परिमित समूह: Difference between revisions

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{{short description|Mathematical group based upon a finite number of elements}}
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[[सार बीजगणित]] में, एक परिमित समूह एक [[समूह (गणित)]] है जिसका [[अंतर्निहित सेट|अंतर्निहित समुच्चय]] [[परिमित सेट|परिमित समुच्चय]] है। परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में [[चक्रीय समूह]] और क्रमचय समूह सम्मिलित हैं।
[[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में, एक परिमित समूह एक ऐसा [[समूह (गणित)]] है जिसका [[अंतर्निहित सेट|अंतर्निहित समुच्चय]] [[परिमित सेट|परिमित]] है। परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में [[चक्रीय समूह]] और क्रमचय समूह सम्मिलित हैं।


परिमित समूहों का अध्ययन [[समूह सिद्धांत]] का एक अभिन्न अंग रहा है क्योंकि यह 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ था। अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र वर्गीकरण किया गया है: [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] (जिनमें कोई गैर-तुच्छ [[सामान्य उपसमूह]] नहीं है) 2004 में पूरा किया गया था।
परिमित समूहों का अध्ययन [[समूह सिद्धांत]] का एक अभिन्न अंग रहा है क्योंकि यह 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ था। अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र वर्गीकरण किया गया है: [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] (जिनमें कोई गैर-तुच्छ [[सामान्य उपसमूह]] नहीं है) 2004 में पूरा किया गया था।
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बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, [[क्लाउड चेवेली]] और [[रॉबर्ट स्टाइनबर्ग]] जैसे गणितज्ञों ने  [[शास्त्रीय समूह|पारम्परिक समूहों]] और अन्य संबंधित समूहों के परिमित अनुरूप की हमारी समझ को भी बढ़ाया। समूहों का ऐसा ही एक परिवार [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] पर सामान्य रेखीय समूहों का परिवार है।
बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, [[क्लाउड चेवेली]] और [[रॉबर्ट स्टाइनबर्ग]] जैसे गणितज्ञों ने  [[शास्त्रीय समूह|पारम्परिक समूहों]] और अन्य संबंधित समूहों के परिमित अनुरूप की हमारी समझ को भी बढ़ाया। समूहों का ऐसा ही एक परिवार [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] पर सामान्य रेखीय समूहों का परिवार है।


परिमित समूह अधिकांश गणितीय या भौतिक वस्तुओं की [[समरूपता]] पर विचार करते समय होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। [[झूठ समूह|झूठ समूहों]] का सिद्धांत, जिसे [[निरंतर समरूपता]] से निपटने के रूप में देखा जा सकता है, संबंधित [[वेइल समूह|वेइल समूहों]] से काफी प्रभावित है। ये परिमित समूह हैं जो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो परिमित-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर कार्य करते हैं। परिमित समूहों के गुण इस प्रकार [[सैद्धांतिक भौतिकी]] और [[रसायन विज्ञान]] जैसे विषयों में भूमिका निभा सकते हैं।<ref>[https://chem.libretexts.org/Core/Physical_and_Theoretical_Chemistry/Group_Theory/Group_Theory_and_its_Application_to_Chemistry Group Theory and its Application to Chemistry] The Chemistry LibreTexts library</ref>
परिमित समूह अधिकांश गणितीय या भौतिक वस्तुओं की [[समरूपता]] पर विचार करते समय होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। [[झूठ समूह|लाई समूहों]] का सिद्धांत, जिसे [[निरंतर समरूपता]] से निपटने के रूप में देखा जा सकता है, संबंधित [[वेइल समूह|वेइल समूहों]] से काफी प्रभावित है। ये परिमित समूह हैं जो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो परिमित-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर कार्य करते हैं। परिमित समूहों के गुण इस प्रकार [[सैद्धांतिक भौतिकी]] और [[रसायन विज्ञान]] जैसे विषयों में भूमिका निभा सकते हैं।<ref>[https://chem.libretexts.org/Core/Physical_and_Theoretical_Chemistry/Group_Theory/Group_Theory_and_its_Application_to_Chemistry Group Theory and its Application to Chemistry] The Chemistry LibreTexts library</ref>




