स्मूथनेस: Difference between revisions

Latest revision as of 10:01, 30 December 2022

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संक्षिप्त आधार के साथ बम्प फलन एक स्मूद फलन है।

गणितीय विश्लेषण में, किसी फलन की स्मूथता एक ऐसा गुण है जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर सतत अवकलज की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है।^[1] यदि यह हर जगह अलग-अलग हो तो बहुत कम ही,(इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ माना जा सकता है।^[2] दूसरे छोर पर, यह अपने प्रक्षेत्र में सभी अनुक्रमो के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे C-अनंत फलन (या $C^{\infty }$ फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]

विभेदीकरण वर्ग

अवकलनीयता वर्ग उनके अवकलज के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो उपलब्ध है और एक फलन के लिए सतत है।

वास्तविक रेखा पर एक खुले समुच्चय $U$ पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ $U$ पर परिभाषित फलन $f$ पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यदि अवकलज $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ उपलब्ध हैं और $U$ पर सतत है, तो फलन $f$ को $C^{k}$ का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि $f$ , $U$ पर $k$ अवकलनीय है, तो यह कम से कम श्रेणी $C^{k-1}$ में है क्योंकि $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ , $U$ सतत हैं। यदि इसमें $U$ पर सभी क्रम के अवकलज हैं, तो फलन $f$ को अपरिमित अवकलनीय, स्मूथ या वर्ग $C^{\infty }$ कहा जाता है। (इसलिए ये सभी अवकलज $U$ पर सतत फलन हैं ।)^[4] फलन $f$ को वर्ग $C^{\omega }$ या विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि $f$ स्मूथ है (अर्थात, $f$ वर्ग $C^{\infty }$ में है ) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के चारों ओर इसकी टेलर श्रृंखला विस्तार बिंदु के किसी सन्निकट फलन में परिवर्तित हो जाती है, इस प्रकार $C^{\omega }$ सख्ती से $C^{\infty }$ में निहित है। बम्प फलन $C^{\infty }$ में फलन के उदाहरण हैं लेकिन $C^{\omega }$ नहीं है।

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग $C^{0}$ में सभी सतत फलन होते है। वर्ग $C^{1}$ में सभी अवकलनीय फलन सम्मिलित हैं जिनका अवकलज सतत है, ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक $C^{1}$ फलन वास्तव में एक फलन है जिसका अवकलज उपलब्ध है और वर्ग $C^{0}$ का है। सामान्य तौर पर, वर्ग $C^{k}$ को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ को सभी सतत फलनों का समुच्चय घोषित करके,और किसी सकारात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $C^{k}$ को सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय घोषित किया जा सकता है, जिसका अवकलज $C^{k-1}$ में है। विशेष रूप से, $C^{k}$ प्रत्येक $k>0$ ,के लिए $C^{k-1}$ में निहित है , और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त ( $C^{k}\subsetneq C^{k-1}$ ) है। असीम रूप से भिन्न फलनों का वर्ग $C^{\infty }$ वर्ग $C^{k}$ का प्रतिच्छेदन है क्योंकि $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण.

उदाहरण, सतत(C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

File:C0 function.svg

सी⁰ फलन

f

(

x

) =

x

के लिये

x

≥ 0 और 0 अन्यथा।

फलन

f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}

सतत है, लेकिन

x

= 0 पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग C⁰ का है, लेकिन वर्ग C¹ का नहीं है।

उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (C^k)

प्रत्येक सम पूर्णांक k के लिए, फलन

f(x)=|x|^{k+1}

निरंतर है और सभी

x

पर

k

बार अवकलनीय है। हालाँकि,

x

= 0 पर,

f

f

(

k

+ 1) गुणा अवकलनीय नहीं है, इसलिए

f

f

वे वर्ग C^$k$ का है, लेकिन वर्ग C^$j$ का नहीं है जहाँ

j

>

k

।

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C¹नहीं)

फलन

File:Mollifier Illustration.svg

एक स्मूथ फलन जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

अवकलनीय है, अवकलज

g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}

के साथ क्योंकि $\cos(1/x)$ $x$ → 0, के रूप में दोलन करता है, $g'(x)$ शून्य पर सतत नहीं है। इसलिए, $g(x)$ अवकलनीय है लेकिन वर्ग C^{1 का नहीं है।}

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज सतत नहीं

फलन

h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

अवकलनीय है लेकिन इसका अवकलज संहतसमुच्चय पर असीमित है। इसलिए,

h

एक ऐसे फलन का उदाहरण है जो अवकलनीय है लेकिन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ सतत नहीं है।

उदाहरण, विश्लेषणात्मक (C^ω)

चरघातांकी फलन e^x विश्लेषणात्मक है, और इसलिए वर्ग C^ω में आता है। त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है क्योंकि वे जटिल घातीय फलनो e^ixऔर e^-ix के रैखिक संयोजन होते हैं।

उदाहरण, स्मूथ (C^∞) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (C^ω)

बंप फलन

f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}

स्मूथ है, इसलिए वर्ग C^∞ का है, लेकिन यह है

x

= ±1 पर विश्लेषणात्मक नहीं है, और इसलिए वर्ग C^ω का नहीं है। फलन

f

सघन समर्थन के साथ एक स्मूथ फलन का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

$\mathbb {R} ^{n}$ के खुले समुच्चय $U$ पर परिभाषित एक फलन $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , $U$ पर एक धनात्मक पूर्णांक के $k$ के लिए वर्ग $C^{k}$ का कहा जाता है^[5] यदि सभी आंशिक अवकलज

{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})

मौजूद हैं और सतत हैं, तो प्रत्येक

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}

गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए, जैसे कि

\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k

, और प्रत्येक

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U

। समान रूप से,

f

,

U

पर वर्ग

C^{k}

का है यदि

f

का

k

-वें क्रम के फ्रेचेट अवकलज उपलब्ध है और

U

के हर बिंदु पर सतत है। फलन

f

वर्ग का

C

या

C^{0}

कहा जाता है यदि यह

U

पर सतत है। वर्ग

C^{1}

के फलनो को भी सतत अवकलनीय भी कहा जाता है।

एक फलन $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ के खुले समुच्चय $U$ पर परिभाषित, एक धनात्मक पूर्णां $k$ के लिए, $U$ पर वर्ग $C^{k}$ का कहा जाता है, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए , यदि इसके सभी घटक

f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m

वर्ग के हैं

C^{k}

, जहां

\pi _{i}

,

\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}

,

\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}

द्वारा परिभाषित प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं। यह वर्ग

C

या

C^{0}

का कहा जाता है यदि यह सतत है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक

f_{i}

,

U

सतत हैं।

C^{k फलनो का समष्टि}

बता दें कि $D$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय है। $D$ पर परिभाषित सभी $C^{k}$ वास्तविक-मूल्यवान फलनों का समुच्चय एक फ्रेचेट सदिश समष्टि है जिसमें सेमिनोर्म्स

p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|

के गणनीय परिवार हैं जहां

K

सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (समुच्चय सिद्धांत)

D

, तथा

m=0,1,\dots ,k

है।

$D$ पर $C^{\infty }$ एक फलनो का समुच्चय भी एक फ्रेचेट समष्टि बनाता है। उपरोक्त के समान एक ही सेमिनोर्म का उपयोग करता है, सिवाय इसके कि $m$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों पर सीमा की अनुमति है।

उपरोक्त समष्टि उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ क्रम के अवकलज वाले फलन आवश्यक होते हैं, हालाँकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव समष्टि के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

सततता

प्राचलिक सततता (C^k) और ज्यामितीय सततता (Gⁿ) शब्द ब्रायन बार्स्की द्वारा पेश किए गए थे, यह दिखाने के लिए कि गति पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की स्मूथनेस को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाया जा सकता है।^[6]^[7]^[8]

प्राचलिक सततता

प्राचलिक सततता (C^k) प्राचलिक वक्रों पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की स्मूथनेस का वर्णन करती है। A(प्राचलिक) वक्र $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ को वर्ग C^k का कहा जाता है, यदि $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ उपलब्ध है और $[0,1]$ पर सतत है, जहां अंत-बिंदुओं पर अवकलज $0,1\in [0,1]$ को एक पक्षीय अवकलजके रूप में लिया जाता हैै।(अर्थात्, दाईं ओर से $0$ और बाएँ से $1$ पर)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C¹ सततता होनी चाहिए और इसका पहला व्युत्पन्न, वस्तु के परिमित त्वरण के लिए अवकलनीय है। स्मूथ गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, प्राचलिक सततता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

प्राचलिक सततता का क्रम

File:Parametric continuity C0.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है⁰ सतत

File:Parametric continuity vector.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं¹ सतत

प्राचलिक सततता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है,^[9]

$C^{0}$ , शून्य अवकलज सतत है(वक्र सतत हैं)
$C^{1}$ , शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
$C^{2}$ , शून्य, पहला और दूसरा अवकलज सतत हैं
$C^{n}$ , 0-वें के माध्यम से $n$ -वें अवकलज सतत हैं

ज्यामितीय सततता

File:Curves g1 contact.svg

जी के साथ घटता है¹-संपर्क(वृत्त, रेखा)

File:Kegelschnitt-Schar.svg

(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0

जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल²-संपर्क: पी फिक्स,

\varepsilon

चर
(

\varepsilon =0

: घेरा,

\varepsilon =0.8

: अंडाकार,

\varepsilon =1

: परवलय,

\varepsilon =1.2

: हाइपरबोला)

