अपरिमेय संख्या

√2अपरिमेय है।

गणित में, अपरिमेय संख्याएँ (इन- उपसर्ग से लेकर आईआर- (नकारात्मक उपसर्ग, निजी) + परिमेय तक) वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं को दो पूर्णांको के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जब दो रेखाखंडों की लंबाई का अनुपात एक अपरिमेय संख्या हो, तो रेखाखंडों को असम्मेय (गणित) के रूप में भी वर्णित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि वे कोई माप साझा नहीं करते हैं, अर्थात कोई लंबाई (माप ) नहीं है, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, जिसका उपयोग दो दिए गए खंडों की लंबाई को स्वयं के पूर्णांक गुणकों के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं में एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात π, यूलर की संख्या e, सुनहरा अनुपात φ, और दो का वर्गमूल। वास्तविक में, वर्ग संख्याओं को छोड़कर, प्राकृतिक संख्याओं के सभी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं।

सभी वास्तविक संख्याओं के समान, अपरिमेय संख्याओं को स्थितीय संकेतन में व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपरिमेय संख्याओं की स्थिति में, दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही दशमलव की पुनरावृत्ति होती है। उदाहरण के लिए, π का ​​दशमलव प्रतिनिधित्व 3.14159 से प्रारंभ होता है, लेकिन अंकों की कोई परिमित संख्या π को यथार्थ रूप से प्रदर्शित नहीं कर सकती है, न ही यह दोहराती है। इसके विपरीत, एक दशमलव विस्तार जो समाप्त हो या पुनरावृत्ति हो, एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। ये परिमेय संख्याओं और स्थितीय संख्या प्रणालियों के सिद्ध गुण हैं, और गणित में परिभाषाओं के रूप में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

अपरिमेय संख्याओं को गैर-समाप्ति वाले निरंतर अंशों और कई अन्य विधियों से भी व्यक्त किया जा सकता है।

कैंटर के प्रमाण के परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएँ अगणनीय हैं और परिमेय संख्याएँ गणनीय हैं, यह इस प्रकार है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

इतिहास

वास्तविक संख्याओं का समूह (R), जिसमें परिमेय (Q) सम्मिलित हैं, जिसमें पूर्णांक (Z) सम्मिलित हैं, जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ (N) सम्मिलित हैं। वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय (R\Q) भी सम्मिलित हैं।

प्राचीन ग्रीस

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण सामान्यतः पाइथागोरसवाद (संभवतः हिपपासस) को दिया जाता है, जिन्होंने पेंटाग्राम के पक्षों की पहचान करते हुए संभवतः उन्हें खोजा था।

तत्कालीन पाइथोगोरियन पद्धति ने दावा किया होगा कि कुछ पर्याप्त रूप से छोटी, अविभाज्य इकाई होनी चाहिए जो समान रूप से इनमें से एक लंबाई के साथ-साथ दूसरी में भी उपयुक्त हो सके। चूंकि, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में हिप्पसस, यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम था कि वास्तविक में माप की कोई सामान्य इकाई नहीं थी, और इस तरह के अस्तित्व का दावा वास्तविक में एक विरोधाभास था। उन्होंने यह प्रदर्शित करके ऐसा किया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण वास्तविक में एक यथार्थ रूप से आनुपातिक (गणित) था, तो माप की उस इकाई में मापी गई लंबाई में से एक विषम और सम दोनों होनी चाहिए, जो असंभव है। उनका तर्क इस प्रकार है:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से प्रारंभ करें, जिसकी भुजाएँ पूर्णांक a, b, और c हों। एक भुजा के लिए कर्ण का अनुपात c:b द्वारा दर्शाया गया है।
• मान लें कि a, b, और c सबसे छोटी संभव शर्तों में हैं (अर्थात् उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है)।
• पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: c² = a²+b² = b²+ b² = 2b^{2 ( चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, a = b)}
• चूंकि c² = 2b², c² 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
• चूंकि c² सम है, c सम होना चाहिए।
• चूँकि c सम है, c को 2 से विभाजित करने पर एक पूर्णांक प्राप्त होता है। मान लीजिए y यह पूर्णांक है (c = 2y)।
• c = 2y के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर c² = (2y)², या c² = 4y².
• पहले समीकरण (c² = 2b²) में c² के लिए 4y² प्रतिस्थापित करने पर हमें 4y²= 2b² मिलता है
• 2 से भाग देने पर 2y² =b² प्राप्त होता है।
• चूँकि y एक पूर्णांक है, और 2y² = b², b² 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
• चूंकि b² सम है, b अवश्य ही सम होना चाहिए।
• हमने अभी दिखाया है कि b और c दोनों ही सम होने चाहिए। इसलिए उनके पास 2 का एक सामान्य कारक है। चूंकि यह इस धारणा का खंडन करता है कि उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है। यह विरोधाभास सिद्ध करता है कि c और b दोनों पूर्णांक नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार एक संख्या का अस्तित्व जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

