी। एक स्पिन-2 कण को 180° पर घुमाकर वापस उसी क्वांटम अवस्था में लाया जा सकता है, और एक स्पिन-4 कण को 90° घुमाकर उसी क्वांटम अवस्था में वापस लाया जा सकता है। स्पिन-2 कण एक सीधी छड़ी के समान हो सकता है जो 180° घुमाए जाने के बाद भी वही दिखता है, और एक स्पिन-0 कण को गोले के रूप में कल्पना की जा सकती है, जो किसी भी कोण से घूमने के बाद समान दिखता है।

गणितीय सूत्रीकरण

ऑपरेटर

स्पिन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करता है^[20] कोणीय गति ऑपरेटर के अनुरूप:

\left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},

कहां $ε jkl$ लेवी-Civita प्रतीक है। यह इस प्रकार है (कोणीय गति के साथ) कि के eigenvectors ${\hat {S}}^{2}$ और ${\hat {S}}_{z}$ (कुल में ब्रा-केट संकेतन के रूप में व्यक्त किया गया $S$ आधार (रैखिक बीजगणित) ) हैं

{\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}

इन ईजेनवेक्टरों पर काम करने वाले स्पिन निर्माण और विनाश संचालक देते हैं

{\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,

कहां ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$ .

लेकिन कक्षीय कोणीय गति के विपरीत, ईजेनवेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स नहीं हैं। वे के कार्य नहीं हैं $θ$ और $φ$ . के आधे-पूर्णांक मानों को बाहर करने का भी कोई कारण नहीं है $s$ और $m s$ .

सभी क्वांटम-मैकेनिकल कणों में एक आंतरिक स्पिन होती है $s$ (हालांकि यह मान शून्य के बराबर हो सकता है)। स्पिन का प्रक्षेपण $s$ किसी भी अक्ष पर घटी हुई प्लैंक स्थिरांक की इकाइयों में मात्रा निर्धारित की जाती है, जैसे कि कण का राज्य कार्य है, कहते हैं, नहीं $\psi =\psi ({\vec {r}})$ , लेकिन $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$ , कहां $s_{z}$ निम्नलिखित असतत समूह के केवल मान ले सकते हैं:

s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.

एक बोसॉन (पूर्णांक स्पिन) और फ़र्मियन (आधा-पूर्णांक स्पिन) को अलग करता है। इंटरेक्शन प्रक्रियाओं में संरक्षित कुल कोणीय गति तब कक्षीय कोणीय गति और स्पिन का योग है।

पॉल मैट्रिसेस

ऑपरेटर (भौतिकी) # क्वांटम यांत्रिकी में ऑपरेटर स्पिन से जुड़े क्वांटम-मैकेनिकल ऑपरेटर-1/2 अवलोकनीय हैं

{\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},

जहां कार्टेशियन घटकों में

S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.

स्पिन के विशेष स्थिति के लिए-1/2 कण, $σ x$ , $σ y$ और $σ z$ तीन पॉल मैट्रिसेस हैं:

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

पाउली अपवर्जन सिद्धांत

प्रणालियों के लिए $N$ समान कण यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत से संबंधित है, जो बताता है कि इसकी तरंग क्रिया $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ किन्हीं दो के आदान-प्रदान पर बदलना चाहिए $N$ कणों के रूप में

\psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).

इस प्रकार, बोसोन प्रीफैक्टर के लिए $(-1) 2 s$ fermions के लिए -1 करने के लिए, +1 करने के लिए कम हो जाएगा। क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसोन या फ़र्मियन होते हैं। कुछ सट्टा सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में सुपरसिमेट्री कण भी सम्मिलित हैं, जहां बोसोनिक और फर्मीओनिक घटकों के रैखिक संयोजन दिखाई देते हैं। दो आयामों में, प्रीफैक्टर $(-1) 2 s$ 1 परिमाण की किसी भी जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जैसे कि किसी में भी।

उपरोक्त क्रमचय के लिए अभिधारणा है $N$ -कण अवस्था फ़ंक्शंस के दैनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं, उदा रासायनिक तत्वों की आवर्त सारणी ।

रोटेशन

जैसा कि ऊपर वर्णित है, क्वांटम यांत्रिकी में कहा गया है कि किसी भी दिशा में मापा गया कोणीय गति का स्थानिक सदिश केवल कई असतत मान ले सकता है। कण के स्पिन का सबसे सुविधाजनक क्वांटम-मैकेनिकल विवरण इसलिए एक दिए गए अक्ष पर अपने आंतरिक कोणीय गति के प्रक्षेपण के दिए गए मान को खोजने के आयामों के अनुरूप जटिल संख्याओं के एक समूह के साथ है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए-1/2 कण, हमें दो नंबरों की आवश्यकता होगी $a \pm1/2$ , के बराबर कोणीय गति के प्रक्षेपण के साथ इसे खोजने का आयाम दे रहा है $+ ħ / 2$ और $- ħ / 2$ , आवश्यकता को पूरा करना

|a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.

स्पिन के साथ एक सामान्य कण के लिए $s$ , हमे चाहिए होगा $2 s + 1$ ऐसे पैरामीटर। चूँकि ये संख्याएँ अक्ष की पसंद पर निर्भर करती हैं, इसलिए जब इस अक्ष को घुमाया जाता है तो वे गैर-तुच्छ रूप से एक दूसरे में बदल जाती हैं। यह स्पष्ट है कि परिवर्तन कानून रैखिक होना चाहिए, इसलिए हम प्रत्येक घुमाव के साथ एक मैट्रिक्स को जोड़कर इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और रोटेशन ए और बी के अनुरूप दो रूपांतरण मैट्रिसेस का उत्पाद रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के बराबर (चरण तक) होना चाहिए। एबी। इसके अतिरिक्त, घुमाव क्वांटम-मैकेनिकल आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं, और इसलिए हमारे परिवर्तन मैट्रिसेस भी होने चाहिए:

\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),

\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.

गणितीय रूप से बोलते हुए, ये मैट्रिसेस रोटेशन समूह SO(3) का एक एकात्मक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करते हैं। ऐसा प्रत्येक प्रतिनिधित्व SO(3) के कवरिंग समूह के प्रतिनिधित्व से अनुरूप है, जो SU(2) है।^[21] वहां एक है $n$ प्रत्येक आयाम के लिए एसयू (2) का आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व, हालांकि यह प्रतिनिधित्व है $n$ विषम के लिए आयामी वास्तविक $n$ और $n$ सम के लिए आयामी परिसर $n$ (इसलिए वास्तविक आयाम $2 n$ ). कोण से घूर्णन के लिए $θ$ विमान में सामान्य वेक्टर के साथ ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ,

U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },

कहां ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ , और $S$ #ऑपरेटर का वेक्टर है।

Proof

Working in the coordinate system where ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ , we would like to show that $S x$ and $S y$ are rotated into each other by the angle $θ$ . Starting with $S x$ . Using units where $ħ = 1$ :

{\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\ldots \end{aligned}}

Using the spin operator commutation relations, we see that the commutators evaluate to $i S y$ for the odd terms in the series, and to $S x$ for all of the even terms. Thus:

{\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\ldots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}

as expected. Note that since we only relied on the spin operator commutation relations, this proof holds for any dimension (i.e., for any principal spin quantum number $s$ ).^[22]

यूलर कोण ों का उपयोग करके इस प्रकार के कंपाउंडिंग ऑपरेटरों द्वारा 3-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य रोटेशन बनाया जा सकता है:

{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.

ऑपरेटरों के इस समूह का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व विग्नर डी-मैट्रिक्स द्वारा प्रस्तुत किया गया है:

D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },

कहां

d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle

विग्नर डी-मैट्रिक्स # विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स है विग्नर का छोटा डी-मैट्रिक्स। ध्यान दें कि के लिए $γ = 2π$ और $α = β = 0$ ; अर्थात, के बारे में एक पूर्ण रोटेशन $z$ अक्ष, विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व बन जाते हैं

D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.

यह याद करते हुए कि एक सामान्य स्पिन स्थिति को निश्चित राज्यों के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है $m$ , हम देखते हैं कि अगर $s$ एक पूर्णांक है, के मान $m$ सभी पूर्णांक हैं, और यह मैट्रिक्स पहचान ऑपरेटर से मेल खाती है। हालांकि, यदि $s$ एक आधा पूर्णांक है, के मान $m$ सभी अर्ध-पूर्णांक हैं, दे रहे हैं $(-1) 2 m = -1$ सबके लिए $m$ , और इसलिए 2 से घुमाने पर $π$ राज्य एक ऋण चिह्न उठाता है। यह तथ्य स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के प्रमाण का एक महत्वपूर्ण तत्व है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

हम सामान्य लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों के तहत स्पिन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए एक ही दृष्टिकोण का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन हम तुरंत एक बड़ी बाधा खोज लेंगे। एसओ (3) के विपरीत, लोरेंत्ज़ परिवर्तन ों का समूह एसओ (3,1) कॉम्पैक्ट समूह गैर-कॉम्पैक्ट है और इसलिए इसमें कोई वफादार, एकात्मक, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।

स्पिन के स्थिति में-1/2 कण, एक निर्माण को खोजना संभव है जिसमें परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और एक स्केलर उत्पाद सम्मिलित है जो इस प्रतिनिधित्व द्वारा संरक्षित है। हम एक 4-घटक डायराक स्पिनर को संबद्ध करते हैं $ψ$ प्रत्येक कण के साथ। ये स्पिनर कानून के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत रूपांतरित होते हैं

\psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,

कहां $γ ν$ गामा मैट्रिक्स हैं, और $ω μν$ एक एंटीसिमेट्रिक 4 × 4 मैट्रिक्स है जो ट्रांसफ़ॉर्मेशन को पैरामीट्रिज़ कर रहा है। यह दिखाया जा सकता है कि स्केलर उत्पाद

\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi

संरक्षित है। हालाँकि, यह सकारात्मक-निश्चित नहीं है, इसलिए प्रतिनिधित्व एकात्मक नहीं है।

स्पिन के साथ माप $x$ , $y$ , या $z$ कुल्हाड़ियों

स्पिन के प्रत्येक (हर्मिटियन मैट्रिक्स ) पाउली मैट्रिसेस-1/2 कणों के दो eigenvalues हैं, +1 और -1। संबंधित सामान्यीकृत तरंग समारोह ईजेनवेक्टर हैं

{\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}

(चूँकि किसी स्थिरांक से गुणा किया गया कोई भी eigenvector अभी भी एक eigenvector है, समग्र संकेत के बारे में अस्पष्टता है। इस लेख में, संकेत अस्पष्टता होने पर पहले तत्व को काल्पनिक और नकारात्मक बनाने के लिए सम्मेलन को चुना गया है। वर्तमान सम्मेलन द्वारा उपयोग किया जाता है। SymPy जैसे सॉफ्टवेयर; जबकि कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकें, जैसे सकुराई और ग्रिफिथ्स, इसे वास्तविक और सकारात्मक बनाना पसंद करती हैं।)

क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा $x$ , $y$ , या $z$ अक्ष केवल संबंधित स्पिन ऑपरेटर का एक आइगेनवेल्यू उत्पन्न कर सकता है ( $S x$ , $S y$ या $S z$ ) उस धुरी पर, अर्थात $ħ / 2$ या $- ħ / 2$ . एक कण की क्वांटम स्थिति (स्पिन के संबंध में), दो-घटक स्पिनर द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है:

\psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.

जब इस कण के स्पिन को किसी दिए गए अक्ष के संबंध में मापा जाता है (इस उदाहरण में, $x$ अक्ष), संभावना है कि इसके स्पिन को मापा जाएगा $ħ / 2$ बस है ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ . तदनुसार, संभावना है कि इसके स्पिन को मापा जाएगा $- ħ / 2$ बस है ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ . माप के बाद, कण वेवफंक्शन पतन स्पिन स्थिति संबंधित ईजेनस्टेट में गिर जाती है। परिणामस्वरूप, यदि किसी दिए गए अक्ष के साथ कण के स्पिन को एक दिए गए ईजेनवेल्यू के लिए मापा गया है, तो सभी मापों से एक ही आइगेनवेल्यू निकलेगा (चूंकि ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$ , आदि), बशर्ते कि स्पिन का कोई माप अन्य अक्षों के साथ न किया जाए।

एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप

एक अनियंत्रित अक्ष दिशा के साथ स्पिन को मापने के लिए ऑपरेटर पाउली स्पिन मैट्रिसेस से आसानी से प्राप्त किया जाता है। होने देना $u = (u x, u y, u z)$ एक यादृच्छिक इकाई वेक्टर बनें। फिर इस दिशा में घुमाने के लिए ऑपरेटर सरल है

S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).