ज्यामितीय सततता या ज्यामितीय सततता की अवधारणा(Gⁿ)की अवधारणा मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लीबनिज, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोंसेलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों(और संबंधित आकृतियों) पर लागू की गई थी। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक प्राचलिक फलन के माध्यम से व्यक्त सतता फलन की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।

ज्यामितीय सततता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता(गणित) शून्य तक पहुँचती है, या एक परवलय के रूप में यह एक तक पहुँचती है, और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है, यह प्रतिच्छेदी रेखाओं(ज्यामिति) की ओर भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच सततता थी। इन विचारों ने सततता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा मामला होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद $x=\infty$ को वृत्त पर एक बिंदु बनाकर और $x=+\infty$ तथा $x=\neg \infty$ को एक समान होने की अनुमति देकर रेखा को बंद करना होगा। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के सतत और $\infty$ के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे(अधिक जानकारी के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)।

ज्यामितीय सततता का क्रम

एक वक्र या सतह(टोपोलॉजी) को $G^{n}$ सततता होने के रूप में वर्णित करता है, जिसमें $n$ स्मूथ का बढ़ता माप है। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें,

$G^{0}$ , वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
$G^{1}$ , वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
$G^{2}$ , वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।

सामान्य तौर पर, $G^{n}$ सततता उपलब्ध होती है यदि वक्रों को $C^{n}$ (प्राचलिक) सततता रखने के लिए पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है।^[10]^[11] वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है.जिसमे केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समतुल्य रूप से, दो सदिश फलन $f(t)$ तथा $g(t)$ में $G^{n}$ सततता है यदि $f^{(n)}(t)\neq 0$ तथा $f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$ , एक अदिश $k>0$ के लिए सततता है(अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा समान हो, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र को स्मूथ दिखने के लिए $G^{1}$ सततता की आवश्यकता होगी, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय सततता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक स्मूथ नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में $G^{2}$ सततता न हो।

ए गोल आयत(चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) $G^{1}$ सततता है, लेकिन $G^{2}$ सततता नहीं है। एक गोल घन के लिए भी यही सच है, कि इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ चतुर्थाँश-सिलेंडर हैं। यदि $G^{2}$ सततता के साथ एक संपादन योग्य वक्र की आवश्यकता होती है, तो घन स्प्लाइन आमतौर पर चुने जाते हैं, ये वक्र अक्सर औद्योगिक डिजाइन में उपयोग किए जाते हैं।

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

जबकि सभी विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ होते हैं(अर्थात सभी अवकलज सतत हैं) उस समुच्चय जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उभार फलन(ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं जैसे कि बातचीत वास्तविक फलनो के लिए सही नहीं है, वहाँ स्मूथ वास्तविक फलन उपलब्ध हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। फलनो के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक स्मूथ फलन हैं लेकिन किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं हैं, फोरियर श्रेणी के माध्यम से बनाए जा सकते हैं, फैबियस फलन एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे फलन नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं, अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ फलनों का एक छोटा उपसमुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे स्मूथ फलन उपलब्ध हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं ।^{[citation needed]}.

वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और स्मूथ फलनों के समुच्चय दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार(बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक फलनों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है, पारलौकिक संख्याएँ और कहीं भी विश्लेषणात्मक फलनों का पूर्ण माप नहीं है(उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक फलनों के विपरीत है। यदि एक जटिल फलन एक खुले समुच्चय पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस समुच्चय पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है^{[citation needed]}.

एकता के स्मूथ विभाजन

दिए गए बंद समर्थन(गणित) के साथ स्मूथ फलनो का उपयोग एकता के स्मूथ विभाजन के निर्माण में किया जाता है(देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली), ये स्मूथ बहुसंख्यक के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रिमेंनियन मापीय को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक उभार(बम्प) फलन का है,अर्थात एक स्मूथ फलन f , जो एक अंतराल [a,b] के बाहर मान 0 लेता है ,ठीक ऐसा

f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,

लाइन पर कई अतिव्यापी अंतराल दिए गए हैं, उनमें से प्रत्येक पर उभार फलन का निर्माण किया जा सकता है,और अर्ध-अनंत अंतरालों

(-\infty ,c]

तथा

[d,+\infty )

पर पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि फलनो का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन पूर्णसममितिक फलन पर लागू नहीं होते हैं, अस्तित्व और विश्लेषणात्मक सततता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शीफ(गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, स्मूथ फलनो के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।

बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन

आयाम का $m,$ और एक एटलस(टोपोलॉजी) ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha }$ का एक स्मूथ बहुसंख्यक $M$ दिया गया ,तो एक मानचित्र $f:M\to \mathbb {R}$ पर स्मूथ है यदि सभी $M$ के लिए एक तालिका $p\in M$ उपलब्ध है $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ जैसे कि $p\in U,$ तथा $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ , $\phi (p)$ में $\mathbb {R} ^{m}$ से $\mathbb {R}$ के प्रतिवैस से एक स्मूथ फलन है(दिए गए क्रम तक सभी आंशिक अवकलज सतत हैं)। एटलस के किसी भी तालिका(टोपोलॉजी) के संबंध में स्मूथनेस की जाँच की जा सकती है जिसमें $p$ शामिल है, क्योंकि तालिका के बीच संक्रमण फलनों पर स्मूथनेस की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती हैं कि यदि $f$ एक तालिका $p$ के पास स्मूथ है तो यह किसी अन्य तालिका में $p$ के पास स्मूथ होगा।

यदि $F:M\to N$ , $M$ से एक $n$ -आयामी अनेक $N$ का मानचित्र है , तो $F$ स्मूथ है यदि, प्रत्येक $p\in M$ के लिए, एक तालिका $(U,\phi )$ है जिसमें $p,$ और एक तालिका $(V,\psi )$ है जिसमें $F(p)$ ऐसा है जैसे कि $F(U)\subset V,$ तथा $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ , $\mathbb {R} ^{n}$ से एक स्मूथ फलन है।

बहुसंख्यक के बीच स्मूथ मानचित्र स्पर्शरेखा समष्टियो के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं, $F:M\to N$ के लिए, प्रत्येक बिंदु पर पुशफॉरवर्ड(अंतर)(या अवकलन) $p$ पर स्पर्शरेखा सदिशों $F(p)$ $F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$ , पर स्पर्शरेखा सदिशों में मानचित्रित करता है, और स्पर्शरेखा समूह के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक सदिश समूह समरूपता $F_{*}:TM\to TN$ है। पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो $N$ पर कोसदिशो को खींचता है, $M$ कोसदिशो पर वापस जाता है, तथा $k$ -रूप को इस $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M)$ $k$ -रूप में। इस तरह बहुसंख्यक के बीच स्मूथ फलन स्थानीय डेटा को परिवहन कर सकते हैं, जैसे सदिश क्षेत्र और अवकलन रूप, एक बहुसंख्यक से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन समष्टि तक, जहाँ एकीकरण जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।

स्मूथ फलनो के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना बहुसंख्यक नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज(अर्थात, यदि प्रीइमेज पर अवकलन गायब नहीं होता है) बहुसंख्यक हैं, यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, अंत: स्थापन के साथ पुशफॉरवर्ड बहुसंख्यक होते हैं।^[12]

बहुसंख्यक के उपसमुच्चय के बीच स्मूथ फलन

बहुसंख्यक के यादृच्छिक उपसमुच्चय के लिए स्मूथ मानचित्र की एक समान धारणा है। यदि $f:X\to Y$ एक फलन(गणित) है जिसका प्रक्षेत्र और क्षेत्र क्रमशः बहुसंख्यक $X\subseteq M$ और $Y\subseteq N$ के उपसमुच्चय हैं । फलन $f$ को स्मूथ कहा जाता है यदि सभी $x\in X$ के लिए $x\in U$ के साथ एक खुला समुच्चय $U\subseteq M$ है और एक स्मूथ फलन $F:U\to N$ ऐसा है कि सभी $F(p)=f(p)$ तथा $p\in U\cap X$ के लिए खुला समुच्चय है।

यह भी देखें

अंतराल
हैडमार्ड का स्वीकृत सिद्धांत
गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य – Mathematical functions which are smooth but not analytic - गणितीय फलन जो स्मूथ हैं लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं हैं
अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य- वह बिंदु जहां एक फलन, एक वक्र या अन्य गणितीय वस्तु नियमित रूप से व्यवहार नहीं करती है
विलक्षणता(गणित)
बल-तरंग-समान फलन पर दो बिंदुओं के बीच चाप की लंबाई और सीधी-रेखा की दूरी का अनुपात
स्मूथ योजना
सहज संख्या(संख्या सिद्धांत)-केवल छोटे अभाज्य गुणक वाले पूर्णांक(संख्या सिद्धांत)
समरेखण
पट्टी-बहुपदों द्वारा परिभाषित गणितीय फलन
सोबोलेव मानचित्रण

संदर्भ

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[def_diff-4] Warner, Frank W. (1983). डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव. Springer. p. 5 [Definition 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Archived from the original on 2015-10-01. Retrieved 2014-11-28.

[5] Henri Cartan (1977). डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स. Paris: Hermann.

[Barsky1981-6] Barsky, Brian A. (1981). बीटा-स्पलाइन: शेप पैरामीटर्स और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व (Ph.D.). University of Utah, Salt Lake City, Utah.

[Barsky1988-7] Brian A. Barsky (1988). कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग बीटा-स्पलाइन का उपयोग करना. Springer-Verlag, Heidelberg. ISBN 978-3-642-72294-3.