यूनानी गणित ने अतुलनीय परिमाणों के इस अनुपात को एलोगोस या अवर्णनीय कहा है। चूंकि, हिप्पसस को उनके प्रयासों के लिए सराहना नहीं मिली: एक प्रसिद्ध व्यक्ति के अनुसार, उन्होंने समुद्र में रहते हुए अपनी खोज की, और बाद में अपने साथी पाइथागोरस द्वारा "... ब्रह्मांड में एक तत्व का निर्माण करने के लिए ... जिसने इस सिद्धांत का खंडन किया कि ब्रह्मांड में सभी घटनाएं हो सकती हैं, पानी में फेंक दिया गया था।" पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया गया। एक अन्य प्रसिद्ध व्यक्ति ने कहा है कि इस रहस्योद्घाटन के लिए हिप्पसस को केवल निर्वासित किया गया था। खुद हिप्पसस के परिणाम चाहे जो भी हों, उसकी खोज ने पायथागॉरियन गणित के लिए एक बहुत ही गंभीर समस्या खड़ी कर दी, क्योंकि इसने इस धारणा को तोड़ दिया कि संख्या और ज्यामिति अविभाज्य हैं - उनके सिद्धांत की नींव।

अतुलनीय अनुपातों की खोज यूनानियों के सामने एक और समस्या का संकेत था: असतत का निरंतर से संबंध। यह एलिया के ज़ेनो द्वारा प्रकाश में लाया गया था, जिन्होंने इस धारणा पर प्रश्न उठाया था कि मात्राएँ असतत हैं और एक निश्चित आकार की इकाइयों की एक सीमित संख्या से बनी हैं। विगत ग्रीक अवधारणाओं ने तय किया कि वे आवश्यक रूप से होने चाहिए, क्योंकि "पूरी संख्या असतत वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती है, और एक आनुपातिक अनुपात असतत वस्तुओं के दो संग्रहों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करता है" लेकिन ज़ेनो ने पाया कि वास्तविक में [मात्रा] सामान्य रूप से इकाइयों का असतत संग्रह नहीं है; यही कारण है कि अतुलनीय [मात्रा] के अनुपात दिखाई देते हैं .... [क्यू] परिमाण, दूसरे शब्दों में, निरंतर हैं"। इसका अर्थ यह है कि, उस समय की लोकप्रिय अवधारणा के विपरीत, किसी भी मात्रा के लिए माप की एक अविभाज्य, सबसे छोटी इकाई नहीं हो सकती। वास्तविक में, मात्रा के ये विभाजन अनिवार्य रूप से अनंत होने चाहिए। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड पर विचार करें: इस खंड को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रह सकती है, क्योंकि विभाजित होने के लिए हमेशा एक और आधा होता है। जितनी बार खंड को आधा किया जाता है, माप की इकाई शून्य के करीब आती है, लेकिन यह कभी भी बिल्कुल शून्य तक नहीं पहुंचती है। ज़ेनो यही सिद्ध करना चाहता था। उन्होंने चार विरोधाभास तैयार करके इसे सिद्ध करने की कोशिश की, जिसने उस समय के गणितीय विचारों में निहित विरोधाभासों को प्रदर्शित किया। जबकि ज़ेनो के विरोधाभासों ने वर्तमान गणितीय अवधारणाओं की कमियों को सटीक रूप से प्रदर्शित किया, उन्हें विकल्प के प्रमाण के रूप में नहीं माना गया। यूनानियों के दिमाग में, एक दृष्टिकोण की वैधता को खारिज करना जरूरी नहीं कि दूसरे की वैधता सिद्ध हो, और इसलिए आगे की जांच होनी चाहिए।