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एक स्वेच्छ परिमित विनिमेय समूह प्रमुख शक्ति क्रम के परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है, और इन क्रमों को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जो अपरिवर्तनीयों की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। एक परिमित विनिमेय समूह के स्वसमाकृतिकता समूह को इन अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में सीधे वर्णित किया जा सकता है। इस सिद्धांत को पहली बार [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[लुडविग स्टिकेलबर्गर]] के 1879 के पेपर में विकसित किया गया था और बाद में रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय बनाते हुए, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनुखंड के लिए सरल और सामान्यीकृत दोनों किया गया था।
एक स्वेच्छ परिमित विनिमेय समूह प्रमुख शक्ति क्रम के परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है, और इन क्रमों को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जो अपरिवर्तनीयों की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। एक परिमित विनिमेय समूह के स्वसमाकृतिकता समूह को इन अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में सीधे वर्णित किया जा सकता है। इस सिद्धांत को पहली बार [[जॉर्ज फ्रोबेनियस]] और [[लुडविग स्टिकेलबर्गर]] के 1879 के पेपर में विकसित किया गया था और बाद में रैखिक बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय बनाते हुए, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनुखंड के लिए सरल और सामान्यीकृत दोनों किया गया था।


=== झूठ प्रकार के समूह ===
=== लाई प्रकार के समूह ===
{{Main|अभिसंधि (लाई) प्रकार का समूह}}
{{Main|अभिसंधि (लाई) प्रकार का समूह}}
लाई प्रकार का एक समूह एक ऐसा समूह है जो क्षेत्र (गणित) k में मानों के साथ एक रिडक्टिव [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] G के परिमेय बिंदुओं के समूह G(k) से निकटता से संबंधित है। झूठ प्रकार के परिमित समूह नॉनबेलियन [[परिमित सरल समूह|परिमित सरल समूहों]] के थोक देते हैं। विशेष मामलों में पारंपरिक समूह, [[शेवाली समूह]], स्टाइनबर्ग समूह और सुज़ुकी-री समूह सम्मिलित हैं  
लाई प्रकार का एक समूह एक ऐसा समूह है जो क्षेत्र (गणित) k में मानों के साथ एक रिडक्टिव [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] G के परिमेय बिंदुओं के समूह G(k) से निकटता से संबंधित है। लाई प्रकार के परिमित समूह नॉनबेलियन [[परिमित सरल समूह|परिमित सरल समूहों]] के थोक देते हैं। विशेष मामलों में पारंपरिक समूह, [[शेवाली समूह]], स्टाइनबर्ग समूह और सुज़ुकी-री समूह सम्मिलित हैं  