[BartelsBeattyBarsky1987-8] Richard H. Bartels; John C. Beatty; Brian A. Barsky (1987). कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और जियोमेट्रिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लाइन्स का परिचय. Morgan Kaufmann. Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity. ISBN 978-1-55860-400-1.

[9] van de Panne, Michiel (1996). "पैरामीट्रिक वक्र". Fall 1996 Online Notes. University of Toronto, Canada. Archived from the original on 2020-11-26. Retrieved 2019-09-01.

[10] Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). "पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य लक्षण". IEEE Computer Graphics and Applications. 9 (6): 60–68. doi:10.1109/38.41470. S2CID 17893586.

[11] Hartmann, Erich (2003). "कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम" (PDF). Technische Universität Darmstadt. p. 55. Archived (PDF) from the original on 2020-10-23. Retrieved 2019-08-31.

[12] Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). विभेदक टोपोलॉजी. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.

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Contents

विभेदीकरण वर्ग

उदाहरण.

उदाहरण, सतत(C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (C^k)

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C¹नहीं)

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज सतत नहीं

उदाहरण, विश्लेषणात्मक (C^ω)

उदाहरण, स्मूथ (C^∞) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (C^ω)

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

C^{k फलनो का समष्टि}

सततता

प्राचलिक सततता

प्राचलिक सततता का क्रम

ज्यामितीय सततता

ज्यामितीय सततता का क्रम

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

एकता के स्मूथ विभाजन

बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन

बहुसंख्यक के उपसमुच्चय के बीच स्मूथ फलन

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Number of derivatives of a function (mathematics)}}
-{{redirect|C infinity|the extended complex plane <math>\mathbb{C}_\infty</math>|Riemann sphere}}
+{{redirect|सी अनंत|विस्तारित जटिल समतल
-{{redirect|C^n|<math>\mathbb{C}^n</math>|Complex coordinate space}}
+<math>\mathbb{C}_\infty</math>|रीमैन क्षेत्र}}
-{{for|smoothness in number theory|smooth number}}
+{{redirect|C^n|<math>\mathbb{C}^n</math>|जटिल समन्वय समष्टि}}
-[[Image:Bump2D illustration.png|thumb|upright=1.2|एक टक्कर समारोह कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य है।]]गणितीय विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) की चिकनाई एक संपत्ति है जिसे निरंतर कार्य व्युत्पन्न (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|title=चिकना कार्य|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20191216043114/http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|url-status=live}}</ref> बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)।<ref>{{Cite web|url=https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|title=चिकना (गणित)|website=TheFreeDictionary.com|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190903145033/https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|url-status=live}}</ref> दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पन्न के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी प्राप्त कर सकता है, इस मामले में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या <math>C^{\infty}</math> समारोह)।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|title=सुचारू कार्य - गणित का विश्वकोश|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213043534/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|url-status=live}}</ref>
+{{for|संख्या सिद्धांत में सहजता|सहज संख्या}}
+[[Image:Bump2D illustration.png|thumb|upright=1.2|[[कॉम्पैक्ट समर्थन|संक्षिप्त आधार]] के साथ [[टक्कर समारोह|बम्प फलन]] एक स्मूद फलन है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, किसी [[फलन]] की स्मूथता एक ऐसा गुण है  जिसे उसके किसी प्रक्षेत्र पर [[निरंतर अवकलज|सतत अवकलज]] की संख्या से मापा जाता है, जिसे अवकलनीयता वर्ग कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|title=चिकना समारोह|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20191216043114/http://mathworld.wolfram.com/SmoothFunction.html|url-status=live}}</ref> यदि यह हर जगह अलग-अलग हो तो बहुत कम ही,(इसलिए सतत) एक फलन को स्मूथ माना जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|title=चिकना (गणित)|website=TheFreeDictionary.com|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-09-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20190903145033/https://www.thefreedictionary.com/Smooth+(mathematics)|url-status=live}}</ref> दूसरे छोर पर, यह अपने [[प्रक्षेत्र]] में सभी [[अनुक्रमो]] के अवकलज भी रख सकता है, जिस स्थिति में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे C-अनंत फलन (या <math>C^{\infty}</math> फलन ) के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|title=स्मूथ फंक्शन - गणित का विश्वकोश|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-12-13|archive-date=2019-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213043534/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Smooth_function|url-status=live}}</ref>
+== विभेदीकरण वर्ग ==
+अवकलनीयता वर्ग उनके [[अवकलज]] के गुणों के अनुसार फलनो का वर्गीकरण है। यह अवकलज के उच्चतम क्रम का एक माप है जो उपलब्ध है और एक फलन के लिए सतत है।
+[[वास्तविक रेखा]] पर एक [[खुले समुच्चय]]  <math>U</math> पर विचार करें और वास्तविक मानों के साथ <math>U</math> पर परिभाषित फलन <math>f</math> पर विचार करें। मान लीजिए k एक गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] है। यदि अवकलज <math>f',f'',\dots,f^{(k)}</math> उपलब्ध हैं और <math>U</math> पर [[निरंतर|सतत]] है, तो फलन <math>f</math> को ''<math>C^k</math>'' का अवकालनीयता वर्ग कहा जाता है। यदि <math>f</math> , <math>U</math> पर <math>k</math> अवकलनीय है, तो यह कम से कम श्रेणी <math>C^{k-1}</math> में है क्योंकि  <math>f',f'',\dots,f^{(k-1)}</math>, <math>U</math> सतत हैं। यदि इसमें <math>U</math> पर सभी क्रम के अवकलज हैं, तो फलन <math>f</math> को अपरिमित अवकलनीय, स्मूथ या वर्ग  <math>C^\infty</math> कहा जाता है। (इसलिए ये सभी अवकलज <math>U</math> पर सतत फलन हैं ।)<ref name="def diff">{{cite book| last=Warner| first=Frank W.| author-link=Frank Wilson Warner| year=1983| title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव| publisher=Springer| isbn=978-0-387-90894-6| page=5 [Definition 1.2]| url=https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22&pg=PA5| access-date=2014-11-28| archive-date=2015-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20151001012659/https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&pg=PA5&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22| url-status=live}}</ref> फलन <math>f</math> को वर्ग <math>C^\omega</math> या [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक]] कहा जाता है, यदि <math>f</math> स्मूथ है (अर्थात, <math>f</math> वर्ग <math>C^\infty</math> में है ) और इसके प्रक्षेत्र में किसी भी बिंदु के चारों ओर इसकी [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार बिंदु के किसी [[पड़ोस (गणित)|सन्निकट]] फलन में परिवर्तित हो जाती है, इस प्रकार <math>C^\omega</math> सख्ती से <math>C^\infty</math> में निहित है। बम्प फलन <math>C^\infty</math> में फलन के उदाहरण हैं  लेकिन <math>C^\omega</math> नहीं है।
-==भेदभाव वर्ग==
+इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग <math>C^0</math> में सभी सतत फलन होते है। वर्ग <math>C^1</math> में सभी अवकलनीय फलन सम्मिलित हैं जिनका अवकलज सतत है, ऐसे फलनों को सतत अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, एक <math>C^1</math> फलन वास्तव में एक फलन है जिसका अवकलज उपलब्ध है और वर्ग <math>C^0</math> का है। सामान्य तौर पर, वर्ग <math>C^k</math> को [[प्रत्यावर्तन|पुनरावर्ती]]  रूप से परिभाषित किया जा सकता है <math>C^0</math> को सभी सतत फलनों का समुच्चय घोषित करके,और  किसी सकारात्मक पूर्णांक <math>k</math> के लिए <math>C^k</math> को सभी अलग-अलग फलनों का समुच्चय घोषित किया जा सकता है, जिसका अवकलज <math>C^{k-1}</math>में है। विशेष रूप से, <math>C^k</math> प्रत्येक <math>k>0</math> ,के लिए  <math>C^{k-1}</math>  में निहित है , और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह नियंत्रण सख्त (<math>C^k \subsetneq C^{k-1}</math>) है। असीम रूप से भिन्न फलनों का वर्ग <math>C^\infty</math>वर्ग <math>C^k</math> का प्रतिच्छेदन है  क्योंकि <math>k</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।
-विभेदकता वर्ग उनके डेरिवेटिव के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम का एक माप है जो किसी फ़ंक्शन के लिए मौजूद है और निरंतर है।