अगला कदम कनिडस के यूडोक्सस द्वारा उठाया गया, जिसने अनुपात के एक नए सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया, जिसमें आनुपातिक और साथ ही असंगत मात्राओं को ध्यान में रखा गया। उनके विचार का केंद्र परिमाण और संख्या के बीच का अंतर था। एक परिमाण "... एक संख्या नहीं थी, लेकिन रेखा खंड, कोण, क्षेत्र, आयतन और समय जैसी संस्थाओं के लिए खड़ा था, जो भिन्न हो सकता है, जैसा कि हम कहेंगे,निरंतर परिमाण संख्याओं के विपरीत थे, जो 4 से 5 के रूप में एक मान से दूसरे मान तक कूद गए थे। संख्याएँ कुछ सबसे छोटी, अविभाज्य इकाई से बनी होती हैं, जबकि परिमाण असीम रूप से कम करने योग्य होते हैं। क्योंकि परिमाण को कोई मात्रात्मक मान निर्दिष्ट नहीं किया गया था, यूडोक्सस तब परिमाण के संदर्भ में एक अनुपात को परिभाषित करके और अनुपात को दो अनुपातों के बीच समानता के रूप में परिभाषित करके आनुपातिक और असंगत दोनों अनुपातों के लिए खाता बनाने में सक्षम था। समीकरण से मात्रात्मक मानो (संख्याओं) को निकालकर, उन्होंने व्यक्त करने के जाल से बचा लिया एक संख्या के रूप में एक अपरिमेय संख्या। "यूडॉक्सस' सिद्धांत ने यूनानी गणितज्ञों को अतुलनीय अनुपातों के लिए आवश्यक तार्किक आधार प्रदान करके ज्यामिति में जबरदस्त प्रगति करने में सक्षम बनाया"। इस अतुलनीयता को यूक्लिड के तत्वों, पुस्तक X, प्रस्ताव 9 में निपटाया गया है। यह तब तक नहीं था जब तक कनिडस के यूडोक्सस ने अनुपात के एक सिद्धांत को विकसित नहीं किया था जो अपरिमेय के साथ-साथ परिमेय अनुपातों को ध्यान में रखता था कि अपरिमेय संख्याओं का एक मजबूत गणितीय आधार तैयार किया गया था।

संख्या और परिमाण के बीच अंतर के परिणामस्वरूप, ज्यामिति ही एकमात्र ऐसी विधि बन गई जो अतुलनीय अनुपातों को ध्यान में रख सकती थी। क्योंकि पिछली संख्यात्मक नींव अभी भी अतुलनीयता की अवधारणा के साथ असंगत थी, ग्रीक फोकस उन संख्यात्मक अवधारणाओं जैसे कि बीजगणित से दूर हो गया और लगभग पूरी तरह से ज्यामिति पर केंद्रित था। वास्तविक में, कई स्थितियों में बीजगणितीय संकल्पनाओं को ज्यामितीय शब्दों में पुनर्रूपित किया गया था। यह यह इस बात का कारण हो सकता है कि हम अभी भी x² और x³ को x वर्ग के रूप में मानते हैं और x के अतिरिक्त x को दूसरी घात और x को तीसरी घात के रूप में मानते हैं। अतुलनीय परिमाण के साथ ज़ेनो के काम के लिए भी महत्वपूर्ण निगमनात्‍मक तर्क पर मौलिक ध्यान था जो कि पहले के ग्रीक गणित के मूलभूत फैलाव से उत्पन्न हुआ था। यह अनुभव कि उपस्थित सिद्धांत के अन्दर कुछ मूलभूत अवधारणा वास्तविकता के विपरीत थी, उस सिद्धांत को रेखांकित करने वाले स्वयंसिद्धों और मान्यताओं की पूरी और गहन जांच की आवश्यकता थी। इस आवश्यकता के कारण, यूडोक्सस ने निष्कासन की अपनी विधि विकसित की, एक प्रकार का रिडक्टियो एड एब्सर्डम जिसने ... कि "...स्पष्ट सिद्धांतों के आधार पर निगमनात्मक संगठन की स्थापना की..." साथ ही साथ "...प्रमाण के लिए निगमनात्मक तर्क पर भरोसा करने के पहले के निर्णय को सुदृढ़ किया"। निष्कासन की यह विधि कलन के निर्माण में पहला कदम है।

