एकात्मक समूह: Difference between revisions

Revision as of 17:56, 8 January 2023

गणित में, डिग्री n का एकात्मक समूह, जिसे U(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, n × n एकात्मक आव्यूहों का समूह है, जिसमें आव्यूह गुणन का समूह संचालन होता है। एकात्मक समूह सामान्य रैखिक समूह GL(n, C) का एक उपसमूह है।

गणित में, डिग्री n का एकात्मक समूह, जिसे U(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, n × n एकात्मक मैट्रिक्स का समूह (गणित) है,जिसमें आव्यूह गुणन का समूह संचालन होता है। एकात्मक समूह सामान्य रेखीय समूह GL(n, C) का एक उपसमूह है.ह्यपेरोरथोगोनल समूह एकात्मक समूह के लिए एक पुरातन नाम है, विशेष रूप से परिमित क्षेत्र में। निर्धारक 1 के साथ एकात्मक मैट्रिसेस के समूह के लिए, विशेष एकात्मक समूह देखें।

साधारण मामले में n = 1, समूह U(1) सर्कल समूह से मेल खाता है, जिसमें गुणन के तहत जटिल संख्या निरपेक्ष मान और दूरी 1 के साथ सभी जटिल संख्याएँ शामिल हैं। सभी एकात्मक समूहों में इस समूह की प्रतियां होती हैं।

एकात्मक समूह U(n) आयाम n2 का एक वास्तविक लाई समूह है। U(n) के ^{लाई बीजगणित में कम्यूटेटर द्वारा दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ शामिल हैं n × n तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स होते हैं।}

सामान्य एकात्मक समूह (जिसे एकात्मक उपमाओं का समूह भी कहा जाता है) में सभी मैट्रिक्स (गणित) ऐसे होते हैं कि ए^∗ पहचान मैट्रिक्स का एक शून्येतर गुणक है, और पहचान मैट्रिक्स के सभी सकारात्मक गुणकों के समूह के साथ एकात्मक समूह का गुणनफल है।

गुण

चूंकि एकात्मक मैट्रिक्स का निर्धारक मानदंड के साथ एक जटिल संख्या है $1$ , निर्धारक एक समूह समरूपता देता है

\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).

इस समरूपता का कर्नेल (समूह सिद्धांत) निर्धारक के साथ एकात्मक मैट्रिसेस का सेट है $1$ . इस उपसमूह को विशेष एकात्मक समूह कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $SU(n)$ . फिर हमारे पास लाई समूहों का एक संक्षिप्त सटीक क्रम है:

1 right arrow upper S upper U left parenthesis n right parenthesis right arrow normal upper U left parenthesis n right parenthesis right arrow normal upper U left parenthesis 1 right parenthesis right arrow 1 period