-एक खुले सेट पर विचार करें <math>U</math> वास्तविक रेखा और एक फ़ंक्शन पर <math>f</math> पर परिभाषित <math>U</math> वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक ऋणात्मक पूर्णांक है। कार्यक्रम <math>f</math> अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है ''<math>C^k</math>'' अगर डेरिवेटिव <math>f',f'',\dots,f^{(k)}</math> मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं <math>U</math>. यदि <math>f</math> है <math>k</math>पर अलग-अलग <math>U</math>, तो यह कम से कम कक्षा में है <math>C^{k-1}</math> जबसे <math>f',f'',\dots,f^{(k-1)}</math> निरंतर हैं <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है <math>C^\infty</math>, अगर उसके पास सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं <math>U</math>. (इसलिए ये सभी व्युत्पन्न निरंतर कार्य हैं <math>U</math>.)<ref name="def diff">{{cite book| last=Warner| first=Frank W.| author-link=Frank Wilson Warner| year=1983| title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव| publisher=Springer| isbn=978-0-387-90894-6| page=5 [Definition 1.2]| url=https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22&pg=PA5| access-date=2014-11-28| archive-date=2015-10-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20151001012659/https://books.google.com/books?id=t6PNrjnfhuIC&pg=PA5&dq=%22f+is+differentiable+of+class+Ck%22| url-status=live}}</ref> कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का कहा जाता है <math>C^\omega</math>, या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि <math>f</math> चिकना है (यानी, <math>f</math> कक्षा में है <math>C^\infty</math>) और इसके क्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। <math>C^\omega</math> इस प्रकार सख्ती से निहित है <math>C^\infty</math>. बंप फंक्शन फंक्शन के उदाहरण हैं <math>C^\infty</math> लेकिन में नहीं <math>C^\omega</math>.
+==== उदाहरण. ====
-इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा <math>C^1</math> सभी अवकलनीय फलनों से मिलकर बना है जिनका अवकलज सतत है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए <math>C^1</math> फ़ंक्शन वास्तव में एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और वर्ग का है <math>C^0</math>. सामान्य तौर पर, कक्षाएं <math>C^k</math> घोषित करके रिकर्सन को परिभाषित किया जा सकता है <math>C^0</math> सभी निरंतर कार्यों का सेट होना, और घोषित करना <math>C^k</math> किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math> उन सभी अवकलनीय फलनों का समुच्चय होना, जिनका अवकलज में है <math>C^{k-1}</math>. विशेष रूप से, <math>C^k</math> में निहित है <math>C^{k-1}</math> हरएक के लिए <math>k>0</math>, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह रोकथाम सख्त है (<math>C^k \subsetneq C^{k-1}</math>) कक्षा <math>C^\infty</math> असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है <math>C^k</math> जैसा <math>k</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।
+===== उदाहरण, सतत(C<sup>0</sup>) लेकिन अवकलनीय नहीं =====
+[[Image:C0 function.svg|thumb|सी<sup>0</sup> फलन  {{nowrap|1={{mvar|f}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} ≥ 0}} और 0 अन्यथा।]]फलन<math display="block">f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{if } x \geq 0, \\ 0 &\text{if } x < 0\end{cases}</math> सतत है, लेकिन {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह वर्ग C<sup>0</sup> का है, लेकिन वर्ग C<sup>1</sup>  का नहीं है।
-=== उदाहरण ===
+=== उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (C<sup>k</sup>) ===
-[[Image:C0 function.svg|thumb|सी<sup>0</sup> समारोह {{nowrap|1={{mvar|f}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} ≥ 0}} और 0 अन्यथा।]]फ़ाइल:X^2sin(x^ .)-1).svg|thumb|कार्यक्रम {{nowrap|1={{mvar|g}}({{mvar|x}}) = {{mvar|x}}<sup>2</sup> sin(1/{{mvar|x}})}} के लिये {{nowrap|{{mvar|x}} &gt; 0}}.
+प्रत्येक सम पूर्णांक k के लिए, फलन
-फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम <math>f:\R\to\R</math> साथ <math>f(x)=x^2\sin\left(\tfrac 1x\right)</math> के लिये <math>x\neq 0</math> तथा <math>f(0)=0</math> अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं है।
+<math display="block">f(x)=|x|^{k+1}</math>
-[[File:Mollifier Illustration.svg|thumb|upright=1.2|एक सुचारू कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।]]कार्यक्रम
+निरंतर है और सभी {{mvar|x}} पर  {{mvar|k}} बार अवकलनीय है। हालाँकि, {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} पर,  {{mvar|f}}  {{mvar|f}}  {{nowrap|({{mvar|k}} + 1)}} गुणा अवकलनीय नहीं है, इसलिए  {{mvar|f}}  {{mvar|f}}  वे वर्ग C<sup>{{mvar|k}}</sup>  का है, लेकिन वर्ग C<sup>{{mvar|j}}</sup> का नहीं है जहाँ {{nowrap|{{mvar|j}} > {{mvar|k}}}} ।
-<math display="block">f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{if } x \geq 0, \\ 0 &\text{if } x < 0\end{cases}</math>
-निरंतर है, लेकिन अवकलनीय नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}}, तो यह कक्षा C . का है<sup>0</sup>, लेकिन कक्षा C . का नहीं<sup>1</सुप>.
+====== उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C<sup>1</sup>नहीं) ======
+फलन [[File:Mollifier Illustration.svg|thumb|upright=1.2|एक स्मूथ फलन जो विश्लेषणात्मक नहीं है।]]<math display="block">g(x) = \begin{cases}x^2\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}</math>
+अवकलनीय है, अवकलज<math display="block">g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0.\end{cases}</math>
-कार्यक्रम
+के साथ क्योंकि <math>\cos(1/x)</math>  {{mvar|x}} → 0, के रूप में दोलन करता है,  <math>g'(x)</math> शून्य पर सतत नहीं है।  इसलिए, <math>g(x)</math> अवकलनीय है लेकिन वर्ग C<sup>1 का नहीं है।
-<math display="block">g(x) = \begin{cases}x^2\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}</math>
-अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ
-<math display="block">g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0.\end{cases}</math>
-इसलिये <math>\cos(1/x)</math> के रूप में दोलन करता है {{mvar|x}} → 0, <math>g'(x)</math> शून्य पर निरंतर नहीं है। इसलिए, <math>g(x)</math> अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है<sup>1</सुप>. <!-- The following sentence is unrelated to the explanation of this example and should be removed or moved elsewhere. --> इसके अलावा, अगर कोई लेता है <math>g(x) = x^{4/3}\sin(1/x)</math> {{nowrap begin}}({{mvar|x}} ≠ 0){{nowrap end}} इस उदाहरण में, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉम्पैक्ट सेट पर अनबाउंड किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हो सकता है।
-कार्य
+====== उदाहरण, अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज सतत नहीं ======
-<math display="block">f(x)=|x|^{k+1}</math>
+फलन
-कहाँ पे {{mvar|k}} सम है, निरंतर हैं और {{mvar|k}} समय अलग-अलग {{mvar|x}}. लेकिन पर {{nowrap|1={{mvar|x}} = 0}} वो नहीं हैं {{nowrap|({{mvar|k}} + 1)}} समय भिन्न है, इसलिए वे वर्ग C . के हैं<sup>{{mvar|k}}</sup>, लेकिन कक्षा C . का नहीं<sup>{{mvar|j}}</sup> जहां {{nowrap|{{mvar|j}} > {{mvar|k}}}}.
+<math display="block">h(x) = \begin{cases}x^{4/3}\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{if }x \neq 0, \\ 0 &\text{if }x = 0\end{cases}</math>अवकलनीय है लेकिन इसका अवकलज [[संहतसमुच्चय]] पर असीमित है। इसलिए, {{mvar|h}} एक ऐसे फलन का उदाहरण है जो अवकलनीय है लेकिन स्थानीय रूप से [[लिप्सचिट्ज़ सतत]] नहीं है।
-घातांकीय फलन विश्लेषणात्मक है, और इसलिए C . वर्ग में आता है<sup></sup>. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहां कहीं भी उन्हें परिभाषित किया जाता है।
+====== उदाहरण, विश्लेषणात्मक (C<sup>ω</sup>) ======
-टक्कर समारोह
+[[चरघातांकी फलन]] e<sup>x</sup> विश्लेषणात्मक है, और इसलिए वर्ग C<sup>ω</sup> में आता है। [[त्रिकोणमितीय फलन]] भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहाँ उन्हें परिभाषित किया जाता है क्योंकि वे [[जटिल]] [[घातीय फलनो]] e<sup>ix</sup>और e<sup>-ix</sup> के [[रैखिक संयोजन]] होते हैं।
-<math display="block">f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ if } |x| < 1, \\ 0 &\text{ otherwise }\end{cases}</math>
-चिकना है, इसलिए कक्षा C . का है<sup>∞</sup>, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है {{nowrap|1={{mvar|x}} = ±1}}, और इसलिए कक्षा C . का नहीं है<sup></sup>. कार्यक्रम {{mvar|f}} कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।
-=== बहुभिन्नरूपी भिन्नता वर्ग ===
+====== उदाहरण, स्मूथ (C<sup>∞</sup>) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (C<sup>ω</sup>) ======
-एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math> कहा जाता है कि<ref>{{cite book|author=Henri Cartan|title=डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स|year=1977|publisher=Paris: Hermann|author-link=Henri Cartan}}</ref> कक्षा का होना <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न
+बंप फलन<math display="block">f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ if } |x| < 1, \\ 0 &\text{ otherwise }\end{cases}</math>स्मूथ है, इसलिए वर्ग C<sup>∞</sup> का है, लेकिन यह है {{nowrap|1={{mvar|x}} = ±1}} पर विश्लेषणात्मक नहीं है, और इसलिए वर्ग C<sup>ω</sup> का नहीं है। फलन {{mvar|f}}  [[सघन समर्थन]] के साथ एक स्मूथ फलन का एक उदाहरण है।
- <math display="block">\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)</math>
+=== बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग ===
-मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे कि <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k</math>, और हर <math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U</math>. समान रूप से, <math>f</math> कक्षा का है <math>C^k</math> पर <math>U</math> अगर <math>k</math>-वें क्रम के फ्रेचेट व्युत्पन्न <math>f</math> मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है <math>U</math>. कार्यक्रम <math>f</math> वर्ग का कहा जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> अगर यह लगातार चालू है <math>U</math>. कक्षा के कार्य <math>C^1</math> लगातार भिन्न होने के लिए भी कहा जाता है।