सायरीन के थियोडोरस ने 17 तक की पूर्ण संख्याओं के Nवें मूल की अपरिमेयता को सिद्ध किया, लेकिन संभवतः वहीं रुक गया क्योंकि उसने जिस बीजगणित का प्रयोग किया वह 17 के वर्गमूल पर लागू नहीं किया जा सकता था।

भारत

भारत में वैदिक काल के दौरान वर्गमूल जैसी अपरिमेय संख्याओं से जुड़ी ज्यामितीय और गणितीय समस्याओं को बहुत पहले ही संबोधित कर लिया गया था। संहिताओं, ब्राह्मणों और शुल्ब सूत्र (800 ईसा पूर्व या उससे पहले) में ऐसी गणनाओं के संदर्भ हैं। (देखें बैग, इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ साइंस, 25(1-4), 1990)।

यह सुझाव दिया जाता है कि अपरिमेयता की अवधारणा को भारतीय गणित द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व से स्पष्ट रूप से स्वीकार किया गया था, जब मानव (सी. 750 - 690 ईसा पूर्व) का मानना ​​था कि 2 और 61 जैसी संख्याओं का वर्गमूल यथार्थ रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इतिहासकार कार्ल बेंजामिन बोयर, चूंकि, लिखते हैं कि इस तरह के दावे अच्छी तरह से प्रमाणित नहीं हैं और सच होने की संभावना नहीं है।

यह भी सुझाव दिया गया है कि आर्यभट्ट (5वीं शताब्दी ईस्वी) ने 5 महत्वपूर्ण अंकों के पाई के मान की गणना में आसन (निकट) शब्द का प्रयोग किया था, जिसका अर्थ यह था कि यह न केवल एक सन्निकटन है, बल्कि यह मान अतुलनीय (या अपरिमेय) है।

बाद में, अपने ग्रंथों में, भारतीय गणितज्ञों ने जोड़, घटाव, गुणा, युक्तिकरण, साथ ही वर्गमूल के पृथक्करण और निष्कर्षण सहित करणी के अंकगणित पर लिखा।

ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी में) और भास्कर प्रथम (629 ईस्वी में) जैसे गणितज्ञों ने इस क्षेत्र में योगदान दिया जैसा कि अन्य गणितज्ञों ने किया। 12वीं शताब्दी में भास्कर द्वितीय ने इनमें से कुछ सूत्रों का मूल्यांकन किया और उनकी सीमाओं की पहचान करते हुए उनकी आलोचना की।

14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान, संगमग्राम के माधव और केरल का खगोल विज्ञान और गणित विद्यालय ने कई अपरिमेय संख्याओं जैसे π और त्रिकोणमितीय कार्यों के कुछ अपरिमेय मानो के लिए अनंत श्रृंखला की खोज की। ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण प्रदान किए गये है।

मध्य युग

मध्य युग में, मुस्लिम गणितज्ञों द्वारा बीजगणित के विकास में अपरिमेय संख्याओं को बीजगणितीय वस्तुओं के रूप में व्यवहार करने की अनुमति दी।। मध्य पूर्वी गणितज्ञों ने संख्या और परिमाण (गणित) की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के एक अधिक सामान्य विचार में विलय कर दिया, यूक्लिड के अनुपात के विचार की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत को विकसित किया, और संख्या की अवधारणा को निरंतर परिमाण के अनुपात में विस्तारित किया। तत्वों की पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी में, फारसी गणितज्ञ अल-महानी (डी. 874/884) ने द्विघात अपरिमेय और घन अपरिमेय की जांच की और वर्गीकृत किया। उन्होंने परिमेय और अपरिमेय परिमाणों के लिए परिभाषाएँ प्रदान कीं, जिन्हें उन्होंने अपरिमेय संख्याओं के रूप में माना। वह उनके साथ स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते थे, लेकिन ज्यामितीय शब्दों में उनकी व्याख्या इस प्रकार करते हैं:

"यह एक परिमेय (परिमाण) होगा, जब हम, उदाहरण के लिए, 10, 12, 3%, 6%, आदि कहते हैं, क्योंकि इसका मूल्य उच्चारित और मात्रात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। जो परिमेय नहीं है वह तर्कहीन है और इसका उच्चारण करना असंभव है। और मात्रात्मक रूप से इसके मूल्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए: संख्याओं की जड़ें जैसे कि 10, 15, 20 जो वर्ग नहीं हैं, संख्याओं की भुजाएँ जो घन नहीं हैं आदि"

रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महानी ने पूर्णांकों और भिन्नों को परिमेय परिमाण माना, और वर्गमूल और घनमूल को अपरिमेय परिमाण माना। उन्होंने अपरिमेयता की अवधारणा के लिए एक अंकगणितीय दृष्टिकोण भी पेश किया, क्योंकि वह अपरिमेय परिमाणों के लिए निम्नलिखित का श्रेय देते हैं:

"उनके योग या अंतर, या एक तर्कसंगत परिमाण में उनके जोड़ के परिणाम, या इस तरह के एक परिमाण को एक अपरिमेय से घटाने के परिणाम, या इससे एक तर्कसंगत परिमाण।"

मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम (सी। 850 - 930) अपरिमेय संख्याओं को [[द्विघात समीकरण]]ों के समाधान के रूप में या एक समीकरण में गुणांक के रूप में, अधिकांश वर्गमूल, घनमूल और Nth मूल के रूप में स्वीकार करने वाले पहले व्यक्ति थे। 10वीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशिमी ने अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य प्रमाण (ज्यामितीय प्रदर्शनों के अतिरिक्त) प्रदान किए, क्योंकि उन्होंने गुणन, विभाजन और अन्य अंकगणितीय कार्यों पर विचार किया।ईरानी गणितज्ञ, अबू जाफर अल-खज़िन (900-971) परिमेय और अपरिमेय परिमाण की परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित मात्रा है:

"एक निश्चित दिए गए परिमाण में एक बार या कई बार समाहित है, तो यह (दिया गया) परिमाण एक परिमेय संख्या के समान है। हर बार जब यह (बाद वाला) परिमाण दिए गए परिमाण का आधा, या एक तिहाई, या एक चौथाई होता है (इकाई का), या, (इकाई) की तुलना में, तीन, पाँच, या तीन पाँचवाँ शामिल है, यह एक परिमेय परिमाण है। और, सामान्यतः, प्रत्येक परिमाण जो इस परिमाण से मेल खाता है (अर्थात से इकाई), एक संख्या से दूसरी संख्या के रूप में, परिमेय है। यदि, चूंकि, एक परिमाण को एक बहु, एक भाग (1/n), या भागों (m/n') के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। ') दिए गए परिमाण में, यह अपरिमेय है, अर्थात् इसे जड़ों के माध्यम से अन्य के अतिरिक्त व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

इन अवधारणाओं में से कई अंततः यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा 12वीं शताब्दी के लैटिन अनुवादों के कुछ समय बाद स्वीकार किए गए थे। 12वीं शताब्दी के दौरान इस्लामी विरासत न्यायशास्त्र में विशेषज्ञता वाले फ़ेज़ के एक मोरक्कन गणितज्ञ अल-हसर ने सबसे पहले एक भिन्नात्मक बार के उपयोग का उल्लेख किया, जहां अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है। अपनी चर्चा में वे लिखते हैं, ..., उदाहरण के लिए, यदि आपको तीन-पांचवें और पांचवें के तीसरे भाग को लिखने के लिए कहा जाए, तो इस प्रकार लिखें, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$. 13वीं शताब्दी में लियोनार्डो फाइबोनैचि के कार्य के तुरंत बाद यही भिन्नात्मक संकेतन प्रकट होता है।

आधुनिक काल

17वीं शताब्दी में अब्राहम डी मोइवरे और विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर के हाथों में काल्पनिक संख्याएं एक शक्तिशाली उपकरण बन गईं। 19वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूरा होने से अपरिमेय का बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याओं में विभेदन, अतिश्रेष्ट संख्याओं के अस्तित्व का प्रमाण, और अपरिमेय के सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान हुआ, जिसे यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर अनदेखा किया गया। वर्ष 1872 में कार्ल वीयरस्ट्रास (उनके शिष्य अर्नस्ट कोसाक द्वारा), एडवर्ड हेन (क्रेल के जर्नल, 74), जॉर्ज कैंटर (एनालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड के सिद्धांतों का प्रकाशन देखा गया। मेरे ने 1869 में हेइन के समान प्रस्थान बिंदु लिया था, लेकिन सिद्धांत को सामान्यतः वर्ष 1872 के रूप में संदर्भित किया जाता है। वेइरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से 1880 में सल्वाटोर पिंचरले द्वारा निर्धारित की गई है, और डेडेकाइंड कट लेखक के बाद के काम (1888) और पॉल टेनरी (1894) द्वारा समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। वेइरस्ट्रास, कैंटर, और हाइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, जबकि डेडेकिंड ने अपने सिद्धांतों को सभी परिमेय संख्याओं की प्रणाली में डेडेकिंड कट (श्निट) पर उन्हें पाया, उन्हें कुछ विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग किया। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर (क्रेले, 101) और चार्ल्स मेरे द्वारा योगदान प्राप्त हुआ।