लाई प्रकार के परिमित समूह गणित में विचार किए जाने वाले पहले समूहों में से थे, चक्रीय, [[सममित समूह]] और [[वैकल्पिक समूह]] के बाद, प्रमुख परिमित क्षेत्रों पर  [[प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह|प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों]] के साथ, PSL(2, ''p'') का निर्माण 1830 के दशक मेंइवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया जा रहा था। लाइ प्रकार के परिमित समूहों की व्यवस्थित खोज [[केमिली जॉर्डन]] के प्रमेय के साथ शुरू हुई कि प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, ''q'') ''q'' ≠ 2, 3 के लिए सरल है। यह प्रमेय उच्च आयामों के प्रक्षेपी समूहों के लिए सामान्यीकरण करता है और  परिमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण अनंत परिवार PSL(''n'', ''q'') देता है। 20वीं सदी की शुरुआत में  [[लियोनार्ड डिक्सन]] डिक्सन द्वारा अन्य पारंपरिक समूहों का अध्ययन किया गया था। 1950 के दशक में क्लॉड चेवेली ने महसूस किया कि एक उपयुक्त सुधार के बाद, अर्ध-सरल लाई समूहों के बारे में कई प्रमेय बीजगणितीय समूहों के लिए एक मनमाना क्षेत्र ''k'' पर एनालॉग्स को स्वीकार करते हैं, जो कि अब चेवेली समूह कहे जाने वाले निर्माण के लिए अग्रणी है। इसके अतिरिक्त, कॉम्पैक्ट सरल झूठ समूहों के स्थितियों में, संबंधित समूह सार समूहों (स्तन सादगी प्रमेय) के रूप में लगभग सरल हो गए। चूंकि यह 19वीं शताब्दी से ज्ञात था कि अन्य परिमित सरल समूह मौजूद हैं (उदाहरण के लिए,  [[मैथ्यू समूह]]), धीरे-धीरे एक धारणा बनी कि लगभग सभी परिमित सरल समूहों को चक्रीय और वैकल्पिक समूहों के साथ-साथ चेवेली के निर्माण के उपयुक्त विस्तार द्वारा हिसाब किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, अपवाद,  [[छिटपुट समूह|विकीर्ण समूह]], झूठ प्रकार के परिमित समूहों के साथ कई गुणों को साझा करते हैं, और विशेष रूप से, स्तन के अर्थ में उनके ''ज्यामिति'' के आधार पर निर्मित और चित्रित किए जा सकते हैं।
लाई प्रकार के परिमित समूह गणित में विचार किए जाने वाले पहले समूहों में से थे, चक्रीय, [[सममित समूह]] और [[वैकल्पिक समूह]] के बाद, प्रमुख परिमित क्षेत्रों पर  [[प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह|प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूहों]] के साथ, PSL(2, ''p'') का निर्माण 1830 के दशक मेंइवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया जा रहा था। लाइ प्रकार के परिमित समूहों की व्यवस्थित खोज [[केमिली जॉर्डन]] के प्रमेय के साथ शुरू हुई कि प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, ''q'') ''q'' ≠ 2, 3 के लिए सरल है। यह प्रमेय उच्च आयामों के प्रक्षेपी समूहों के लिए सामान्यीकरण करता है और  परिमित सरल समूहों का एक महत्वपूर्ण अनंत परिवार PSL(''n'', ''q'') देता है। 20वीं सदी की शुरुआत में  [[लियोनार्ड डिक्सन]] डिक्सन द्वारा अन्य पारंपरिक समूहों का अध्ययन किया गया था। 1950 के दशक में क्लॉड चेवेली ने महसूस किया कि एक उपयुक्त सुधार के बाद, अर्ध-सरल लाई समूहों के बारे में कई प्रमेय बीजगणितीय समूहों के लिए एक मनमाना क्षेत्र ''k'' पर एनालॉग्स को स्वीकार करते हैं, जो कि अब चेवेली समूह कहे जाने वाले निर्माण के लिए अग्रणी है। इसके अतिरिक्त, कॉम्पैक्ट सरल लाई समूहों के स्थितियों में, संबंधित समूह सार समूहों (स्तन सादगी प्रमेय) के रूप में लगभग सरल हो गए। चूंकि यह 19वीं शताब्दी से ज्ञात था कि अन्य परिमित सरल समूह मौजूद हैं (उदाहरण के लिए,  [[मैथ्यू समूह]]), धीरे-धीरे एक धारणा बनी कि लगभग सभी परिमित सरल समूहों को चक्रीय और वैकल्पिक समूहों के साथ-साथ चेवेली के निर्माण के उपयुक्त विस्तार द्वारा हिसाब किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, अपवाद,  [[छिटपुट समूह|विकीर्ण समूह]], लाई प्रकार के परिमित समूहों के साथ कई गुणों को साझा करते हैं, और विशेष रूप से, स्तन के अर्थ में उनके ''ज्यामिति'' के आधार पर निर्मित और चित्रित किए जा सकते हैं।