परिचालक $S u$ के आइगेनवैल्यू हैं $\pm ħ / 2$ , सामान्य स्पिन मेट्रिसेस की तरह। एक यादृच्छिक दिशा में स्पिन के लिए ऑपरेटर खोजने का यह तरीका उच्च स्पिन राज्यों को सामान्यीकृत करता है, तीन के लिए तीन ऑपरेटरों के वेक्टर के साथ दिशा का डॉट उत्पाद लेता है $x$ -, $y$ -, $z$ -अक्ष दिशाएँ।

स्पिन के लिए एक सामान्यीकृत स्पिनर-1/2 में $(u x, u y, u z)$ दिशा (जो स्पिन डाउन को छोड़कर सभी स्पिन स्टेट्स के लिए काम करती है, जहां यह देगी 0/0) है

{\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.

उपरोक्त स्पिनर को सामान्य तरीके से विकर्ण करके प्राप्त किया जाता है $σ u$ मैट्रिक्स और eigenvalues के अनुरूप eigenstates ढूँढना। क्वांटम यांत्रिकी में, वैक्टर को सामान्यीकृत कारक से गुणा करने पर सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर में एकता की लंबाई होती है।

स्पिन माप की संगतता

चूंकि पाउली मेट्रिसेस क्रमविनिमेयता नहीं करते हैं, विभिन्न अक्षों के साथ स्पिन के माप असंगत हैं। इसका मतलब है कि अगर, उदाहरण के लिए, हम स्पिन को जानते हैं $x$ धुरी, और फिर हम स्पिन को मापते हैं $y$ धुरी, हमने अपने पिछले ज्ञान को अमान्य कर दिया है $x$ धुरी स्पिन। इसे पाउली मेट्रिसेस के ईजेनवेक्टरों (अर्थात् ईजेनस्टेट्स) के गुण से देखा जा सकता है कि

{\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.

तो जब भौतिक विज्ञानी एक कण के स्पिन को मापते हैं $x$ अक्ष के रूप में, उदाहरण के लिए, $ħ / 2$ , कण की स्पिन अवस्था वेवफंक्शन ईजेनस्टेट में गिर जाती है $|\psi _{x+}\rangle$ . जब हम बाद में कण के स्पिन को मापते हैं $y$ अक्ष, स्पिन स्थिति अब या तो ढह जाएगी $|\psi _{y+}\rangle$ या $|\psi _{y-}\rangle$ , प्रत्येक संभावना के साथ 1/2. आइए हम अपने उदाहरण में कहें कि हम मापते हैं $- ħ / 2$ . अब जब हम कण के चक्रण को नापने के लिए लौटते हैं $x$ अक्ष फिर से, संभावनाएँ जो हम मापेंगे $ħ / 2$ या $- ħ / 2$ प्रत्येक हैं 1/2 (अर्थात वे हैं ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ और ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ क्रमश)। इसका तात्पर्य है कि स्पिन के साथ मूल माप $x$ अक्ष अब मान्य नहीं है, क्योंकि स्पिन साथ में है $x$ अक्ष को अब समान प्रायिकता के साथ या तो eigenvalue के रूप में मापा जाएगा।

उच्च स्पिन

स्पिन-1/2 ऑपरेटर $S = ħ / 2 σ$ SU(2)SU(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का मौलिक प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रतिनिधित्व के क्रोनेकर उत्पादों को बार-बार अपने साथ ले कर, कोई भी सभी उच्च अप्रासंगिक प्रतिनिधित्वों का निर्माण कर सकता है। यही है, तीन स्थानिक आयामों में उच्च-स्पिन प्रणाली के लिए परिणामी स्पिन ऑपरेटर ों की गणना मनमाने ढंग से बड़े आकार के लिए की जा सकती है। $s$ इस स्पिन ऑपरेटर और लैडर ऑपरेटर # कोणीय गति का उपयोग करना। उदाहरण के लिए, दो स्पिन का क्रोनकर उत्पाद लेना-1/2 एक चार-आयामी प्रतिनिधित्व उत्पन्न करता है, जो एक 3-आयामी स्पिन-1 (त्रिक अवस्था ) और 1-आयामी स्पिन-0 प्रतिनिधित्व (एकल अवस्था ) में वियोज्य है।

परिणामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन जेड-आधार में निम्नलिखित स्पिन मेट्रिसेस और ईजेनवेल्यूज उत्पन्न करते हैं:

For spin 1 they are $\begin{aligned} S_{x} & = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), & {| 1, + 1 ⟩}_{x} & = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}), & {| 1, 0 ⟩}_{x} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), & {| 1, - 1 ⟩}_{x} & = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) \\ S_{y} & = \frac{ℏ}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix}), & {| 1, + 1 ⟩}_{y} & = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 1 \\ - i \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}), & {| 1, 0 ⟩}_{y} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), & {| 1, - 1 ⟩}_{y} & = \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 1 \\ i \sqrt{2} \\ 1 \end{matrix}) \\ S_{z} & = ℏ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}), & {| 1, + 1 ⟩}_{z} & = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{aligned}$
स्पिन के लिए 3/2 वे हैं $\begin{array}{lclc} S_{x} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{matrix}), & {| \frac{3}{2}, \frac{+ 3}{2} ⟩}_{x} = & \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ \sqrt{3} \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix}), & {| \frac{3}{2}, \frac{+ 1}{2} ⟩}_{x} = & \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} - \sqrt{3} \\ - 1 \\ 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix}), & {| \frac{3}{2}, \frac{- 1}{2} ⟩}_{x} = & \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ - 1 \\ - 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix}), & {| \frac{3}{2}, \frac{- 3}{2} ⟩}_{x} = & \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix}) \\ S_{y} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & - i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ i \sqrt{3} & 0 & - 2 i & 0 \\ 0 & 2 i & 0 & - i \sqrt{3} \\ 0 & 0 & i \sqrt{3} & 0 \end{matrix}), & | \end{array}$
स्पिन के लिए 5/2 वे हैं $\begin{aligned} S_{x} & = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & \sqrt{5} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 2 \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \sqrt{2} & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 2 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \sqrt{2} & 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{5} & 0 \end{matrix}), \\ S_{y} & = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 0 & - i \sqrt{5} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ i \sqrt{5} & 0 & - 2 i \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 i \sqrt{2} & 0 & - 3 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 i & 0 & - 2 i \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 i \sqrt{2} & 0 & - i \sqrt{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i \sqrt{5} & 0 \end{matrix}), \\ S_{z} & = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - \end{matrix} \end{aligned}$
मनमाना स्पिन के लिए इन मेट्रिसेस का सामान्यीकरण $s$ है ${\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}$ जहां सूचकांक $a,b$ पूर्णांक संख्याएँ हैं जैसे कि $1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.$

बहुकण प्रणाली के क्वांटम यांत्रिकी में भी उपयोगी, सामान्य पाउली समूह $G n$ सभी को सम्मिलित करने के लिए परिभाषित किया गया है $n$ पाउली मेट्रिसेस के फोल्ड टेन्सर उत्पाद।

पाउली मैट्रिसेस का अनुरूप सूत्र

{\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}

उच्च स्पिन के लिए ट्रैक्टेबल है, लेकिन कम सरल है।^[23]

समता

स्पिन क्वांटम संख्या की तालिकाओं में $s$ नाभिक या कणों के लिए, चक्रण के बाद प्रायः + या - होता है। यह समता के लिए + के साथ समता (भौतिकी) को संदर्भित करता है (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्य) और - विषम समता के लिए (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अस्वीकृत तरंग कार्य)। उदाहरण के लिए, बिस्मथ के समस्थानिक देखें, जिसमें समस्थानिकों की सूची में कॉलम स्पिन क्वांटम संख्या #Nuclear spin और parity सम्मिलित है। द्वि-209 के लिए, एकमात्र स्थिर समस्थानिक, प्रविष्टि 9/2– का अर्थ है कि परमाणु चक्रण 9/2 है और समता विषम है।

अनुप्रयोग

स्पिन के महत्वपूर्ण सैद्धांतिक निहितार्थ और व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। स्पिन के सुस्थापित प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं:

रसायन विज्ञान में परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) स्पेक्ट्रोस्कोपी;
रसायन विज्ञान और भौतिकी में इलेक्ट्रॉन स्पिन अनुनाद (ईएसआर या ईपीआर) स्पेक्ट्रोस्कोपी;
चिकित्सा में चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई), एक प्रकार का लागू एनएमआर, जो प्रोटॉन स्पिन घनत्व पर निर्भर करता है;
आधुनिक हार्ड डिस्क में विशाल मैग्नेटोरेसिस्टिव प्रभाव (जीएमआर) ड्राइव-हेड तकनीक।

कंप्यूटर मेमोरी में उदाहरण के लिए अनुप्रयोगों के साथ इलेक्ट्रॉन स्पिन चुंबकत्व में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। रासायनिक स्पेक्ट्रोस्कोपी और चिकित्सा इमेजिंग में रेडियो आवृत्ति तरंगों (परमाणु चुंबकीय अनुनाद) द्वारा परमाणु स्पिन का हेरफेर महत्वपूर्ण है।

स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग परमाणु स्पेक्ट्रा की ठीक संरचना की ओर ले जाती है, जिसका उपयोग परमाणु घड़ियों में और दूसरी की आधुनिक परिभाषा में किया जाता है। की सटीक माप $g$ इलेक्ट्रॉन के कारक ने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के विकास और सत्यापन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। फोटॉन स्पिन प्रकाश के ध्रुवीकरण (तरंगों) (फोटॉन ध्रुवीकरण ) से जुड़ा है।

स्पिन का एक उभरता हुआ अनुप्रयोग स्पिन ट्रांजिस्टर में बाइनरी सूचना वाहक के रूप में है। 1990 में प्रस्तावित मूल अवधारणा को दत्ता-दास स्पिन ट्रांजिस्टर के रूप में जाना जाता है।^[24] स्पिन ट्रांजिस्टर पर आधारित इलेक्ट्रॉनिक्स को spintronics कहा जाता है। ZnO-आधारित पतला चुंबकीय अर्धचालक ों में स्पिन का हेरफेर, जैसे कि धातु-डोप्ड ज़िंक ऑक्साइड या टाइटेनियम डाइऑक्साइड TiO₂स्वतंत्रता की एक और डिग्री प्रदान करता है और अधिक कुशल इलेक्ट्रॉनिक्स के निर्माण की सुविधा प्रदान करने की क्षमता रखता है।^[25] रसायन विज्ञान की आवर्त सारणी से शुरू होने वाले स्पिन और संबद्ध पाउली बहिष्करण सिद्धांत के कई अप्रत्यक्ष अनुप्रयोग और अभिव्यक्तियाँ हैं।

इतिहास

वोल्फगैंग पाउली व्याख्यान दे रहे हैं

स्पिन की खोज सबसे पहले क्षार धातुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के संदर्भ में की गई थी। 1924 में, वोल्फगैंग अर्नेस्ट पाउली ने पेश किया जिसे उन्होंने दो-मूल्यवानता कहा जो शास्त्रीय रूप से वर्णित नहीं है^[26] सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन खोल में इलेक्ट्रॉन कवच साथ जुड़ा हुआ है। इसने उन्हें पाउली अपवर्जन सिद्धांत तैयार करने की स्वीकृति दी, जिसमें कहा गया था कि एक ही क्वांटम प्रणाली में दो इलेक्ट्रॉनों की समान क्वांटम स्थिति नहीं हो सकती है।

पाउली की स्वतंत्रता की डिग्री की भौतिक व्याख्या शुरू में अज्ञात थी। अल्फ्रेड लैंडे के सहायकों में से एक राल्फ क्रोनिग ने 1925 की शुरुआत में सुझाव दिया कि यह इलेक्ट्रॉन के स्व-घूर्णन द्वारा निर्मित किया गया था। जब पाउली ने इस विचार के बारे में सुना, तो उन्होंने इसकी कड़ी आलोचना की, यह देखते हुए कि इलेक्ट्रॉन की काल्पनिक सतह को प्रकाश की गति से अधिक तेजी से आगे बढ़ना होगा ताकि यह आवश्यक कोणीय गति उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त रूप से घूम सके। यह सापेक्षता के सिद्धांत का उल्लंघन करेगा। मोटे तौर पर पाउली की आलोचना के कारण, क्रोनिग ने अपने विचार को प्रकाशित नहीं करने का निर्णय लिया।