अपरिमेय संख्याओं (और कैटाल्डी, 1613 के कारण) से निकटता से संबंधित निरंतर अंशो ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया, और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में जोसेफ-लुई लाग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया। डिरिचलेट ने सामान्य सिद्धांत में भी जोड़ा, क्योंकि विषय के अनुप्रयोगों में कई योगदानकर्ता हैं।

जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने (1761) सिद्ध किया कि π परिमेय नहीं हो सकता है, और वह eⁿ अपरिमेय है यदि n परिमेय है (जब तक कि n = 0 न हो)। जबकि लैम्बर्ट के प्रमाण को अधिकांश अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक मानते हैं, और वास्तविक में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से परिशुद्ध है। एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1794) ने बेसेल-क्लिफर्ड फलन की प्रारंभिक के बाद, यह दिखाने के लिए एक प्रमाण प्रदान किया कि π² अपरिमेय है, जहाँ से यह तुरंत अनुसरण करता है कि π अपरिमेय भी है। अनुवांशिक संख्याओं का अस्तित्व सबसे पहले लिउविल (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। बाद में, जॉर्ज कैंटर (1873) ने एक अलग विधि से अपने अस्तित्व को सिद्ध कर दिया, जिससे पता चला कि वास्तविक में हर अंतराल में अतिश्रेष्ट संख्याएँ होती हैं। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने पहली बार e अतिश्रेष्ट सिद्ध किया, और हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन (1882) ने π के लिए वही दिखाया। लिंडमैन के प्रमाण को वेइरस्ट्रास (1885) द्वारा बहुत सरल किया गया था, डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और भी आगे, और अंत में [[एडॉल्फ हर्विट्ज़|एडॉल्फ हर्विट्ज़]] और पॉल गॉर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया था ।

उदाहरण

वर्गमूल

2 का वर्गमूल पहली संख्या के अपरिमेय सिद्ध होने की संभावना थी। स्वर्णिम अनुपात एक अन्य प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय संख्या है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय हैं और द्विघात अपरिमेय में एक प्रमाण पाया जा सकता है।

सामान्य मूल

ऊपर का प्रमाण 2 के वर्गमूल के लिए अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह विशेष रूप से प्रत्येक पूर्णांक का अभाज्य में एक अद्वितीय गुणनखंड होता है। इसका उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि यदि कोई परिमेय संख्या पूर्णांक नहीं है, तो उसकी कोई भी पूर्णांक घात पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि निम्नतम शब्दों में भाजक में एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए जो अंश में विभाजित न हो चाहे प्रत्येक घात कितनी भी बढ़ जाए प्रति। इसलिए, यदि एक पूर्णांक किसी अन्य पूर्णांक की यथार्थ kth घात नहीं है, तो उस पहले पूर्णांक का kth मूल अपरिमेय है।

लघुगणक

संभवतः सबसे आसान अपरिमेय सिद्ध करने के लिए कुछ निश्चित लघुगणक हैं। यहाँ विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण दिया गया है कि log₂3 अपरिमेय है (log₂3 ≈ 1.58 > 0).

मान लीजिए log₂3 परिमेय है। कुछ धनात्मक पूर्णांकों m और n के लिए, हमारे पास है

$\log _{2}3={\frac {m}{n}}.$

यह इस प्रकार है कि

$2^{m/n}=3$

$(2^{m/n})^{n}=3^{n}$

$2^{m}=3^{n}.$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात के लिए उठाया गया नंबर 2 सम होना चाहिए (क्योंकि यह 2 से विभाज्य है) और संख्या 3 किसी भी धनात्मक पूर्णांक घा