+<math>\mathbb{R}^n</math> के खुले समुच्चय <math>U</math> पर परिभाषित एक फलन  <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> , <math>U</math> पर एक धनात्मक पूर्णांक के <math>k</math> के लिए वर्ग <math>C^k</math> का कहा जाता है<ref>{{cite book|author=Henri Cartan|title=डिफरेंशियल कैलकुलस कोर्स|year=1977|publisher=Paris: Hermann|author-link=Henri Cartan}}</ref>
+यदि सभी आंशिक अवकलज<math display="block">\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)</math>
+मौजूद हैं और सतत हैं, तो प्रत्येक  <math>\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n</math> गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए, जैसे कि <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k</math>, और प्रत्येक <math>(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U</math>। समान रूप से, <math>f</math>, <math>U</math> पर वर्ग <math>C^k</math> का है यदि  <math>f</math> का <math>k</math>-वें क्रम के [[फ्रेचेट अवकलज]] उपलब्ध है और <math>U</math> के हर बिंदु पर सतत है। फलन <math>f</math> वर्ग का <math>C</math> या <math>C^0</math> कहा जाता है यदि यह <math>U</math> पर सतत है। वर्ग <math>C^1</math> के फलनो को भी सतत अवकलनीय भी कहा जाता है।
-एक समारोह <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U</math> का <math>\mathbb{R}^n</math>, वर्ग का कहा जाता है <math>C^k</math> पर <math>U</math>, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>k</math>, यदि इसके सभी घटक
+एक फलन  <math>f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>के खुले समुच्चय <math>U</math> पर परिभाषित, एक धनात्मक पूर्णां <math>k</math> के लिए, <math>U</math> पर वर्ग <math>C^k</math> का कहा जाता है, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए , यदि इसके सभी घटक
 <math display="block">f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(\pi_i\circ f)(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\pi_i(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)) \text{ for } i=1,2,3,\ldots,m</math>
-वर्ग के हैं <math>C^k</math>, कहाँ पे <math>\pi_i</math> प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) <math>\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i</math>. यह वर्ग का कहा जाता है <math>C</math> या <math>C^0</math> यदि यह निरंतर है, या समान रूप से, यदि सभी घटक <math>f_i</math> निरंतर हैं, पर <math>U</math>.
+वर्ग के हैं <math>C^k</math>, जहां <math>\pi_i</math>, <math>\pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> ,<math>\pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i</math> द्वारा परिभाषित प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं। यह वर्ग <math>C</math> या <math>C^0</math>  का कहा जाता है यदि यह सतत है, या समतुल्य है, यदि सभी घटक <math>f_i</math>, <math>U</math> सतत हैं।
-=== C . का स्थान<sup>k</sup> फंक्शन ===
+=== C<sup>k फलनो का समष्टि ===
-होने देना <math>D</math> वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट <math>C^k</math> पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>D</math> एक फ़्रेचेट स्पेस है|फ़्रेचेट वेक्टर स्पेस, सेमीनॉर्म्स के गणनीय परिवार के साथ
+बता दें कि <math>D</math> वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय है। <math>D</math> पर परिभाषित सभी <math>C^k</math> वास्तविक-मूल्यवान फलनों का समुच्चय एक फ्रेचेट सदिश समष्टि है जिसमें [[सेमिनोर्म|सेमिनोर्म्स]] <math display="block">p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|</math>के गणनीय परिवार हैं जहां <math>K</math> सघन समुच्चयों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]]  <math>D</math>, तथा <math>m=0,1,\dots,k</math> है।
-<math display="block">p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|</math>
-कहाँ पे <math>K</math> कॉम्पैक्ट सेटों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है <math>D</math>, तथा <math>m=0,1,\dots,k</math>.
-के समुच्चय <math>C^\infty</math> कार्य खत्म <math>D</math> एक फ्रेचेट स्थान भी बनाता है। ऊपर के समान ही सेमीनॉर्म्स का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि <math>m</math> सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मानों को श्रेणीबद्ध करने की अनुमति है।
-उपरोक्त रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से उन अनुप्रयोगों में होते हैं जहां कुछ आदेशों के डेरिवेटिव वाले कार्य आवश्यक होते हैं; हालांकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के साथ काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।
-==निरंतरता==
+<math>D</math> पर  <math>C^\infty</math>एक फलनो का समुच्चय भी एक फ्रेचेट समष्टि बनाता है। उपरोक्त के समान एक ही सेमिनोर्म का उपयोग करता है, सिवाय इसके कि <math>m</math> सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों पर सीमा की अनुमति है।
-पैरामीट्रिक निरंतरता की शर्तें (सी<sup>k</sup>) और ज्यामितीय निरंतरता (G .)<sup>n</sup>) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि वक्र की चिकनाई को गति पर प्रतिबंधों को हटाकर मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।<ref name="Barsky1981">{{cite thesis |type=Ph.D. |last=Barsky |first=Brian A. |date=1981 |title=बीटा-स्पलाइन: आकार पैरामीटर और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व|publisher=University of Utah, Salt Lake City, Utah|url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=910231 }}</ref><ref name="Barsky1988">{{cite book|author=Brian A. Barsky|title=बीटा-स्प्लिंस का उपयोग करके कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग|year=1988|publisher=Springer-Verlag, Heidelberg|isbn=978-3-642-72294-3}}</ref><ref name="BartelsBeattyBarsky1987">{{cite book|author1=Richard H. Bartels|author2=John C. Beatty|author3=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लिन का परिचय|year=1987|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-400-1|at=Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity}}</ref>
+उपरोक्त समष्टि उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक रूप से होते हैं जहां कुछ क्रम के अवकलज वाले फलन आवश्यक होते हैं, हालाँकि, विशेष रूप से [[आंशिक अंतर]] [[समीकरणों]] के अध्ययन में, कभी-कभी [[सोबोलेव समष्टि]] के बजाय काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।
+== सततता ==
-===पैरामीट्रिक निरंतरता ===
+प्राचलिक सततता (C<sup>k</sup>) और ज्यामितीय सततता (G<sup>n</sup>) शब्द [[ब्रायन बार्स्की]] द्वारा पेश किए गए थे, यह दिखाने के लिए कि [[गति]] पर प्रतिबंधों को हटाकर वक्र की स्मूथनेस को मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाया जा सकता है।<ref name="Barsky1981">{{cite thesis |type=Ph.D. |last=Barsky |first=Brian A. |date=1981 |title=बीटा-स्पलाइन: शेप पैरामीटर्स और मौलिक ज्यामितीय उपायों के आधार पर एक स्थानीय प्रतिनिधित्व|publisher=University of Utah, Salt Lake City, Utah|url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=910231 }}</ref><ref name="Barsky1988">{{cite book|author=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफिक्स और ज्यामितीय मॉडलिंग बीटा-स्पलाइन का उपयोग करना|year=1988|publisher=Springer-Verlag, Heidelberg|isbn=978-3-642-72294-3}}</ref><ref name="BartelsBeattyBarsky1987">{{cite book|author1=Richard H. Bartels|author2=John C. Beatty|author3=Brian A. Barsky|title=कंप्यूटर ग्राफ़िक्स और जियोमेट्रिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए स्प्लाइन्स का परिचय|year=1987|publisher=Morgan Kaufmann|isbn=978-1-55860-400-1|at=Chapter 13. Parametric vs. Geometric Continuity}}</ref>
-पैरामीट्रिक निरंतरता (''सी''<sup>''k''</sup>) एक अवधारणा है जो पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू होती है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र <math>s:[0,1]\to\mathbb{R}^n</math> कक्षा सी . का कहा जाता है<sup>कश्मीर</sup>, अगर <math>\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}</math> मौजूद है और निरंतर है <math>[0,1]</math>, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव <math>0,1\in[0,1]</math> अर्ध-भिन्नता के रूप में लिया जाता है (अर्थात, at <math>0</math> दाईं ओर से, और पर <math>1</math> बाएं से)।
+=== प्राचलिक सततता ===
+प्राचलिक सततता (''C<sup>k</sup>'') [[पैरामीट्रिक वक्र|प्राचलिक वक्रों]] पर लागू एक अवधारणा है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की स्मूथनेस का वर्णन करती है। A(प्राचलिक) वक्र <math>s:[0,1]\to\mathbb{R}^n</math> को वर्ग C<sup>k</sup> का कहा जाता है, यदि <math>\textstyle \frac{d^ks}{dt^k}</math> उपलब्ध है और <math>[0,1]</math> पर सतत है, जहां अंत-बिंदुओं पर अवकलज<math>0,1\in[0,1]</math> को [[अर्ध-भिन्नता|एक पक्षीय अवकलज]]के रूप में लिया जाता हैै।(अर्थात्, दाईं ओर से <math>0</math> और बाएँ से  <math>1</math> पर)।
-इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C . होना चाहिए<sup>1</sup> निरंतरता और उसका पहला अवकलज अवकलनीय है—वस्तु के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे कि फिल्म बनाते समय कैमरे का पथ, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।
+इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C<sup>1</sup> सततता होनी चाहिए और इसका पहला व्युत्पन्न, वस्तु के परिमित त्वरण के लिए अवकलनीय है। स्मूथ गति के लिए, जैसे फिल्म बनाते समय कैमरे के पथ के लिए, प्राचलिक सततता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।