1925 की शरद ऋतु में, लीडेन विश्वविद्यालय में डच भौतिकविदों जॉर्ज उहलेनबेक और सैमुअल गौडस्मिट के मन में भी यही विचार आया। पॉल एहरनफेस्ट की सलाह के तहत उन्होंने अपने परिणाम प्रकाशित किए।^[27] इसे एक अनुकूल प्रतिक्रिया मिली, विशेष रूप से लेवेलिन थॉमस द्वारा प्रयोगात्मक परिणामों और उहलेनबेक और गौडस्मिट की गणनाओं (और क्रोनिग के अप्रकाशित परिणामों) के बीच एक कारक-दो विसंगति को हल करने में कामयाब होने के बाद। यह विसंगति इलेक्ट्रॉन की स्पर्शरेखा फ्रेम के अभिविन्यास के साथ-साथ इसकी स्थिति के कारण थी।

गणितीय रूप से बोलना, फाइबर बंडल विवरण की आवश्यकता है। स्पर्शरेखा बंडल प्रभाव योज्य और सापेक्षवादी है; अर्थात प्रकाश की गति से गायब हो जाता है $c$ अनंत तक जाता है। यह स्पर्शरेखा-अंतरिक्ष अभिविन्यास के संबंध में प्राप्त मूल्य का आधा है, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ। इस प्रकार संयुक्त प्रभाव उत्तरार्द्ध से एक कारक दो (थॉमस प्रीसेशन , जिसे 1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन के नाम से जाना जाता है) से भिन्न होता है।

अपनी प्रारंभिक आपत्तियों के बावजूद, पाउली ने इरविन श्रोडिंगर श्रोडिंगर और वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा आविष्कृत क्वांटम यांत्रिकी के आधुनिक सिद्धांत का उपयोग करते हुए, 1927 में स्पिन के सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया। उन्होंने स्पिन ऑपरेटरों के एक समूह प्रतिनिधित्व के रूप में पाउली मेट्रिसेस के उपयोग का बीड़ा उठाया और दो-घटक स्पिनर वेव-फंक्शन की शुरुआत की। उहलेनबेक और गौडस्मिट ने स्पिन को शास्त्रीय रोटेशन से उत्पन्न माना, जबकि पाउली ने जोर दिया कि स्पिन गैर-शास्त्रीय और आंतरिक संपत्ति है।^[28] पाउली का स्पिन का सिद्धांत गैर-सापेक्षवादी था। हालाँकि, 1928 में, पॉल डिराक ने डिराक समीकरण प्रकाशित किया, जिसमें सापेक्षतावादी इलेक्ट्रॉन का वर्णन किया गया था। डिराक समीकरण में, एक चार-घटक स्पिनर (जिसे डायराक स्पिनर के रूप में जाना जाता है) का उपयोग इलेक्ट्रॉन तरंग-फ़ंक्शन के लिए किया गया था। सापेक्षतावादी स्पिन ने जाइरोमैग्नेटिक विसंगति की व्याख्या की, जो (पूर्वव्यापी में) पहली बार 1914 में शमूएल जैक्सन बार्नेट द्वारा देखी गई थी (आइंस्टीन-डी हास प्रभाव देखें)। 1940 में, पाउली ने स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को सिद्ध किया, जिसमें कहा गया है कि फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है, और बोसॉन में पूर्णांक स्पिन होता है।

रेट्रोस्पेक्ट में, इलेक्ट्रॉन स्पिन का पहला प्रत्यक्ष प्रायोगिक साक्ष्य 1922 का स्टर्न-गेरलाच प्रयोग था। हालाँकि, इस प्रयोग की सही व्याख्या केवल 1927 में दी गई थी।^[29]

यह भी देखें

चिरायता (भौतिकी)
गतिशील परमाणु ध्रुवीकरण
हेलिसिटी (कण भौतिकी)
होल्स्टीन-प्रिमाकॉफ परिवर्तन
क्रेमर्स प्रमेय
पाउली समीकरण
पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर
रारिटा-श्विंगर समीकरण
SU(2) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
प्रकाश की स्पिन कोणीय गति
स्पिन इंजीनियरिंग
स्पिन-फ्लिप
हाइड्रोजन के स्पिन आइसोमर्स
स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन
स्पिन टेंसर
स्पिन लहर
यास्ट

संदर्भ

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आगे की पढाई

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Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997

बाहरी कड़ियाँ

Quotations related to स्पिन (भौतिकी) at Wikiquote
Goudsmit on the discovery of electron spin.
Nature: "Milestones in 'spin' since 1896."
ECE 495N Lecture 36: Spin Online lecture by S. Datta

श्रेणी: घूर्णी समरूपता श्रेणी: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत श्रेणी:भौतिक मात्रा