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 {{Lie groups |Classical}}
 गणित में, डिग्री n का एकात्मक समूह, जिसे U(n) द्वारा निरूपित किया जाता है, n × n एकात्मक आव्यूहों का समूह है, जिसमें आव्यूह गुणन का समूह संचालन होता है। एकात्मक समूह सामान्य रैखिक समूह GL(n, C) का एक उपसमूह है।
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 U(n) का[[ वेइल समूह | वेइल समूह]][[ सममित समूह | सममित समूह]] S है<sub>n</sub>, प्रविष्टियों को अनुमति देकर विकर्ण टोरस पर कार्य करना:
 :<math>\operatorname{diag}\left(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}\right) \mapsto \operatorname{diag}\left(e^{i\theta_{\sigma(1)}}, \dots, e^{i\theta_{\sigma(n)}}\right)</math>
 == संबंधित समूह ==
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 === परिमित क्षेत्र ===
-के साथ परिमित क्षेत्र में {{nowrap|1=''q'' = ''p''<sup>''r''</sup>}} तत्व, एफ<sub>''q''</sub>, एक अद्वितीय द्विघात विस्तार क्षेत्र है, F<sub>''q''<sup>2</sup></sub>, ऑर्डर 2 ऑटोमोर्फिज्म के साथ <math>\alpha\colon x \mapsto x^q</math> ([[ फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म ]] की आरवीं शक्ति)। यह एक 'एफ' पर हर्मिटियन फॉर्म को परिभाषित करने की अनुमति देता है<sub>''q''<sup>2</sup></sub> सदिश स्थान V, एक 'F' के रूप में<sub>''q''</sub>- बिलिनियर नक्शा <math>\Psi\colon V \times V \to K</math> ऐसा है कि <math>\Psi(w, v) = \alpha \left(\Psi(v, w)\right)</math> और <math>\Psi(w, cv) = c\Psi(w, v)</math> के लिए {{nowrap|''c'' ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}}.{{clarify|What is K?|date=June 2014}} इसके अलावा, सभी गैर-पतित हर्मिटियन एक परिमित क्षेत्र पर एक सदिश स्थान पर बनते हैं<!-- clear from context, but I think it fails infinite fields of pos char--> पहचान मैट्रिक्स द्वारा दर्शाए गए मानक एक के अनुरूप हैं; अर्थात्, कोई भी हर्मिटियन रूप एकात्मक रूप से समतुल्य है
+के साथ परिमित क्षेत्र में {{nowrap|1=''q'' = ''p''<sup>''r''</sup>}} तत्व, एफ<sub>''q''</sub>, एक अद्वितीय द्विघात विस्तार क्षेत्र है, F<sub>''q''<sup>2</sup></sub>, ऑर्डर 2 ऑटोमोर्फिज्म के साथ <math>\alpha\colon x \mapsto x^q</math> ([[ फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म ]] की आरवीं शक्ति)। यह एक 'एफ' पर हर्मिटियन फॉर्म को परिभाषित करने की अनुमति देता है<sub>''q''<sup>2</sup></sub> सदिश स्थान V, एक 'F' के रूप में<sub>''q''</sub>- बिलिनियर नक्शा <math>\Psi\colon V \times V \to K</math> ऐसा है कि <math>\Psi(w, v) = \alpha \left(\Psi(v, w)\right)</math> और <math>\Psi(w, cv) = c\Psi(w, v)</math> के लिए {{nowrap|''c'' ∈ '''F'''<sub>''q''<sup>2</sup></sub>}}. इसके अलावा, सभी गैर-पतित हर्मिटियन एक परिमित क्षेत्र पर एक सदिश स्थान पर बनते हैं पहचान मैट्रिक्स द्वारा दर्शाए गए मानक एक के अनुरूप हैं; अर्थात्, कोई भी हर्मिटियन रूप एकात्मक रूप से समतुल्य है
 :<math>\Psi(w, v) = w^\alpha \cdot v = \sum_{i=1}^n w_i^q v_i</math>
-कहां <math>w_i,v_i</math> के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं {{nowrap|''w'', ''v'' ∈ ''V''}} किसी विशेष एफ में<sub>''q''<sup>2</sup></sub>-एन-डायमेंशनल स्पेस वी का आधार {{harv|Grove|2002|loc=Thm. 10.3}}.
+जहां <math>w_i,v_i</math> के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं {{nowrap|''w'', ''v'' ∈ ''V''}} किसी विशेष एफ में<sub>''q''<sup>2</sup></sub>-एन-डायमेंशनल स्पेस वी का आधार {{harv|Grove|2002|loc=Thm. 10.3}}.
 इस प्रकार विस्तार 'एफ' के लिए आयाम एन के एक (अद्वितीय) एकात्मक समूह को परिभाषित कर सकते हैं<sub>''q''<sup>2</sup></sub>/एफ<sub>''q''</sub>, या तो के रूप में दर्शाया गया है {{nowrap|U(''n'', ''q'')}} या {{nowrap|U(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}} लेखक पर निर्भर करता है। निर्धारक 1 के मैट्रिसेस वाले एकात्मक समूह के उपसमूह को विशेष एकात्मक समूह कहा जाता है और निरूपित किया जाता है {{nowrap|SU(''n'', ''q'')}} या {{nowrap|SU(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}}. सुविधा के लिए, यह लेख इसका उपयोग करेगा {{nowrap|U(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}} सम्मेलन। का केंद्र {{nowrap|U(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}} आदेश है {{nowrap|''q'' + 1}} और उन अदिश आव्यूहों से मिलकर बना है जो एकात्मक हैं, जो कि वे आव्यूह cI हैं<sub>V</sub>साथ <math>c^{q+1} = 1</math>. विशेष एकात्मक समूह के केंद्र में आदेश है {{nowrap|gcd(''n'', ''q'' + 1)}} और उन एकात्मक अदिशों से युक्त होता है जिनमें n को विभाजित करने का क्रम भी होता है। इसके केंद्र द्वारा एकात्मक समूह के भागफल को 'प्रक्षेपी एकात्मक समूह' कहा जाता है, {{nowrap|PU(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}}, और इसके केंद्र द्वारा विशेष एकात्मक समूह का भाग प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह है {{nowrap|PSU(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}}. अधिकतर मामलों में ({{nowrap|''n'' > 1}} और {{nowrap|(''n'', ''q''<sup>2</sup>) ∉ {(2, 2<sup>2</sup>), (2, 3<sup>2</sup>), (3, 2<sup>2</sup>)}{{void}}}}), {{nowrap|SU(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}} एक आदर्श समूह है और {{nowrap|PSU(''n'', ''q''<sup>2</sup>)}} एक परिमित सरल समूह है, {{harv|Grove|2002|loc=Thm. 11.22 and 11.26}}.
 === डिग्री-2 वियोज्य बीजगणित ===
-आम तौर पर, एक क्षेत्र k और एक डिग्री -2 वियोज्य k-बीजगणित K दिया जाता है (जो एक क्षेत्र विस्तार हो सकता है लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं है), कोई इस विस्तार के संबंध में एकात्मक समूहों को परिभाषित कर सकता है।
+सामान्यतः एक क्षेत्र k और एक डिग्री -2 वियोज्य k-बीजगणित K दिया जाता है (जो एक क्षेत्र विस्तार हो सकता है लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं है), कोई इस विस्तार के संबंध में एकात्मक समूहों को परिभाषित कर सकता है।
 सबसे पहले, K का एक अद्वितीय k-ऑटोमॉर्फिज़्म है <math>a \mapsto \bar a</math> जो एक इनवोल्यूशन है और ठीक k (<math>a = \bar{a}</math> अगर और केवल अगर {{nowrap|''a'' ∈ ''k''}}).<ref>Milne, [http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/aag.html Algebraic Groups and Arithmetic Groups], p. 103</ref> यह जटिल संयुग्मन और डिग्री 2 परिमित क्षेत्र एक्सटेंशन के संयुग्मन को सामान्यीकृत करता है, और ऊपर के रूप में हर्मिटियन रूपों और एकात्मक समूहों को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
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 ==टिप्पणियाँ==
 <references/>
 *
 ==संदर्भ==
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 * {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
-{{DEFAULTSORT:Unitary Group}}[[श्रेणी:झूठ बोलने वाले समूह]]
+{{DEFAULTSORT:Unitary Group}}
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