-==== पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम ====
+==== प्राचलिक सततता का क्रम ====
-[[File:Parametric continuity C0.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो केवल C . है<sup>0</sup> निरंतर]]
+[[File:Parametric continuity C0.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो कि केवल C है<sup>0</sup> सतत]]
-[[File:Parametric continuity vector.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे C . हैं<sup>1</sup> निरंतर]]पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |first=Michiel |last=van de Panne |url=https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |title=पैरामीट्रिक वक्र|work=Fall 1996 Online Notes |date=1996 |publisher=University of Toronto, Canada |access-date=2019-09-01 |archive-date=2020-11-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201126212511/https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |url-status=live }}</ref>
+[[File:Parametric continuity vector.svg|upright=1.2|thumb|दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे सी हैं<sup>1</sup> सतत]]प्राचलिक सततता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है,<ref>{{cite web |first=Michiel |last=van de Panne |url=https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |title=पैरामीट्रिक वक्र|work=Fall 1996 Online Notes |date=1996 |publisher=University of Toronto, Canada |access-date=2019-09-01 |archive-date=2020-11-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201126212511/https://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/curves/curves.html |url-status=live }}</ref>
-* <math>C^0</math>: ज़ीरोथ व्युत्पन्न निरंतर है (वक्र निरंतर हैं)
+* <math>C^0</math>, शून्य अवकलज सतत है(वक्र सतत हैं)
-* <math>C^1</math>: शून्य और प्रथम अवकलज सतत हैं
+* <math>C^1</math>, शून्यवाँ और प्रथम अवकलज संतत हैं
-* <math>C^2</math>: शून्य, प्रथम और द्वितीय अवकलज सतत हैं
+* <math>C^2</math>, शून्य, पहला और दूसरा अवकलज सतत हैं
-* <math>C^n</math>: 0-वें से <math>n</math>-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं
+* <math>C^n</math>, 0-वें के माध्यम से <math>n</math>-वें अवकलज सतत हैं
-===ज्यामितीय निरंतरता ===
+===ज्यामितीय सततता===
-[[File:Curves g1 contact.svg|upright=1.2|thumb|G . के साथ वक्र<sup>1</sup>-संपर्क (मंडलियां, रेखा)]]
+[[File:Curves g1 contact.svg|upright=1.2|thumb|जी के साथ घटता है<sup>1</sup>-संपर्क(वृत्त, रेखा)]]
 [[File:Kegelschnitt-Schar.svg|upright=1.2|thumb|<math>(1-\varepsilon^2) x^2 -2px+y^2=0 , \ p>0 \ , \varepsilon\ge 0</math><br />
-G . के साथ शंकु वर्गों की पेंसिल<sup>2</sup>-संपर्क करें: p ठीक करें, <math>\varepsilon</math> चर <br />
+जी के साथ शांकव वर्गों की पेंसिल<sup>2</sup>-संपर्क: पी फिक्स, <math>\varepsilon</math> चर <br />
-(<math>\varepsilon=0</math>: घेरा,<math>\varepsilon=0.8</math>: अंडाकार, <math>\varepsilon=1</math>: परवलय, <math>\varepsilon=1.2</math>: अतिपरवलय)]]ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (''G<sup>n</sup>'') मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोन्सलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा, बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।<ref name= टेलर 1911, पीपी। 674–675 >{{cite EB1911|last=Taylor |first=Charles |wstitle=Geometrical Continuity |volume=11 |pages=674–675}}</ref>
+(<math>\varepsilon=0</math>: घेरा,<math>\varepsilon=0.8</math>: अंडाकार, <math>\varepsilon=1</math>: परवलय, <math>\varepsilon=1.2</math>: हाइपरबोला)]]ज्यामितीय सततता या ज्यामितीय सततता की अवधारणा(''G<sup>n</sup>'')की अवधारणा मुख्य रूप से [[गॉटफ्रीड लीबनिज]], [[जोहान्स केप्लर]] और [[जीन-विक्टर पोंसेलेट]] जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों(और संबंधित आकृतियों) पर लागू की गई थी। अवधारणा बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक प्राचलिक फलन के माध्यम से व्यक्त [[सतता]] फलन की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।
-ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु वर्ग वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य के करीब पहुंचती है, या एक परवलय की ओर जब यह एक के करीब पहुंचता है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि विलक्षणता एक की ओर गिरती है; यह प्रतिच्छेदन रेखा (ज्यामिति) को भी प्रवृत्त कर सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार के दो व्यंजक हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में माना जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा <math>x =\infty</math> वृत्त पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए <math>x =+\infty</math> तथा <math>x =\neg\infty</math> समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फ़ंक्शन के निरंतर कार्य के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे <math>\infty</math> (अधिक के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)।<ref name= टेलर 1911, पीपी. 674–675 /><!-- 1911 covers some of this but needs a modern reference-->
-==== ज्यामितीय निरंतरता का क्रम ====
+ज्यामितीय सततता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु खंड वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि [[विलक्षणता (गणित)|विलक्षणता(गणित)]] शून्य तक पहुँचती है, या एक [[परवलय]] के रूप में यह एक तक पहुँचती है, और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर जाता है क्योंकि सनकीपन एक की ओर गिरता है, यह प्रतिच्छेदी  [[रेखा (ज्यामिति)|रेखाओं(ज्यामिति)]] की ओर भी प्रवृत्त हो सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच सततता थी। इन विचारों ने सततता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार की दो अभिव्यक्तियाँ हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत [[त्रिज्या]] के एक वृत्त के रूप में सोचा जा सकता है। ऐसा मामला होने के लिए,  बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद <math>x =\infty</math> को वृत्त पर एक बिंदु बनाकर और <math>x =+\infty</math> तथा <math>x =\neg\infty</math> को एक समान होने की अनुमति देकर रेखा को बंद करना होगा। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फलन के सतत और <math>\infty</math> के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे(अधिक जानकारी के लिए [[अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा]] देखें)।
-एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>G^n</math> निरंतरता, साथ <math>n</math> चिकनाई की बढ़ती माप होने के नाते। वक्र पर किसी बिंदु के दोनों ओर के खंडों पर विचार करें:
+==== ज्यामितीय सततता का क्रम ====
+एक [[वक्र]] या [[सतह (टोपोलॉजी)|सतह(टोपोलॉजी)]] को <math>G^n</math> सततता होने के रूप में वर्णित करता है, जिसमें <math>n</math> स्मूथ का बढ़ता माप है। एक वक्र पर एक बिंदु के दोनों ओर खंडों पर विचार करें,
-*<math>G^0</math>: वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
+*<math>G^0</math>, वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
-*<math>G^1</math>: वक्र भी जोड़ बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
+*<math>G^1</math>, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर एक सामान्य [[स्पर्शरेखा]] दिशा साझा करते हैं।
-*<math>G^2</math>: वक्र भी जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।
+*<math>G^2</math>, वक्र भी जुड़ने के बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।
-सामान्य रूप में, <math>G^n</math> निरंतरता मौजूद है यदि वक्रों को पुन: निर्धारित किया जा सकता है <math>C^n</math> (पैरामीट्रिक) निरंतरता।<ref>{{cite journal |first1=Brian A. |last1=Barsky |first2=Tony D. |last2=DeRose |title=पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य अभिलक्षण|journal=IEEE Computer Graphics and Applications |volume=9 |issue=6 |year=1989 |pages=60–68 |doi=10.1109/38.41470 |s2cid=17893586 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |first=Erich |last=Hartmann |title=कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम|page=55 |date=2003 |publisher=[[Technische Universität Darmstadt]] |access-date=2019-08-31 |archive-date=2020-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201023054532/http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |url-status=live }}</ref> वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।
+सामान्य तौर पर, <math>G^n</math> सततता उपलब्ध होती है यदि वक्रों को <math>C^n</math>(प्राचलिक) सततता रखने के लिए पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |first1=Brian A. |last1=Barsky |first2=Tony D. |last2=DeRose |title=पैरामीट्रिक वक्रों की ज्यामितीय निरंतरता: तीन समतुल्य लक्षण|journal=IEEE Computer Graphics and Applications |volume=9 |issue=6 |year=1989 |pages=60–68 |doi=10.1109/38.41470 |s2cid=17893586 }}</ref><ref>{{cite web |url=https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |first=Erich |last=Hartmann |title=कंप्यूटर एडेड डिजाइन के लिए ज्यामिति और एल्गोरिदम|page=55 |date=2003 |publisher=[[Technische Universität Darmstadt]] |access-date=2019-08-31 |archive-date=2020-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201023054532/http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf#page=55 |url-status=live }}</ref> वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है.जिसमे केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।
