भाजक

This article is about an integer that is a factor of another integer. For a number used to divide another number in a division operation, see Division (mathematics). For other uses, see भाजक (disambiguation).

"Divisible" redirects here. For divisibility of groups, see Divisible group.

10 के भाजक Cuisenaire छड़ के साथ सचित्र: 1, 2, 5, और 10

गणित में, एक पूर्णांक का भाजक $n$, जिसे का कारक भी कहा जाता है $n$, एक पूर्णांक है $m$ जिसे उत्पन्न करने के लिए किसी पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है $n$. ऐसे में एक का यह भी कहना है $n$ का गुणज है $m.$ पूर्णांक $n$ किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्य या समान रूप से विभाज्य है $m$ यदि $m$ का भाजक है $n$; इसका अर्थ है विभाजित करना $n$ द्वारा $m$ शेष नहीं रहता।

परिभाषा

पूर्णांक n एक शून्येतर पूर्णांक से विभाज्य है m यदि कोई पूर्णांक मौजूद है k ऐसा है कि $n=km$. यह इस प्रकार लिखा गया है

$m\mid n.$

उसी बात को कहने के अन्य तरीके हैं m विभाजित n, m का भाजक है n, m का कारक है n, तथा n का गुणज है m. यदि m विभाजित नहीं करता n, तो अंकन है $m\not \mid n$. आमतौर पर, m अशून्य होना आवश्यक है, लेकिन n शून्य होने की अनुमति है। इस सम्मेलन के साथ, $m\mid 0$ प्रत्येक शून्येतर पूर्णांक के लिए m.कुछ परिभाषाएँ उस आवश्यकता को छोड़ देती हैं $m$ शून्य न हो।

सामान्य

विभाजक ऋणात्मक संख्या के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं, हालांकि कभी-कभी यह शब्द धनात्मक भाजक तक ही सीमित होता है। उदाहरण के लिए, 4 के छह विभाजक हैं; वे 1, 2, 4, -1, -2, और -4 हैं, लेकिन आमतौर पर केवल सकारात्मक (1, 2, और 4) का उल्लेख किया जाएगा।

1 और −1 प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित (विभाजक) करते हैं। प्रत्येक पूर्णांक (और उसका निषेध) स्वयं का एक विभाजक है। 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्या एँ कहलाती हैं, और 2 से विभाज्य पूर्णांक सम और विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

1, −1, n और −n को n का 'तुच्छ विभाजक' कहा जाता है। n का एक भाजक जो तुच्छ भाजक नहीं है, उसे 'गैर-तुच्छ भाजक' (या सख्त भाजक) के रूप में जाना जाता है।). कम से कम एक गैर-तुच्छ भाजक के साथ एक गैर-शून्य पूर्णांक को समग्र संख्या के रूप में जाना जाता है, जबकि इकाई (रिंग सिद्धांत) -1 और 1 और अभाज्य संख्या ओं में कोई गैर-तुच्छ भाजक नहीं होता है।

विभाज्यता नियम हैं जो किसी संख्या के अंकों से किसी संख्या के कुछ विभाजकों को पहचानने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण

1 से 1000 तक पूर्णांकों के विभाजकों की संख्या का आलेख। अभाज्य संख्याओं में बिल्कुल 2 विभाजक होते हैं, और अत्यधिक संमिश्र संख्याएँ बोल्ड में होती हैं।

*7 42 का भाजक है क्योंकि $7\times 6=42$, तो हम कह सकते हैं $7\mid 42$. यह भी कहा जा सकता है कि 42, 7 से विभाज्य है, 42, 7 का गुणज (गणित) है, 7, 42 को विभाजित करता है, या 7, 42 का एक गुणनखंड है।

• 6 के गैर-तुच्छ भाजक 2, -2, 3, -3 हैं।
• 42 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 हैं।
• 60 के सभी धनात्मक भाजक का समुच्चय (गणित), $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$, आंशिक रूप से विभाज्यता द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है, हस आरेख है:

आगे की धारणाएं और तथ्य

कुछ प्राथमिक नियम हैं:

• यदि $a\mid b$ तथा $b\mid c$, फिर $a\mid c$, अर्थात विभाज्यता एक सकर्मक संबंध है।
• यदि $a\mid b$ तथा $b\mid a$, फिर $a=b$ या $a=-b$.
• यदि $a\mid b$ तथा $a\mid c$, फिर $a\mid (b+c)$ धारण करता है, के रूप में करता है $a\mid (b-c)$. हालांकि, यदि $a\mid b$ तथा $c\mid b$, फिर $(a+c)\mid b$ हमेशा धारण नहीं करता (उदा। $2\mid 6$ तथा $3\mid 6$ लेकिन 5, 6 को विभाजित नहीं करता है)।

यदि $a\mid bc$, तथा $\gcd(a,b)=1$, फिर $a\mid c$. इसे यूक्लिड की लेम्मा कहा जाता है।

यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p\mid ab$ फिर $p\mid a$ या $p\mid b$.

का धनात्मक भाजक $n$ जो इससे अलग है $n$ ए कहा जाता हैproper divisorया एकaliquot partका $n$. एक संख्या जो समान रूप से विभाजित नहीं होती $n$ लेकिन एक शेष छोड़ देता है जिसे कभी-कभी एक कहा जाता हैaliquant partका $n$.

पूर्णांक ${\displaystyle }$