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 स्पिन को गणितीय रूप से फोटॉन जैसे कुछ कणों के लिए वेक्टर के रूप में और इलेक्ट्रॉनों जैसे अन्य कणों के लिए [[ spinor ]] और [[ bispinor ]] के रूप में वर्णित किया गया है। स्पिनर और बिस्पिनर [[ यूक्लिडियन वेक्टर ]] के समान व्यवहार करते हैं: उनके पास निश्चित परिमाण होते हैं और घूर्णन के तहत परिवर्तन होते हैं; हालाँकि, वे एक अपरंपरागत दिशा का उपयोग करते हैं। किसी दिए गए प्रकार के सभी प्राथमिक कणों में स्पिन कोणीय गति का समान परिमाण होता है, हालांकि इसकी दिशा बदल सकती है। ये कण को [[ स्पिन क्वांटम संख्या ]] निर्दिष्ट करके इंगित किया जाता है।<ref name="griffiths183" />
-स्पिन की [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ]] शास्त्रीय कोणीय गति के समान है (यानी, [[ न्यूटन (इकाई) ]]·[[ मीटर ]]·[[ दूसरा ]], जूल·एस, या [[ किलोग्राम ]]·एम<sup>2</sup>·एस<sup>-1</sup>). व्यवहार में, स्पिन को कम प्लैंक स्थिरांक द्वारा स्पिन कोणीय गति को विभाजित करके एक आयामहीन स्पिन क्वांटम संख्या के रूप में दिया जाता है {{mvar|ħ}}, जिसका कोणीय संवेग के समान आयामी विश्लेषण है, हालांकि यह इस मान की पूर्ण गणना नहीं है। बहुत बार, स्पिन क्वांटम संख्या को केवल स्पिन कहा जाता है। यह तथ्य निहित है कि यह एक क्वांटम संख्या है।
+स्पिन की [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ]] शास्त्रीय कोणीय गति के समान है (अर्थात, [[ न्यूटन (इकाई) ]]·[[ मीटर ]]·[[ दूसरा ]], जूल·एस, या [[ किलोग्राम ]]·एम<sup>2</sup>·एस<sup>-1</sup>). व्यवहार में, स्पिन को कम प्लैंक स्थिरांक द्वारा स्पिन कोणीय गति को विभाजित करके एक आयामहीन स्पिन क्वांटम संख्या के रूप में दिया जाता है {{mvar|ħ}}, जिसका कोणीय संवेग के समान आयामी विश्लेषण है, हालांकि यह इस मान की पूर्ण गणना नहीं है। बहुत बार, स्पिन क्वांटम संख्या को केवल स्पिन कहा जाता है। यह तथ्य निहित है कि यह एक क्वांटम संख्या है।
 == इतिहास ==
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 * एक आवेशित कण का स्पिन एक जी-कारक (भौतिकी) के साथ एक [[ चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण ]] से जुड़ा होता है{{mvar|g}}-1 से अलग-अलग कारक। शास्त्रीय घूर्णन निकाय के लिए यह शास्त्रीय रूप से केवल जाइरोमैग्नेटिक अनुपात # जाइरोमैग्नेटिक अनुपात हो सकता है।
-स्पिन क्वांटम संख्या की पारंपरिक परिभाषा है {{math|1=''s'' = {{sfrac|''n''|2}}}}, कहां {{mvar|n}} कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। इसलिए के अनुमत मान {{mvar|s}} 0, स्पिन-1/2| हैं{{sfrac|1|2}}, 1, {{sfrac|3|2}}, 2, आदि का मान {{mvar|s}} एक प्राथमिक कण के लिए केवल कण के प्रकार पर निर्भर करता है और इसे किसी भी ज्ञात तरीके से नहीं बदला जा सकता है (नीचे वर्णित स्पिन दिशा के विपरीत)। स्पिन कोणीय गति {{mvar|S}} किसी भी भौतिक प्रणाली का कोणीय संवेग परिमाणीकरण है। के अनुमत मान {{mvar|S}} हैं
+स्पिन क्वांटम संख्या की पारंपरिक परिभाषा है {{math|1=''s'' = {{sfrac|''n''|2}}}}, कहां {{mvar|n}} कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। इसलिए के अनुमत मान {{mvar|s}} 0, स्पिन-1/2 हैं{{sfrac|1|2}}, 1, {{sfrac|3|2}}, 2, आदि का मान {{mvar|s}} एक प्राथमिक कण के लिए केवल कण के प्रकार पर निर्भर करता है और इसे किसी भी ज्ञात तरीके से नहीं बदला जा सकता है (नीचे वर्णित स्पिन दिशा के विपरीत)। स्पिन कोणीय गति {{mvar|S}} किसी भी भौतिक प्रणाली का कोणीय संवेग परिमाणीकरण है। के अनुमत मान {{mvar|S}} हैं
 <math display="block">S = \hbar \, \sqrt{s(s + 1)} = \frac{h}{2\pi} \, \sqrt{\frac{n}{2}\frac{(n + 2)}{2}} = \frac{h}{4\pi} \, \sqrt{n(n + 2)},</math>
-कहां {{mvar|h}} [[ प्लैंक स्थिरांक ]] है, और <math display="inline">\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। इसके विपरीत, कोणीय संवेग ऑपरेटर केवल पूर्णांक मानों को ही ले सकता है {{mvar|s}}; यानी, सम-संख्या वाले मान {{mvar|n}}.
+कहां {{mvar|h}} [[ प्लैंक स्थिरांक ]] है, और <math display="inline">\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। इसके विपरीत, कोणीय संवेग ऑपरेटर केवल पूर्णांक मानों को ही ले सकता है {{mvar|s}}; अर्थात, सम-संख्या वाले मान {{mvar|n}}.
 ===फर्मियन और बोसॉन ===
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 इसके कुछ गहरे परिणाम होते हैं:
-* क्वार्क और [[ लेप्टॉन ]] (इलेक्ट्रॉन और [[ न्युट्रीनो ]] सहित), जो शास्त्रीय रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, स्पिन-1/2|स्पिन के साथ सभी फ़र्मियन हैं{{sfrac|1|2}}. सामान्य विचार है कि पदार्थ अंतरिक्ष लेता है वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर कब्जा करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का [[ दबाव ]] (कभी-कभी [[ पतित पदार्थ ]] के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है।{{pb}} अन्य चक्रणों के साथ प्रारंभिक फर्मन ({{sfrac|3|2}}, {{sfrac|5|2}}, आदि) मौजूद नहीं हैं।
+* क्वार्क और [[ लेप्टॉन ]] (इलेक्ट्रॉन और [[ न्युट्रीनो ]] सहित), जो शास्त्रीय रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, स्पिन-1/2स्पिन के साथ सभी फ़र्मियन हैं{{sfrac|1|2}}. सामान्य विचार है कि पदार्थ अंतरिक्ष लेता है वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर कब्जा करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का [[ दबाव ]] (कभी-कभी [[ पतित पदार्थ ]] के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है।{{pb}} अन्य चक्रणों के साथ प्रारंभिक फर्मन ({{sfrac|3|2}}, {{sfrac|5|2}}, आदि) सम्मिलित नहीं हैं।
-* प्राथमिक कण जिन्हें [[ बल वाहक ]] माना जाता है, वे सभी स्पिन वाले बोसोन हैं 1। इनमें फोटॉन शामिल है, जो [[ विद्युत चुम्बकीय बल ]], ग्लूऑन ([[ मजबूत बल ]]), और डब्ल्यू और जेड बोसॉन ([[ कमजोर बल ]]) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर कब्जा करने की क्षमता का उपयोग [[ लेज़र ]] में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न [[ superfluid ]] [[ तरल हीलियम ]] बोसोन और [[ अतिचालकता ]] है, जहां [[ कूपर जोड़ी ]] (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल समग्र बोसोन के रूप में कार्य करती हैं।{{pb}} अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से अस्तित्व में नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक उपचार प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के भीतर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ [[ गुरुत्वाकर्षण ]] (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा अस्तित्व में होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ [[ हिग्स बॉसन ]] (इलेक्ट्रोवीक समरूपता को तोड़ने की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है मौजूद।<ref>[http://home.cern/topics/higgs-boson Information about Higgs Boson] in [[CERN]]'s official website.</ref> यह प्रकृति में मौजूद पहला [[ अदिश बोसोन ]] (स्पिन 0) है।
+* प्राथमिक कण जिन्हें [[ बल वाहक ]] माना जाता है, वे सभी स्पिन वाले बोसोन हैं 1। इनमें फोटॉन सम्मिलित है, जो [[ विद्युत चुम्बकीय बल ]], ग्लूऑन ([[ मजबूत बल ]]), और डब्ल्यू और जेड बोसॉन ([[ कमजोर बल ]]) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर कब्जा करने की क्षमता का उपयोग [[ लेज़र ]] में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न [[ superfluid ]] [[ तरल हीलियम ]] बोसोन और [[ अतिचालकता ]] है, जहां [[ कूपर जोड़ी ]] (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल समग्र बोसोन के रूप में कार्य करती हैं।{{pb}} अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से अस्तित्व में नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक उपचार प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के भीतर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ [[ गुरुत्वाकर्षण ]] (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा अस्तित्व में होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ [[ हिग्स बॉसन ]] (इलेक्ट्रोवीक समरूपता को तोड़ने की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है सम्मिलित।<ref>[http://home.cern/topics/higgs-boson Information about Higgs Boson] in [[CERN]]'s official website.</ref> यह प्रकृति में सम्मिलित पहला [[ अदिश बोसोन ]] (स्पिन 0) है।
 * परमाणु नाभिक में स्पिन क्वांटम संख्या # परमाणु स्पिन होती है जो या तो आधा-पूर्णांक या पूर्णांक हो सकती है, जिससे कि नाभिक या तो फ़र्मियन या बोसोन हो सकते हैं।
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 फोटॉन स्पिन प्रकाश ध्रुवीकरण (तरंगों) का क्वांटम-मैकेनिकल विवरण है, जहां स्पिन +1 और स्पिन -1 [[ गोलाकार ध्रुवीकरण ]] की दो विपरीत दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार, परिभाषित गोलाकार ध्रुवीकरण के प्रकाश में एक ही स्पिन वाले फोटॉन होते हैं, या तो सभी +1 या सभी -1। स्पिन अन्य सदिश बोसोन के लिए भी ध्रुवीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।
-फर्मियंस के लिए, चित्र कम स्पष्ट है। कोणीय वेग [[ एरेनफेस्ट प्रमेय ]] द्वारा [[ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ]] के व्युत्पन्न के बराबर है, जो कि कुल कोणीय गति ऑपरेटर है {{nobr|1='''J''' = '''L''' + '''S'''}}. इसलिए, यदि हैमिल्टन एच स्पिन एस पर निर्भर है, डीएच/डीएस गैर-शून्य है, और स्पिन कोणीय वेग का कारण बनता है, और इसलिए वास्तविक रोटेशन, यानी समय के साथ चरण-कोण संबंध में परिवर्तन। हालांकि, क्या यह मुक्त इलेक्ट्रॉन के लिए धारण करता है अस्पष्ट है, क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए, एस<sup>2</sup> स्थिर है, और इसलिए यह व्याख्या का विषय है कि हैमिल्टनियन में ऐसा शब्द शामिल है या नहीं। फिर भी, [[ डायराक समीकरण ]] में स्पिन प्रकट होता है, और इस प्रकार इलेक्ट्रॉन के सापेक्षवादी हैमिल्टनियन, जिसे डायराक क्षेत्र के रूप में माना जाता है, को स्पिन एस में निर्भरता के रूप में व्याख्या की जा सकती है।<ref>[[Michael Peskin|Peskin, M. E.]], & Schroeder, D. V. (1995). ''Quantum field theory'', Ch.&nbsp;3. The Advanced Book Program.</ref> इस व्याख्या के तहत, मुक्त इलेक्ट्रॉन भी स्व-घूर्णन करते हैं, इस रोटेशन के रूप में समझे जाने वाले [[ हिलाने की क्रिया ]] प्रभाव के साथ।
+फर्मियंस के लिए, चित्र कम स्पष्ट है। कोणीय वेग [[ एरेनफेस्ट प्रमेय ]] द्वारा [[ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ]] के व्युत्पन्न के बराबर है, जो कि कुल कोणीय गति ऑपरेटर है {{nobr|1='''J''' = '''L''' + '''S'''}}. इसलिए, यदि हैमिल्टन एच स्पिन एस पर निर्भर है, डीएच/डीएस गैर-शून्य है, और स्पिन कोणीय वेग का कारण बनता है, और इसलिए वास्तविक रोटेशन, अर्थात समय के साथ चरण-कोण संबंध में परिवर्तन। हालांकि, क्या यह मुक्त इलेक्ट्रॉन के लिए धारण करता है अस्पष्ट है, क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए, एस<sup>2</sup> स्थिर है, और इसलिए यह व्याख्या का विषय है कि हैमिल्टनियन में ऐसा शब्द सम्मिलित है या नहीं। फिर भी, [[ डायराक समीकरण ]] में स्पिन प्रकट होता है, और इस प्रकार इलेक्ट्रॉन के सापेक्षवादी हैमिल्टनियन, जिसे डायराक क्षेत्र के रूप में माना जाता है, को स्पिन एस में निर्भरता के रूप में व्याख्या की जा सकती है।<ref>[[Michael Peskin|Peskin, M. E.]], & Schroeder, D. V. (1995). ''Quantum field theory'', Ch.&nbsp;3. The Advanced Book Program.</ref> इस व्याख्या के तहत, मुक्त इलेक्ट्रॉन भी स्व-घूर्णन करते हैं, इस रोटेशन के रूप में समझे जाने वाले [[ हिलाने की क्रिया ]] प्रभाव के साथ।
 == चुंबकीय क्षण ==
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 [[File:Neutron spin dipole field.jpg|thumbnail|right|ब्लैक एरो के रूप में न्यूट्रॉन के स्पिन को दर्शाने वाला योजनाबद्ध आरेख और [[ न्यूट्रॉन चुंबकीय क्षण ]] से जुड़ी चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ। न्यूट्रॉन का एक नकारात्मक चुंबकीय क्षण होता है। जबकि इस आरेख में न्यूट्रॉन का स्पिन ऊपर की ओर है, द्विध्रुव के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ नीचे की ओर हैं।]]स्पिन वाले कणों में चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण हो सकता है, ठीक शास्त्रीय विद्युतगतिकी में एक घूर्णन विद्युत आवेश पिंड की तरह। इन चुंबकीय क्षणों को प्रयोगात्मक रूप से कई तरीकों से देखा जा सकता है, उदा। स्टर्न-गेरलाच प्रयोग में अमानवीय [[ चुंबकीय क्षेत्र ]]ों द्वारा कणों के विक्षेपण द्वारा, या स्वयं कणों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को मापकर।
-आंतरिक चुंबकीय क्षण {{math|'''μ'''}} स्पिन-1/2|स्पिन-{{sfrac|1|2}}आवेश के साथ कण {{mvar|q}}, द्रव्यमान {{mvar|m}}, और स्पिन कोणीय गति {{math|'''S'''}}, है<ref>Physics of Atoms and Molecules, B.&nbsp;H. Bransden, C.&nbsp;J. Joachain, Longman, 1983, {{ISBN|0-582-44401-2}}.</ref>
+आंतरिक चुंबकीय क्षण {{math|'''μ'''}} स्पिन-1/2स्पिन-{{sfrac|1|2}}आवेश के साथ कण {{mvar|q}}, द्रव्यमान {{mvar|m}}, और स्पिन कोणीय गति {{math|'''S'''}}, है<ref>Physics of Atoms and Molecules, B.&nbsp;H. Bransden, C.&nbsp;J. Joachain, Longman, 1983, {{ISBN|0-582-44401-2}}.</ref>
 : <math>\boldsymbol{\mu} = \frac{g_s q}{2m} \mathbf{S},</math>
 जहां [[ आयाम रहित मात्रा ]] {{mvar|g<sub>s</sub>}} इसे स्पिन जी-फैक्टर (भौतिकी) #इलेक्ट्रॉन स्पिन जी-फैक्टर कहा जाता है{{mvar|g}}-कारक। विशेष रूप से कक्षीय घुमावों के लिए यह 1 होगा (यह मानते हुए कि द्रव्यमान और आवेश समान त्रिज्या के क्षेत्रों पर कब्जा करते हैं)।
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 अनुचुम्बकीय पदार्थों में, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण आंशिक रूप से बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होंगे। प्रतिचुम्बकीय पदार्थों में, दूसरी ओर, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण किसी बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत संरेखित होते हैं, भले ही ऐसा करने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता हो।
-ऐसे [[ स्पिन मॉडल ]] के व्यवहार का अध्ययन [[ संघनित पदार्थ भौतिकी ]] में अनुसंधान का एक संपन्न क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल स्पिन (डिपोल) का वर्णन करता है जिसमें केवल दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, ऊपर और नीचे, जबकि [[ हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) ]] में स्पिन वेक्टर को किसी भी दिशा में इंगित करने की अनुमति होती है। इन मॉडलों में कई दिलचस्प गुण हैं, जिससे [[ चरण संक्रमण ]] के सिद्धांत में दिलचस्प परिणाम सामने आए हैं।