-समान रूप से, दो सदिश फलन <math>f(t)</math> तथा <math>g(t)</math> पास होना <math>G^n</math> निरंतरता अगर <math>f^{(n)}(t)\neq0</math> तथा <math>f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)</math>, एक अदिश के लिए <math>k>0</math> (अर्थात, यदि दोनों सदिशों की दिशा, लेकिन परिमाण आवश्यक नहीं है, बराबर है)।
+समतुल्य रूप से, दो सदिश फलन <math>f(t)</math> तथा <math>g(t)</math> में <math>G^n</math> सततता है यदि <math>f^{(n)}(t)\neq0</math> तथा <math>f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)</math>, एक अदिश  <math>k>0</math> के लिए सततता है(अर्थात, यदि दो सदिशों की दिशा समान हो, लेकिन जरूरी नहीं कि परिमाण बराबर हो)।
-हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र की आवश्यकता होगी <math>G^1</math> सुचारू रूप से दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन के इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखाई देंगे जब तक कि बॉडी में <math>G^2</math> निरंतरता।
+हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र को स्मूथ दिखने के लिए  <math>G^1</math>सततता की आवश्यकता होगी, अच्छे [[सौंदर्यशास्त्र]] के लिए, जैसे कि [[वास्तुकला]] और [[स्पोर्ट्स कार]] डिजाइन में इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय सततता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार की बॉडी में प्रतिबिंब तब तक स्मूथ नहीं दिखेंगे जब तक कि बॉडी में <math>G^2</math> सततता न हो।
-ए {{em|[[rounded rectangle]]}} (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री वृत्ताकार चापों के साथ) है <math>G^1</math> निरंतरता, लेकिन नहीं है <math>G^2</math> निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है {{em|[[rounded cube]]}}, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि के साथ एक संपादन योग्य वक्र <math>G^2</math> निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर क्यूबिक स्प्लिंस को आम तौर पर चुना जाता है; इन वक्रों का उपयोग अक्सर औद्योगिक डिजाइन में किया जाता है।
+ए {{em|[[गोल आयत]]}}(चारों कोनों पर नब्बे डिग्री के वृत्ताकार चापों के साथ) <math>G^1</math> सततता है, लेकिन <math>G^2</math> सततता नहीं है। एक  {{em|[[गोल घन]]}}  के लिए भी यही सच है, कि इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ चतुर्थाँश-सिलेंडर हैं। यदि  <math>G^2</math> सततता के साथ एक संपादन योग्य वक्र की आवश्यकता होती है, तो  [[घन splines|घन स्प्लाइन]]  आमतौर पर चुने जाते हैं, ये वक्र अक्सर [[औद्योगिक डिजाइन]] में उपयोग किए जाते हैं।
 == अन्य अवधारणाएं ==
 === विश्लेषणात्मकता से संबंध ===
-जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू होते हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर होते हैं) जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उदाहरण जैसे कि बम्प फ़ंक्शन (ऊपर उल्लिखित) दिखाते हैं कि कनवर्स वास्तविक पर कार्यों के लिए सही नहीं है: ऐसे सुचारू वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं#एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; एक अन्य उदाहरण फैबियस फ़ंक्शन है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि इस तरह के कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत पतले बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक अल्प सेट सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सुचारू कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं {{citation needed|date=December 2020}}.
+जबकि सभी [[विश्लेषणात्मक फलन]] स्मूथ होते हैं(अर्थात सभी अवकलज सतत हैं) उस समुच्चय जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, [[उभार फ़ंक्शंस|उभार फलन]](ऊपर उल्लिखित) जैसे उदाहरण दिखाते हैं जैसे कि बातचीत वास्तविक फलनो के लिए सही नहीं है, वहाँ स्मूथ वास्तविक फलन उपलब्ध हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। फलनो के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक [[स्मूथ फलन हैं लेकिन किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं]] हैं, [[फोरियर श्रेणी]] के माध्यम से बनाए जा सकते हैं, [[फैबियस समारोह|फैबियस फलन]]  एक अन्य उदाहरण है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि ऐसे फलन नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ लोगों के बीच बहुत कम बिखरे हुए हैं, अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक फलन स्मूथ फलनों का एक [[अल्प सेट|छोटा]] उपसमुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे स्मूथ फलन उपलब्ध हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं ।{{citation needed|date=December 2020}}.
-स्थिति की वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सुचारू कार्यों के सेट पर, हम जिन उदाहरणों के साथ पहली बार विचार करते हैं (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्याएं और विश्लेषणात्मक कार्य) अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार करते हैं: अनुवांशिक संख्याएं और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं होता है (उनके पूरक अल्प हैं)।
-इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल अवकलनीय फलनों के विपरीत है। यदि कोई जटिल फलन खुले समुच्चय पर केवल एक बार अवकलनीय है, तो वह उस समुच्चय पर अपरिमित रूप से अवकलनीय और विश्लेषणात्मक दोनों है {{citation needed|date=December 2020}}.
-=== एकता के सहज विभाजन ===
-दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ सुचारू कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें ''एकता का विभाजन'' और टोपोलॉजी शब्दावली); ये चिकनी मैनिफोल्ड्स के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रीमैनियन मेट्रिक्स को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करके विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सुचारू फ़ंक्शन ''f'' है जो एक अंतराल के बाहर मान 0 लेता है [''a'',''b''] और ऐसा है कि
-<math display="block">f(x) > 0 \quad \text{ for } \quad a < x < b.\,</math>
-लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतराल पर बंप फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है <math>(-\infty, c]</math> तथा <math>[d, +\infty)</math> पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।
-जो अभी कहा गया है, उससे एकता के विभाजन होलोमोर्फिक कार्यों पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, सुचारू कार्यों के शीशों में अधिक टोपोलॉजिकल जानकारी नहीं होती है।
+वास्तविक रेखा पर [[पारलौकिक संख्या|पारलौकिक संख्याओं]]  की सर्वव्यापकता से स्थिति की तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और स्मूथ फलनों के समुच्चय दोनों पर, उदाहरण हम पहले विचार(बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्या और विश्लेषणात्मक फलनों) के साथ आते हैं, अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार किया जाता है, पारलौकिक संख्याएँ और कहीं भी विश्लेषणात्मक फलनों का पूर्ण माप नहीं है(उनके पूरक अल्प हैं)।
-=== कई गुना पर और उसके बीच सुचारू कार्य ===
+इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल भिन्नात्मक फलनों के विपरीत है। यदि एक जटिल फलन एक खुले समुच्चय पर केवल एक बार अलग-अलग होता है, तो यह उस समुच्चय पर असीम रूप से भिन्न और विश्लेषणात्मक दोनों होता है {{citation needed|date=December 2020}}.
-एक अलग कई गुना दिया गया <math>M</math>, आयाम का <math>m,</math> और एक एटलस (टोपोलॉजी) <math>\mathfrak{U} = \{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha,</math> फिर एक नक्शा <math>f:M\to \R</math> चिकना है <math>M</math> अगर सभी के लिए <math>p \in M</math> एक चार्ट मौजूद है <math>(U, \phi) \in \mathfrak{U},</math> ऐसा है कि <math>p \in U,</math> तथा <math>f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \R</math> के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है <math>\phi(p)</math> में <math>\R^m</math> प्रति <math>\R</math> (किसी दिए गए क्रम तक सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। एटलस के किसी भी चार्ट (टोपोलॉजी) के संबंध में चिकनाई की जाँच की जा सकती है जिसमें <math>p,</math> चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर सुगमता की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि <math>f</math>पास चिकना है <math>p</math> एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा <math>p</math> किसी अन्य चार्ट में।
-यदि <math>F : M \to N</math> से एक नक्शा है <math>M</math> यदि <math>n</math>-आयामी कई गुना <math>N</math>, फिर <math>F</math> चिकना है अगर, हर के लिए <math>p \in M,</math> एक चार्ट है <math>(U,\phi)</math> युक्त <math>p,</math> और एक चार्ट <math>(V, \psi)</math> युक्त <math>F(p)</math> ऐसा है कि <math>F(U) \subset V,</math> तथा <math>\psi \circ F \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)</math> से एक सुचारू कार्य है <math>\R^n.</math>
+=== एकता के स्मूथ विभाजन ===
-मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: for <math>F : M \to N</math>, प्रत्येक बिंदु पर पुशफ़ोरवर्ड (अंतर) (या अंतर) स्पर्शरेखा वैक्टर को मैप करता है <math>p</math> स्पर्शरेखा सदिशों पर <math>F(p)</math>: <math>F_{*,p} : T_p M \to T_{F(p)}N,</math> और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक वेक्टर बंडल होमोमोर्फिज्म है: <math>F_* : TM \to TN.</math> पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टर को खींचती है <math>N</math> कोवेक्टर पर वापस <math>M,</math> तथा <math>k</math>-फॉर्म टू <math>k</math>-रूप: <math>F^* : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M).</math> इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शेफ (गणित), जैसे वेक्टर फ़ील्ड और डिफरेंशियल फॉर्म, को एक मैनिफोल्ड से दूसरे में या यूक्लिडियन स्पेस में ले जा सकते हैं, जहां कई गुना पर इंटीग्रेशन जैसी गणनाओं को अच्छी तरह से समझा जाता है।
