घातांक: Difference between revisions
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प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की शक्ति तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>{{Calculation results}} | प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की शक्ति तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>{{Calculation results}} | ||
'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या शक्ति n शामिल हैं, और "b (उठाया गया) से (की शक्ति) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | |||
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | ||
प्रतिपादक को | प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की शक्ति", "b की nth शक्ति", "b को nth की शक्ति", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है। | ||
ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक | ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ||
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दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते | दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी <math>n</math> के लिए , <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math>. दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है। | ||
यह तथ्य कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर | यह तथ्य है कि <math>b^1 = b</math> समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है। | ||
नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। | नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह मामला <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है। | ||
भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम | भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | ||
घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | ||
[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी। | [[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी। | ||
== अंकन का इतिहास == | == अंकन का इतिहास == | ||
शब्द शक्ति ({{lang-la| | शब्द शक्ति ({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां: प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद।<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, की शक्तियों में हेरफेर करने के लिए {{math|10}} आवश्यक है .{{citation needed|date=August 2021}} 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)]] के लिए '''مَال''' (माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उन और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में सोचा एक क्षेत्र का चित्रण, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और كَعْبَة (काबा|कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों मीम (एम) और कफ (के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि देखा गया अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref> | ||
16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name=cajori>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | 16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया।<ref name=cajori>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> | ||
[[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में इंडेक्स शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> Biquadrate का उपयोग चौथी शक्ति को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है। | [[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में इंडेक्स शब्द की शुरुआत की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> Biquadrate का उपयोग चौथी शक्ति को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है। | ||
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गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक सेट (गणित) से फ़ंक्शन (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो फ़ंक्शन संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] शामिल हैं। | गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक सेट (गणित) से फ़ंक्शन (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो फ़ंक्शन संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] शामिल हैं। | ||
जब कई | जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है, | ||
:<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math> | :<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math> | ||
तथा | तथा | ||
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[[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली शक्तियाँ (फ़ंक्शन रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न। | [[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली शक्तियाँ (फ़ंक्शन रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न। | ||
डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा | डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, अगर {{mvar|g}} में आदिम तत्व है <math>\mathbb F_q,</math> फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है {{mvar|e}}, भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है {{mvar|e}} से <math>g^e</math> यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है। | ||
== सेट की शक्तियां {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | == सेट की शक्तियां {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | ||
दो सेट (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म]]ों का समुच्चय है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T.</math> यह | दो सेट (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म]]ों का समुच्चय है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T.</math> यह प्रवर्तन ठीक से कम्यूटेटिव और न ही सहयोगी है, लेकिन इन गुणों को [[विहित नक्शा]] [[समाकृतिकता]] तक है, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math> | ||
यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | ||
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== बार-बार घातांक == | == बार-बार घातांक == | ||
{{Main|Tetration|Hyperoperation}} | {{Main|Tetration|Hyperoperation}} | ||
जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक बार-बार गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह बार-बार घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है; इस | जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक बार-बार गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह बार-बार घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है; इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या [[टेट्रेशन]] कहा जाता है। इटरेटिंग टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन की ओर जाता है, और इसी तरह, [[हाइपरऑपरेशन|हाइपरप्रवर्तन]] नाम की एक अवधारणा। संचालन का यह क्रम [[एकरमैन समारोह]] और नुथ के अप-एरो नोटेशन द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। पर मूल्यांकन किया गया {{math|(3, 3)}}, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज 6, 9, 27, और {{val|7625597484987}} ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}) क्रमश। | ||
== शक्तियों की सीमा == | == शक्तियों की सीमा == | ||
| Line 593: | Line 593: | ||
== पुनरावृत्त कार्य == | == पुनरावृत्त कार्य == | ||
फ़ंक्शन रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन]] है जिसे फ़ंक्शन (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए फ़ंक्शन का [[कोडोमेन]] बाईं ओर लिखे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल है। यह निरूपित है <math>g\circ f,</math> और के रूप में परिभाषित किया गया है | फ़ंक्शन रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|बाइनरी प्रवर्तन]] है जिसे फ़ंक्शन (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए फ़ंक्शन का [[कोडोमेन]] बाईं ओर लिखे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल है। यह निरूपित है <math>g\circ f,</math> और के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
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*इन्वोल्यूशन (गणित) | *इन्वोल्यूशन (गणित) | ||
*अंकगणितीय | *अंकगणितीय प्रवर्तन | ||
*गणितीय अधिष्ठापन | *गणितीय अधिष्ठापन | ||
*संबद्धता | *संबद्धता | ||
Revision as of 15:46, 1 December 2022
| bn | |
|---|---|
notation | |
| base b and exponent n |
<डिव क्लास = राइट>
| Arithmetic operations | ||||||||||||
| ||||||||||||