विश्वास परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण अब एक प्रमेय बन गया है। परिमित सरल समूहों की सूची के निरीक्षण से पता चलता है कि एक परिमित क्षेत्र पर झूठ के समूह में चक्रीय समूहों, वैकल्पिक समूहों, [[स्तन समूह]] और 26 [[छिटपुट सरल समूह|विकीर्ण]] [[छिटपुट सरल समूह|सरल समूहों]] के अलावा सभी परिमित सरल समूह सम्मिलित हैं।
विश्वास परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण अब एक प्रमेय बन गया है। परिमित सरल समूहों की सूची के निरीक्षण से पता चलता है कि एक परिमित क्षेत्र पर लाई के समूह में चक्रीय समूहों, वैकल्पिक समूहों, [[स्तन समूह]] और 26 [[छिटपुट सरल समूह|विकीर्ण]] [[छिटपुट सरल समूह|सरल समूहों]] के अलावा सभी परिमित सरल समूह सम्मिलित हैं।


== मुख्य प्रमेय ==
== मुख्य प्रमेय ==
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== दिए गए क्रम के समूहों की संख्या ==
== दिए गए क्रम के समूहों की संख्या ==
एक सकारात्मक पूर्णांक n दिया गया है, यह निर्धारित करने के लिए निश्चय ही  नियमित स्थिति नहीं है कि क्रम n के कितने समरूपता प्रकार के समूह हैं। अभाज्य संख्या क्रम का प्रत्येक समूह चक्रीय समूह है, क्योंकि लैग्रेंज के प्रमेय का तात्पर्य है कि इसके किसी भी गैर-पहचान वाले तत्वों द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह संपूर्ण समूह है।
घनात्मक पूर्णांक n दिया गया है, यह निर्धारित करने के लिए निश्चय ही  नियमित स्थिति नहीं है कि क्रम n के कितने समरूपता प्रकार के समूह हैं। अभाज्य संख्या क्रम का प्रत्येक समूह चक्रीय समूह है, क्योंकि लैग्रेंज के प्रमेय का तात्पर्य है कि इसके किसी भी गैर-पहचान वाले तत्वों द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह संपूर्ण समूह है।


यदि n एक अभाज्य का वर्ग है, तो क्रम n के समूह के वास्तविक में दो संभावित समरूपता प्रकार हैं, जो दोनों विनिमेय हैं। यदि n एक प्रमुख की एक उच्च घात है, तो [[ग्राहम हिगमैन]] और [[चार्ल्स सिम्स (गणितज्ञ)]] के परिणाम क्रम n के समरूपता प्रकार के समूहों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से सही अनुमान देते हैं, और घात बढ़ने पर संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है।
यदि n एक अभाज्य का वर्ग है, तो क्रम n के समूह के वास्तविक में दो संभावित समरूपता प्रकार हैं, जो दोनों विनिमेय हैं। यदि n एक प्रमुख की एक उच्च घात है, तो [[ग्राहम हिगमैन]] और [[चार्ल्स सिम्स (गणितज्ञ)]] के परिणाम क्रम n के समरूपता प्रकार के समूहों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से सही अनुमान देते हैं, और घात बढ़ने पर संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है।


n के प्रमुख गुणनखंड के आधार पर, क्रम n के समूहों की संरचना पर कुछ प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, सिलो प्रमेय जैसे परिणाम। उदाहरण के लिए, क्रम pq का प्रत्येक समूह चक्रीय होता है जब q <p अभाज्य संख्याएँ होती हैं जिनमें p − 1 q से विभाज्य नहीं होता। एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के लिए, [[चक्रीय संख्या (समूह सिद्धांत)]] देखें।
n के प्रमुख गुणनखंड के आधार पर, क्रम n के समूहों की संरचना पर कुछ प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, सिलो प्रमेय जैसे परिणाम। उदाहरण के लिए, क्रम pq का प्रत्येक समूह चक्रीय होता है जब q <p अभाज्य संख्याएँ होती हैं जिनमें p − 1 q से विभाज्य नहीं होता। आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के लिए, [[चक्रीय संख्या (समूह सिद्धांत)]] देखें।