+ऐसे [[ स्पिन मॉडल ]] के व्यवहार का अध्ययन [[ संघनित पदार्थ भौतिकी ]] में अनुसंधान का एक संपन्न क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल स्पिन (डिपोल) का वर्णन करता है जिसमें केवल दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, ऊपर और नीचे, जबकि [[ हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) ]] में स्पिन वेक्टर को किसी भी दिशा में इंगित करने की स्वीकृति  होती है। इन मॉडलों में कई दिलचस्प गुण हैं, जिससे [[ चरण संक्रमण ]] के सिद्धांत में दिलचस्प परिणाम सामने आए हैं।
 == दिशा ==
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 कहां {{mvar|S<sub>z</sub>}} साथ स्पिन घटक है {{mvar|z}}एक्सिस, {{mvar|s<sub>z</sub>}} साथ में स्पिन प्रोजेक्शन क्वांटम संख्या है {{mvar|z}}एक्सिस।
-कोई देख सकता है कि हैं {{math|2''s'' + 1}} के संभावित मान {{mvar|s<sub>z</sub>}}. जो नंबर{{math|2''s'' + 1}}स्पिन प्रणाली की [[ बहुलता (रसायन विज्ञान) ]] है। उदाहरण के लिए, स्पिन-1/2|स्पिन- के लिए केवल दो संभावित मान हैं{{sfrac|1|2}}कण: {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} और {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}. ये क्वांटम राज्यों के अनुरूप हैं जिनमें स्पिन घटक क्रमशः +z या -z दिशाओं में इंगित कर रहा है, और अक्सर इसे स्पिन अप और स्पिन डाउन के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक स्पिन के लिए-{{sfrac|3|2}} कण, एक [[ डी एल अन्य फील्ड रियान ]] की तरह, संभावित मान + हैं{{sfrac|3|2}}, +{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|3|2}}.
+कोई देख सकता है कि हैं {{math|2''s'' + 1}} के संभावित मान {{mvar|s<sub>z</sub>}}. जो नंबर{{math|2''s'' + 1}}स्पिन प्रणाली की [[ बहुलता (रसायन विज्ञान) ]] है। उदाहरण के लिए, स्पिन-1/2स्पिन- के लिए केवल दो संभावित मान हैं{{sfrac|1|2}}कण: {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} और {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}}. ये क्वांटम राज्यों के अनुरूप हैं जिनमें स्पिन घटक क्रमशः +z या -z दिशाओं में इंगित कर रहा है, और प्रायः इसे स्पिन अप और स्पिन डाउन के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक स्पिन के लिए-{{sfrac|3|2}} कण, एक [[ डी एल अन्य फील्ड रियान ]] की तरह, संभावित मान + हैं{{sfrac|3|2}}, +{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|3|2}}.
 === वेक्टर ===
 [[File:Spin One-Half (Slow).gif|thumb|अंतरिक्ष में एक बिंदु बिना उलझे लगातार घूम सकता है। ध्यान दें कि 360 डिग्री घुमाने के बाद, सर्पिल दक्षिणावर्त और वामावर्त झुकाव के बीच फ़्लिप करता है। यह spinor|पूर्ण 720° घूमने के बाद अपने मूल विन्यास में वापस आ जाता है।]]
-{{unreferenced section|date=May 2021}}
+किसी दिए गए क्वांटम राज्य के लिए, स्पिन वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है <math display="inline"> \lang S \rang </math> जिनके घटक प्रत्येक अक्ष के साथ स्पिन घटकों का अपेक्षित मूल्य (क्वांटम भौतिकी) हैं, अर्थात, <math display="inline"> \lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]</math>. यह वेक्टर तब उस दिशा का वर्णन करेगा जिसमें स्पिन इंगित कर रहा है, जो रोटेशन के अक्ष की शास्त्रीय अवधारणा के अनुरूप है। यह पता चला है कि स्पिन वेक्टर वास्तविक क्वांटम-यांत्रिक गणनाओं में बहुत उपयोगी नहीं है, क्योंकि इसे प्रत्यक्ष रूप से मापा नहीं जा सकता है: {{mvar|s<sub>x</sub>}}, {{mvar|s<sub>y</sub>}} और {{mvar|s<sub>z</sub>}} उनके बीच एक क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत के कारण एक साथ निश्चित मूल्य नहीं हो सकते। हालांकि, कणों के सांख्यिकीय रूप से बड़े संग्रह के लिए जिन्हें एक ही शुद्ध क्वांटम अवस्था में रखा गया है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच तंत्र के उपयोग के माध्यम से, स्पिन वेक्टर का एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक अर्थ है: यह साधारण अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करता है। जिसमें संग्रह में प्रत्येक कण का पता लगाने की अधिकतम संभव संभावना (100%) प्राप्त करने के लिए बाद के डिटेक्टर को उन्मुख होना चाहिए। स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, यह संभावना सुचारू रूप से कम हो जाती है क्योंकि स्पिन वेक्टर और डिटेक्टर के बीच का कोण 180 ° के कोण तक बढ़ जाता है - अर्थात, स्पिन वेक्टर के विपरीत दिशा में उन्मुख डिटेक्टरों के लिए - संग्रह से कणों का पता लगाने की अपेक्षा न्यूनतम 0% तक पहुँचता है।
-किसी दिए गए क्वांटम राज्य के लिए, स्पिन वेक्टर के बारे में सोचा जा सकता है <math display="inline"> \lang S \rang </math> जिनके घटक प्रत्येक अक्ष के साथ स्पिन घटकों का अपेक्षित मूल्य (क्वांटम भौतिकी) हैं, अर्थात, <math display="inline"> \lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]</math>. यह वेक्टर तब उस दिशा का वर्णन करेगा जिसमें स्पिन इंगित कर रहा है, जो रोटेशन के अक्ष की शास्त्रीय अवधारणा के अनुरूप है। यह पता चला है कि स्पिन वेक्टर वास्तविक क्वांटम-यांत्रिक गणनाओं में बहुत उपयोगी नहीं है, क्योंकि इसे सीधे मापा नहीं जा सकता है: {{mvar|s<sub>x</sub>}}, {{mvar|s<sub>y</sub>}} और {{mvar|s<sub>z</sub>}} उनके बीच एक क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत के कारण एक साथ निश्चित मूल्य नहीं हो सकते। हालांकि, कणों के सांख्यिकीय रूप से बड़े संग्रह के लिए जिन्हें एक ही शुद्ध क्वांटम अवस्था में रखा गया है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच तंत्र के उपयोग के माध्यम से, स्पिन वेक्टर का एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक अर्थ है: यह साधारण अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करता है। जिसमें संग्रह में प्रत्येक कण का पता लगाने की अधिकतम संभव संभावना (100%) प्राप्त करने के लिए बाद के डिटेक्टर को उन्मुख होना चाहिए। स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, यह संभावना सुचारू रूप से कम हो जाती है क्योंकि स्पिन वेक्टर और डिटेक्टर के बीच का कोण 180 ° के कोण तक बढ़ जाता है - अर्थात, स्पिन वेक्टर के विपरीत दिशा में उन्मुख डिटेक्टरों के लिए - संग्रह से कणों का पता लगाने की अपेक्षा न्यूनतम 0% तक पहुँचता है।
-एक गुणात्मक अवधारणा के रूप में, स्पिन वेक्टर अक्सर आसान होता है क्योंकि शास्त्रीय रूप से चित्र बनाना आसान होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन शास्त्रीय [[ जाइरोस्कोप ]] के अनुरूप घटना प्रदर्शित कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय क्षेत्र में रखकर एक इलेक्ट्रॉन पर एक प्रकार का टोक़ लगाया जा सकता है (क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण पर कार्य करता है-निम्न अनुभाग देखें)। इसका परिणाम यह होता है कि स्पिन वेक्टर क्लासिकल जाइरोस्कोप की तरह ही [[ अग्रगमन ]] से गुजरता है। इस घटना को [[ इलेक्ट्रॉन स्पिन अनुनाद ]] (ईएसआर) के रूप में जाना जाता है। परमाणु नाभिक में प्रोटॉन के समतुल्य व्यवहार का उपयोग परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) स्पेक्ट्रोस्कोपी और इमेजिंग में किया जाता है।
+एक गुणात्मक अवधारणा के रूप में, स्पिन वेक्टर प्रायः आसान होता है क्योंकि शास्त्रीय रूप से चित्र बनाना आसान होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन शास्त्रीय [[ जाइरोस्कोप ]] के अनुरूप घटना प्रदर्शित कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय क्षेत्र में रखकर एक इलेक्ट्रॉन पर एक प्रकार का टोक़ लगाया जा सकता है (क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण पर कार्य करता है-निम्न अनुभाग देखें)। इसका परिणाम यह होता है कि स्पिन वेक्टर क्लासिकल जाइरोस्कोप की तरह ही [[ अग्रगमन ]] से गुजरता है। इस घटना को [[ इलेक्ट्रॉन स्पिन अनुनाद ]] (ईएसआर) के रूप में जाना जाता है। परमाणु नाभिक में प्रोटॉन के समतुल्य व्यवहार का उपयोग परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) स्पेक्ट्रोस्कोपी और इमेजिंग में किया जाता है।
 गणितीय रूप से, क्वांटम-मैकेनिकल स्पिन राज्यों को वेक्टर-जैसी वस्तुओं द्वारा वर्णित किया जाता है जिन्हें स्पिनर कहा जाता है। निर्देशांक घूर्णन के तहत स्पिनरों और सदिशों के व्यवहार के बीच सूक्ष्म अंतर हैं। उदाहरण के लिए, स्पिन को घुमाना-{{sfrac|1|2}} 360° का कण इसे उसी क्वांटम अवस्था में वापस नहीं लाता है, बल्कि विपरीत क्वांटम चरण (तरंगों) वाली अवस्था में लाता है; यह पता लगाने योग्य है, सिद्धांत रूप में, हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) प्रयोगों के साथ। कण को उसकी सटीक मूल स्थिति में वापस लाने के लिए, 720 ° रोटेशन की आवश्यकता होती है। ([[ प्लेट ट्रिक ]] और मोबियस स्ट्रिप गैर-क्वांटम उपमाएं देते हैं।) एक स्पिन-शून्य कण में केवल एक क्वांटम स्थिति हो सकती है, यहां तक कि टॉर्क लागू होने के बाद भी। एक स्पिन-2 कण को 180° पर घुमाकर वापस उसी क्वांटम अवस्था में लाया जा सकता है, और एक स्पिन-4 कण को 90° घुमाकर उसी क्वांटम अवस्था में वापस लाया जा सकता है। स्पिन-2 कण एक सीधी छड़ी के समान हो सकता है जो 180° घुमाए जाने के बाद भी वही दिखता है, और एक स्पिन-0 कण को गोले के रूप में कल्पना की जा सकती है, जो किसी भी कोण से घूमने के बाद समान दिखता है।
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 ===ऑपरेटर ===
-{{unreferenced section|date=May 2021}}
 स्पिन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करता है<ref>{{Cite book|last=Messiah|first=Albert|author-link=Albert Messiah|url=https://www.worldcat.org/oclc/874097814|title=क्वांटम यांत्रिकी।|date=2014|publisher=Dover Publications|year=2014|isbn=978-1-306-51279-4|location=Mineola, NY|pages=540|language=en|chapter=Angular Momentum in Quantum Mechanics|oclc=874097814}}</ref> कोणीय गति ऑपरेटर के अनुरूप:
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 लेकिन कक्षीय कोणीय गति के विपरीत, ईजेनवेक्टर [[ गोलाकार हार्मोनिक्स ]] नहीं हैं। वे के कार्य नहीं हैं {{mvar|θ}} और {{mvar|φ}}. के आधे-पूर्णांक मानों को बाहर करने का भी कोई कारण नहीं है {{mvar|s}} और {{mvar|m<sub>s</sub>}}.
-सभी क्वांटम-मैकेनिकल कणों में एक आंतरिक स्पिन होती है <math>s</math> (हालांकि यह मान शून्य के बराबर हो सकता है)। स्पिन का प्रक्षेपण <math>s</math> किसी भी अक्ष पर घटी हुई प्लैंक स्थिरांक की इकाइयों में मात्रा निर्धारित की जाती है, जैसे कि कण का राज्य कार्य है, कहते हैं, नहीं <math>\psi=\psi(\vec r)</math>, लेकिन <math>\psi=\psi(\vec r,s_z)</math>, कहां <math>s_z</math> निम्नलिखित असतत सेट के केवल मान ले सकते हैं:
+सभी क्वांटम-मैकेनिकल कणों में एक आंतरिक स्पिन होती है <math>s</math> (हालांकि यह मान शून्य के बराबर हो सकता है)। स्पिन का प्रक्षेपण <math>s</math> किसी भी अक्ष पर घटी हुई प्लैंक स्थिरांक की इकाइयों में मात्रा निर्धारित की जाती है, जैसे कि कण का राज्य कार्य है, कहते हैं, नहीं <math>\psi=\psi(\vec r)</math>, लेकिन <math>\psi=\psi(\vec r,s_z)</math>, कहां <math>s_z</math> निम्नलिखित असतत समूह के केवल मान ले सकते हैं:
 : <math>s_z \in \{-s\hbar, -(s - 1)\hbar, \cdots, +(s - 1)\hbar, +s\hbar\}.</math>
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 === पॉल मैट्रिसेस ===
 {{main|Pauli matrices}}
-ऑपरेटर (भौतिकी) # क्वांटम यांत्रिकी में ऑपरेटर | स्पिन से जुड़े क्वांटम-मैकेनिकल ऑपरेटर-{{sfrac|1|2}} [[ अवलोकनीय ]] हैं
+ऑपरेटर (भौतिकी) # क्वांटम यांत्रिकी में ऑपरेटर  स्पिन से जुड़े क्वांटम-मैकेनिकल ऑपरेटर-{{sfrac|1|2}} [[ अवलोकनीय ]] हैं
 : <math>\hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma},</math>
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 : <math>S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z.</math>
-स्पिन के विशेष मामले के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, {{mvar|σ<sub>x</sub>}}, {{mvar|σ<sub>y</sub>}} और {{mvar|σ<sub>z</sub>}} तीन [[ पॉल मैट्रिसेस ]] हैं:
+स्पिन के विशेष स्थिति के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, {{mvar|σ<sub>x</sub>}}, {{mvar|σ<sub>y</sub>}} और {{mvar|σ<sub>z</sub>}} तीन [[ पॉल मैट्रिसेस ]] हैं:
 :<math>
@@ Line 151: / Line 149: @@
 : <math>\psi(\dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots ) =
   (-1)^{2s} \psi(\dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots).</math>
-इस प्रकार, बोसोन प्रीफैक्टर के लिए {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} fermions के लिए -1 करने के लिए, +1 करने के लिए कम हो जाएगा। क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसोन या फ़र्मियन होते हैं। कुछ सट्टा सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में [[ सुपरसिमेट्री ]] कण भी मौजूद हैं, जहां बोसोनिक और फर्मीओनिक घटकों के रैखिक संयोजन दिखाई देते हैं। दो आयामों में, प्रीफैक्टर {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} 1 परिमाण की किसी भी जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जैसे कि किसी में भी।
+इस प्रकार, बोसोन प्रीफैक्टर के लिए {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} fermions के लिए -1 करने के लिए, +1 करने के लिए कम हो जाएगा। क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसोन या फ़र्मियन होते हैं। कुछ सट्टा सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में [[ सुपरसिमेट्री ]] कण भी सम्मिलित हैं, जहां बोसोनिक और फर्मीओनिक घटकों के रैखिक संयोजन दिखाई देते हैं। दो आयामों में, प्रीफैक्टर {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} 1 परिमाण की किसी भी जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जैसे कि किसी में भी।
-उपरोक्त क्रमचय के लिए अभिधारणा है {{mvar|N}}-पार्टिकल स्टेट फ़ंक्शंस के दैनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं, उदा। रासायनिक तत्वों की [[ आवर्त सारणी ]]।
+उपरोक्त क्रमचय के लिए अभिधारणा है {{mvar|N}}-कण अवस्था फ़ंक्शंस के दैनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं, उदा रासायनिक तत्वों की [[ आवर्त सारणी ]]।
 === रोटेशन ===
 {{see also|Symmetry in quantum mechanics}}