+दिए गए बंद [[समर्थन (गणित)|समर्थन(गणित)]] के साथ स्मूथ फलनो का उपयोग एकता के स्मूथ विभाजन के निर्माण में किया जाता है(देखें ''[[एकता का विभाजन]]'' और [[टोपोलॉजी शब्दावली]]), ये [[चिकना कई गुना|स्मूथ बहुसंख्यक]] के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि [[रिमेंनियन मीट्रिक|रिमेंनियन मापीय]] को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करते हुए विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक उभार(बम्प) फलन का है,अर्थात एक स्मूथ फलन ''f'' , जो एक अंतराल [''a'',''b''] के बाहर मान 0 लेता है ,ठीक ऐसा<math display="block">f(x) > 0 \quad \text{ for } \quad a < x < b.\,</math>लाइन पर कई अतिव्यापी अंतराल दिए गए हैं, उनमें से प्रत्येक पर उभार फलन का निर्माण किया जा सकता है,और अर्ध-अनंत अंतरालों <math>(-\infty, c]</math> तथा <math>[d, +\infty)</math> पर पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि फलनो का योग हमेशा 1 होता है।
-सुचारू कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य तौर पर, अतिरिक्त मान्यताओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। रेगुलर पॉइंट्स के प्रीइमेज (यानी, अगर प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) मैनिफोल्ड्स हैं; यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना हैं।<ref>{{cite book |last1=Guillemin |first1=Victor |last2=Pollack |first2=Alan |title=विभेदक टोपोलॉजी|location=Englewood Cliffs |publisher=Prentice-Hall |year=1974 |isbn=0-13-212605-2 }}</ref>
+जो अभी कहा गया है, एकता के विभाजन [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|पूर्णसममितिक फलन]] पर लागू नहीं होते हैं, अस्तित्व और [[विश्लेषणात्मक निरंतरता|विश्लेषणात्मक सततता]] के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार [[शीफ]](गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, स्मूथ फलनो के शीशों में अधिक सामयिक जानकारी नहीं होती है।
+=== बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन ===
+आयाम का <math>m,</math> और एक [[एटलस (टोपोलॉजी)|एटलस(टोपोलॉजी)]] <math>\mathfrak{U} = \{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha</math>   का एक [[अलग करने योग्य कई गुना|स्मूथ बहुसंख्यक]] <math>M</math> दिया गया ,तो एक मानचित्र <math>f:M\to \R</math> पर स्मूथ है यदि सभी  <math>M</math> के लिए एक तालिका <math>p \in M</math> उपलब्ध है <math>(U, \phi) \in \mathfrak{U},</math> जैसे कि <math>p \in U,</math> तथा <math>f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \R</math> ,<math>\phi(p)</math> में <math>\R^m</math> से <math>\R</math> के प्रतिवैस से एक स्मूथ फलन है(दिए गए क्रम तक सभी आंशिक अवकलज सतत हैं)। एटलस के किसी भी [[चार्ट (टोपोलॉजी)|तालिका(टोपोलॉजी)]] के संबंध में स्मूथनेस की जाँच की जा सकती है जिसमें  <math>p</math> शामिल है, क्योंकि तालिका के बीच संक्रमण फलनों पर स्मूथनेस की आवश्यकता यह सुनिश्चित करती हैं कि यदि <math>f</math> एक  तालिका  <math>p</math> के पास स्मूथ है तो यह किसी अन्य तालिका में  <math>p</math> के पास स्मूथ होगा।
-=== कई गुना उपसमुच्चय के बीच सुचारू कार्य ===
+यदि <math>F : M \to N</math>, <math>M</math> से एक <math>n</math>-आयामी अनेक <math>N</math> का मानचित्र है , तो  <math>F</math> स्मूथ है यदि, प्रत्येक <math>p \in M</math> के लिए, एक तालिका <math>(U,\phi)</math> है जिसमें <math>p,</math> और एक तालिका <math>(V, \psi)</math> है जिसमें <math>F(p)</math> ऐसा है जैसे कि <math>F(U) \subset V,</math> तथा <math>\psi \circ F \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)</math>, <math>\R^n</math> से एक स्मूथ फलन है।
-मैनिफोल्ड के मनमाने उपसमुच्चय के लिए सुगम मानचित्र की एक संगत धारणा है। यदि <math>f : X \to Y</math> एक फंक्शन (गणित) है जिसके एक फंक्शन का डोमेन और एक फंक्शन की रेंज मैनिफोल्ड्स के सबसेट हैं <math>X \subseteq M</math> तथा <math>Y \subseteq N</math> क्रमश। <math>f</math> चिकनी कहा जाता है अगर सभी के लिए <math>x \in X</math> एक खुला सेट है <math>U \subseteq M</math> साथ <math>x \in U</math> और एक सुचारू कार्य <math>F : U \to N</math> ऐसा है कि <math>F(p) = f(p)</math> सभी के लिए <math>p \in U \cap X.</math>
+बहुसंख्यक के बीच स्मूथ मानचित्र [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टियो]] के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं, <math>F : M \to N</math> के लिए, प्रत्येक बिंदु पर [[पुशफॉरवर्ड]](अंतर)(या अवकलन) <math>p</math> पर स्पर्शरेखा सदिशों <math>F(p)</math><math>F_{*,p} : T_p M \to T_{F(p)}N</math>, पर स्पर्शरेखा सदिशों में मानचित्रित करता है, और [[स्पर्शरेखा बंडल|स्पर्शरेखा समूह]] के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक [[सदिश समूह समरूपता]]  <math>F_* : TM \to TN</math> है। पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो <math>N</math> पर कोसदिशो को खींचता है, <math>M</math> कोसदिशो पर वापस जाता है, तथा <math>k</math>-रूप को इस <math>F^* : \Omega^k(N) \to \Omega^k(M)</math><math>k</math>-रूप में। इस तरह बहुसंख्यक के बीच स्मूथ फलन  [[स्थानीय डेटा]] को परिवहन कर सकते हैं, जैसे [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्र]] और [[विभेदक रूप|अवकलन रूप]], एक बहुसंख्यक से दूसरे तक, या नीचे यूक्लिडियन समष्टि तक, जहाँ [[एकीकरण]] जैसी संगणनाएँ अच्छी तरह से समझी जाती हैं।
+स्मूथ फलनो के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य रूप से, अतिरिक्त धारणाओं के बिना बहुसंख्यक नहीं होते हैं। नियमित बिंदुओं की प्रीइमेज(अर्थात, यदि प्रीइमेज पर अवकलन गायब नहीं होता है) बहुसंख्यक हैं, यह [[प्रीइमेज प्रमेय]] है। इसी तरह, अंत: स्थापन के साथ पुशफॉरवर्ड बहुसंख्यक होते हैं।<ref>{{cite book |last1=Guillemin |first1=Victor |last2=Pollack |first2=Alan |title=विभेदक टोपोलॉजी|location=Englewood Cliffs |publisher=Prentice-Hall |year=1974 |isbn=0-13-212605-2 }}</ref>
+=== बहुसंख्यक के '''उपसमुच्चय''' के बीच स्मूथ फलन ===
-==यह भी देखें==
+बहुसंख्यक के यादृच्छिक उपसमुच्चय के लिए स्मूथ मानचित्र की एक समान धारणा है। यदि <math>f : X \to Y</math> एक [[फलन]](गणित) है जिसका [[प्रक्षेत्र]] और [[क्षेत्र]] क्रमशः बहुसंख्यक  <math>X \subseteq M</math> और<math>Y \subseteq N</math>  के उपसमुच्चय हैं । फलन <math>f</math> को स्मूथ कहा जाता है यदि सभी <math>x \in X</math>  के लिए <math>x \in U</math> के साथ एक खुला समुच्चय <math>U \subseteq M</math> है और एक स्मूथ फलन  <math>F : U \to N</math> ऐसा है कि सभी <math>F(p) = f(p)</math> तथा  <math>p \in U \cap X</math> के लिए खुला समुच्चय है।
-* {{annotated link|Discontinuity (mathematics)|Discontinuity}}
+== यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Hadamard's lemma}}
+*[[अंतराल]]
-* {{annotated link|Non-analytic smooth function}}
+*[[हैडमार्ड का स्वीकृत सिद्धांत]]
-* {{annotated link|Quasi-analytic function}}
+* {{annotated link|गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य}} - गणितीय फलन जो स्मूथ हैं लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं हैं
-* {{annotated link|Singularity (mathematics)}}
+* {{annotated link|अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य}}- वह बिंदु जहां एक फलन, एक वक्र या अन्य गणितीय वस्तु नियमित रूप से व्यवहार नहीं करती है
-* {{annotated link|Sinuosity}}
+*[[विलक्षणता (गणित)|विलक्षणता(गणित)]]
-* {{annotated link|Smooth point|Smooth scheme}}
+* [[बल]]-तरंग-समान फलन पर दो बिंदुओं के बीच चाप की लंबाई और सीधी-रेखा की दूरी का अनुपात
-* {{annotated link|Smooth number}} (संख्या सिद्धांत)
+*[[सहज योजना|स्मूथ योजना]]
-* {{annotated link|Smoothing}}
+* {{annotated link|सहज संख्या}}(संख्या सिद्धांत)-केवल छोटे अभाज्य गुणक वाले पूर्णांक(संख्या सिद्धांत)
-* {{annotated link|Spline (mathematics)|Spline}}
+*[[समरेखण]]
-* सोबोलेव मैपिंग
+* [[पट्टी]]-बहुपदों द्वारा परिभाषित गणितीय फलन
+* [[सोबोलेव मैपिंग|सोबोलेव मानचित्रण]]
-==इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची==
 ==संदर्भ==
@@ Line 148: / Line 140: @@
 {{Manifolds}}
-[[Category: सुचारू कार्य]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 10/11/2022]]
+<sup>
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with short description]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from December 2020]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:CS1 Ελληνικά-language sources (el)]]
+[[Category:Citation Style 1 templates|W]]
+[[Category:Collapse templates]]
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स्मूथनेस: Difference between revisions

Latest revision as of 10:01, 30 December 2022

विभेदीकरण वर्ग

उदाहरण.

उदाहरण, सतत(C0) लेकिन अवकलनीय नहीं

उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (Ck)

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C1नहीं)

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन लिपशिट्ज सतत नहीं

उदाहरण, विश्लेषणात्मक (Cω)

उदाहरण, स्मूथ (C∞) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (Cω)

बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग

Ck फलनो का समष्टि

सततता

प्राचलिक सततता

प्राचलिक सततता का क्रम

ज्यामितीय सततता

ज्यामितीय सततता का क्रम

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

एकता के स्मूथ विभाजन

बहुसंख्यक और उनके बीच में स्मूथ फलन

बहुसंख्यक के उपसमुच्चय के बीच स्मूथ फलन

यह भी देखें

संदर्भ

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उदाहरण, सतत(C⁰) लेकिन अवकलनीय नहीं

उदाहरण, परिमित-बार अवकलनीय (C^k)

उदाहरण, अवकलनीय लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं (C¹नहीं)

उदाहरण, विश्लेषणात्मक (C^ω)

उदाहरण, स्मूथ (C^∞) लेकिन विश्लेषणात्मक नहीं (C^ω)

C^{k फलनो का समष्टि}