यदि n वर्ग रहित पूर्णांक है, तो क्रम n का कोई भी समूह हल करने योग्य है। बर्नसाइड के प्रमेय, [[चरित्र सिद्धांत]] का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य है, जब n तीन अलग-अलग अभाज्यों से कम से विभाज्य है, अर्थात यदि {{nowrap|1=''n'' = ''p''<sup>''a''</sup>''q''<sup>''b''</sup>}}, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा, जिसका एक लंबा और जटिल प्रमाण है, क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य होता है जब n विषम होता है।
यदि n वर्ग रहित पूर्णांक है, तो क्रम n का कोई भी समूह हल करने योग्य है। बर्नसाइड के प्रमेय, [[चरित्र सिद्धांत|कैरेक्टर्स  सिद्धांत]] का उपयोग करके सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य है, जब n तीन अलग-अलग अभाज्यों से कम से विभाज्य है, अर्थात यदि {{nowrap|1=''n'' = ''p''<sup>''a''</sup>''q''<sup>''b''</sup>}}, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा, जिसका एक लंबा और जटिल प्रमाण है, क्रम n का प्रत्येक समूह हल करने योग्य होता है जब n विषम होता है।


प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, क्रम n के अधिकांश समूह हल करने योग्य समूह हैं। किसी विशेष क्रम के लिए इसे देखना सामान्यतः मुश्किल नहीं होता है(उदाहरण के लिए, समरूपता तक, एक गैर-विलायक समूह और क्रम 60 के 12 विलायक समूह हैं) लेकिन सभी ऑर्डर के लिए इसका प्रमाण परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है . किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए क्रम n के अधिक से अधिक दो सरल समूह होते हैं, और असीम रूप से कई धनात्मक पूर्णांक n होते हैं जिनके लिए क्रम n के दो गैर-समरूपी सरल समूह होते हैं।
प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, क्रम n के अधिकांश समूह हल करने योग्य समूह हैं। किसी विशेष क्रम के लिए इसे देखना सामान्यतः मुश्किल नहीं होता है(उदाहरण के लिए, समरूपता तक, एक गैर-विलायक समूह और क्रम 60 के 12 विलायक समूह हैं) लेकिन सभी ऑर्डर के लिए इसका प्रमाण परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करता है . किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए क्रम n के अधिक से अधिक दो सरल समूह होते हैं, और असीम रूप से कई धनात्मक पूर्णांक n होते हैं जिनके लिए क्रम n के दो गैर-समरूपी सरल समूह होते हैं।
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==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==


*क्रमपरिवर्तन समूह
 
*साधारण समूह
 
*सामान्य रैखिक समूह
 
*द्विभाजन
 
*समारोह रचना
 
*क्रम (समूह सिद्धांत)
 
*एकता की आदिम जड़
 
*लीनियर अलजेब्रा
 
*ऑटोमोर्फिज्म समूह
 
*क्षेत्र (गणित)
 
*अर्ध-सरल झूठ समूह
 
*नकारात्मक और सकारात्मक संख्या
 
*परिमित सरल समूहों की सूची
*रिचर्ड ल्योंस (गणितज्ञ)
*साइलो प्रमेय
*समूह क्रम
*समाकृतिकता
*वर्ग मुक्त पूर्णांक
*परिमित अंगूठी
*पी समूह
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* {{OEIS el|1=A000001|2=Number of groups of order n}}
* {{OEIS el|1=A000001|2=Number of groups of order n}}
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{{Authority control}}
{{Authority control}}
[[Category:परिमित समूह| ]]
[[Category: समूहों के गुण]]


 
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Latest revision as of 15:54, 29 December 2022

बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत'
समूह सिद्धांत
Cyclic group.svg
बुनियादी धारणाएँ
समूह समरूपता
परिमित समूह
परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण
टोपोलॉजिकल और झूठ समूह
बीजगणितीय समूह

अमूर्त बीजगणित में, एक परिमित समूह एक ऐसा समूह (गणित) है जिसका अंतर्निहित समुच्चय परिमित है। परिमित समूह अक्सर गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में चक्रीय समूह और क्रमचय समूह सम्मिलित हैं।

परिमित समूहों का अध्ययन समूह सिद्धांत का एक अभिन्न अंग रहा है क्योंकि यह 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ था। अध्ययन का एक प्रमुख क्षेत्र वर्गीकरण किया गया है: परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण (जिनमें कोई गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह नहीं है) 2004 में पूरा किया गया था।