-जैसा कि ऊपर वर्णित है, क्वांटम यांत्रिकी में कहा गया है कि किसी भी दिशा में मापा गया कोणीय गति का स्थानिक सदिश केवल कई असतत मान ले सकता है। कण के स्पिन का सबसे सुविधाजनक क्वांटम-मैकेनिकल विवरण इसलिए एक दिए गए अक्ष पर अपने आंतरिक कोणीय गति के प्रक्षेपण के दिए गए मान को खोजने के आयामों के अनुरूप जटिल संख्याओं के एक सेट के साथ है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, हमें दो नंबरों की आवश्यकता होगी {{math|''a''<sub>±1/2</sub>}}, के बराबर कोणीय गति के प्रक्षेपण के साथ इसे खोजने का आयाम दे रहा है {{math|+{{sfrac|''ħ''|2}}}} और {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}, आवश्यकता को पूरा करना
+जैसा कि ऊपर वर्णित है, क्वांटम यांत्रिकी में कहा गया है कि किसी भी दिशा में मापा गया कोणीय गति का स्थानिक सदिश केवल कई असतत मान ले सकता है। कण के स्पिन का सबसे सुविधाजनक क्वांटम-मैकेनिकल विवरण इसलिए एक दिए गए अक्ष पर अपने आंतरिक कोणीय गति के प्रक्षेपण के दिए गए मान को खोजने के आयामों के अनुरूप जटिल संख्याओं के एक समूह के साथ है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, हमें दो नंबरों की आवश्यकता होगी {{math|''a''<sub>±1/2</sub>}}, के बराबर कोणीय गति के प्रक्षेपण के साथ इसे खोजने का आयाम दे रहा है {{math|+{{sfrac|''ħ''|2}}}} और {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}, आवश्यकता को पूरा करना
 : <math>|a_{+1/2}|^2 + |a_{-1/2}|^2 = 1.</math>
-स्पिन के साथ एक सामान्य कण के लिए {{mvar|s}}, हमे चाहिए होगा {{math|2''s'' + 1}} ऐसे पैरामीटर। चूँकि ये संख्याएँ अक्ष की पसंद पर निर्भर करती हैं, इसलिए जब इस अक्ष को घुमाया जाता है तो वे गैर-तुच्छ रूप से एक दूसरे में बदल जाती हैं। यह स्पष्ट है कि परिवर्तन कानून रैखिक होना चाहिए, इसलिए हम प्रत्येक घुमाव के साथ एक मैट्रिक्स को जोड़कर इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और रोटेशन ए और बी के अनुरूप दो रूपांतरण मैट्रिसेस का उत्पाद रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के बराबर (चरण तक) होना चाहिए। एबी। इसके अलावा, घुमाव क्वांटम-मैकेनिकल आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं, और इसलिए हमारे परिवर्तन मैट्रिसेस भी होने चाहिए:
+स्पिन के साथ एक सामान्य कण के लिए {{mvar|s}}, हमे चाहिए होगा {{math|2''s'' + 1}} ऐसे पैरामीटर। चूँकि ये संख्याएँ अक्ष की पसंद पर निर्भर करती हैं, इसलिए जब इस अक्ष को घुमाया जाता है तो वे गैर-तुच्छ रूप से एक दूसरे में बदल जाती हैं। यह स्पष्ट है कि परिवर्तन कानून रैखिक होना चाहिए, इसलिए हम प्रत्येक घुमाव के साथ एक मैट्रिक्स को जोड़कर इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और रोटेशन ए और बी के अनुरूप दो रूपांतरण मैट्रिसेस का उत्पाद रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के बराबर (चरण तक) होना चाहिए। एबी। इसके अतिरिक्त, घुमाव क्वांटम-मैकेनिकल आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं, और इसलिए हमारे परिवर्तन मैट्रिसेस भी होने चाहिए:
 : <math>
@@ Line 169: / Line 167: @@
   \sum_{n=-j}^j \sum_{k=-j}^j U_{np}^* U_{kq} = \delta_{pq}.
 </math>
-गणितीय रूप से बोलते हुए, ये मैट्रिसेस रोटेशन समूह SO(3) का एक एकात्मक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करते हैं। ऐसा प्रत्येक प्रतिनिधित्व SO(3) के कवरिंग समूह के प्रतिनिधित्व से मेल खाता है, जो [[ SU(2) ]] है।<ref>{{cite book
+गणितीय रूप से बोलते हुए, ये मैट्रिसेस रोटेशन समूह SO(3) का एक एकात्मक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करते हैं। ऐसा प्रत्येक प्रतिनिधित्व SO(3) के कवरिंग समूह के प्रतिनिधित्व से अनुरूप है, जो [[ SU(2) ]] है।<ref>{{cite book
   |author=B. C. Hall
   |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|publisher=Springer
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 : <math>d^s_{m'm}(\beta) = \langle sm' | e^{-i\beta s_y} | sm \rangle</math>
-विग्नर डी-मैट्रिक्स # विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स है | विग्नर का छोटा डी-मैट्रिक्स। ध्यान दें कि के लिए {{math|1=''γ'' = 2π}} और {{math|1=''α'' = ''β'' = 0}}; यानी, के बारे में एक पूर्ण रोटेशन {{mvar|z}}अक्ष, विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व बन जाते हैं
+विग्नर डी-मैट्रिक्स # विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स है  विग्नर का छोटा डी-मैट्रिक्स। ध्यान दें कि के लिए {{math|1=''γ'' = 2π}} और {{math|1=''α'' = ''β'' = 0}}; अर्थात, के बारे में एक पूर्ण रोटेशन {{mvar|z}}अक्ष, विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व बन जाते हैं
 : <math>D^s_{m'm}(0, 0, 2\pi) = d^s_{m'm}(0) e^{-i m 2 \pi} = \delta_{m'm} (-1)^{2m}.</math>
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 === लोरेंत्ज़ परिवर्तन ===
-{{unreferenced section|date=May 2021}}
+हम सामान्य लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों के तहत स्पिन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए एक ही दृष्टिकोण का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन हम तुरंत एक बड़ी बाधा खोज लेंगे। एसओ (3) के विपरीत, [[ लोरेंत्ज़ परिवर्तन ]]ों का समूह एसओ (3,1) [[ कॉम्पैक्ट समूह ]]  गैर-कॉम्पैक्ट है और इसलिए इसमें कोई वफादार, एकात्मक, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।
-हम सामान्य लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों के तहत स्पिन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए एक ही दृष्टिकोण का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन हम तुरंत एक बड़ी बाधा खोज लेंगे। एसओ (3) के विपरीत, [[ लोरेंत्ज़ परिवर्तन ]]ों का समूह एसओ (3,1) [[ कॉम्पैक्ट समूह ]] | गैर-कॉम्पैक्ट है और इसलिए इसमें कोई वफादार, एकात्मक, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।
-स्पिन के मामले में-{{sfrac|1|2}} कण, एक निर्माण को खोजना संभव है जिसमें परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और एक स्केलर उत्पाद शामिल है जो इस प्रतिनिधित्व द्वारा संरक्षित है। हम एक 4-घटक डायराक स्पिनर को संबद्ध करते हैं {{mvar|ψ}} प्रत्येक कण के साथ। ये स्पिनर कानून के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत रूपांतरित होते हैं
+स्पिन के स्थिति में-{{sfrac|1|2}} कण, एक निर्माण को खोजना संभव है जिसमें परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और एक स्केलर उत्पाद सम्मिलित है जो इस प्रतिनिधित्व द्वारा संरक्षित है। हम एक 4-घटक डायराक स्पिनर को संबद्ध करते हैं {{mvar|ψ}} प्रत्येक कण के साथ। ये स्पिनर कानून के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत रूपांतरित होते हैं
 : <math>\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi,</math>
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 (चूँकि किसी स्थिरांक से गुणा किया गया कोई भी eigenvector अभी भी एक eigenvector है, समग्र संकेत के बारे में अस्पष्टता है। इस लेख में, संकेत अस्पष्टता होने पर पहले तत्व को काल्पनिक और नकारात्मक बनाने के लिए सम्मेलन को चुना गया है। वर्तमान सम्मेलन द्वारा उपयोग किया जाता है। [[ SymPy ]] जैसे सॉफ्टवेयर; जबकि कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकें, जैसे सकुराई और ग्रिफिथ्स, इसे वास्तविक और सकारात्मक बनाना पसंद करती हैं।)
-क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}}अक्ष केवल संबंधित स्पिन ऑपरेटर का एक आइगेनवेल्यू उत्पन्न कर सकता है ({{mvar|S<sub>x</sub>}}, {{mvar|S<sub>y</sub>}} या {{mvar|S<sub>z</sub>}}) उस धुरी पर, यानी {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|–{{sfrac|''ħ''|2}}}}. एक कण की क्वांटम स्थिति (स्पिन के संबंध में), दो-घटक स्पिनर द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है:
+क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}}अक्ष केवल संबंधित स्पिन ऑपरेटर का एक आइगेनवेल्यू उत्पन्न कर सकता है ({{mvar|S<sub>x</sub>}}, {{mvar|S<sub>y</sub>}} या {{mvar|S<sub>z</sub>}}) उस धुरी पर, अर्थात {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|–{{sfrac|''ħ''|2}}}}. एक कण की क्वांटम स्थिति (स्पिन के संबंध में), दो-घटक स्पिनर द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है:
 : <math>\psi = \begin{pmatrix} a + bi \\ c + di \end{pmatrix}.</math>
 जब इस कण के स्पिन को किसी दिए गए अक्ष के संबंध में मापा जाता है (इस उदाहरण में, {{mvar|x}}अक्ष), संभावना है कि इसके स्पिन को मापा जाएगा {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} बस है <math>\big|\langle \psi_{x+}|\psi\rangle\big|^2</math>. तदनुसार, संभावना है कि इसके स्पिन को मापा जाएगा {{math|–{{sfrac|''ħ''|2}}}} बस है <math>\big|\langle\psi_{x-}|\psi\rangle\big|^2</math>. माप के बाद, कण [[ वेवफंक्शन पतन ]] स्पिन स्थिति संबंधित ईजेनस्टेट में गिर जाती है। परिणामस्वरूप, यदि किसी दिए गए अक्ष के साथ कण के स्पिन को एक दिए गए ईजेनवेल्यू के लिए मापा गया है, तो सभी मापों से एक ही आइगेनवेल्यू निकलेगा (चूंकि <math>\big|\langle\psi_{x+}|\psi_{x+}\rangle\big|^2 = 1</math>, आदि), बशर्ते कि स्पिन का कोई माप अन्य अक्षों के साथ न किया जाए।
-=== एक मनमाना अक्ष के साथ स्पिन का माप ===
+=== एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप ===
 {{unreferenced section|date=May 2021}}
-एक अनियंत्रित अक्ष दिशा के साथ स्पिन को मापने के लिए ऑपरेटर पाउली स्पिन मैट्रिसेस से आसानी से प्राप्त किया जाता है। होने देना {{math|''u'' {{=}} (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'', ''u<sub>z</sub>'')}} एक मनमाना इकाई वेक्टर बनें। फिर इस दिशा में घुमाने के लिए ऑपरेटर सरल है
+एक अनियंत्रित अक्ष दिशा के साथ स्पिन को मापने के लिए ऑपरेटर पाउली स्पिन मैट्रिसेस से आसानी से प्राप्त किया जाता है। होने देना {{math|''u'' {{=}} (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'', ''u<sub>z</sub>'')}} एक यादृच्छिक इकाई वेक्टर बनें। फिर इस दिशा में घुमाने के लिए ऑपरेटर सरल है
 : <math>S_u = \frac{\hbar}{2}(u_x \sigma_x + u_y \sigma_y + u_z \sigma_z).</math>
-परिचालक {{mvar|S<sub>u</sub>}} के आइगेनवैल्यू हैं {{math|±{{sfrac|''ħ''|2}}}}, सामान्य स्पिन मेट्रिसेस की तरह। एक मनमाना दिशा में स्पिन के लिए ऑपरेटर खोजने का यह तरीका उच्च स्पिन राज्यों को सामान्यीकृत करता है, तीन के लिए तीन ऑपरेटरों के वेक्टर के साथ दिशा का डॉट उत्पाद लेता है {{mvar|x}}-, {{mvar|y}}-, {{mvar|z}}-अक्ष दिशाएँ।
+परिचालक {{mvar|S<sub>u</sub>}} के आइगेनवैल्यू हैं {{math|±{{sfrac|''ħ''|2}}}}, सामान्य स्पिन मेट्रिसेस की तरह। एक यादृच्छिक दिशा में स्पिन के लिए ऑपरेटर खोजने का यह तरीका उच्च स्पिन राज्यों को सामान्यीकृत करता है, तीन के लिए तीन ऑपरेटरों के वेक्टर के साथ दिशा का डॉट उत्पाद लेता है {{mvar|x}}-, {{mvar|y}}-, {{mvar|z}}-अक्ष दिशाएँ।
 स्पिन के लिए एक सामान्यीकृत स्पिनर-{{sfrac|1|2}} में {{math|(''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'', ''u<sub>z</sub>'')}} दिशा (जो स्पिन डाउन को छोड़कर सभी स्पिन स्टेट्स के लिए काम करती है, जहां यह देगी {{sfrac|0|0}}) है
@@ Line 268: / Line 265: @@
   \big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 =
   \big| \langle \psi_{y\pm} | \psi_{z\pm} \rangle \big|^2 = \tfrac{1}{2}.</math>
-तो जब [[ भौतिक विज्ञानी ]] एक कण के स्पिन को मापते हैं {{mvar|x}}अक्ष के रूप में, उदाहरण के लिए, {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}}, पार्टिकल की स्पिन स्टेट वेवफंक्शन ईजेनस्टेट में गिर जाती है <math>|\psi_{x+}\rangle</math>. जब हम बाद में कण के स्पिन को मापते हैं {{mvar|y}}अक्ष, स्पिन स्थिति अब या तो ढह जाएगी <math>|\psi_{y+}\rangle</math> या <math>|\psi_{y-}\rangle</math>, प्रत्येक संभावना के साथ {{sfrac|1|2}}. आइए हम अपने उदाहरण में कहें कि हम मापते हैं {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}. अब जब हम कण के चक्रण को नापने के लिए लौटते हैं {{mvar|x}}अक्ष फिर से, संभावनाएँ जो हम मापेंगे {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}} प्रत्येक हैं {{sfrac|1|2}} (यानी वे हैं <math>\big| \langle \psi_{x+} | \psi_{y-} \rangle \big|^2</math> और <math>\big| \langle \psi_{x-} | \psi_{y-} \rangle \big|^2</math> क्रमश)। इसका तात्पर्य है कि स्पिन के साथ मूल माप {{mvar|x}}अक्ष अब मान्य नहीं है, क्योंकि स्पिन साथ में है {{mvar|x}}अक्ष को अब समान प्रायिकता के साथ या तो eigenvalue के रूप में मापा जाएगा।
+तो जब [[ भौतिक विज्ञानी ]] एक कण के स्पिन को मापते हैं {{mvar|x}}अक्ष के रूप में, उदाहरण के लिए, {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}}, कण की स्पिन अवस्था वेवफंक्शन ईजेनस्टेट में गिर जाती है <math>|\psi_{x+}\rangle</math>. जब हम बाद में कण के स्पिन को मापते हैं {{mvar|y}}अक्ष, स्पिन स्थिति अब या तो ढह जाएगी <math>|\psi_{y+}\rangle</math> या <math>|\psi_{y-}\rangle</math>, प्रत्येक संभावना के साथ {{sfrac|1|2}}. आइए हम अपने उदाहरण में कहें कि हम मापते हैं {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}. अब जब हम कण के चक्रण को नापने के लिए लौटते हैं {{mvar|x}}अक्ष फिर से, संभावनाएँ जो हम मापेंगे {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}} प्रत्येक हैं {{sfrac|1|2}} (अर्थात वे हैं <math>\big| \langle \psi_{x+} | \psi_{y-} \rangle \big|^2</math> और <math>\big| \langle \psi_{x-} | \psi_{y-} \rangle \big|^2</math> क्रमश)। इसका तात्पर्य है कि स्पिन के साथ मूल माप {{mvar|x}}अक्ष अब मान्य नहीं है, क्योंकि स्पिन साथ में है {{mvar|x}}अक्ष को अब समान प्रायिकता के साथ या तो eigenvalue के रूप में मापा जाएगा।
 === उच्च स्पिन ===
 {{See also|3D rotation group#A note on Lie algebras}}
-स्पिन-{{sfrac|1|2}} ऑपरेटर {{math|'''S''' {{=}} {{sfrac|''ħ''|2}}'''σ'''}} SU(2)|SU(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का [[ मौलिक प्रतिनिधित्व ]] करता है। इस प्रतिनिधित्व के क्रोनेकर उत्पादों को बार-बार अपने साथ ले कर, कोई भी सभी उच्च अप्रासंगिक प्रतिनिधित्वों का निर्माण कर सकता है। यही है, तीन स्थानिक आयामों में उच्च-स्पिन सिस्टम के लिए परिणामी [[ स्पिन ऑपरेटर ]]ों की गणना मनमाने ढंग से बड़े आकार के लिए की जा सकती है। {{mvar|s}} इस स्पिन ऑपरेटर और लैडर ऑपरेटर # कोणीय गति का उपयोग करना। उदाहरण के लिए, दो स्पिन का क्रोनकर उत्पाद लेना-{{sfrac|1|2}} एक चार-आयामी प्रतिनिधित्व उत्पन्न करता है, जो एक 3-आयामी स्पिन-1 ([[ त्रिक अवस्था ]]) और 1-आयामी स्पिन-0 प्रतिनिधित्व ([[ एकल अवस्था ]]) में वियोज्य है।
+स्पिन-{{sfrac|1|2}} ऑपरेटर {{math|'''S''' {{=}} {{sfrac|''ħ''|2}}'''σ'''}} SU(2)SU(2) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का [[ मौलिक प्रतिनिधित्व ]] करता है। इस प्रतिनिधित्व के क्रोनेकर उत्पादों को बार-बार अपने साथ ले कर, कोई भी सभी उच्च अप्रासंगिक प्रतिनिधित्वों का निर्माण कर सकता है। यही है, तीन स्थानिक आयामों में उच्च-स्पिन प्रणाली के लिए परिणामी [[ स्पिन ऑपरेटर ]]ों की गणना मनमाने ढंग से बड़े आकार के लिए की जा सकती है। {{mvar|s}} इस स्पिन ऑपरेटर और लैडर ऑपरेटर # कोणीय गति का उपयोग करना। उदाहरण के लिए, दो स्पिन का क्रोनकर उत्पाद लेना-{{sfrac|1|2}} एक चार-आयामी प्रतिनिधित्व उत्पन्न करता है, जो एक 3-आयामी स्पिन-1 ([[ त्रिक अवस्था ]]) और 1-आयामी स्पिन-0 प्रतिनिधित्व ([[ एकल अवस्था ]]) में वियोज्य है।
 परिणामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन जेड-आधार में निम्नलिखित स्पिन मेट्रिसेस और ईजेनवेल्यूज उत्पन्न करते हैं:
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 }}
-मल्टीपार्टिकल सिस्टम के [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] में भी उपयोगी, सामान्य [[ पाउली समूह ]] {{mvar|G<sub>n</sub>}} सभी को शामिल करने के लिए परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}पाउली मेट्रिसेस के फोल्ड [[ टेन्सर ]] उत्पाद।
+बहुकण प्रणाली के [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] में भी उपयोगी, सामान्य [[ पाउली समूह ]] {{mvar|G<sub>n</sub>}} सभी को सम्मिलित करने के लिए परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}पाउली मेट्रिसेस के फोल्ड [[ टेन्सर ]] उत्पाद।
 पाउली मैट्रिसेस का अनुरूप सूत्र
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 == समता ==
-स्पिन क्वांटम संख्या की तालिकाओं में {{mvar|s}} नाभिक या कणों के लिए, चक्रण के बाद अक्सर + या - होता है। यह समता के लिए + के साथ [[ समता (भौतिकी) ]] को संदर्भित करता है (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्य) और - विषम समता के लिए (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अस्वीकृत तरंग कार्य)। उदाहरण के लिए, [[ बिस्मथ के समस्थानिक ]] देखें, जिसमें समस्थानिकों की सूची में कॉलम स्पिन क्वांटम संख्या #Nuclear spin और parity शामिल है। द्वि-209 के लिए, एकमात्र स्थिर समस्थानिक, प्रविष्टि 9/2– का अर्थ है कि परमाणु चक्रण 9/2 है और समता विषम है।
+स्पिन क्वांटम संख्या की तालिकाओं में {{mvar|s}} नाभिक या कणों के लिए, चक्रण के बाद प्रायः + या - होता है। यह समता के लिए + के साथ [[ समता (भौतिकी) ]] को संदर्भित करता है (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्य) और - विषम समता के लिए (स्थानिक व्युत्क्रम द्वारा अस्वीकृत तरंग कार्य)। उदाहरण के लिए, [[ बिस्मथ के समस्थानिक ]] देखें, जिसमें समस्थानिकों की सूची में कॉलम स्पिन क्वांटम संख्या #Nuclear spin और parity सम्मिलित है। द्वि-209 के लिए, एकमात्र स्थिर समस्थानिक, प्रविष्टि 9/2– का अर्थ है कि परमाणु चक्रण 9/2 है और समता विषम है।
 == अनुप्रयोग ==
-स्पिन के महत्वपूर्ण सैद्धांतिक निहितार्थ और व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। स्पिन के सुस्थापित प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों में शामिल हैं:
+स्पिन के महत्वपूर्ण सैद्धांतिक निहितार्थ और व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। स्पिन के सुस्थापित प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों में सम्मिलित हैं:
 * रसायन विज्ञान में परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) स्पेक्ट्रोस्कोपी;
 * रसायन विज्ञान और भौतिकी में इलेक्ट्रॉन स्पिन अनुनाद (ईएसआर या ईपीआर) स्पेक्ट्रोस्कोपी;
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 स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग परमाणु स्पेक्ट्रा की ठीक संरचना की ओर ले जाती है, जिसका उपयोग परमाणु घड़ियों में और दूसरी की आधुनिक परिभाषा में किया जाता है। की सटीक माप {{mvar|g}}इलेक्ट्रॉन के कारक ने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के विकास और सत्यापन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। फोटॉन स्पिन प्रकाश के ध्रुवीकरण (तरंगों) ([[ फोटॉन ध्रुवीकरण ]]) से जुड़ा है।
-स्पिन का एक उभरता हुआ अनुप्रयोग [[ स्पिन ट्रांजिस्टर ]] में बाइनरी सूचना वाहक के रूप में है। 1990 में प्रस्तावित मूल अवधारणा को दत्ता-दास स्पिन ट्रांजिस्टर के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal |doi =  10.1063/1.102730 |author =  Datta, S. |author-link = Supriyo Datta |author2= Das, B. |title = इलेक्ट्रोऑप्टिक न्यूनाधिक का इलेक्ट्रॉनिक एनालॉग|journal = Applied Physics Letters |volume = 56 |pages = 665–667 |year = 1990 |issue = 7 |bibcode = 1990ApPhL..56..665D }}</ref> स्पिन ट्रांजिस्टर पर आधारित इलेक्ट्रॉनिक्स को [[ spintronics ]] कहा जाता है। [[ ZnO-आधारित पतला चुंबकीय अर्धचालक ]]ों में स्पिन का हेरफेर, जैसे कि धातु-डोप्ड [[ ज़िंक ऑक्साइड ]] या टाइटेनियम डाइऑक्साइड | TiO<sub>2</sub>स्वतंत्रता की एक और डिग्री प्रदान करता है और अधिक कुशल इलेक्ट्रॉनिक्स के निर्माण की सुविधा प्रदान करने की क्षमता रखता है।<ref>{{cite journal |last1=Assadi |first1=M. H. N. |last2=Hanaor |first2=D. A. H. |title=TiO<sub>2</sub> पॉलीमॉर्फ्स में तांबे के ऊर्जावान और चुंबकत्व पर सैद्धांतिक अध्ययन|journal=Journal of Applied Physics |year=2013 |volume=113 |issue=23 |pages=233913–233913–5 |doi=10.1063/1.4811539 |arxiv = 1304.1854 |bibcode = 2013JAP...113w3913A |s2cid=94599250}}</ref>
+स्पिन का एक उभरता हुआ अनुप्रयोग [[ स्पिन ट्रांजिस्टर ]] में बाइनरी सूचना वाहक के रूप में है। 1990 में प्रस्तावित मूल अवधारणा को दत्ता-दास स्पिन ट्रांजिस्टर के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal |doi =  10.1063/1.102730 |author =  Datta, S. |author-link = Supriyo Datta |author2= Das, B. |title = इलेक्ट्रोऑप्टिक न्यूनाधिक का इलेक्ट्रॉनिक एनालॉग|journal = Applied Physics Letters |volume = 56 |pages = 665–667 |year = 1990 |issue = 7 |bibcode = 1990ApPhL..56..665D }}</ref> स्पिन ट्रांजिस्टर पर आधारित इलेक्ट्रॉनिक्स को [[ spintronics ]] कहा जाता है। [[ ZnO-आधारित पतला चुंबकीय अर्धचालक ]]ों में स्पिन का हेरफेर, जैसे कि धातु-डोप्ड [[ ज़िंक ऑक्साइड ]] या टाइटेनियम डाइऑक्साइड  TiO<sub>2</sub>स्वतंत्रता की एक और डिग्री प्रदान करता है और अधिक कुशल इलेक्ट्रॉनिक्स के निर्माण की सुविधा प्रदान करने की क्षमता रखता है।<ref>{{cite journal |last1=Assadi |first1=M. H. N. |last2=Hanaor |first2=D. A. H. |title=TiO<sub>2</sub> पॉलीमॉर्फ्स में तांबे के ऊर्जावान और चुंबकत्व पर सैद्धांतिक अध्ययन|journal=Journal of Applied Physics |year=2013 |volume=113 |issue=23 |pages=233913–233913–5 |doi=10.1063/1.4811539 |arxiv = 1304.1854 |bibcode = 2013JAP...113w3913A |s2cid=94599250}}</ref>
 रसायन विज्ञान की आवर्त सारणी से शुरू होने वाले स्पिन और संबद्ध पाउली बहिष्करण सिद्धांत के कई अप्रत्यक्ष अनुप्रयोग और अभिव्यक्तियाँ हैं।
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 [[File:Wolfgang Pauli young.jpg|thumb|वोल्फगैंग पाउली व्याख्यान दे रहे हैं]]
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-स्पिन की खोज सबसे पहले क्षार धातुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के संदर्भ में की गई थी। 1924 में, [[ वोल्फगैंग अर्नेस्ट पाउली ]] ने पेश किया जिसे उन्होंने दो-मूल्यवानता कहा जो शास्त्रीय रूप से वर्णित नहीं है<ref>{{cite web |url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1945/pauli/lecture/ |author=Wolfgang Pauli |title=बहिष्करण सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी|date=December 13, 1946 |work=Nobel Lecture |publisher=[[Nobel Prize]]}}</ref> सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन खोल में [[ इलेक्ट्रॉन कवच ]] साथ जुड़ा हुआ है। इसने उन्हें पाउली अपवर्जन सिद्धांत तैयार करने की अनुमति दी, जिसमें कहा गया था कि एक ही क्वांटम प्रणाली में दो इलेक्ट्रॉनों की समान क्वांटम स्थिति नहीं हो सकती है।
+स्पिन की खोज सबसे पहले क्षार धातुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के संदर्भ में की गई थी। 1924 में, [[ वोल्फगैंग अर्नेस्ट पाउली ]] ने पेश किया जिसे उन्होंने दो-मूल्यवानता कहा जो शास्त्रीय रूप से वर्णित नहीं है<ref>{{cite web |url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1945/pauli/lecture/ |author=Wolfgang Pauli |title=बहिष्करण सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी|date=December 13, 1946 |work=Nobel Lecture |publisher=[[Nobel Prize]]}}</ref> सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन खोल में [[ इलेक्ट्रॉन कवच ]] साथ जुड़ा हुआ है। इसने उन्हें पाउली अपवर्जन सिद्धांत तैयार करने की स्वीकृति  दी, जिसमें कहा गया था कि एक ही क्वांटम प्रणाली में दो इलेक्ट्रॉनों की समान क्वांटम स्थिति नहीं हो सकती है।
 पाउली की स्वतंत्रता की डिग्री की भौतिक व्याख्या शुरू में अज्ञात थी। अल्फ्रेड लैंडे के सहायकों में से एक राल्फ क्रोनिग ने 1925 की शुरुआत में सुझाव दिया कि यह इलेक्ट्रॉन के स्व-घूर्णन द्वारा निर्मित किया गया था। जब पाउली ने इस विचार के बारे में सुना, तो उन्होंने इसकी कड़ी आलोचना की, यह देखते हुए कि इलेक्ट्रॉन की काल्पनिक सतह को [[ प्रकाश की गति ]] से अधिक तेजी से आगे बढ़ना होगा ताकि यह आवश्यक कोणीय गति उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त रूप से घूम सके। यह सापेक्षता के सिद्धांत का उल्लंघन करेगा। मोटे तौर पर पाउली की आलोचना के कारण, क्रोनिग ने अपने विचार को प्रकाशित नहीं करने का निर्णय लिया।
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 की शरद ऋतु में, लीडेन विश्वविद्यालय में डच भौतिकविदों जॉर्ज उहलेनबेक और सैमुअल गौडस्मिट के मन में भी यही विचार आया। [[ पॉल एहरनफेस्ट ]] की सलाह के तहत उन्होंने अपने परिणाम प्रकाशित किए।<ref>{{Cite journal |last=Ehrenfest |first=P. |date=November 1925 |title=प्रत्येक व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन के आंतरिक व्यवहार के संबंध में एक आवश्यकता द्वारा गैर-यांत्रिक बाधा की परिकल्पना का प्रतिस्थापन|language=de |url=http://dx.doi.org/10.1007/bf01558878 |journal=Die Naturwissenschaften |volume=13 |issue=47 |pages=953–954 |doi=10.1007/bf01558878 |s2cid=32211960 |issn=0028-1042}}</ref> इसे एक अनुकूल प्रतिक्रिया मिली, विशेष रूप से [[ लेवेलिन थॉमस ]] द्वारा प्रयोगात्मक परिणामों और उहलेनबेक और गौडस्मिट की गणनाओं (और क्रोनिग के अप्रकाशित परिणामों) के बीच एक कारक-दो विसंगति को हल करने में कामयाब होने के बाद। यह विसंगति इलेक्ट्रॉन की स्पर्शरेखा फ्रेम के अभिविन्यास के साथ-साथ इसकी स्थिति के कारण थी।
-गणितीय रूप से बोलना, [[ फाइबर बंडल ]] विवरण की आवश्यकता है। [[ स्पर्शरेखा बंडल ]] प्रभाव योज्य और सापेक्षवादी है; अर्थात प्रकाश की गति से गायब हो जाता है|{{mvar|c}}अनंत तक जाता है। यह स्पर्शरेखा-अंतरिक्ष अभिविन्यास के संबंध में प्राप्त मूल्य का आधा है, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ। इस प्रकार संयुक्त प्रभाव उत्तरार्द्ध से एक कारक दो ([[ थॉमस प्रीसेशन ]], जिसे 1914 में [[ लुडविग सिल्बरस्टीन ]] के नाम से जाना जाता है) से भिन्न होता है।
+गणितीय रूप से बोलना, [[ फाइबर बंडल ]] विवरण की आवश्यकता है। [[ स्पर्शरेखा बंडल ]] प्रभाव योज्य और सापेक्षवादी है; अर्थात प्रकाश की गति से गायब हो जाता है{{mvar|c}}अनंत तक जाता है। यह स्पर्शरेखा-अंतरिक्ष अभिविन्यास के संबंध में प्राप्त मूल्य का आधा है, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ। इस प्रकार संयुक्त प्रभाव उत्तरार्द्ध से एक कारक दो ([[ थॉमस प्रीसेशन ]], जिसे 1914 में [[ लुडविग सिल्बरस्टीन ]] के नाम से जाना जाता है) से भिन्न होता है।
-अपनी प्रारंभिक आपत्तियों के बावजूद, पाउली ने इरविन श्रोडिंगर | श्रोडिंगर और [[ वर्नर हाइजेनबर्ग ]] द्वारा आविष्कृत क्वांटम यांत्रिकी के आधुनिक सिद्धांत का उपयोग करते हुए, 1927 में स्पिन के सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया। उन्होंने स्पिन ऑपरेटरों के एक [[ समूह प्रतिनिधित्व ]] के रूप में पाउली मेट्रिसेस के उपयोग का बीड़ा उठाया और दो-घटक स्पिनर वेव-फंक्शन की शुरुआत की। उहलेनबेक और गौडस्मिट ने स्पिन को शास्त्रीय रोटेशन से उत्पन्न माना, जबकि पाउली ने जोर दिया कि स्पिन गैर-शास्त्रीय और आंतरिक संपत्ति है।<ref>{{Cite journal|last=Ohanian|first=Hans C.|date=June 1986|title=स्पिन क्या है?|url=http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.14580|journal=American Journal of Physics|language=en|volume=54|issue=6|pages=500–505|doi=10.1119/1.14580|bibcode=1986AmJPh..54..500O |issn=0002-9505}}</ref>
+अपनी प्रारंभिक आपत्तियों के बावजूद, पाउली ने इरविन श्रोडिंगर  श्रोडिंगर और [[ वर्नर हाइजेनबर्ग ]] द्वारा आविष्कृत क्वांटम यांत्रिकी के आधुनिक सिद्धांत का उपयोग करते हुए, 1927 में स्पिन के सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया। उन्होंने स्पिन ऑपरेटरों के एक [[ समूह प्रतिनिधित्व ]] के रूप में पाउली मेट्रिसेस के उपयोग का बीड़ा उठाया और दो-घटक स्पिनर वेव-फंक्शन की शुरुआत की। उहलेनबेक और गौडस्मिट ने स्पिन को शास्त्रीय रोटेशन से उत्पन्न माना, जबकि पाउली ने जोर दिया कि स्पिन गैर-शास्त्रीय और आंतरिक संपत्ति है।<ref>{{Cite journal|last=Ohanian|first=Hans C.|date=June 1986|title=स्पिन क्या है?|url=http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.14580|journal=American Journal of Physics|language=en|volume=54|issue=6|pages=500–505|doi=10.1119/1.14580|bibcode=1986AmJPh..54..500O |issn=0002-9505}}</ref>
 पाउली का स्पिन का सिद्धांत गैर-सापेक्षवादी था। हालाँकि, 1928 में, पॉल डिराक ने डिराक समीकरण प्रकाशित किया, जिसमें सापेक्षतावादी इलेक्ट्रॉन का वर्णन किया गया था। डिराक समीकरण में, एक चार-घटक स्पिनर (जिसे डायराक स्पिनर के रूप में जाना जाता है) का उपयोग इलेक्ट्रॉन तरंग-फ़ंक्शन के लिए किया गया था। सापेक्षतावादी स्पिन ने जाइरोमैग्नेटिक विसंगति की व्याख्या की, जो (पूर्वव्यापी में) पहली बार 1914 में [[ शमूएल जैक्सन बार्नेट ]] द्वारा देखी गई थी (आइंस्टीन-डी हास प्रभाव देखें)। 1940 में, पाउली ने स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को सिद्ध किया, जिसमें कहा गया है कि फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है, और बोसॉन में पूर्णांक स्पिन होता है।

v t e Quantum mechanics
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann-Wigner
Experiments	Bell's inequality Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
Related	Schrödinger's cat in popular culture Quantum mysticism
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Revision as of 17:44, 9 January 2023

Contents

इतिहास

क्वांटम संख्या

फर्मियन और बोसॉन

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय

शास्त्रीय रोटेशन से संबंध

चुंबकीय क्षण

क्यूरी तापमान और संरेखण का नुकसान

दिशा

स्पिन प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता

वेक्टर

गणितीय सूत्रीकरण

ऑपरेटर

पॉल मैट्रिसेस

पाउली अपवर्जन सिद्धांत

रोटेशन

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

स्पिन के साथ माप $x$ , $y$ , या $z$ कुल्हाड़ियों

एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप

स्पिन माप की संगतता

उच्च स्पिन

समता

अनुप्रयोग

इतिहास

यह भी देखें

संदर्भ

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स्पिन (भौतिकी): Difference between revisions

Revision as of 17:44, 9 January 2023

इतिहास

क्वांटम संख्या

फर्मियन और बोसॉन

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय

शास्त्रीय रोटेशन से संबंध

चुंबकीय क्षण

क्यूरी तापमान और संरेखण का नुकसान

दिशा

स्पिन प्रक्षेपण क्वांटम संख्या और बहुलता

वेक्टर

गणितीय सूत्रीकरण

ऑपरेटर

पॉल मैट्रिसेस

पाउली अपवर्जन सिद्धांत

रोटेशन

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

स्पिन के साथ माप x, y, या z कुल्हाड़ियों

एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप

स्पिन माप की संगतता

उच्च स्पिन

समता

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